Влияние на гидромеханические характеристики сложнонагруженных подшипников скольжения некруглостей цапфы и вкладыша Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Расчет и конструирование

УДК 532.5: 532.135; 621.822

ВЛИЯНИЕ НА ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛОЖНОНАГРУЖЕННЫХ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ НЕКРУГЛОСТЕЙ ЦАПФЫ И ВКЛАДЫША

В.Н. Прокопьев, А.К. Бояршинова

INFLUENCE OF THE PIVOT AND BEARING BRASS NONROUNDNESS ON HYDRA-MECHANICAL CHARACTERISTICS OF THE COMPLEX-LOADED PLAIN BEARINGS

V.N. Prokopiev, A.K. Boyarshinova

Формулируется задача расчёта гидромеханических характеристик (ГМХ) сложнонагруженных подшипников скольжения, у которых форма поперечного сечения поверхностей, ограничивающих смазочный слой, отличается от идеальной (круглоцилиндрической) формы. Анализируются результаты расчёта ГМХ шатунного подшипника коленчатого вала дизельного двигателя при наличии овальностей шатунной шейки и вкладыша.

Ключевые слова: подшипник скольжения, гидромеханические характеристики, некруглость, овальность, гидродинамическое давление, тепловой расчет.

The object of calculation of the hydra-mechanical characteristics (HMC) of the complex-loaded plain bearings with the form of the surfaces cross section limiting a lubricant layer which differs from ideal (circular cylindrical) forms is formulated. Results of the HMC calculation of connecting-rod bearing of the diesel engine crankshaft with ovalities of the crank bearing and bushing are analyzed.

Keywords: plain bearing, hydra-mechanical characteristics, nonroundness, ovality, hydrodynamic pressure, thermal design.

Введение. Отклонения формы поперечного сечения поверхностей подшипника от круглоцилиндрической всегда имеют место и могут быть значительными. Это объясняется погрешностями обработки поверхностей, их силовыми и температурными деформациями, износом в процессе эксплуатации.

Некруглости поверхностей могут быть заданы и конструктивно. Так, для статически нагруженных подшипников профилирование, то есть придание поверхности вкладыша (втулки) подшипника формы поперечного сечения, отличающейся от круглоцилиндрической, используется для решения проблемы обеспечения устойчивости роторов.

Находит применение и профилирование вкладыша сложнонагруженных подшипников коленчатого вала двигателей внутреннего сгорания (ДВС). Известны, например, конструкции шатунных подшипников с разностенными полувкладышами, у которых с целью увеличения усталостной долговечности антифрикционного слоя толщина верхнего (более нагруженного) полувкла-дыша превышает толщину нижнего.

В статье представлена методика расчёта ГМХ сложнонагруженных подшипников, которая в отличие от известных методик, позволяет при анализе геометрии смазочного слоя учесть наличие некруглостей одновременно вкладыша и цапфы.

В качестве примера применения разработанной методики приведены результаты расчёта ГМХ шатунного подшипника коленчатого вала ДВС.

Прокопьев В.Н., Бояршинова А.К.

Рис. 1. Схема радиального п одшипника

Геометрия смазочного слоя. Смазочный слой радиального подшипника (рис. 1) ограничен

поверхностями вкладыша и цапфы S2. Радиус г0 круглоцилиндрической поверхности отсчёта «0 произволен. В частности, «0 может совпадать с наружной поверхностью вкладыша. Вкладыш и цапфа вращаются вокруг осей , / = 1,2, проходящих через центры 0{ с абсолютными угловыми скоростями .

Геометрию смазочного слоя будем описывать в системе координат с полярным углом р и полярной осью

О1Ь1, жёстко связанной с вкладышем и вращающейся вместе с ним с угловой скоростью ю1.

Оси 0х , 0z системы координат 0ху2, в которой рассматриваются процессы в смазочном слое, лежат в плоскости, на которую развёртывается поверхность отсчёта «0, ось 0у направлена по нормали к ней, - В/2 < z < В/2, где В - ширина подшипника.

В системе координат 0xyz вкладыш неподвижен, цапфа вращается с угловой скоростью ®21 = (®2 - ®1). На цапфу в плоскости 0ху при z = 0 действует переменная по времени t внешняя сила р (t).

