CC BY
2УДК 539.6.013.42
ВЛИЯНИЕ НЕПОСТОЯНСТВА СКОРОСТИ ПОТОКА НА ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ ТРУБОПРОВОДА
В. П. Радин1, В. П. Чирков2, О. В. Новикова3, А. В. Щугорев4, В. Н. Щугорев5
Рассматриваются параметрические колебания классической системы при неконсервативном нагружении — гибкого трубопровода с протекающей жидкостью. Параметрическое воздействие на систему вызвано непостоянством скорости потока жидкости. Устойчивость прямолинейной формы равновесия трубопровода, согласно теории Флоке-Ляпунова, исследуется методом матриц монодромии. В предположении о гармоническом отклонении скорости потока от некоторого постоянного значения, в частности амплитуды и частоты, основное внимание в работе уделено исследованию влияния характеристик параметрического воздействия на положение границы устойчивости трубопровода.
Ключевые слова: устойчивость трубопровода, непостоянство скорости потока, параметрические колебания, метод матриц монодромии, параметрический резонанс.
The parametric oscillations of a classical system under nonconservative loading — a flexible pipeline with a flowing liquid — are considered. The parametric effect on the system is determined by the variability of the fluid flow rate. The stability of the rectilinear form of the pipeline equilibrium according to the Floquet-Lyapunov theory is investigated by the method of mono-dromy matrices. Under the assumption of a harmonic deviation of the flow velocity from a certain constant value, in particular, the amplitude and frequency, the main attention is paid to the study of the influence of the characteristics of the parametric influence on the position of the stability boundary of the rectilinear form of the pipeline equilibrium.
Key words: pipeline stability, flow rate variability, parametric oscillations, monodromy matrix method, parametric resonance.
Введение. Среди классических неконсервативных задач теории упругой устойчивости особое место занимает задача о динамическом поведении гибких трубопроводов с протекающей жидкостью. Тип потери устойчивости (флаттер или дивергенция) при достижении параметрами потока критических значений существенным образом зависит от способа закрепления трубопровода. Наиболее изученной является задача об устойчивости защемленного на одном конце участка трубопровода при варьировании скорости и погонной массы протекающей жидкости. В этом случае речь идет о флаттере. Задаче об устойчивости трубопроводов посвящена обширная литература [1-7]. Применялись различные методы, являющиеся той или иной интерпретацией динамического метода исследования устойчивости [8], начиная с метода разложения по некоторым базисным функциям, метода конечных элементов и заканчивая востребованным в последнее время методом дифференциальных
1 Радин Владимир Павлович — канд. техн. наук, проф. каф. робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин НИУ "МЭИ", e-mail: RadinVPQmpei.ru.
2 Чирков Виктор Петрович — доктор техн. наук, проф. каф. робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин НИУ "МЭИ", e-mail: ChirkovVPQmpei.ru.
3Новикова Ольга Валерьевна — канд. техн. наук, доцент каф. робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин НИУ "МЭИ", e-mail: NovikovaOVQmpei.ru.
4Щугорев Алексей Владимирович — канд. техн. наук, доцент каф. робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин НИУ "МЭИ", e-mail: ShchugorevAVQmpei.ru.
5Щугорев Владимир Николаевич — канд. техн. наук, доцент каф. робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин НИУ "МЭИ", e-mail: ShchugorevVNQmpei.ru.
Radin Vladimir Pavlovich — Candidate of Technical Sciences, Professor, National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Machine Strength.
Chirkov Viktor Petrovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Machine Strength.
Novikova Olga Valer'yevna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Machine Strength.
Shchugorev Aleksey Vladimirovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Machine Strength.
Shchugorev Vladimir Nikolaevich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Machine Strength.
квадратур. Большинство работ но устойчивости трубопроводов предполагает постоянство скорости протекающей жидкости. Однако во многих технических устройствах, где используются трубопроводы, скорость протекания жидкости может быть непостоянна. При этом задача об исследовании устойчивости трубопровода усложняется, так как уравнение возмущенного движения в этом случае становится уравнением с неременными, зависящими от времени коэффициентами. В предположении, что скорость жидкости в трубопроводе изменяется но гармоническому закону, одной из первых работ но изучению параметрических резонансов в рассматриваемой задаче является работа [9], где основное внимание уделено условиям возникновения параметрических колебаний при некоторых значениях частоты и амплитуды параметрических) воздействия и поведению крайних) сечения трубопровода при динамической потере устойчивости. Различные методы расчета параметрических колебаний в других неконсервтивных системах, таких, как двойной маятник Циглера [10], система Реута в условиях комбинировавших) параметрического нагружения [11], опираются на основные теоремы устойчивости механических систем. Главное предположение, заложенное в этих работах, это предположение о гармоническом изменении во времени отклонений нагрузок от некоторых постоянных значений. В настоящей работе после построения границы флаттера консольного участка трубопровода при постоянных параметрах потока рассматривается задача о параметрических колебаниях вследствие пульсаций скорости протекающей жидкости. Основное внимание уделено исследованию влияния параметров, характеризующих непостоянство скорости потока, на положение границы областей устойчивости, построенных при постоянных параметрах потока.
