Влияние массы и упругости опор на критические частоты неуравновешенного ротора Джеффкотта Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

И. А. Пасынкова, П. П. Степанова

ВЛИЯНИЕ МАССЫ И УПРУГОСТИ ОПОР НА КРИТИЧЕСКИЕ ЧАСТОТЫ

НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА ДЖЕФФКОТТА

Введение. Из практики эксплуатации роторных машин известно, что часто податливости вала и упругих опор оказываются соизмеримыми. В таких случаях возникает необходимость совместного учета деформаций вала и опор. Кроме того, масса самих опор оказывает существенное влияние на возникающие в опорах усилия и ширину рабочего диапазона ротора. Как отмечено в [1], связанность колебаний ротора и упругой системы опорной конструкции проявляется в сдвиге критических скоростей вращения ротора, а также в появлении дополнительных критических скоростей, зависящих от динамических свойств опор. Влияние массивно-упругих опор на критические частоты гибкого невесомого вала с диском рассматривалось в [2]. Был предложен графический метод определения критических угловых скоростей. Дополнительные усилия между жестким ротором и массивно-упругими опорами были определены в [3].

В данной статье с использованием методов, предложенных в работах [4-7], показано, что прецессия ротора, укрепленного в массивно-упругих опорах, является гиперболо-идальной. Для определения типа прямой синхронной прецессии используется геометрическое представление поверхности, которую заметает в пространстве недеформиро-ванная ось ротора. Выписаны соотношения для параметров комплексной амплитуды прецессии, соответствующие цилиндрическому, коническому или гиперболоидальному типу. Получено уравнение для определения критических скоростей и показано, что существуют либо три (для динамически сжатого ротора типа «диск»), либо четыре (для динамически вытянутого ротора типа «сигара») критические скорости. Кроме того, показано, что массивные опоры оказывают балансировочное влияние на высоких угловых скоростях. Иными словами, ротор в массивно-упругих опорах свойством самоцентрирования не обладает.

1°. Описание модели ротора и уравнения движения. Рассмотрим статически и динамически неуравновешенный ротор Джеффкотта с четырьмя степенями свободы, который представляет собой абсолютно твердое динамически симметричное тело, прикрепленное к упругому валу, массой которого можно пренебречь по сравнению с массой тела. Гибкий вал укреплен в упругих опорах с заданными характеристиками жесткости и массами. Примем схему ротор — опоры, предложенную в [2] (см. рис. 1). Введем обозначения. Пусть ротор имеет массу М, а длина вала равна Ьг. Моменты инерции ротора равны ,1р (осевой) и ^ (трансверсальный). Дисбаланс ротора характеризуется тремя величинами: е — статический эксцентриситет, 6 — динамический эксцентриситет и є — фазовый сдвиг динамического эксцентриситета. Опоры, рассматриваемые как точечные массы Мі и М2, совпадают с точками Qі и ^2 оси вала. Пусть ротор установлен вертикально таким образом, что точка крепления твердого тела к валу Q находится на расстоянии е^ Ь, от і-ой опоры (і = 1, 2), где Ь — расстояние между опорами. Если точка Q расположена снаружи от і-ой опоры, то е^ < 0, так что всегда выполняется условие Єі + Є2 = 1.

Предполагаем, ротор вращается с постоянной угловой скоростью П, и перемегце-

© И. А. Пасынкова, П. П. Степанова, 2008

І

Рис. 1.

ние ротора вдоль оси вращения пренебрежимо мало. Упругие опоры предполагаются изотропными и линейными. В этом случае реакция опоры имеет только радиальную составляющую, которая пропорциональна величине смещения точки оси ротора в опоре.

Введем следующие системы координат: О ху г — инерциальная система координат с осью Ог, совпадающей с направлением оси вращения ротора в его неподвижном состоянии; система координат Q СпС, жестко связанная с ротором и с осью Q £, направленной вдоль касательной к изогнутой оси вала.