Центр цапфы 02 движется в плоскости 0ху с относительной скоростью, проекции которой на линию центров и напрачление ей перпендикулярное равны е' = Ле/Л и её' = еЛ8/Л , где 4 ) = 01 02 - эксцентриситет, - угол положения линии центров.

Макроотклонения полярных радиусов вкладыша р1 = 01М1 и цапфы р2 = 02М2 от радиусов г0 базовых окружностей (показаны пунктиром) обозначим через Ар), А2(р + е,t)»А2(р,t). Значения Аг- не зависят от координаты z и считаются положительными (отрицательными), если увеличивают (уменьшают) радиусы г0.

Координаты у{ точек М1 с учетом малости угла е определяются с обычной степенью приближения как

У1 (Р) = М0М1 = (г0 - г10 )-А1 (Р\

У2 р t) = М0М2 = (г0 - Г20 )- А2 р t)- е С08(р - 8 ^ а толщина смазочного слоя к(р, t) = (у2 - у1) формулой

к(р, t ) = Н (р, t)- е 008 (р - 5). (1)

Здесь Н(р, t) - толщина смазочного слоя при центральном положении цапфы, когда е($) = 0 .

Очевидно, что

Н ^t ) = А0 + А1 (р)- А 2 ^1:), где А 0 = (г10 - Г20 ) .

Из (1, 2), приняв во внимание, что дА2/дt = -ю21дА2/др, находим

(2)

дЪ д

— = е81п(р -8) + —(А! - А2); др др

(3)

(4)

При Аг- = 0 толщина смазочного слоя определяется хорошо известной формулой для под-

Здесь, вследствие закрепления полярной оси OL1 на вкладыше, угол в1 от времени не зависит, а угол в20, определяющий расположение большей оси эллиптической поверхности цапфы при t=t0, связан с относительной угловой скоростью w 21 формулой

Параметр , равен отношению большей а1 и меньшей Ъ полуосей эллипса.

При односторонней овальности, например, цапфы формула (5) применяется (см. рис. 2) в области (п/2 + 02) £ Ф £ (3/2п + в2), а вне её А2 = 0 .

Из (5) находим

Комплекс прикладных программ «Макрогеометрия». Методика расчета ГМХ сложнона-груженных подшипников с неидеальной геометрией смазочного слоя реализована в комплексе прикладных программ «Макрогеометрия» [1]. Его отличительные особенности:

1. Поле гидродинамических давлений определяется интегрированием модифицированного уравнения Элрода [2].

2. Траектория центра цапфы за цикл нагружения подшипника tц рассчитывается интегрированием уравнений равновесия действующих на цапфу внешних сил и реакций смазочного слоя. Алгоритм интегрирования базируется на методе ФДН для уравнений, не разрешённых относительно скоростей движения цапфы [3].

3. Тепловое состояние подшипника оценивается значением эффективной в цикле нагружения 1ц температуры смазочного слоя Т*. Эта температура определяется из уравнения теплового

баланса, отражающего равенство средних за цикл количеств теплоты, выделившейся в смазочном слое и отведенной смазкой, вытекающей в торцы подшипника. Теплоотдача от смазочного слоя во вкладыш и цапфу не учитываются.

шипника с круглыми вкладышем и цапфой:

h(j, t) = D0 - ecos(j - 8).

Толщина смазочного слоя при центральном положении цапфы. Функция Н (рД) может быть задана таблицей отклонений Аг- (р, t), аналитически (линиями второго порядка) или аппроксимирована рядами Фурье.

При наличии элементарных видов некругло-стей цапфы и вкладыша (овальностей) их геометрию удобно описывать эллипсами (рис. 2).

На рис. 2 поверхность вкладыша представляет собой эллипс, а поверхность цапфы полуэллипс (область, где отклонения от круглости отсутствуют, заштрихована).

Рис. 2. Схема подшипника при центральном положении цапфы

Воспользовавшись известными формулами аналитической геометрии, представим отклонения Аг- поверхностей вкладыша и цапфы от радиусов базовых поверхностей г0г- = Ъ1 в виде

(6)

t0

j = -bV(V - 1)sin2(j-q)\yi -(vf - 1)cos2(j — q1)]_1’5

dj 2

4. Предусмотрена возможность расчета подшипников при их смазывании неньютоновскими маслами, отличающимися от обычных зависимостью вязкости не только от температуры и давления, но и скоростей сдвига в смазочном слое [4].

