Влияние модуляции проходного сечения на гомогенизирующую способность роторно-пульсационных аппаратов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62-13: 662.8.051.5

Г. Н. Белоусов, А. А. Клепцов

ВЛИЯНИЕ МОДУЛЯЦИИ ПРОХОДНОГО СЕЧЕНИЯ НА ГОМОГЕНИЗИРУЮЩУЮ СПОСОБНОСТЬ РОТОРНО-ПУЛЬСАЦИОННЫХ АППАРАТОВ

Анализ профильных периодических изданий и авторефератов диссертаций за последние два десятилетия показывает, что теоретическому исследованию влияния модуляции проходного сечения роторно-пульсационного аппарата (РПА) на его гомогенизирующую способность, в частности зависимость качества суспензий и эмульсий от числа прорезей в роторе и статоре, не уделялось достаточного внимания. Ниже предлагается заполнить этот пробел на основе математического моделирования кинетики процесса гомогенизации, который был представлен ранее в [1].

Работа РПА связана с циклическим изменением радиального поперечного сечения, свободного для прохождения обрабатываемой среды, которое в настоящей работе названо пропускной модуляцией (ПМ). Данная модуляция рождает пульсации давления в обрабатываемой среде, амплитуда и частота которых будет определять диспергирующую и смесительную способность аппарата. В совокупности со скоростью вращения ротора пропускная модуляция также косвенно влияет и на напорно-расходную характеристику РПА. Поэтому анализ ПМ необходим при теоретическом исследовании процесса гомогенизации в таком широком классе аппаратов, как РПА.

В работах [2, 3] на основе геометрического анализа показано, что изменение проходного в радиальном направлении сечения £ во времени ґ в этом случае может быть описано функцией, вид и параметры которой, показаны на рис. 1. При этом периодичность Т и частота / функции зависит от числа отверстий в роторе и статоре и от скорости их относительного вращения:

/ = 1 = 12г2 з ;

Т gcd(zr,zs)

(1)

где V - частота вращения ротора, 2г и - количество отверстий в роторе и статоре соответственно, gcd(zr,zs) - наибольший общий делитель чисел 2г и

Опираясь на результаты [2], изменение площади проходного сечения (ППС) во времени представимо кусочно-непрерывной функцией (рис. 1):

Б(і) -

$тах,-Т/2 < і <-Т/2 + в/2 ¿¡-оі;-Т/ 2 + в / 2 < і <-т / 2

8тт — / 2 < і <т / 2

<Л + %;т / 2 < і < Т/2-в / 2

5тах;Т/2-в/2< і <Т/2

(2)

Рис. 1. Четное представление зависимости от времени площади проходного сечения

Величина Т определяется формулой (1). Максимальная Smax и минимальная ^тт ППС вычислялись по алгоритму [2] при соответствующих числах гг и zs, а также частоте вращения ротора. Коэффициенты о и 2, соответственно определены по формулам:

V - V ■

_ о Vmax Vmm 7 = 2-

Т-в-т

2

(3)

Использование функции £(ґ) в виде (2) для расчета интенсивностей переходов Vjk в системах уравнений (6) и (7) требует её непрерывности, поэтому представим её в виде разложения в ряд Фурье с периодом Т: ж

Ь(‘) - у + Ц

п-Р

где

ап соя

2лпі , . 2лпі

+ Ьп ягп-

Т

Т

ТІ 2

а0 -

Т/ 2

Т

-Т 2

-Т/ 2

2лпі ,

соя-------dі,n є N .

Т

Исходя из формы функции S(t), показанной на рис. 1, для ее представления были выбраны только четные гармоники, при этом коэффициенты Ь„=0. С учетом этого, конечное выражение для ППС запишется в виде:

N

2ті

(4)

где N - минимально необходимое число гармоник, для заданной точности аппроксимации. При N =40

2

разложение (4) уже достаточно точно повторяет функцию (2). К примеру, изображенная на рис. 2 зависимость соответствует значениям zг=36 и zs=36, у=2500 об/мин.

В работах [1, 4], для определения интенсивностей диспергирования за счет пульсаций потока, модуляция ППС при заданных zг и zs, для упрощения вычислений и сокращения времени счета, апроксимировалась зависимостью вида:

V -I- V V — V

) = ¿тах + ¿тп - ¿тах ¿тп СО801жУ1).

