CC BY
7
УДК 621.929.7:517.9 DOI 10.24147/2222-8772.2023.2.4-14
ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ И УГЛА ВИБРАЦИИ НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ ВИБРОТРАНСПОРТИРОВАНИЯ В РЕЖИМАХ ДВИЖЕНИЯ С ПОДБРАСЫВАНИЕМ
А.В. Архипенко1
канд. техн. наук, доцент, e-mail: [email protected]
А.Д. Ниров12 канд. техн. наук, доцент, e-mail: [email protected]
1 Международный инновационный университет, Сочи, Россия 2Кубанский государственный технологический университет, Краснодар, Россия
Аннотация. Представлены теоретические исследования вибрационного транспортирования сыпучего материала. Рассмотрена зависимость скорости вибротранспортирования от коэффициента трения материала по грузонесущей поверхности.
Ключевые слова: вибрационное транспортирование, вибромашины, фазовый угол, период колебаний, коэффициент передачи горизонтальной составляющей скорости.
В последнее время всё более широко применяются транспортирующие, транспортно-подающие и транспортно-технологические машины, использующие принцип вибрационного транспортирования [1,2]. Это связано с тем, что такие машины легко встраиваются в автоматизированные технологические линии, позволяют использовать герметичные рабочие органы, не подверженные влиянию горячих абразивных сыпучих материалов [3, 4] и требуют относительно небольших затрат на их содержание и ремонт [5-7].
Движение частицы сыпучего материала по грузонесущей виброповерхности, в зависимости от соотношения сил инерции и сил трения, происходит либо в виде подбрасывания, когда частица периодически теряет с ней контакт, либо в виде скольжения [4, 8].
Уравнения движения частицы массой т по виброповерхности в подвижной системе координат ХОУ имеют вид:
I
тЕ = тА2 cos (а + ¡3) sin wt + Fmp — mg sin a my = mA2 sin ¡3 sin wt — mg cos a + N
где а - угол наклона виброповерхности к горизонту; /3, А, ш - угол вибрации, амплитуда и частота колебаний; Етр - сила трения, действующая на частицу; N - нормальная реакция, действующая на частицу со стороны виброповерхности.
Дифференциальные уравнения полёта частицы над плоскостью получаются из уравнения (1) при условии, что N = 0 и Ртр = 0.
!
х = Аш2 cos в sin ut , s
. (2)
у = Аш2 sin в sin ut — g
В случае абсолютно неупругого уцара необходимым и достаточным условием движения частицы с подбрасыванием является неравенство [5]
Аш2 sin в
Кр =-> 1.
g cos а
Рассмотрим режимы движения частицы с подбрасыванием и пребыванием её на плоскости при 1 < Кр < 2.
Скорость скольжения и перемещения за этап скольжения определяется равенствами:
х (t) = —Аш cos в (1 ± Kf) (cos шt± — cos ut*) T f g (t± — t*) + х*,
х (t) = Аш cos в (1 ± Kf) cos ut* (t± — t*) —
(f — f*)2
—А cos в (1 ± Kf) (sin u t ± — sin ut *) T f g(± ) + x*(t ± — t *).
Для горизонтальной и вертикальной составляющих скорости полёта частицы и её перемещения за этап полёта проведём интегрирование уравнений (2) при начальных условиях:
' х (ÍS) = 0
х (У = хо y(t*o) = 0 ' y(t*o)= Уо
где Xq и у* - проекции вектора скорости частицы на момент отрыва t = tq.
Выполнив интегрирование, получим проекции скорости и перемещения частицы при полёте на оси подвижной системы координат:
х (¿)пол = —Аш cos в (cos ut — cos utq) + Xq,
х (¿)пол = —А cos в (sin ut — sin uto) + А cos в (ut — utq) cos ut*Q + X*Q(t — tq) , у (¿)пол = — Аш sin в (cos ut — cos utо) — g(t — tq) + y*,
(t t*)2
у (¿)пол = —А sin в (sin ut — sin uÍq) + А sin в (ut — ut^) cos utq — g(—^—+
+y* (t — tS).
(3)
Эти уравнения определяют движение частицы до тех пор, пока она не упадёт на поверхность. Этот момент определяется приравниванием к нулю уравнения (3), как наиболее близкого к t0 корня.