Модифицированное уравнение Элрода. Модифицированное уравнение Элрода для ньютоновских масел записывается относительно функции Ф(ф, г) в виде

_5_

5ф

12^э 5ф

_1 5

а

трт | №)

12т &

2 р [ + (1" «Ф}! [1 + (‘" «Ф] (7)

где И = й/Н); т* = т*/ то; -1 £ г £ 1; г = г/г; р = хг; а = В/ 2г; ю"21 =(о2 - ^ )/®о ; ! = ^; Л , тэ - безразмерные толщина смазочного слоя и эффективная вязкость смазки; В, г - ширина и радиус подшипника; т* - эффективная вязкость смазки, соответствующая температуре Т*; Н0, т0, ю0 - соответственно характерные толщина смазочного слоя при центральном положении цапфы, вязкость смазки и частота вращения коленчатого вала; « - функция переключения.

Функция Ф(р, г) связана со степенью заполнения определяющей массовое содержа-

ние жидкой фазы (масла) в единице объёма зазора между цапфой и вкладышем, соотношением в = 1 + (1 - «)• Ф . (8)

Степени заполнения в приписывается двоякий смысл. В активной (несущей) области смазочного слоя, где действуют гидродинамические давления, в = р/рс (рс - плотность смазки при давлении, равном давлению кавитации рс), в области кавитации р = рс, р = рс.

В области давлений: Ф > 0, « = 1, в = 1, а Ф = р = ру2/т0®0, где р-безразмерное гидродинамическое давление, р - его размерное значение, у = А0/г - относительный зазор.

В области кавитации: Ф < 0, « = 0,в = 1 + Ф .

Безразмерная толщина смазочного слоя и её производные определяются с учётом (1-4) формулами

И = А0 - ССОр - 8), Иа=(А1 -А2 ); (9)

д И . ( „) дИА дИА д (А А )

— = С81п(р-5) + -— , — = —(А А 2); (10)

др др др др

Ц = ~Х соз(р -5)-%5 8ш(р - 8) + Ю21 р, (И)

где А. = Аг/Н0, / = 0,1,2, % = еН0 - относительный эксцентриситет, % = д%/д!, 8 = д8/д!,

А = а7н 0.

Алгоритм интегрирования уравнения (7). Алгоритм интегрирования модифицированного уравнения Элрода (7) состоит из следующих этапов.

1. При известной температуре масла на входе в подшипник Т0 задаётся начальное (предполагаемое) значение приращения АТ температуры за цикл нагружения !ц и определяется температура первого приближения Т* = Т0 + АТ , остающаяся на протяжении цикла постоянной.

2. Аппроксимацией уравнения (7) на (п +1) -м временном слое конечными разностями с использованием метода контрольного объёма (рис. 3) на сетке р.у, ,т п :

р = iАр(i =1,2,... Ы, Ар = р N-1);

= у А (у = 1,2,...М), Аг = ¡г/М -1 , где 1р, 1г - протяженности подшипника в направлении

координат р, г , тп = пА[ (п = 0,1,2,...), оно сводится к системе алгебраических уравнений относительно функции Ф:

РФ = ЖФ. , . + Е Ф , . + Ф ■ , + N Ф ■ , + Ъ (12)

У У у 1-1,у у г+1,у У -1 у .,] +1 у ■

3. Система (12) решается точечным итерационным методом Зейделя при обходе узлов по строкам в направлении справа налево, снизу вверх (рис. 4).

Учитывая симметрию подшипника по координате г , рассматривается только область -1 < г < 0. По оси р ставится условие периодичности,

на сеточной линии у = М/2 +1 условие 5Ф/ = 0, на торцах подшипника

Ф( г = ±1) = о.

4. На каждой итерации сразу после расчёта в точке у значений Фнов

Риа 3. К методу контрольного объёма корректируются величины g :

gнов = 1, если Фнов > 0 ; gнов = 0, если Ф < 0 . Затем выполняются релаксационные процедуры:

Фу = аФнов +(1 -а)Ф*Л а = 0,2;

gj = Pgнов +(1 -РК\ Р = 0,01.