Граница флаттера при постоянной скорости потока. Если скорость течения жидкости постоянна, то уравнение возмущенного движения трубопровода представляет собой линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. В этом случае решение уравнения возмущенного движения записывается в виде = ■ ехр(А£) и исследование устойчивости сводится к определению условий, при которых действительные части характеристических пока-
АА полуплоекоеть.
По трубопроводу (рис. 1), который будем рассматри-
I
вать как защемленный на одном конце стержень с изгибной ^ жесткостью Е/, погонной массой то и дайн ой I, со скоростью и движется невязкая жидкость. Массу жидкости, приходящуюся на единицу длины трубопровода, обозначим Г>нс- 1- Расчетная схема
через т, а отклонения сечений трубопровода от прямолинейной формы — через Удобными
параметрами, приводящими задачу об устойчивости трубопровода к безразмерному виду, являются следующие:
х 1 / Ё1 т гтР
€ = Т> т = ш0г, = 72 \/-;-> Р =-;-> а = и\ ~Е:Т- 1
I г V т0 + т т0 + т V Е/
Здесь £ — безразмерная продольная координата; т — безразмерное время; ш0 — характерная частота; в — погонная масса протекающей жидкости, отнесенная к суммарной погонной массе трубопровода и жидкости; а — параметр, характеризующий скорость протекания жидкости. Тогда при общепринятых предположениях уравнение малых колебаний около невозмущенной прямолинейной формы равновесия относительно возмущений и> (£, т) можно записать в виде
<94«> /— д2ш 9 &2ш &2ш . .
^ + ^ = (2)
Метод разложения решения w (£, т) = qT (т) {(£) в ряд по формам собственных колебаний Г(£) сводит распределенную систему к системе с сосредоточенными параметрами, а уравнение в частных производных (2) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат qk (т), к = 1, 2,... , п (компонент век тора q (т)):
Ас| + 2ал/вВ4 + [С + а2Б] ч = 0, (3)
где матрицы А, В, С и О размерноети п х п вычисляются через интегралы от произведений собственных форм и их производных. Формулы для этих матриц приведены ниже. Представляя вектор обобщенных координат в уравнении (3) в виде q (т) = qо ехр(Ат), для характеристических показа-А
АА2 + 2ау/рв\ + С + а2В = 0. (4)
20
15
10
Для построения границы области устойчивости на плоскости применим критерий Рауса Гурвица. На основании полинома (4) формируется матрица Гурвица Н(а, в). В отличие от классической трактовки этого критерия для неконсервативных задач теории упругой устойчивости наблюдается некоторая его избыточность. В частности, равенство нулю главного минора матрицы Гурвица порядка 2п — 1, т.е. Д2П-1(а, в) = 0, вполне определяет границу области флаттера па плоскости параметров нагружения а, в• В неконсервативных системах, где возможен квазистатический тип потери устойчивости дивергенция, соответствующая граница области дивергенции может быть определена
из условия равенства нулю определителя матрицы Гурвица или, что то же самое, равенства нулю свободного члена характеристического полинома. Граница области устойчи-
а, в
(сплошная линия) при удержании восьми членов ряда в разложении решения возмущенного движения в ряд по формам собственных колебаний. Многочисленные расчеты при большем числе членов ряда и сравнение с опубликованными в научной литературе данными показали, что восемь членов ряда достаточно точно представляют границу области устойчивости. Характерной особенностью этой кривой является ее немонотонность, которую можно отнести к много численным особенностям неконсервативных задач теории устойчивости. Пунктирная линия соответ-025 05 075 Р ствует частоте флаттера, возникающих) при достижении Рис. 2. Граница области устойчивости параметров потока критических значений. Для удобства и частота флаттера представления частота флаттера шf отнесена к первой соб-
ственной частоте трубопровода с неподвижной жидкостью шь Имеет место согласование зависимости частоты флаттера Шf /ш1 от параметра в и границы области устойчивости а (в)• Другие особенности поведения рассматриваемой системы при пересечении границы флаттера подробно обсуждены в работе [12].