2 1 v '

(5)

Формула (5) соответствует основной гармонике (п=1) разложения (4). Различия в недочетах модуляции ППС хорошо видны на рис. 2. На качественной адекватности математической модели это обстоятельство отражается не существенно, но для правильных количественных оценок зависимость (5) не годится.

В монографии [5] функция S*(t) определяется на основе рассмотрения относительного движения только одного отверстия ротора и статора, что не достаточно обосновано, поскольку нельзя получить полную ППС прямым суммированием без учета зависимости S(t) от gcd(zг,zs). Соответственно величины в и т, определяемые согласно [5], не могут отвечать значениям, представленным в формуле (2). Также можно добавить, что объяснение закономерностей работы РПА без учета кратности чисел zг и zs, а также механизма протекающих процессов, является ошибочным и не подтверждается практикой [2]. Поэтому величины в и т были определены с учетом специфики задачи и выражения (1) следующим образом:

в = у1Т, 0 = пТ,

где уг и у2 - коэффициенты, вычисленные по алгоритму из [2].

Работу описанного выше метода проиллюстрируем на примере приготовления условно двухфракционной водно-масляной эмульсии в РПА конструкции «ротор в статоре» с прямоугольными прорезями.

Рис. 3. Кинетическая схема возможных переходов в исследуемом РПА

На рис. 3 представлена кинетическая схема возможных переходов между пятью гипотетическими состояниями:

{0} - гетерогенно распределенные в воде крупные масляные капли;

{1} - фракция крупных капель масла с относительным размером 1, то есть оставшихся не раздробленными при прохождении прорезей ротора, распределенных в воде в межцилиндровом пространстве;

{2} - аналогично распределенная в межци-линдровом пространстве фракция мелких масляных капель с относительным размером 0,5, то есть раздробленных пополам при прохождении через ротор;

{3} - крупная фракция с относительным размером 1 во внутренней области между статором и корпусом (на выходе из РПА) возникающая из-за коалесценции и/или агрегации;

{4} - мелкая фракция с относительным размером 0,5 во внутренней области между статором и корпусом.

На выходе анализируются характеристики бинарной по фракционному составу водно-масляной эмульсии за период времени, определяемый скоростью кинетики деления капель нерастворимой жидкости (частиц твердой фракции), который назван актом дробления.

Система кинетических уравнений массопере-носа при единичном акте дробления капель масла

в воде, с учетом схемы на рис. 3, запишется следующим образом:

дPA1

ді

дрА2

ді

дРА3

дґ

дРА4

ді

- 'А1 + /21рА2 - V12pA1 - /13рА1 - V14pA1;

- 'А2 + /12рА1 - /21рА2 - /23рА2 - /24рА2 ;

- /13рА1 + /23рА2 ;

- /14рА1 + /24рА2 .

(6)

Интенсивности У]к определяются как произведения соответствующих вероятностей перехода между гипотетическими состояниями и скоростей данных переходов. рА] - суммарный объем капель масла в ]-ом состоянии. Скорость поступления некоторой части масла из состояния {0} в {1} определяется следующим образом:

Яа1 - А

8*(і)

(5.)

(1 - Л )■

Скорость перехода некоторой части масла из состояния {0} в {2}:

' - А (і) П •

'А2 - А; где А - объемный расход масла; $* (і) - функция, вычисляемая по формуле (4), ($*) - среднее по

времени значение ППС. Величина определяется по формуле:

А -

2ж??1 - 2гаг

2лЯ

1

и представляет собой вероятность дробления капель масла при прохождении прорезей ротора, Я\

- внешний радиус ротора, аг - ширина прорези в роторе (рис. 3), которая вычисляется по формуле аг =пВ\12Г .