(13)

5. После осуществления 5 = 20 итераций на каждой последующей из них контролируется сходимость решения расчетом критерия

< е , е = 10

(14)

6. При числе итераций 5 < 200 в случае невыполнения критерия (14) итерационный цикл продолжается, в противном случае временной шаг А! уменьшается вдвое. После достижения сходимости значения g вновь корректируются: «5+1 = 1, если Ф*+ 1 > 0 ; и «5+1 = 0, если Ф5 > 0 и осуществляется переход в следующую (п +1) -ю точку временной оси ! .

В разработанном алгоритме максимальное число узлов разностной сетки равняется (N +1) = 96,

(М +1) = 25 , минимальный шаг А!т1п = 0,025 град. угла поворота кривошипа а , максимальный шаг А!тах = 2 град. На каждом временном шаге рассчитываются потери на трение и расход масла в торцы подшипника. В конце цикла решением уравнения теплового баланса находится новое значение Тэ* и расчёт траектории движения цапфы повторяется. Критерием окончания циклов расчёта траектории считается совпадение температур Тэ* в

двух соседних циклах с точностью 1 °С. Обычно при удачном выборе начального приращения АТ сходимость температур достигается не более чем за три цикла нагружения подшипника.

і = N +1 і = N

Р

1

1

2р р

Рис. 4. Развертка поверхности подшипника

1, у = М +1

п ■ М л

0,1 = — +1 2

2р

1=2 -1,1 = 1

На печать выводятся следующие ГМХ: мгновенные за цикл t4 минимальная толщина смазочного слоя hmn (t) и максимальное гидродинамическое давление pmax (t), потери на трение N(t), расход смазки QB (t) в торцы подшипника; экстремальные inf hmin , sup pmax и средние h*in,

pmax, N*, QB, Т* за цикл величины.

Тестовая задача. В качестве примера применения комплекса программ «Макрогеометрия» рассмотрим результаты решения задачи расчёта ГМХ шатунного подшипника коленчатого вала двигателя 4Т371, форсированного до максимальной мощности 250 л.с. при частоте вращения коленчатого вала 2100 об/мин.

У этого двигателя по сравнению с его модификацией из работы [5] значения некоторых параметров изменены: диаметр подшипника принят равным 2r = 95 мм, ширина B = 38 мм, масса вращающейся части шатуна тв = 3,54 кг, угол подачи смазки в смазочный слой ротв = 20 град. Характерная толщина смазочного слоя при центральном положении цапфы Н0 принята равной среднему радиальному зазору Л*0 = 0,0515, рассчитанному исходя из допустимых отклонений

размеров цапфы и вкладыша, т. е. Н0 = Л*0 = (r1*0 - r2*0)= (ь* - b*).

Результаты расчёта гидромеханических характеристик приведены в таблице, расчётный годограф нагрузок, действующих на шатунный подшипник, и траектория движения цапфы на рис. 5, зависимости infhmin(а) и pmax(а) на рис. 6. На рис. 5 через 0°, 180° и т. д. обозначены точки, соответствующие углам а поворота кривошипа.

На рис. 5, б и рис. 6 цифрами 1, 10 обозначены номера вариантов из таблицы.

Расчётные значения максимальных fmax и средних f * удельных нагрузок оказались равными 41,18 МПа и 8,64 МПа.

Анализ результатов показывает, что нагруженность шатунного подшипника форсированного двигателя 4Т371 существенно выше, чем у модификации из работы [5]. Значение infhmin и особенно sup pmax близки к предельным. В то же время, благодаря удачному выбору отношения a = BD = 0,4 снижена температура T* .

50 25 0 -25 -50

Рис. 5. Годограф нагрузок (а) и траектории движения центра цапфы (б)

