CC BY
29
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
2022, № 02 (февраль) Раздел 5.8. Педагогика (13.00.00 Педагогические науки) ART 221013 DOI: 10.24412/2304-120X-2022-11013 УДК 373.51
Влияние изучения иррациональных уравнений в школьном курсе математики на активизацию учебно-познавательной деятельности учащихся
Influence of the study of irrational equations in the school course of mathematics on the stimulation of educational and cognitive activity of students
Автор статьи
I
Author of the article
Кисельников Игорь Васильевич,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике ФГБОУ ВО «Алтайский государственный педагогический университет», г. Барнаул, Россия ORCID: 0000-0002-8086-8509 Igoraltai22@gmail.com
Конфликт интересов
Igor М. Kiselnikov,
Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Altai State Pedagogical University, Barnaul, Russia
ORCID: 0000-0002-8086-8509 Igoraltai22@gmail.com
Conflict of interest statement
Конфликт интересов не указан
Conflict of interest is not declared
Для
цитирования
For citation
Кисельников И. В. Влияние изучения иррациональных уравнений в школьном курсе математики на активизацию учебно-познавательной деятельности учащихся // Научно-методический электронный журнал «Концепт». 2022. № 02. С. 101-113. URL: http://e-kon-cept.ru/2022/221013.htm. DOI: 10.24412/2304-120X-2022-11013
I. M. Kiselnikov, Influence of the study of irrational equations in the school course of mathematics on the stimulation of educational and cognitive activity of students // Scientific-methodological electronic journal "Concept". 2022. No. 02. P. 101-113. URL: http://e-kon-cept.ru/2022/211013.htm. DOI: 10.24412/2304-120X-2022-11013
Поступила в редакцию Received 30.11.21 Получена положительная рецензия Received a positive review 13.02.22
Принята к публикации Accepted for publication 14.02.22 Опубликована Published 28.02.22
Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) © Концепт, научно-методический электронный журнал, 2022 © Кисельников И. В., 2022
Аннотация
Статья посвящена актуальным вопросам, связанным с разработкой методики обучения математике, нацеленной на активизацию учебно-познавательной деятельности учащихся. Выделены противоречия, разрешение которых может способствовать повышению активности учащихся в процессе изучения математики. Целью статьи является разработка основных положений методики обучения иррациональным уравнениям, направленной на активизацию познавательной деятельности учащихся. Автор базируется на современных исследованиях проблемы активизации познавательной деятельности учащихся в следующих направлениях: организация самостоятельной познавательной деятельности; развитие и организация творческо-поисковой познавательной деятельности; активизация школьников в учении; формирование познавательных интересов школьников в общедидактическом аспекте; поиск рациональных методов и отдельных приемов познавательной деятельности и вооружение ими учащихся; частно-методические разработки, способствующие активизации познавательной деятельности. Ведущим подходом является процессный подход к обучению, обеспечение понимания учащимися математического содержания. Отражаются причины сниженного внимания и восприятия изучаемого материала, и на этой основе строится методика обучения иррациональным уравнениям в школе. Разрабатываемая методика обучения соответствует требованиям современных федеральных государственных образовательных стандартов. Основным результатом является выделение и обоснование условий активизации учащихся при изучении иррациональных уравнений в основной школе. Теоретическая значимость статьи состоит в разработке методических подходов к изучению иррациональных уравнений в основной школе. Результаты исследования могут послужить основой для написания других научных работ по заданной теме. Практическая значимость обусловлена тем, что результаты исследования могут быть использованы в образовательных целях, а также возможностью применения и реализации программы внеурочной деятельности по математике «Математический практикум по решению иррациональных уравнений».
Ключевые слова
Abstract
The article is devoted to topical issues related to the development of a methodology for teaching mathematics, aimed at stimulating the educational and cognitive activity of students. There are the contradictions, the resolution of which can contribute to an increase in the activity of students in the process of learning mathematics. The purpose of the article is to develop the main provisions of the methodology for teaching irrational equations, aimed at stimulating the cognitive activity of students. The author uses modern works on the problem of stimulating the cognitive activity of students in the following directions: organization of independent cognitive activity; development and organization of creative research cognitive activity; stimulating of schoolchildren in learning; formation of the cognitive interests of schoolchildren in the general educational aspect; search for rational methods and individual techniques of cognitive activity and teaching students to use them; particular methodological procedures contributing to the stimulation of cognitive activity. The leading approach is the process approach to learning, ensuring that students understand the mathematical content. The causes of reduced attention and understanding of the studied material are revealed, and the methodology for teaching irrational equations at school is built on this basis. The developed teaching methodology meets the requirements of modern federal state educational standards. The main result is the selection and substantiation of the conditions for the stimulation of students to study irrational equations in the secondary school. The theoretical significance of the article lies in the development of methodological approaches to the study of irrational equations in secondary school. The results of the study can serve as a basis for writing other scientific papers on a given topic. The practical significance is due to the fact that the results of the study can be used for educational purposes, as well as the possibility of applying and implementing the program of extracurricular activities in mathematics "Mathematical Workshop on Solving Irrational Equations".
Key words
обучение математике, иррациональные уравнения, активизация деятельности учащихся, процессный подход к обучению математике, частная методика обучения математике
teaching mathematics, irrational equations, stimulation of students' activity, process approach to teaching mathematics, particular method of teaching mathematics
Благодарности
L
Acknowledgements
Автор выражает благодарность коллективу кафедры математики и методики обучения математике Алтайского государственного педагогического университета за обсуждение материалов статьи и ценные замечания по ее совершенствованию.