Система ротор — опоры имеет восемь степеней свободы. Обобщенные координаты можно выбрать следующим образом: (х, у) —декартовы координаты точки Q; (а, в) — углы, определяющие направление оси QZв; (xj, у^) —декартовы координаты точки Qj,

Кинетическая энергия с точностью до линейных членов относительно параметров дисбаланса е, 6 и квадратичных членов относительно обобщенных координат и их производных может быть записана в виде (см. [2]):

Вал, так же как и опоры, предполагается линейно-упругим, так что потенциальная энергия изогнутого вала и упругодеформированных опор [2] может быть записана в виде:

Здесь введены следующие обозначения: е; (1 = 1, 2) —коэффициенты жесткости упругих опор, С = { с;т} (1, т = 1, 2) —матрица жесткости упругого вала, закрепленного в

(і = 1, 2).

(1)

+ с12 ((х — х0)(а — а0) + (У — У0)(в — в0)) • (2)

жестких подшипниках; (жо, уо) —декартовы координаты точки ^о; углы («о, во) определяют направление прямой ^1^2. Величины (жо, уо, «о, во) характеризуют перемещение ротора как твердого тела (см. рис. 1) и могут быть вычислены как функции декартовых координат ж—, у— точек Qj с учетом того, что углы «о, во малы:

жо = е2 Ж1 + е1 Х2, уо = е2 У1 + е1 У2, (3)

«о = (Х2 - Ж1)/£, во = (У2 - У1)/Ь.

Свойство изотропии позволяет перейти к комплексным переменным

(4)

5 = х + І у, = Xj + і Уj (і =0,1, 2),

7 = а + г в, 7о = «о + г во.

Уравнения Лагранжа 11-го рода относительно комплексных переменных (4) могут быть записаны в форме

М5 + еи(5 - 50) + 012(7 - 70) = Ме^2 ехр(гогё),

^7 — і^7 + с12(5 — 50) + 022(7 — 70) = (^ — ^р)^<^2 ехр(і(^і — є)), Мі5і + сі 5і = ^сце2 - ^) (5 - 50) + (с12е2 - ^) (7 - 70),

(5)

(6)

М251 + с2 52 = (спе 1 + ^) (5 - 50) + (с12е1 + ^) (7 - 70).

Введем обозначения для левых частей уравнений (6):

.Л— = М-5- + е- 5-, = 1, 2. (7)

В силу предположения о линейной упругости вала уравнения (6) являются линейными относительно (5, 7). Следовательно, возможно найти точное решение:

5 = X/ (е3 — 5j + к1-, к1- = С11 + ( — і-- с12 ej ^,

j= 1,2

(5- \ • (8)

7 = ( ~Г~ + ^ ^ = С22 е0 Ь + (“І)5 с12;

5 = 1,2 ^ '

где С* = {е*т} — матрица податливости. Компоненты этой матрицы е*т зависят от способа крепления вала. Для различных видов опор эти функции можно найти во многих монографиях, например, [1].

После подстановки (8) в уравнения (5) получим систему дифференциальных уравнений относительно комплексных переменных 51, 52, связанных с концами вала и опорами:

(м~^ ^ез-jSj + хцЙ^ + Й^ = Меи;2 ехр(шЬ),

X(* ^2 (§ + ^ ^ ^ (§ + ^ АТ,-) + е,- /. АТ,-) = (9)

= (^ — ^)6^2 ехр(г(^£ — е)).

Введем безразмерное время т и безразмерные переменные в-:

5- 0 С1

г = и;о^, Ч) = 77* (^)

еМ Безразмерные дифференциальные уравнения примут вид

2

Е (^2 Мз) + ехр(й1т),

/ ^2 ^

X/ + °"2^ _ * ^ Л + °"2^ + ез ^ (1 - ^) ^

-=1,2 4

= (1 — Л) d О2 ехр(г(О т — е)),

где безразмерные конструкционные параметры (угловая скорость вращения ротора О, динамический эксцентриситет d, массы опор т- и парциальные частоты ш-, величины Л и к) определяются формулами

ш Ь £ М- 2 2 с2 тЬ2

Г2 = —, (1= —, то,- = —7-, = 1, = — А = /г =

шо е М С1 ^ ^(1 — Л)

В уравнениях (11) использованы обозначения

с- = к- М ш2, С2- = К2-ЬМ ш2, Л- = т-в- + ш2 в-, ] = 1, 2.