\ Р" W/ /
5* J0 \ V /
Рис. 1. Первый режим движения частицы с подбрасыванием
Для определения средней скорости движения частицы необходимо вычислить её перемещение за время одного цикла St .
Определение характера установившегося режима движения производим следующим образом. Задавшись величиной коэффициента режима работы, определяем фазовый угол начала этапа полёта:
^о = arcsin -1. (4)
Кр
Находим фазовый угол окончания этапа полёта <рп.
Затем предполагая, что горизонтальная составляющая скорости в начальный момент полёта равна нулю, т. е. что отрыв частицы от плоскости происходит без относительного скольжения, вычисляем значение горизонтальной составляющей скорости полёта в момент падения частицы на плоскость:
%под = —Aw cos ¡3 (cos рп — cos <^0).
Далее графическим способом определяем фазовый угол момента отрыва частицы, и, задаваясь этим значением, - её скорость х*, соответствующую этому моменту. Далее вычисляется горизонтальная скорость частицы в момент падения её на плоскость:
^од = —Aw cos ¡3 (cos рп — cos <^0) + ±0.
Графические построения и вычисления повторяются до получения установившегося режима движения частицы.
Возможны четыре основных режима движения частицы по грузонесущему органу, которые характеризуются различными сочетаниями этапов относительного движения: полёта, скольжения вперёд, скольжения назад и относительного покоя при совместном движении.
Первый режим (рис. 1) состоит из четырёх последовательных этапов:
1. Скольжение вперёд (<р0 - 8+).
2. Полёт (р - <р0).
3. Скольжение вперёд (р+0 - р).
4. Совместное движение (8+ + 2ж - р+0).
Одна длительная остановка в этом режиме следует после второго скольжения частицы вперёд.
Перемещение частицы на участке скольжения перед полётом:
S+
( p Ó )2
= А cos в (1 + Kf) — z+----+ (po — #+) Со— (sin po — sin #+)
Перемещение частицы на участке полёта: 5пол = —А cos в (sin pn — sin po)
+А cos в (1 + Kf) (p? — po) [—z+ (po — Í+) — (cos po — cos &+)]. Перемещение частицы на участке скольжения вперёд после полёта:
5" =
(5)
(6)
А cos в (1 + K/)
—Z+(v+°2ipn) + ( p+o — pn) cos pn — (sinp+o — sinpn) + ( p+o — p?) [—z+ (po — 6+) — (cos po — cos 6+)]
—А cos в (p+o — pn) (cos pn — cos po). Перемещение частицы за период:
St = S'+ + 5пол + 5+. Средняя скорость движения частицы определяется её перемещением
t r ST 5пол + 5ск /»ч ^ = 2^ =-2^-ш (7)
Второй режим (рис. 2) состоит из пяти последовательных этапов:
1. Скольжение вперёд (po - 8+).
2. Полёт (p - 8o).
3. Скольжение вперёд (p+_ - p).
4. Скольжение назад (p_o + 2тг - p+_) и (p_o- p+_).
5. Совместное движение (#+ - p_o) и (+ 2тг - p_o).
Особенностью этого режима является наличие одной длительной остановки после скольжения частицы назад.
На участке скольжения частицы вперёд перемещение перед полётом определяется по формуле (5), а перемещение на участке полёта - по формуле (6).
'S* 5Q\ \ 4>" <P-/
m % \ / /q>B +2 Л \
Рис. 2. Второй режим движения частицы с подбрасыванием
Перемещение частицы на участке скольжения вперёд после полёта
5" =
A cos р (1 + Kf)
-z+i^±__£n)_ + - cos - (sin >£+_ - sin рп) (р+_ - фп) [-Z+ (ро - 5+) - (cos - cos 8+)]
+
— A cos ¡3 (<£+- — Рп) (cos — cos
Перемещение частицы на участке скольжения назад:
=
A cos р (1 + Kf)
—
(р_0 - V+-)2
+ (^-0 - р+_) cos р+_ - (sin Р-о - sin ^о_)
или
S- = A cos р (1 + Kf)
_z_ (^-о+2^2_^±-)2 + (v_0 + - ) cos - (sin р_о - sin ^о_)
Перемещение частицы за полный период колебаний при втором режиме
S" = S+ + 5*пол + + S_.
Третий режим (рис. 3) так же как и первый состоит из четырёх этапов:
1. Скольжение вперёд (<р0 - р_+).