Параметрические колебания трубопровода. Рассмотрим теперь случай неравномерной скорости потока жидкости и (Ь). При этом жидкость трактуется как подвижная нагрузка, интенсивность сил инерции которой равна
А2и
~тЖ
Здесь й2/— полная производная по времени. Поскольку и = и (х (Ь) , Ь), а скорость течения жидкости и (Ь) = г!х/г1Ь, то выражение для первой полной производной от ад (х,Ь) примет вид
«у / (Я ^ А
Фла ттер Х-- \
n
Устойчие
с?ад (х (¿), <9ад <9ад дх АЬ дЬ дх дЬ
ди ди]
Для второй производной от и (х, Ь) по времени Ь получим
А2и д2и _ д2и 2 д2и . Аи ди
АЬ2 дЬ2
+ 2и
дхдЬ
+ и2
дх2 ^ (И дх
(5)
В правой части этого выражения первый член нормальная сила инерции Д'Аламбера. Второй член в выражении (5) соответствует кориолисову ускорению из-за поворота потока частиц жидкости при колебаниях трубопровода. Третий член характеризует центробежные силы, определяемые кривизной потока. Четвертый член учитывает непостоянство во времени скорости течения жидкости
и (Ь)
записать в виде
гд4 и
д2и
дх4
дЬ2
д2и> дхдЬ
+ ти
д2и
ди ди
дх2 ^ т дЬ дх
0.
(6)
а
времени, уравнение (6) в этом случае перепишется следующим образом:
<94ад <92ад /— <92ад
+ — + 2осу/Р ■
д(4
дт 2
д(дт
о <92ад /— йа <9ад
0.
(7)
Пусть отклонение скорости от некоторого своего среднего значения описывается гармоническим законом
da
а(т) = ао (1 + /л cos От), — = —ao/iO sin От,
ат
(8)
где в — круговая частота изменения скорости, связанная с периодом Т соотношением Т = 2п/в; ^ —
амплитуда флуктуаций скорости в долях от среднего значения ао.
Подстановка выражений (8) в уравнение (7) дает уравнение параметрических колебаний трубопровода:
cftw d2w , л . г- d2w 2, л .
+ -тг^г + 2ско (1 + /л cos От) V Р ttzt,—ск0(1 + //cos От)
de4
дт 2
дедт
2 92w л г- dw
- ao/J.0 sin Оту р — = 0.
(9)
Таким образом, для исследования устойчивости участка трубопровода в случае переменной во времени скорости протекающей жидкости приходим к уравнению с периодическими коэффициентами. Это уравнение является уравнением в частных производных с переменными коэффициентами. Заменим его системой обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Для этого применим метод разложения решения уравнения (9) в виде ряда по формам собственных колебаний консольного стержня Д (£):
w (е,т ) = V qk (т )д (e).
k=1
(10)
Здесь д^ (т) — обобщенные координаты; п — число членов ряда, которое определяет точность представления решения ). В дальнейших вычислениях принято п = 8. Подстановка ряда (10) в уравнение (9) и применение процедуры метода Бубнова-Галеркина для вектора обобщенных координат q (т) дают обыкновенное дифференциальное уравнение, матричный вид которого записывается следующим образом:
Aq + 2а (г) V/5Bq + le + а2 (г) D + а (г) У/5В
q = 0,
(11)
где матрицы А, В, С и О размерности п х п, как и в случае построения границы флаттера при постоянной скорости протекания жидкости, вычисляются по формулам
i i
a = у f (e) fT (e) de, в = J f (e)
dm
¿e
T
de,
i
с = J f (e)
d4H0 de4
de,
d = f (e)
d2f (e)
de2
de .
Построение областей параметрического резонанса. Невозмущенной прямолинейной форме равновесия трубопровода соответствует тривиальное решение уравнения (11), а именно q = 0. Если изменяются некоторые параметры системы, то при каких-то их сочетаниях решение q = 0 может оказаться неустойчивым в смысле теории устойчивости Ляпунова. В этом случае говорят, что наблюдается параметрическое возбуждение колебаний механической системы, называемое параметрическим резонансом. Области в пространстве параметров, в точках которых имеет место динамическая неустойчивость механической системы, называются областями параметрического резонанса. Уравнение (11) представим в нормальной форме Коши. Для этого введем матрицу-столбец
фазовых переменных х = Т ■ Тогда уравнение (11) перепишется в виде где матрица О (т) имеет размерность N х Ж, N = 2п, и определяется по формуле
G (т )
—A
-i
0 E
[С + а2 (г) D + à (г) V^B] -2A"1a(r)V^B
Здесь 0 — нулевая матрица, Е — единичная матрица, обе имеют размерность n х п. При периодическом параметрическом возбуждении матрица G (т) периодическая, т.е. G (т + T) = G (т).
