Влияние τ-напряжений на скорость распространения усталостных трещин Текст научной статьи по специальности «Физика»

Влияние Т-напряжений на скорость распространения усталостных трещин

Эта статья посвящается профессору, академику РАН Виктору Евгеньевичу Панину по случаю его 70-летия

3. Кнесл, К. Беднар, Дж. Радон1

Институт физики материалов Академии наук Чешской республики, Брно, 61662, Чешская Республика Императорский колледж, Лондонский университет, Лондон, SW7 2ВХ, Великобритания

Рассмотрена возможность применения двухпараметрической механики разрушения для описания скорости распространения усталостных трещин. Цель статьи состоит в том, чтобы объяснить экспериментально наблюдаемое влияние геометрии образца на скорость распространения усталостной трещины. С помощью Т-напряжений получена количественная оценка различных уровней стеснения материала в окрестности вершины усталостной трещины. Показано, что управляющей переменной для скорости распространения усталостной трещины является амплитуда эффективного коэффициента интенсивности напряжений Ке^ как функция приложенной нагрузки, геометрии, граничных условий и величины соответствующего параметра стеснения материала Т. С учетом различных уровней стеснения образца модифицирован закон Париса.

1. Введение

Общепринятая однопараметрическая механика разрушения основывается на допущении о том, что поля напряжений и деформаций, связанные с вершиной трещины и, следовательно, с началом разрушения, характеризуются одним параметром. В линейной (упругой) механике разрушения в качестве управляющего параметра обычно используется коэффициент интенсивности напряжений К1. Однако было показано [1-3], что при постоянном К1 размер пластической зоны перед вершиной трещины и общее поведение трещины зависят от степени стеснения во фронте вершины трещины. В однопараметрическом подходе не учитывается разница в величине стеснения лабораторных образцов и элементов конструкций. Это делает весьма спорным перенос критических величин параметров механики разрушения для лабораторных образцов на реальные конструкции.

Двухпараметрическая механика разрушения представляет инструмент для учета этих отличий в степени стеснения материала. В этом подходе влияние стеснения на характер разрушения в рамках линейной (упругой) механики разрушения описывается с использованием,

главным образом, Т-напряжений (или, что эквивалентно, параметра двухосности напряжений В).

Упругое Т-напряжение означает постоянную компоненту напряжений, действующих параллельно берегам трещины. Это связано со вторым членом (или первым несингулярным членом) в представлении Уилльямса полей напряжений в виде ряда [4]. Тогда поле напряжений в вершине трещины можно выразить следующим образом:

ау =-*= /у (Ф) + Т8А,, (1)

л/ 2пг

где К1 — соответствующий коэффициент интенсивности напряжений; /у — функция полярного угла ф. Параметр двухосности напряжений В связан с Т-напря-жением соотношением:

В = Ту[ка/к1, (2)

где К1 — коэффициент интенсивности напряжений, соответствующий трещине длиной а [5].

Двухпараметрический подход основывается на допущении о том, что характер разрушения образца для испытаний и эксплуатируемой конструкции одинаков,

© Кнесл 3., Беднар К., Радон Дж., 2000

если и образец и конструкция имеют одинаковую величину коэффициента интенсивности напряжений и один и тот же диапазон параметров стеснения.

В этой статье предпринята попытка использовать подход двухпараметрической механики разрушения для описания распространения усталостной трещины. Основная задача заключалась в том, что необходимо оценить влияние геометрии образца на характеристики усталости материала и, следовательно, получить наиболее достоверную оценку остаточной усталостной долговечности конструкции.

2. Влияние стеснения на скорость распространения усталостной трещины

Ниже обсуждается влияние стеснения материала в окрестности вершины трещины на скорость распространения усталостной трещины при многоцикловой усталости.