Для правильного описания кинетики диспергирования в межцилиндровом зазоре необходимо знание режима течения обрабатываемой среды, который определяется по значению числа Рейнольдса:

р*(о)Ь

Яв -

V*

где р* - эффективная плотность, - средняя

линейная скорость среды в зазоре, Ь - ширина межцилиндрового зазора, г]* - эффективная вязкость. Число Рейнольдса оценивалось по режимным и конструкционным параметрам многих известных конструкций РПА на основе доступной патентной информации. Результат оценки, Ле~1500^25000, позволяет сделать вывод о турбулентном характере движения обрабатываемой среды в зазоре. Тогда интенсивность перехода

между состояниями {1} - {2}, отражающая диспергирующую способность РПА при турбулентном течении в зазоре будет определяться следующим выражением:

2

/12 - С

(Я2 - Я)

£*(і)_^(Д1®)2 Б*(і),

1 — С * ;

А 5 А

где С - безразмерная константа диспергирования, зависящая от физико-механических свойств распределенной фазы; и - линейная скорость обрабатываемой среды в межцилиндровом зазоре; ш -циклическая частота вращения ротора, Я2 - внутренний радиус статора, 5 - ширина межцилиндро-вого зазора.

Интенсивность перехода между состояниями {2} - {1}, отвечающая процессу коалесценции в межцилиндровом зазоре:

Ко к

/21 -

где к0 - константа коалесценции определяемая свойствами распределенной фазы, Vо - некоторый характерный размер частицы дисперсной фазы, к = Ко/Го - приведенная константа коалесценции. V = яЬ^1 — Я2 ) - объем рабочего

межцилиндрового пространства, где Ь - высота прорезей.

Интенсивность перехода между состояниями

{1} - {4},

А + В ¿*(1)

-Л

между состояниями {1} - {3},

А + В Б*(і)

/13 --------------------—

13 V $

У к-} }Ц/~1Л-

(1 - Л3)

где В - объемный расход воды. Величина 03 определяется по формуле:

_ 2я?2 — г$а$

3 2я^?2 ’

и представляет собой вероятность дробления капель масла при прохождении прорезей статора, где а8 - ширина прорезей в статоре, вычисляемая

по формуле а$ = жЯ2 / .

Интенсивность коалесценции при переходе из состояния {2} в {3} определяется выражением

/23 - 77 *

К dcog

V Яз

где йсог - толщина стенки статора, Я3 - внешний радиус статора.

Интенсивность перехода из состояния {2} в

{4}.

А + В ¿*0)

у24 ='

V $

тах

Система уравнений массопереноса для воды запишется следующим образом:

дРВ\ = 0 р =

—^~ = ЛВ1 + у\3рВ\ =

$*0) а + В Я*0)

= В^----------------:-----РВ1

S

V S

max

dp—3 A + — S,(t )

- vi3p—i - --- ------ö-----p—i, (7)

dt

V Sn

где ХВ1 - скорость поступления воды в рабочее пространство аппарата, определяемая аналогично ХА1. РВ1 - объем воды ву-том состоянии.

Совместное решение систем дифференциальных уравнений (6) и (7) проводилось методом Рунге-Кутта 4-го порядка с фиксированным числом шагов и заданной точностью.

Энтропия идеальной эмульсии, то есть той, в которой все капли масла находятся в состоянии {4}, в рамках данной модели, есть:

Hid --I

A 1 log 31 A

A+B

A + — I { A + —

— 1 log 3f —

A+B

. (8) После решения (6) и (7) вероятности обнаружения капель масла в состояниях {3}, {4} (рис. 3), а также воды в некоторый момент времени ґ на выходе из РПА были определены по формулам:

Фаэ/ ді______________.

PA3(t) -

PA4(t) -

P— 3(t) -

dPA3¡ dt + dPAA/ dt + dp— 3/ dt

___________dPA4¡ dt___________

dPA3¡dt + dPA4¡dt + dp—3/dt dp—3¡ dt

dPA3¡dt + dPA4¡dt + dp—3/dt

Средняя за период Т энтропия готовой эмуль-

сии запишется в виде:

TfPA3(t)log3 PA3(t) +

Л

+ PA4 (t)log3 PA4 (t) + dt

+ P—3(t)log3 P—3(t) I . (9)

Далее вычислялась степень идеальности на основе формул (8) и (9):

|<H(Zr, Zs )) - Hi

id\

H

(10)

id

Конструкционные параметры виртуального РПА были выбраны в соответствии с параметрами испытанного в КемТИПП и описанного в [6] аппарата. В качестве варьируемых параметров РПА при моделировании было выбрано количество прорезей в роторе и статоре, на основе которого была вычислена матрица показателя (10) с элементами вида:

(п.

