Влияние методов дефаззификации на нечеткую классификацию Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ВЛИЯНИЕ МЕТОДОВ ДЕФАЗЗИФИКАЦИИ НА НЕЧЕТКУЮ КЛАССИФИКАЦИЮ Т.М. Леденева, Д.А. Черменев

В данной статье рассматриваются различные методы дефаззификации и их влияние на нечеткую классификацию нечетких чисел

Ключевые слова: нечеткое число, дефаззификация, классификация, параметрический метод

ВВЕДЕНИЕ

Технология обработки нечеткой информации является принципиально новым средством анализа слабоструктурированной, плохо формализованной информации. В ее основе лежат модели

формализации неточных, приближенных, качественных понятий в форме нечетких чисел и методы их сравнения. Среди задач, для решения которых используется данная технология, отметим задачи принятия решений, классификация, нечеткое управление и др. Цель статьи заключается в

исследовании влияния различных методов дефаззификации на классификацию нечетких чисел, позволяющей разработать рекомендации для

использования в прикладных задачах.

1. МЕТОДЫ ДЕФАЗЗИФИКАЦИИ

Рассмотрим методы дефаззификации нечетких чисел.

1. (COG): Центр тяжести [1] (центрированный

метод) - наиболее общий и физически удобный из всех методов. Полученное значение - не что иное, как центр тяжести нечеткого множества.

Математически центр тяжести F -это:

f z ■ F(z) ■ dz

COG( F) = f (1)

F(z)■ dz

В данном случае мы интегрируем по значениям (т.е. по z), а a -веса - по a -уровням. Данный оценочный метод устойчив , т.к. рассматриваются все а -срезы и небольшие изменения исходных данных не приведут к существенным изменениям результата.

2. (МОМ): Метод значения максимумов [2] (метод моды) часто применяется из-за легкости вычислений. Оценка - среднее значение элементов, достигающих максимального значения в F , т.е. в нормализованном случае,

MOM (F) = Average(F ) (2)

МОМ - предельный случай, когда все веса равны 0 из-за а = 1 (ядро). Это случай для

Леденева Татьяна Михайловна - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: dean@amm.vsu.ru.

Черменев Дмитрий Александрович - ВГТУ, аспирант, e-mail: maiden.06@mail.ru

предельного значения класса функций проноситель.

3. (СОМ): Метод центра максимумов [3] -

упрощенный вариант метода МОМ. Вместо того, чтобы рассматривать все элементы а -среза, принимающие максимальное значение,

рассматриваем минимальное, максимальное и среднее в качестве оценки.

4. (НМ): Метод высоты [2] (метод моментов, метод нечеткого значения, метод средних весов) считается методом устранения нечеткости среди упрощенных нечетких методов [4]. Здесь основной элемент не само нечеткое множество F , а вещественное число z . Этот метод прост в вычислениях и поэтому наиболее широко

используется в приложениях. Оценка -взвешенное среднее между z и высотами ht:

n

Iz ■h

HM (z1,..., zn) = -!=n- (3)

Ih

i= 1

Главное преимущество этого метода в том, что в качестве весов берутся а -уровни.

5. Параметрический метод дефазификации [6]. Для простоты изложения обозначим через F (x)

функцию принадлежности некоторого нечеткого множества. Величина

1

Val (F) = f Average (F ) da ,

0

где F = {x / F(x) >a} - а -срез множества F, Average (F) - некоторое среднее значение

множества F .

В [6] введена более общая формула, основанная на оценочной функции f: [0,1] ^ [0,1], которая является непрерывной и монотонной, а Val(F) определяется следующим образом: i

f Average ( F ) f (a) da Val (F )) = ^----------------------------------1-. (4)

f f(a)da

0

Рассмотрим следующие случаи.

Пусть f (x) - возрастающая функция, такая

что

f: a ^ f (a) = aq, где q > 0. (5)

При q = 0 имеем f = 1, так что оценка Val (F) может быть вычислена по формуле (1). При q ^да оценка вычисляется по формуле:

Val(F) = Average(F) и является средним значением ядра нечеткого множества. При использовании данного класса функций необходимо рассматривать подмножества как можно более высокого a -уровня, и чем больше q, тем больше должна быть величина a. При

a ^ да берется значение F (ядро нечеткого множества F ).

Пусть f (x) - убывающая функция вида

f: a ^ f (a) = (l - a~)4 , где q > 0 (6)

При q = 0 f = 1, и оценка может быть вычислена по формуле (1). При q ^да оценка вычисляется по формуле Val (F) = Average (F ) и

является средним значением ядра нечеткого множества. При использовании убывающих функций для q > 0 необходимо рассматривать подмножества как можно более низкого a -уровня, и чем больше q , тем меньше должно быть значение

a.

Рассмотрим треугольное нечеткое число с функцией принадлежности

0, если x < a

T ( a, b, c ) =

b - a

і, если x = b

(7)

c - b

О, если x > c

Чтобы вычислить оценку по формуле (2), необходимо вычислить

Average (Та) = иа+а

(8)

где иа и va вычисляются с использованием функции принадлежности (5):

x - a _

Гиа = (b - a) ■a + a

b - a c - x

=а

c - b

откуда Average (T) = Тогда

vа= c - (c -b) -а ’

2 Ъа + ( c - a )(і -а)

(9)

1

Val (T) = f Average (Ta ) da

0

j2ba+( c - a )(1 -a)da

2b + c + a

4

В этом случае формула (2) для вычисления оценки примет вид

1 1

—2Ьа + ( с + а )(1 -а))/ (а) da Уа\ (Т ) = ---------—---------------------.(11)

| / (а) ёа

о

Заметим, что данное в^1ражение можно представить в виде

Уа1 (Т (а, Ь, с)) = bw + (1 - м>) ~~~, (12)

где

і

|а f(а)dа

О____________

і

| f (а) dа

(13)

Для возрастающей функции (/ (а) = ад)

П + —

получим w = —----. При а = 0 результатом будет

П + 2

среднее значение из среднего значение ядра и среднего значения носителя. С ростом а оценка будет стремиться к своему предельному значению. При а = да оценка будет равна среднему значению ядра нечеткого множества.