В условиях маломасштабной текучести характер роста усталостной трещины обычно описывается соотношением, связывающим скорость роста трещины при циклическом нагружении da/dN и размах коэффициента интенсивности напряжений ДК = Кшах - Ктп (в предположении о нормальном типе нагружения, т. е. К1 = К):

=р (ДК), (3)

dN

где Кшах и Кш]п — предельные величины коэффициента К в цикле. Математическую форму функции Е (ДК) необходимо определять экспериментально. Для заданного материала и определенного набора граничных условий (таких как величина отношения напряжений нагрузки R = Ктп/Кшах) скорости роста трещины должны зависеть только от ДК, т. е. зависимость da|dN от ДК не должна зависеть от геометрии. Заметим, что бульшая часть известных из литературы экспериментальных данных коррелирует с формулой Париса в ее простейшем виде (предположим, что ДК >> ДК4):

— = СДКт, (4)

dN

где С, т и ДК4 (пороговая величина ДК) — константы материала, см., например, [6].

При циклическом нагружении монотонная или циклическая пластическая зона формируется впереди растущей трещины. Свойства пластической зоны играют решающую роль в распространении усталостной трещины. Предполагая условие маломасштабной текучести, получаем однозначную взаимосвязь между размером пластической зоны в вершине трещины и величиной соответствующего коэффициента интенсивности напряжений, контролирующего скорость роста уста-

лостной трещины. Следуя этому, один из параметров, скажем _Кр, характеризующий размер пластической зоны, может использоваться в качестве управляющей переменной и уравнение (3) можно переписать в форме (например [7]):

£=Е ‘((5)

С учетом допущения о маломасштабной текучести (т. е. в рамках линейной упругой механики разрушения) уравнения (3) и (5) эквивалентны.

Допущение о единственности взаимосвязи между da|dN и ДК, не зависящей от геометрии, и тот факт, что размер пластической зоны зависит от геометрии образца, противоречат друг другу. Если размер пластической зоны зависит от величины стеснения материала, записываемого через Т-напряжение, то скорость роста усталостной трещины da|dN также должна зависеть от величины стеснения. Следовательно, геометрия образца также может оказывать влияние на вид зависимости da|dN от ДК, т. е. уравнение (3) должно быть модифицировано и уравнение (5) приводится к виду:

da|dN = Е* (ДК, Т). (6)

Влияние геометрии образца на зависимость da|dN от ДК было экспериментально обнаружено и описано в [7, 8]. Было обнаружено, что при одинаковом допустимом уровне интенсивности напряжений скорость роста усталостной трещины выше в образцах с отрицательной величиной Т-напряжения по сравнению с образцами с положительным Т-напряжением (рис. 1). Заметим, что существует сильная зависимость пороговой величины К4 от геометрии образца.

Для простоты будем считать, что имеем дело с пульсирующим (знакопостоянным) циклом (Л = 0), т. е. Ктп = 0, и запишем: ДК = К.

Чтобы объяснить экспериментально наблюдаемые факты, начнем с предположения о том, что управляющей переменной скорости роста усталостной трещины является площадь 5^ = ^р(К, Т) пластической зоны впереди вершины трещины. Задача заключается в том, чтобы сопоставить величину скорости распространения усталостной трещины с двумя различными типами геометрии (образца и конструкции) и с различным уровнем стеснения материала, выраженным через величину Т-напряжения.

Выберем в качестве исходного состояние с величиной стеснения, соответствующей нулевому Т-напряже-нию, и обозначим соответствующую площадь пластической зоны как = 5р(К, Т = 0). Это можно легко

сделать, подставляя сингулярные члены поля упругих напряжений в критерий текучести Мизеса. Это дает:

5р0(К, Т = 0) = ¥>) Кг, (7)

ао

с;

10

~а

го

1СГ

10'"

10’'

_ размер зерна 50 мкм

_ □ осп

А 4РТВ Л

О сст ЁК

: у/

- ° <г о /Я

- / /І / ш

- / да

- * Я

- А О

_ £ «

1 1 1 1 д О J 1 1 1 1 1 1 1 1

10'

ЛК, МПа-м1/2

1СГ

Рис. 1. Влияние геометрии образца на скорость усталостного роста трещины: DC(T), 4РТВ, ССТ, СТ — стандартные образцы для испытаний на растяжение и изгиб, согласно спецификации Американского общества испытания материалов (ASTM). Рисунок заимствован из работы [8]. ССТ-образцы характеризуются отрицательной величиной Т-напряжения, СТ-образцы — положительной величиной

где Т (V) — известная функция коэффициента Пуассона V; а0 — предел текучести рассматриваемого материала.