(12)

2°. Прямая синхронная прецессия ротора и уравнение для критических угловых скоростей. Уравнения (11) допускают точное решение:

в- = Д- ехр(г ф-) ехр(г От), = 1, 2, (13)

где Д-, ф- —вещественные постоянные и Д- > 0. Решение (13) соответствует прямой синхронной круговой прецессии. Для жесткого ротора тип прямой круговой прецессии (цилиндрическая, коническая или гиперболоидальная) определяется видом поверхности, которую заметает в пространстве ось вращения ротора [4]. Для ротора с гибким вращающимся валом также введем определение цилиндрической, конической или ги-перболоидальной прецессии в зависимости от вида поверхности, которую заметает в пространстве прямая QlQ2, характеризующая перемещение вала как твердого тела (см. [5, 7]).

Систему алгебраических уравнений относительно комплексных амплитуд Д- ехр(г ф-) получим в результате подстановки решения (13) в систему (11):

А Д1 ехр(гф1) + А Д2 ехр(гф2) = О2,

—В1 Д1 ехр(г ф1) + В2 Д2 ехр(г ф2) = dО2 ехр(—г е),

где коэффициенты А-, В- определяются выражениями

А- — ш2 — (ез_- + т- + с-ш2) О2 + с-т- О4,

В- = к е- ш2 — (1 + к е- т- + С2-ш2) О2 + С2-т- О4

в- = к е- ш- — (1 + к е- т- + с2-ш-) о + с2-т- о *.

Выпишем определитель системы (14):

Д = Ai B2 + A2 B1. (16)

Рассматривается неуравновешенный ротор, поэтому правые части системы отличны от нуля, и решение существует только если Д = 0. Равенство Д = 0 можно рассматривать как условие резонанса, которое определяет критические угловые скорости ротора, при которых амплитуда прецессии принимает неограниченные значения. Введем обозначение X = О2. Уравнение относительно критических частот имеет вид

Ро X4 + pi X3 + Р2 X2 + Р3 X + Р4 = 0, (17)

Р0 = mi Ш2(<Г 11 022 + 0 12 02l), Р4 = .

У коэффициентов p1, Р2, Рз достаточно громоздкий вид, и поэтому они не выписаны. Однако следует заметить, что р2 > 0, р1 < 0,рз < 0 для всех значений параметров. Применяя правило знаков Декарта [8], легко установить, что при k > 0 (случай динамически вытянутого ротора) уравнение (17) имеет четыре положительных корня, а при k < 0 (случай динамически сжатого ротора) —три положительных корня. Известно, что ротор в невесомых упругих опорах имеет либо две (k > 0), либо одну (k < 0)

критические угловые скорости, т. е. влияние динамики тяжелых опор приводит к появлению двух дополнительных критических угловых скоростей.

Выпишем решение системы (14):

X

i?j-exp(*V’j) = — (Вз-J + (-1У dАз-j exp (—*£)) . (18)

Отсюда, используя свойство | exp (i ф- )| = 1, получим явные выражения для амплитудных кривых и предельные значения R при X ^ то:

V ,------------------------------------------

Rj = -г\/Щ-п + d2 -A3_ • + (—1У 2 d Аз-j Вз-j cos (e), lim Rj = 0, j= 1,2. (19)

Это означает, что самоцентрирования ротора не происходит, и массивные опоры оказывают балансирующее действие.

Используя формулы (18) можно получить выражение для tg (ф — Ф2):

d Д sin(e)

tg (Ф1 - 1p2) = BiB2 _ d2AlAl + d(AxB2 - A2B1) cos(e) ’ ^

из которого следует, что tg (Ф1 — Ф2) =0 при £ = 0 для некритических частот (Д = 0). Но тогда (Ф1 — Ф2) =0 и (Ф1 — Ф2) = п. Это соответствует тому, что прецессия оси ротора относится к гиперболоидальному типу.

Пример. В монографии [9] рассмотрен ротор турбомолекулярного насоса, схематичная модель которого представляет собой твердое тело, консольно укрепленное на валу, массой которого можно пренебречь. Инерционные параметры ротора таковы: масса M = 6 кг, моменты инерции Jp = 0.035 кгм2, Jt = 0.055 кгм2. Параметры вала: длина L = 0.24м, диаметр do = 0.02м, модуль Юнга E = 2.1 • 1011 н/м2. Диск прикреплен таким образом, что в1 = 1.2, в2 = —0.2.