Для убывающей функции (/ (а) = (1 - а))

получим w = —1— . Аналогично, при а = 0

а+2

результатом будет среднее значение из среднего значение ядра и среднего значения носителя. С ростом а оценка будет стремиться к своему предельному значению. При а = да оценка будет равна среднему значению носителя нечеткого множества.

Таким образом, для треугольного нечеткого числа получим:

для возрастающей функции / (а):

Val (Т (a, b, c)) = [ b -

c + a Л q +1 c + a 1 - + -

2 ) q + 2 2

(14)

для убывающей функции f (a):

Val (T (a, b, c )) = f b - C-+0. + С + a

2 ) q + 2 2

2. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ НЕЧЕТКИМИ ЧИСЛАМИ

О

w =

О

2

Расстояния между заданными нечеткими числами определим, как расстояние между соответствующими оценками заданных чисел, полученных одним из методов дефаззификации, рассмотренных выше. Пусть имеется два нечетких числа.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Рис. 1. Нечеткие числа

Определим их оценки по методу центра тяжести, получим:

СОО(Та) = 5,67, СОО(Ть) = 7,33

Введем

Я(Га ,ТЬ) = \СОО(Та) - СОО(Ть )|, (16)

следовательно,

Я(Т ,Т ) = |5,67 - 7,33| = 1,66.

расстояние

получим

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Рис.2. Расстояние между нечеткими числами

3. КЛАССИФИКАЦИЯ

Рассмотрим процедуру автоматической классификации [4], целесообразность которой обосновывается правилом формирования сплоченных коллективов людей по принципу взаимного интереса и симпатии. Ключевым слово здесь является «взаимный», т.е. подразумевается, что отношение «объект О близок(интересен) объекту О. » не симметрично и объекты О и О объединяются, если не только О близок к О , но и

наоборот.

Схема алгоритма:

1. Объекту О поставим в соответствие порог ё > 0, называемый его радиусом влияния, т.е. объект О считается близким к О (находится в

сфере влияния объекта О), если ё (х,, Х^) < ё,.

2. Объекту О поставим в соответствие код

£1 =(е<11), •••, е<1П)) , где е{() = 1, если ё(X,X) < 4, и £19) = 0 - в противном случае.

3. Выделим в выборке классы, относя набор объектов О , •••, О ,т < п, к одному классу,

если у их кодов ,•••,£, все координаты с

номерами I = ^,„лт равны 1.

4. Выделим в выборке минимальное число классов, объединение которых дает всю выборку.

Ясно, что алгоритм дает в общем случае нечеткую классификацию выборки. Геометрически каждому объекту О1 в признаковом пространстве

Хр отвечает шар ^ радиуса с центром в точке

п

А'.. Классу {(),.О, | отвечает пересечение Р|с,

1=1

шаров , содержащее все центры X4 ,•••,Х1 и

называемое областью взаимного поглощения данного класса. В ряде задач основной целью классификации является покрытие признакового пространства областями взаимного поглощения классов.

4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

В качестве входных данных используем нечеткие рейтинговые оценки областей ЦФО по сельхозпроизводству.

Рейтинговые оценки

Область Рейтинговая оценка

Белгородская (67,90;60;80)

Брянская (24,72;20;40)

Владимирская (19,70;0;20)

Воронежская (69,83;60;80)

Ивановская (11,64;0;20)

Калужская (15,78;10;30)

Костромская (16,21 ;10;30)

Курская (42,68;40;60)

Липецкая (41,13;40;60)

Московская (53,54;50;70)

Орловская (27,17;10;30)

Рязанская (27,53;10;30)

Смоленская (17,12;0;20)

Тамбовская (31,42;30;50)

Тверская (15,52;0;20)

Рис. 3. Классификация рейтинговых оценок

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дефаззификация, т.е. преобразование нечеткого множества в четкое число, является

Воронежский государственный технический университет

необходимым элементом при классификации нечетких чисел. Как видно из таблицы рисунка 3, при различных методах мы получаем различное разбиение на классы. В данной статье описаны результаты компьютерного эксперимента, в котором исследовалась зависимость классификации нечетких чисел от выбранного метода дефаззификации.

Литература

1. Остергаард Й.Й. Нечеткое логическое управление во главе обменного процесса, Отчет датского технического университета 7601,1976.

2. Браэ М., Разерфорд Д.Э., Нечеткие отношения в управляющих установках, Кибернетика 7, 185-188, 1978.

3. Мамдани Э.Х. Приложение нечеткого алгоритма для управления простым динамическим заводом, Процедура IEEE 121,1585-1588,1974.

4. Маеда М., Мураками С., Управление автопробегом с помощью нечеткой логики, Процедура 3го симпозиума нечетких систем, Осака,6і-66,1987.

5. Yager, R. R. and Filev, D., On ranking fuzzy numbers using valuations// International Journal of Intelligent Systems 14, 1999, 1249-1268.

6. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Классификация и снижение размерности. - М.: Финансы и статистика, і983 - 608 с.

INFLUENCE OF METHODS OF DEFUZZIFICATION FOR FUZZY CLASSIFICATION Т.М. Ledenyova, D.A. Chermenyov

In given article discusses the various methods of defuzzification, and their influence on the fuzzy classification of fuzzy numbers

Key words: fuzzy number, defassification, classification, parameter method