Результаты расчётов ГМХ

Вариант Характеристики геометрии подшипника Г идромеханические характеристики

№ Схема ІПҐ Ншт , н*. "шт ? 8^ N *, 63, Т *,

мкм мкм МПа Вт кг/с °С

Вкладыш и цапфа круглые

2,092

4,688

261,3

636,1

0,018

108,7

Вкладыш круглый, цапфа эллиптическая

020 = 0°

Д т2 = 0,003 мм

0,651

4,203

272,7

654,1

0,017

109,5

Д т2 = 0,0064 мм

2,024

4,561

231,2

633,6

0,017

109,7

Вкладыш круглый, цапфа полуэллиптическая

Д т2 = 0,0064 мм

2,290

4,759

233,1

611,2

0,017

108,8

Д т2 = 0,003 мм

1,449

4,142

262,5

656,2

0,017

109,4

Вкладыш эллиптический, цапфа круглая

Дт1 = 0,0064 мм

2,153

5,001

239,6

644,3

0,021

105,7

01 = 90°

Д т1 = 0,0064 мм

1,927

4,493

292,6

634,5

0,018

108,1

Вкладыш полуэллиптический, цапфа круглая

0! = 0°

Д ті = 0,0064 мм

2,154

4,840

257,6

646,9

0,019

107,8

01 = 180°

Д т1 = 0,0064 мм

2,162

4,911

241,9

651,0

0,019

107,5

Вкладыш и цапфа эллиптические

10

01 = 0°

Д т1 = 0,0064 мм

020 = 90°

Дт2 = 0,0064 мм

2,191

5,141

208,7

659,8

0,019

107,7

1

2

020 = 90°

3

020 = 90°

4

020 = 90°

5

01 = 0°

6

7

8

9

Наличие овальности цапфы отрицательно влияет на ГМХ в большей мере, чем овальности вкладыша. Помимо величин максимальных отклонений Ат1 от А*0 имеет значение и начальный угол в20 расположения большей оси эллипса, что видно, например, из сравнения вариантов 2 и 3, 4 и 5.

Рис. 6. Зависимость минимальной толщины смазочного слоя (а) и максимального гидродинамического давления (б) от угла а

При некоторых отклонениях А т и углах 02О наибольшее значение гидродинамических давлений может уменьшиться.

Представленная работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-96-088) и аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» (код проекта РНП 2.1.2.2285).

Литература

1. Комплекс программ для расчета динамики и гидромеханических характеристик сложнонагруженных подшипников с произвольной геометрией смазочного слоя «Макрогеометрия» / В.Н. Прокопьев, А.К. Бояршинова, Е.А. Задорожная, К.В. Гаврилов. - № 2008611068 от 28.02.08.

2. Прокопьев, В.Н. Применение алгоритмов сохранения массы при расчёте динамики сложнонагруженных опор скольжения / В.Н. Прокопьев, А.К. Бояршинова, К.В. Гаврилов //Проблемы машиностроения и надежности машин, 2004. - №4. - С. 32-38.

3. Прокопьев, В.Н. Методы решения уравнений движения в задачах динамики опор коленчатого вала двигателей внутреннего сгорания / В.Н. Прокопьев, Ю.В. Рождественский, Н.В. Широбоков // Вестник Уральского межрегионального отделения Российской академии транспорта. - Курган: Изд-во КГУ, 1999. - №2. - С. 79-82.

4. Прокопьев, В.Н. Динамика сложнонагруженного подшипника, смазываемого неньютоновской жидкостью / В.Н. Прокопьев, А.К. Бояршинова, Е.А. Задорожная // Проблемы машиностроения и надежности машин, 2005. - № 6. - С. 108-114.

5. Прокопьев, В.Н. Применение пакетов прикладных программ при обосновании конструктивных параметров подшипников коленчатых валов на ранней стадии проектирования поршневых двигателей / В.Н. Прокопьев, Ю.В. Рождественский, К.В. Гаврилов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение», 2007. Вып. 12. - №23(123). - С. 13-19.

Поступила в редакцию 15 мая 2008 г.

Прокопьев Валерий Никифорович. Доктор технических наук, профессор, академик Российской академии транспорта, заведующий кафедрой «Автомобильный транспорт» Южно-Уральского государственного университета. Область научных интересов - динамика подшипников скольжения, трение, износ и смазка машин.

Prokopiev Valery Nikiforovich. Dr.Sc. (Engineering), Professor, Member of the Russian Academy of Transport, Head of the Motor Transport Department of the South Ural State University. Professional interests: plain bearing dynamics, friction, deterioration and oiling of machines.

Бояршинова Алла Константиновна. Кандидат технических наук, доцент кафедры «Автомобильный транспорт» Южно-Уральского государственного университета. Область научных интересов - гидродинамическая теория смазки, нелинейная динамика роторов.

Boyarshinova Alla Konstantinovna. Cand.Sc. (Engineering), Associate Professor of the Motor Transport Department of the South Ural State University. Professional interests: hydrodynamic lubrication theory, nonlinear dynamics of rotors.