)48,48

hr -24,Zs -24 .

На рис. 4 представлена поверхность зависимости показателя (10). Частота вращения ротора в данном случае v=2500 об/мин, величина межцилиндрового зазора 5=0,5 мм. Значения константы диспергирования С=50 и коалесценции к=10-9 мЗ/с. Объемный расход масла A=5 10-2 м^/c, воды - £=5 102 м3/c. Высота прорезей Ь=2б мм. Ширина межцилиндрового зазора dcog=5 мм. Внешний радиус ротора R1=50 мм, внутренний радиус статора R2=Ri+5, внешний радиус статора R^55,5 мм.

Поверхность может быть построена при помощи различных программных сред доступных современному специалисту, в данной работе использован Matlab.

Рис. 4. Поверхность зависимости степени идеальности П(ір,25) от различного соотношения числа прорезей ротора и статора.

Максимальное качество эмульсии получается только при равном количестве прорезей в роторе и статоре и имеет величину 84,1%, но имеются также локальные максимумы, величиной 76^78% с точностью до целого, причем для этих пиков справедливо равенство Пу=Ц/>г-. Из них сильнее выделяются два пика П24 39=81,8% и П28,44=81,7% и в обоих случаях при zг ^8.

Следует отметить, что в величину П явным и неявным образом входят следующие параметры:

• амплитуда и частота пульсаций входных потоков от дозаторов-питателей, входных потоков, которая напрямую связана с частотой вращения рабочего органа дозатора;

• частота вращения ротора;

• геометрические параметры ротора и статора;

• напорно-расходные параметры агрегата.

Поэтому с помощью описанной математической модели можно оценить влияние гомогениза-ционного агрегата на процесс производства в непрерывной поточной линии.

Важно отметить, что смоделированные результаты, несмотря на существенное упрощение кинетической схемы (рис. 3), в качественном отношении адекватны данным реального процесса [7, 8] и хорошо согласуются с результатами, полученными ранее [1]. В связи с этим нельзя исключать возможность применения данного подхода к исследованию других типов и моделей РПА, в частности аппаратов типа «ротор в статоре».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белоусов Г. Н. Оценка качества эмульсий получаемых в роторно -пульсационных аппаратах / Клеп-цов А. А., Ядута А. З. // Вестник КузГТУ. - 2007. - № 6. - С. 134-135 .

2. Балабудкин М. А. О закономерностях гидромеханических явлений в роторно-пульсационных аппаратах. // Теоретические основы химической технологии. - 1975. - № 5. - С. 783-788.

3. Зимин А. И. Расчет формы поперечного сечения каналов ротора и статора гидромеханического диспергатора. // Теоретические основы химической технологии. - 1999. -№4.

4. Иванец Г. Е. Применение стохастического подхода для оценки качества эмульсий. / Ядута А. З., Белоусов Г. Н. // Хранение и переработка сельхозсырья. - 2008. - № 6. - С. 17-20.

5. ПромтовМ. А. Пульсационные аппараты роторного типа: теория и практика. - М.: «Машиностроение^», 2001.

6. Пат. 2190462 РФ, МКИ 7 В01Р 7/28. Роторно -пульсационный аппарат. / КемТИПП; В. Н. Иванец [и др.]. Опубл. В Б. И., 2002. - № 28.

7. Барам А. А. Диспергирование в системе жидкость-жидкость в аппарате роторно-пульсационного типа. // Теоретические основы химической технологии. - 1988. - №5.

8. Ружицкий В. П. Обоснование и выбор параметров гидромеханического диспергатора для приготовления высокодисперсных рабочих жидкостей гидросистем очистных комплексов. / Автореферат дисс. канд. техн. наук. - М.: МГГУ, 1995.

□ Авторы статьи:

Белоусов Григорий Николаевич, канд. техн. наук, доц. каф. физики Кемеровского технологического института пищевой промышленности. E-mail: physics@kemtipp.ru

Клепцов Александр Алексеевич, канд. техн. наук, зав. каф. технологии машиностроения КузГТУ Тел. : 8-3842-39-63-75