Площадь пластической зоны £р = £р(К, Т Ф 0) вокруг вершины трещины в конструкции с ненулевой величиной стеснения материала может быть рассчитана численно, используя конечно-элементный метод. Аналогично уравнению (7) можно представить площадь пластической зоны как

5р(К, Т Ф 0) = Т(V, Т)

К 4

ао

(8)

где Т) — определяемая численно функция.

Далее определим эффективную величину коэффициента интенсивности напряжений Ке&, используя равенство, которое связывает фактическую площадь пластической зоны £р(К, Т), определяемую численно, и предполагаемую в рамках линейной упругой механики разрушения площадь £р (Ке^, Т = 0). Для эффективной величины коэффициента интенсивности напряжений Ке^ должно выполняться равенство

Keff = ао1

(9)

Отношение эффективного коэффициента напряжений К^, соответствующего ненулевому уровню стеснения, и коэффициента интенсивности напряжений

£"(Т=0), соответствующего исходному состоянию материала, можно записать как

Ке№(Т* 0) = 5р(Т Ф 0)

К (Т = 0) |5р(Т = 0)‘

(10)

В то же время, соотношение между значениями К ей> для двух различных уровней стеснения материала Т1 и Т2 может быть выражено в виде:

Ке^ТО 15р(Ті)

Ке£г(Т2) ^5р(Т2)

(11)

Тогда можно использовать уравнение Париса в следующем виде:

йа

dN

= С (ДК е,г) т.

(12)

Уравнение (12) выражает скорость усталостного роста трещины, полученную при различных уровнях стеснения материала, т. е. для различных случаев геометрии образцов. Зависимость da|dN от АКей- позволяет количественно оценить влияние геометрии образца. Этот факт дает возможность использовать один тип геометрии образца для получения необходимых данных о материале, которые, в свою очередь, будут использованы для достоверной оценки ресурса усталостной долговечности реальных конструкций.

Заметим, что для большинства материалов 5р(Т < 0) > 5р(Т = 0) > 5р(Т > 0), а значит

(к, Т < 0) > (K, Т = 0) > (K, Т > 0).

dN dN dN

Следовательно, при одинаковом уровне коэффициента интенсивности напряжений K для большого числа циклов скорость распространения усталостной трещины уменьшается с увеличением Т-напряжения. Это качественно согласуется с обнаруженными экспериментально явлениями [8].

3. Результаты расчетов

Расчеты были выполнены с использованием универсальной конечно-элементной системы расчетов ANSYS [9]. Свойства материала описывались соотношением между напряжениями и деформациями в цикле:

а = Иг р, (13)

где И = И (а 0) — константа материала, n = const. Расчеты проводились для различных материалов. Влияние Т-напряжений на размер пластической зоны оценивалось с использованием модифицированной методики анализа граничных слоев (см., например, [6]). В этом подходе моделируются условия вблизи вершины трещины для произвольной геометрии, при условии ограниченной пластичности в объеме тела.

Результаты расчетов при внешней нагрузке K = =20МПа-м12 приведены на рис. 2 для различных материалов, характеристики которых даны в таблице.

Эти результаты были использованы при оценке эффективной величины коэффициента интенсивности напряжений Keff и с учетом (12) для определения скорости роста усталостной трещины.

ІІ— ..... .....—.................................................................. . 0.0-1— . . I ■■■■ ..|[

■0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Т/а0

Рис. 2. Зависимость площади пластической зоны £р в вершине трещины от Т-напряжения

Таблица

Характеристики материалов

№ материал температура, °С циклическое напряжение текучести, МПа упроч- нение H, МПа

1 сталь Р91 б00 238.71 0.118 497

2 медь* -20 15б.б4 0.205 5б0

3 медь* -100 209.78 0.205 750

4 2.25 % Cr-сталь 20 202.27 0.213 7б0

* поликристаллическая электролитическая медь технической чистоты 99.98 %

Исходя из (10) можно сказать, что

Ке*(Т) = К (Т = 0) -А (Т/а о), (14)

где безразмерную зависимость А = А(Т/а0) можно аппроксимировать следующим образом:

А(Т/а 0) = -0.8517(Т/а0)3 +

+ 0.5239(Т/а0)2 -0.3047(Т/а0) +1.