При жестких опорах параметры вала были подобраны, исходя из требования, что рабочая угловая скорость 30000 об/мин должна быть между первой и второй критическими скоростями, причем первая критическая скорость должна быть меньше

15000 об/мин. В работе [5] было исследовано влияние податливости опор на критические угловые скорости. В данной работе учтено совместное влияние податливости и массы опор. Результаты расчетов приведены в таблице 1, значения критических угловых скоростей даны в об/мин. Первые две строки соответствуют результатам [9] и [5]. Как видно из таблицы, влияние массивных упругих опор приводит к существенному сдвигу первых критических угловых скоростей в сторону более низкой части спектра и к появлению дополнительных критических скоростей, причем динамические свойства опор существенным образом влияют на ширину рабочего диапазона. Учет влияния массы и податливости опор показал, что выбранные параметры центрифуги не соответствуют техническому заданию.

Таблица 1.

Параметры опор: а, С2 (107 н/м); тг, тъ (кг) и>сг 1 СОсг 2 Шсг 3 и)Сг 4

1 с\ = СЮ, С2 = СО, ГП\ = 0, 777*2 = 0 10496 67080

2 с\ = 1.07, С2 = 1.07, т± = 0, т-2 = 0 7832 17926

3 с\ = 1.07, С2 = 1.07, т\ = 2.0, ггьч = 0.5 7746 16966 23334 223883

3°. Симметричная гиперболоидальная прецессия. Рассмотрим возможность существования симметричной круговой прецессии, когда радиусы круговых траекторий опор равны: Дх = Д2 = Д. Пусть опоры одинаковы, т. е. равны массы (шх = = ш)

и коэффициенты жесткости (сх = С2 = с). Пусть ротор укреплен в середине между опорами, т. е. ех = в2 = 1/2. При этих условиях матрица податливости вала имеет диагональный вид (см. [2]), и ее ненулевые определяются формулами

'и 48Я.7’ 22 12 ЕГ

(21)

где Е — модуль Юнга, J — момент инерции поперечного сечения вала. Тогда получим, что ац = <712 = 0 и 021 = 022 =2 0. Коэффициенты системы (14) также соответственно равны, т. е. Ах = А2 = А, Вх = В2 = В, где

А = 1 — (у2^ т ^ X + <7 т ^ = 2 ~ 2 т ^ ^ + 20т X2. (22)

Условие резонанса Д = 0 принимает в этом случае вид А В = 0. Для определения критических частот мы получаем два квадратных уравнения, из которых А = 0 всегда имеет два положительных корня, а уравнение В = 0 при к > 0 (для случая динамически вытянутого ротора) имеет два положительных корня, а при к < 0 (для случая динамически сжатого ротора) имеет два вещественных корня разных знаков. Получили, что всегда влияние массы опор приводит к появлению двух дополнительных критических угловых скоростей, при этом чем меньше безразмерная масса т, тем выше дополнительные критические частоты.

Литература

1. Диментберг Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 248 с.

2. Гробов В. А. Асимптотические методы расчета изгибных колебаний валов турбомашин. М.: Изд-во АН СССР. 1961. 166 с.

3. Кельзон А. С., Циманский Ю.П., Яковлев В. И. Динамика роторов в упругих опорах. М.,1982. 280 с.

4. Пасынкова И. А. Гиперболоидальная прецессия ротора в нелинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). С. 88-95.

5. Pasynkova I. A. Whirling Motion of an Unbalanced Rotor in Linear and Nonlinear Elastic Bearings // 7. Magdeburger Maschinenbau-Tage. 11.-12. Oktober 2005 an der Otto-von-Guericke-Universitaet Magdeburg. Tagungsband. 2005. P. 143-148.

6. Пасынкова И. А. Бифуркации прецессионного движения неуравновешенного ротора // ПММ, 2006. Вып. 4. С. 605-616.

7. Pasynkova I. A. Cylindrical Precessions of an Unbalanced Jeffcott Rotor with four Degrees of Freedom in Non-linear Elastic Supports // Technische Mechanik. Vol. 26. 2006. N 2. P. 117-130.

8. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука. 1986. 544 с.

9. Genta G. Vibration of Structure and Machines: Practical Aspects. Springer-Verlag, NY, 3d edn. 1999.

Статья поступила в редакцию 10 октября 2007 г.