2. Полёт (<рп - <р0).
3. Скольжение вперёд (р+_ - <рп).
4. Скольжение назад (р_+ + 2ж - р+_). Перемещение частицы за этап скольжения вперёд:
(8)
S+ = A cos р (1+Kf)
2
+ (ро - <£_+) cos р_+ - (sin Ро - sin ip_+)
<V\ \ <Р" V /
ф.. \ \ / >;> +2я \
Рис. 3. Третий режим движения частицы с подбрасыванием
Перемещение частицы за этап полёта:
5пол = A cos р(1 + Kf )(ipn - po)[-z+(po - <£-+) - (cos ро - cos <£_+)]-
—A cos ^(sin <рп - sin р0) + A cos ¡3(рп - р0) cos р0. (10)
Перемещение частицы за этап скольжения вперёд после полёта:
5'! =
A cos р (1 + Kf)
{
-z+(£±__£n}_ + - cos - (sin р+- - sin <fn)
1
+ (р+- - pn)[-z+(po - Р-+) - (cosРо - cosР-+)] —A cos ¡3 (р+- - Pra) (cos pra - cos р0). (11)
Перемещение частицы за этап скольжения назад после мгновенной остановки:
S- = A cos £(1 + )
-г- (у-±+2;; _^±-)2 + (р_+ + 2^ - р+_) cos р+-- (sin р_+ - sin Р+-)
. (12)
Суммарное перемещение частицы в этом режиме за весь период колебаний определяется по выражению (8), в котором 5пол, и Б- находятся из формул (9)-(12). Четвёртый режим (рис. 4) характеризуется тремя этапами движения частицы:
1. Полёт (рп — рс).
2. Скольжение вперёд после полёта (р+- — рп).
3. Скольжение назад после мгновенной остановки (рс + 2п — р+-).
S0\ \ W <Р- /
/ 8,+2к \
Рис. 4. Четвёртый режим движения частицы с подбрасыванием
Скольжение назад при этом режиме прерывается в начале этапа полёта. Перемещение частицы за этап полёта:
S,
пол
A cos р(1 - Kf )(рп - ^о)[-^_(^о + 2^ - р+_) - (cos ро - cos <£+_)]-
-A cos ^(sin - sin <^о) + A cos ¡3(<рп - <ро) cos <^о. Перемещение частицы за этап скольжения вперёд после падения её на плоскость:
S.
+
A cos р (1 + Kf)
+ (р+_ - рп) cos - (sin - sin рп)
+
+АcosР(1 — Kf )[—z-(<po + 2п — — (cos — cos <£+-)](<£+- — ) —
—A cos Р(р+- — ^„)(cos <рп — cos <£о). Перемещение частицы за этап скольжения назад после мгновенной остановки:
= A cos р (1 + Kf)
(<^0+2-к—р± )2 + (^о + 2^ - cos -(sin - sinр+_)
(13)
Полное перемещение частицы за период колебаний при четвёртом режиме движения:
Б" = ^пол + 5+ + 5-. (14)
Формула для вычисления средней скорости движения частицы в режимах скольжения имеет вид [8]:
Vcpi = AwKzi,
(15)
где Кг - коэффициент передачи скорости, г - номер режима.
Если привести к такому же виду формулу (7) для вычисления средней скорости движения частицы в режимах движения с подбрасыванием, коэффициент передачи скорости примет значения для первого режима:
Kzl =
cos Р 2ж
z+
- (^+о - ^о) cos ^о + (^+о - á+) cos 5+ + (^+о - Уп) Cos(p„ (1 + Kf ) ^ - (sin ^о - sin 5+) - (sin ^+о - sin ipn)
(ipn - ^о) cos ^о - (^+о - fn) (cos fn - cos ^о) - (sin - sin ^о)
+
(1+Kf)
для второго режима:
сов ^ .