Как известно [13], система линейных дифференциальных уравнений (12) с периодической матрицей коэффициентов G (т) имеет совокупи ость N = 2п линейно независимых решений, образующих фундаментальную матрицу X (т). Если последняя удовлетворяет условию X (0) = Е, т.е. равна единичной матрице размерности N х N, то X (т) — фундаментальная матрица Коши. Значение матрицы Коши в конце первого периода, т.е. X (T) = R, дает матрицу перехода, или матрицу монодромии. Собственные значения матрицы перехода, т.е. корни уравнения det (R — рЕ) = 0, называются мультипликаторами. Свойства решений уравнения (12), в частности устойчивость или неустойчивость его нулевого решения, полностью определяются свойствами мультипликаторов [13]. Для всякого мультипликатора найдется хотя бы одно решение Xjk (т) — элемент матрицы X (т), обладающее свойством xjk (т + T) = р ■ xjk (т).
Тривиальное решение q = 0 уравнения (12) устойчиво по Ляпунову, если все мультипликаторы pi, р2, ... , р2п лежат внутри или на границе единичного круга |р| ^ 1. В случае мультипликаторов, лежащих на граничной окружности, для устойчивости решения необходимы также условия, чтобы они либо являлись простыми корнями матрицы монодромии, либо имели простые элементарные делители. Асимптотическая устойчивость решения q = 0 уравнения (12) имеет место при условии, что все мультипликаторы лежат внутри единичного круга |р| < 1. Неустойчивое решение q = 0 будет, когда среди мультипликаторов найдется хотя бы один, по модулю превосходящий единицу (|р| > 1),
| р| = 1
образом, граница области устойчивости и неустойчивости тривиального решения уравнения (12) на плоскости параметров определяется условиями: хотя бы один из мультипликаторов по модулю больше единицы; найдутся кратные мультипликаторы, расположенные на единичной окружности, но с непростыми элементарными делителями.
Влияния амплитуды и частоты параметрического воздействия на границу области устойчивости. Результаты вычислений по определению границ областей параметрических резо-нансов представлены на рис. 3 и 4.
а б
Рис. 3. Границы области параметрического резонанса: о — р = 0.1, в = 10 и б р = 0.1 в = 25
Граница флаттера на рисунках при постоянной скорости протекания жидкости отмечена пунктирной линией. Сплошная линия сложной конфигурации определяет границу параметрических ре-зонансов при различных значениях параметров потока амплитудах изменяющейся части скорости потока а и круговых частотах флуктуаций в. Соответствующие значения отмечены на рисунках. Анализ приведенных рисунков позволяет сделать следующие выводы. Потеря устойчивости системы в рассматриваемом случае определяется уже не классическим флаттером в рамках неконсервативной теории устойчивости, а наступлением параметрического резонанса. Малые частоты и амплитуды параметрического воздействия (рис. 3, а и б) несущественно изменяют границу для постоянных параметров потока, добавляя некоторые дестабилизирующие области и усложняя рисунок храни-
цы. Увеличение амплитуды и частоты параметрического воздействия (рис. 4, а и б) сохраняет ту же тенденцию, что и в предыдущих результатах, только с укрупнением "полуостровов" параметрических) резонанса, при этом характерно наличие так называемой параметрической стабилизации в достаточно широком диапазоне изменения относительной массы. Аналогичное явление встречалось в панельном флаттере, когда параметрическая продольная сила стабилизировала систему при аэродинамическом воздействии сверхзвукового потока газа [14].
а б
Главный вывод, который можно сделать на основании проведенных численных исследований но крайней мере в рассмотренном диапазоне изменений параметров, заключается в том, что изменчивость скорости протекания жидкости, как правило, оказывает некоторое стабилизирующее влияние, расширяя область устойчивости трубопровода. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании и расчете на устойчивость трубопроводов и шлангов с протекающей по ним жидкостью в различных областях техники.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Paidoussis М.Р. Dynamics of tubular cantilevers conveying fluid /'/' J. Mech. Eng. Sci. 1970. 612. N 2. 85 103.
2. Elishakoff I., Vittori P. A paradox of non-monotonicity in stability of pipes conveying fluid /'/' Theor. and Appl. Mech. 2005. 32. 235 282.