Далее влияние стеснения (выраженное через величину Т-напряжения) на скорость роста усталостной трещины можно количественно оценить, используя уравнение (12). Это видно из рис. 3, где приведенная скорость роста трещины 8 (т.е. скорость роста трещины при ТФ0, отнесенная к скорости роста при Т=0 и умноженная на 100) представлена как функция Т-напряжения.

Заметим, что характерная величина стеснения в образцах ограничивается неравенством:

Та0 >-0.3.

Таким же образом можно оценить влияние Т-напря-жения на другие переменные, управляющие различны-

... I" " ■ I ............— ...50 -т....... ....4..... .......

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Т/а0

Рис. 3. Влияние стеснения на приведенную скорость роста усталостной трещины 8 (К = 20 МПа-м1/2, т = 4)

ми аспектами распространения усталостной трещины (например величиной смещения при раскрытии трещины, пороговой величиной К и др.) [10].

4. Заключение

Было исследовано влияние стеснения на скорость роста усталостной трещины. Степень стеснения, зависящая от различий в геометрии рассматриваемых конструкций, была оценена количественно, используя величину Т-напряжения. Основываясь на допущении о том, что в условиях маломасштабной текучести управляющей переменной для скорости роста усталостной трещины является площадь пластической зоны у ее вершины, была введена и оценена эффективная величина коэффициента интенсивности напряжений Кег = = Кег (Т). Уровень стеснения может значительно влиять на скорость усталостного роста трещины. Было показано, что в зависимости от свойств материала, геометрии образца и величины прикладываемой нагрузки, различие в величине da|dN для различных уровней стеснения может достигать 100 % для предельных величин Т (см. рис. 3 и уравнение (15)).

Представленные результаты позволяют связать определяемую экспериментально величину скорости распространения усталостной трещины с типом геометрии образца и, тем самым, получить более достоверную оценку остаточной усталостной долговечности эксплуатируемых конструкций.

Представленные выше результаты теоретического анализа качественно согласуются с экспериментальны-

ми данными, известными из литературы. Для получения количественной оценки необходимо провести дополнительные экспериментальные исследования.

Благодарности

Эта работа выполнена благодаря финансовой поддержке Агентства по выделению грантов (Grant Agency) Чешской Республики (грант № 106/99/1173).

Литература

1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

2. Constraint effects in fracture: Theory and applications // ASTM STP 1244 / Eds. by M. Kirk, Ad. Bakker. - Philadelphia, 1995.

3. Fatigue and fracture mechanics // ASTM STP 1321 / Eds. by J.H. Underwood, B.D. Macdonald, M.R. Mitchell. - Philadelphia, 1997.

4. Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack // J. Appl. Mech. - 1957. - V. 24. - P. 109-114.

5. Leevers P.S., Radon J.C. Inherent stress biaxiality in various fracture specimens geometries // Int. J. Fract. - 1982. - V. 19. - P. 311-325.

6. Anderson T.L. Fracture mechanics // Florida: CRC Press, Boca Raton,

1995.

7. Qian J., Fatemi A. Mixed mode fatigue crack growth: a literature survey // Eng. Fract. Mech. - 1996. - V. 55. - P. 969-990.

8. Vecchio R.S., Crompton J.S., HertzbergR. W. The influence of specimen geometry on near threshold fatigue crack growth // Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct. - 1987. - V. 10. - P. 333-342.

9. ANSYS, User’s manual 5.3&5.4, Swanson Analysis System, Houston,

l997.

10. Bednar K. Two parameter fracture mechanics: calculation of the relevant parameters and the investigation of their influence on the fatigue crack propagation (в печати).