= с^ (1 + ^){
+ (рс — Р+-) сов рс + (Р+- — ¿+) сов ¿+ + (р+- — рп) сов рга — (вт рс — вт ¿+) — (вт р+- — вш рп)
(<Рп — Рс) сов Рс — (Р+- — Рп) (сов рп — сов Ро) — (вт рп — вт рс)
+
(1+*/)
+
(1-^/) (1+^/)
—г- 0 ) + (р-с — Р+-) сов р+-— (вт р-с — вт р+-
(17)
для третьего режима:
сов Р . ** = (1+^/)
2+
+ ^^ + (^с — ^-+) (^+- — ы
+ (р+- — рп) сов Ръ + (р+- — Р-+) сов р-+ — (р+- — Рс) сов Рс — (вт рс — вт р-+) — (вт р+- — вт рп)
(рп — Рс) сов Рс — (р+- — Рп) (сов Рп — сов Рс) — (вт Рп — вт Рс)
+
(1+*/)
+
(1-^/) (1+^/)
—г- ++2^+ (р-+ + 2^ — р+-) сов р+-— (вт р-+ — вт р+-)
(18)
для четвёртого режима:
—
сов Р
КХ4 = (1 —)
(^0+22-у±)2 + (Рс + 2^ — р±) (р± — рс)"
— (<£± — ^с) сов Рс + (р± — Рт) сов рТ — (р± — Рс) сов Рс
— (вт рс — вт рт) — (вт р± — вт рп) + 2^ сов р+-
— (вт рс — вт р+-) (рп — Рс) сов Рс — (р+- — Рп) (сов Рп — сов Рс)
— (вт Рп — вт Рс) —Z+(£±-_£л)_ + (^+- — рп) сой рга
— (вт р+- — вт рга)
+
+
(1-^/)
(1+^/) (1-кf)
(19)
Практическое использование громоздких формул (16)-(19) при вычислении скорости вибротранспортирования затруднительно ввиду необходимости определения фазовых углов моментов смены этапов движения для каждого конкретного случая и установления режима движения.
Поэтому для режимов движения частицы с подбрасыванием также целесообразно вычислить возможные значения К и построить соответствующие графики для зависимости коэффициента передачи скорости от коэффициента режима работы Кр и угла вибрации ¡3.
Для построения графиков по формуле (4) определяется фазовый угол отрыва частицы от плоскости рс по известным значениям ¡3 и Кр. По известному значению
фазового угла начала этапа полёта находим фазовый угол окончания этапа полёта частицы - угол падения частицы на плоскость Затем, задавшись величиной коэффициента трения f, используя поэтапное интегрирование, определяем характер установившегося движения и все фазовые углы моментов перехода от одного этапа движения частицы к другому. Далее по одной из формул (14)-(17), в соответствии с выявленным установившимся режимом движения частицы, вычисляем значение коэффициента передачи скорости Kz. Задаваясь последовательно другими значениями коэффициента трения при постоянных Кр и ¡3, получим серию точек для построения графика зависимости Kz = F(f).
Производя аналогичные вычисления для других значений коэффициентов режима работы в пределах 1 < Кр < 2 при ¡3 = 30°, получим серию кривых, выражающих зависимость Kz = F(f) при фиксированных значениях Кр.
Построения графиков зависимости Kz = F(f) для других значений углов вибраций ¡3 производим, воспользовавшись тем, что значения коэффициентов передачи скорости, определяемые равенствами (18)—(19), остаются неизменными при постоянном значении Кр при условии f ■ tgfí = const, т. к. углы отрыва и падения в этом случае остаются неизменными. С помощью таких графиков можно вычислять теоретические значения скорости вибротранспортирования по известным значениям А, ш, ¡3, f при заданном значении Кр по формуле (13), в которую подставляются значения Kz, взятые из графиков.
Формула для определения средней скорости получена при предположении, что коэффициенты трения покоя и движения равны и что удар частицы о плоскость абсолютно неупругий (коэффициент восстановления вертикальной составляющей скорости частицы при падении её на плоскость равен нулю), что вполне допустимо для режимов работы вибротранспортирующих машин, характеризуемых величиной 1 <КР < 2.
Формула не учитывает сопротивлений движению слоя транспортируемого груза и может применяться для ориентировочного вычисления средней скорости движения зернистых сыпучих материалов, имеющих хорошую воздухопроницаемость.
Для применения этой формулы в практических расчётах требуется введение дополнительных поправочных коэффициентов, учитывающих сопротивления движению слоя транспортируемого материала.
Анализ графиков позволяет сделать вывод, что при Кр близком ко 2-му коэффициенту трения реальных материалов в пределах 0,4... 1,0 мало влияет на коэффициент передачи скорости и при Кр ^ 2 может не учитываться.