3. Marzani A., Mazzotti M., Viola E., Vittori P., Elishakoff I. FEM formulation for dynamic instability of fluid-convoying pipe on nonuniform elastic foundation /'/' Mechanics Based Design of Structures and Machines: Int. J. 2012. 40. N 1. 83 95.
4. Bahaadini R., Hosseini M. Flow-induced and mechanical stability of cantilevorcarbon nanotnbes subjected to an axial compressive load /'/' Appl. Math. Model. 2018. 59. 597 613.
5. Wang L., Dai H.L., Ni Q. Nonconservativo pipes conveying fluid: evolution of mode shapes with increasing flow velocity // J. Vibration and Control. 2015. 21, N 6.'3359 3367 (DOI: 10.1177/1077546314522490).
6. Bahaadini R., Mohammad R. D., Mohammad H., Zahra K. Stability analysis of composite thin-walled pipes conveying fluid // Ocean Eng. 2018. 160. 311 323.
7. Tornabene F., Marzani A., Viola E., Elishakoff I. Critical flow speeds of pipes conveying fluid using the generalized differential quadrature method /'/' Adv. Theor. Appl. Mech. 2010. 3. 121 138.
8. Болотин В.В. Неконсорвативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз. 1961.
9. Васина В.Н. Параметрические колебания участка трубопровода с протекающей жидкостью // Вести. МЭИ. 2007. № 1. 5 12.
10. Болотин В.В., Чирков В.П., Радии В.П., Васина В.Н. Параметрические колебания в неконсорвативных системах // Проблемы прикладной механики, динамики и прочности машин: Сб. статей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2005. 22 31.
11. Радии В.П., Чирков В.П., Щугорев А.В., Щугорев В.Н. Устойчивость и параметрические резонансы в системе Реута /'/' Машиностроение: Справочник. 2018. № 11. 20 27.
12. Радии В.П., Чирков В.П., Щугорев А.В., Щугорев В.Н., Новикова О.В. Динамическая устойчивость трубопровода с протекающей по нему жидкостью // Изв. вузов. Машиностроение. 2020. № 11. 3 12 (DOI: 10.18698/0536-1044-2020-11-3-12). '
13. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1999.
14. Петровский A.B. Нелинейная динамика и устойчивость неконсервативных систем. М.: Изд-во МЭИ, 2003.
Поступила в редакцию 22.03.2021
УДК 532+532.529.5
СВЯЗЬ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ С КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Я. Д. Янков1
В статье изучается, как должна выглядеть теория фильтрации с точки зрения современной теории дисперсных систем, представляющей собой нетривиальное обобщение классической теории броуновского движения.
Ключевые слова: дисперсная система, фильтрация.
The article examines how the filtration theory should look from the point of view of the modern theory of dispersed systems, which is a non-trivial generalization of the classical theory of Brownian motion.
Key words: disperse system, filtration.
1. Научная проблема. Автором fl, 2] была предложена система макроскопических уравнений, адекватно отражающих свойства дисперсных систем, при любых значениях размера дисперсных частиц и их объемного содержания. Возникает очевидный вопрос: как на ее основе вывести все макроскопические уравнения классической теории фильтрации? Анализ уравнений показал, что можно не только решить поставленную проблему, но и сформулировать новую математическую модель фильтрации в дисперсных системах.
Обратим особое внимание на то, что все понятия, формулы и уравнения в статье относятся только к теории фильтрации в дисперсных системах.
2. Уравнения движения дисперсных систем. Для дальнейшего анализа напомним предложенную в [1, 2] систему макроскопических уравнений переноса, моделирующих свойства поступательных степеней свободы дисперсных систем, записав их в изотермическом случае (Tg = const) следующим образом:
dt +Vr 3
(бд ug) 1
0,
dug ^ r. . 3 ^ 1 i m„ / бд\ nv t-, 1
e'~dt= [(1 + ap)P°] + 5 apVrP° ~ 2VrP0S VrPai +
+ Vr
ßg
Vrug + Vrufl* — - (V-
Ug )I
б^
+ бд g,
(1)
dn
+ Vr • (npug) = Vr • (DosVrPos - DpHpVrPg), (2)
где d/dt = d/dt + ug ■ Vr, а бд) n^ u^ p^ Tg — соответственно плотность, числовая плотность, массовая скорость, давление и температура несущей фазы, ßg — ее вязкоеть; np и ap = vpnp — числовая плотность и объемное содержание дисперсной фазы; б0 — плотность вещества дисперсных частиц;
1 Янков Янко Добрев — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yankov.yankoQyandex.ru.
Yankov Yanko Dobrev — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Aeromechanics and Gas Dynamics.