Для вычисления значений коэффициента передачи скорости при Кр ^ 2 можно пренебречь скольжением частицы вперёд и назад после падения её на плоскость и принять, что горизонтальная составляющая относительной скорости движения частицы в момент её отрыва равной нулю. Тогда перемещение частицы за период колебаний будет равно её перемещению за этап полёта при начальной скорости, равной нулю.
St = £пол = A cos ¡3(<рп - ^о) cos ^о - A cos ¡3(sin <рп - sin ^о).
Выражение для приближенного вычисления средней скорости движения частицы
будет иметь вид:
Vcp = Аш cos (З-1 [(рп - ро) cos - (sin - sin ро)]. 2%
Для режимов с непрерывным подбрасыванием, когда рп - р0 = 2ж, sin рп = sin р0, эта формула будет иметь вид:
Vcp = Аш cos ¡3 cos р0
или
Vcp = Аш cos 1 — Sin2ip0. С учётом того, что sin р0 = 1/Кр, получим формулу В.А. Баумана [1]:
Vcp = AuCosf3x /1 - ^. (20)
Анализируя полученные графики, выявляем, что коэффициент передачи горизонтальной составляющей скорости при коэффициенте режима работы Кр ^ 2 принимает значения Кг ^ 2. С учётом этого формула (20) примет вид:
или, умножая на
получаем
Vcp = 0,95Аш cos р
дш sin ¡3 дш sin ¡3'
30^
Vcp = 0,95КР
■кп • Ьд!3
Для частного случая при режиме работы с непрерывным подбрасыванием при Кр = 3,5 эта формула примет вид формулы И.И. Блехмана [4]:
р п • Ьд!3
Это подтверждает правильность данных теоретических исследований и их пригодность для оценки и учёта влияния коэффициента трения реальных сыпучих грузов по грузонесущей поверхности на эффективность вибротранспортирования при выборе параметров колебаний рабочего органа.
Литература
1. Бауман В.А., Быховский И.И. Вибрационные машины и процессы в строительстве. М. : Высшая школа, 1977. 255 с.
2. Гончаревич И.Ф., Гудушаури Э.Г., Гаврилина Л.В., Леонова О.В. Совершенствование оборудования и процессов вибрационного перемещения грузов // Подъёмно-транспортное дело. 2016. № 4-5(86). С. 2-4.
3. Архипенко В.П., Архипенко А.В. Виброударные обрабатывающие машины (ВУОМ) // Труды VIII международной научно-технической конференции «Вибрации в технике и технологиях». Днепропетровск, 2007.
4. Бельков Н.И. Исследование закономерностей и особенностей вибрационного перемещения тонкоизмельченных сыпучих материалов: дисс. канд. техн. наук. Ленинград, 1974. 178 с.
5. Денискина Т.В. Теоретическое исследование движения материала на вибрирующей поверхности под действием направленных колебаний // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). 2014. № 1. С. 384-389.
6. Рокосов С.Ю., Злобин С.В., Рынза О.П. Определение скорости перемещения муки по лотку винтового вибрационного конвейера // Инновационный конвент «Кузбасс: Образование, наука, инновации». Кемерово : Кемеровский государственный университет, 2011. С. 46-47.
7. Бабичев А.П., Бабичев И.А. Основы вибрационной технологии. Ростов н/Д : Издательский центр ДГТУ, 2008. 694 с.
8. Архипенко А.В. Скольжение частиц грунта по рабочим органам вибромашин // Математические структуры и моделирование. 2023. № 1(65). C. 4-14.
THE EFFECT OF THE COEFFICIENT OF FRICTION AND THE VIBRATION ANGLE ON THE EFFICIENCY OF VIBRATION TRANSPORT IN THE MODES OF MOTION
WITH TOSSING
A.V. Arhipenko1
Ph.D. (Techn.), Associate Professor, e-mail: [email protected] A.D. Nirov1'2
Ph.D. (Techn.), Associate Professor, e-mail: [email protected]
international Innovation University, Sochi, Russia 2Kuban State Technological University, Krasnodar, Russia
Abstract. Theoretical studies of vibrational transportation of bulk material are presented. The dependence of the speed of vibration transport on the coefficient of friction of the material on the load-bearing surface is considered.
Keywords: vibration transportation, vibratory machines, phase angle, oscillation period, transmission coefficient of the horizontal component of the velocity.
Дата поступления в редакцию: 05.05.2023