The author expresses his gratitude to the staff of the Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics of the Altai State Pedagogical University for discussing the materials of the article and valuable comments on its improvement.
Введение / Introduction
Проблема активизации учебно-познавательной деятельности учащихся - одна из актуальных на современном этапе развития педагогической теории и практики.
Комплексный анализ состояния организации процесса активизации учащихся при изучении иррациональных уравнений в основной школе [1, 2], а также современных исследований по данной теме позволяет выделить ряд противоречий:
- между заявленным компетентностным подходом в обучении учащихся современной школы и существующим знаниевым подходом и вербально-репродуктивной формой обучения;
- между необходимостью формирования у учащихся математических компетенций, являющихся мощным средством интеллектуального развития, и неразработанностью методики процесса формирования математических компетенций, способствующих активизации познавательной деятельности учащихся;
- между потребностью в создании комплекса учебно-методического обеспечения, направленного на активизацию познавательной деятельности и формирование математической компетенции, и неразработанностью такого комплекса в условиях современной основной школы.
Активизация учебно-познавательной деятельности учащихся обусловлена их возрастными и индивидуальными психологическими особенностями [3] и должна осуществляться с учетом современных разработок психолого-педагогических основ обучения математике [4].
Обзор литературы / Literature review
Вопросом активизации учащихся при усвоении отдельных тем школьного курса занимались на протяжении длительного времени различные педагоги. Исследование формирования познавательной активности проводилось по различным направлениям. Б. Н. Есипов в своей работе [5] рассматривал вопросы организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся. Активизация познавательной деятельности школьников посредством разнообразных игр при обучении, тренингах и на досуге изучалась В. В. Петрусинским [6]. Проблемы обучения младших школьников исследовались в работах А. П. Усовой [7]. Она выделила актуальные по сей день положения по организации деятельности детей: деятельность детей на протяжении всего учебного времени вызывается и поддерживается эмоциями радости и интереса; необходимость осуществления детьми и педагогами коллективной деятельности; обучение строится на базе интеллектуальной активности высокого уровня, обеспечивающего открытие каждой индивидуальностью способа приобретения знаний и умений; устремление каждого участника образовательного процесса к результату, для достижения которого выполняется прогнозирование, предвосхищение его и успеха от своей деятельности; необходимость волевых усилий ребят в достижении результата, что обосновывает требование соблюдения дисциплины на занятии. Активизация школьников в учении как необходимое условие повышения качества знаний рассматривалась в работах Л. М. Фридмана [8]. Методические аспекты обучения иррациональным уравнениям и неравенствам, организация активной учебной деятельности учащихся при изучении этих вопросов в школьном курсе математики рассматривались в работе А. Х. Шахмейстера [9].
Общедидактические аспекты формирования познавательных интересов школьников рассмотрены в работах Л. И. Божович [10] и Г. И. Щукиной [11]. В этом контексте значима разработка одной из первых схем педагогических целей, автором которой является был американский ученый Б. А. Блум [12]. Актуальной проблемой активизации познавательной деятельности учащихся является поиск рациональных методов и отдельных приемов познавательной деятельности и вооружение ими учащихся. В этом направлении целесообразно выделить исследование Е. Н. Кабановой-Меллер [13]. Влияние метакогнитивной стратегии обучения на успеваемость учащихся исследовано в работе Х. де Бур [14].
M. Имай, Д. Канеро и T. Масуда исследовали последние тенденции взаимосвязи между языком, культурой и мышлением [15], значимые при организации обучения,
нацеленного на активизацию познавательной деятельности учащихся. Специфика обучения математике проявляется в особой роли решения математических задач как фактора, обеспечивающего понимание учебного материала. В этой связи интерес представляет работа Д. Утомо [16], экспериментально обосновавшего, что обучение учеников с высоким уровнем достижений в зоне ближайшего развития было эффективным для самостоятельного решения математических задач. И наоборот, у учеников со средним и низким уровнями достижений были обнаружены проблемы при самостоятельном решении математических задач. Отмечено, что учителям необходимо пересматривать и дорабатывать стратегии скаффолдинга, работая в интенсивном режиме со школьниками, которые хуже справляются с математическими задачами. Следует также выделить отдельные частно-методические разработки, способствующие активизации познавательной деятельности школьников. Н. И. Попов раскрывает методику обучения тригонометрии на основе когнитивно-визуального подхода [17], который может быть реализован и на другом учебном материале, в частности иррациональных уравнениях и неравенствах. А. Г. Мордкович [18] продолжает идеи развивающего обучения, которые реализованы в серии его учебных пособий для школы. В. А. Далингер [19] рассматривает важнейшую роль наглядных образов, обеспечивающих активное восприятие и понимание учащимися материала при решении математических задач.
Существенное влияние на изучение проблемы активизации познавательной деятельности оказывают современные исследования, связанные с разработкой образовательных технологий в школьном обучении математике М. А. Гончаровой [20], Н. Л. Стефановой [21], поиском средств и методик развития творческих способностей учащихся Е. И. Скафа [22], О. Я. Митник [23].
Активизация познавательной деятельности учащихся приобретает особое значение при реализации компетентностного подхода к обучению. В работах М. Эраута [24] под компетентностью понимается способность личности с помощью действий выполнять задачи и роли в соответствии с ожидаемыми результатами.
Выполненный обзор позволяет сделать вывод об актуальности исследования проблемы активизации познавательной деятельности учащихся при обучении математике. При этом целесообразным представляется учет специфики учебного материала, возможностей использования различных форм представления его содержания. Благодатным в этом смысле является учебный материал, связанный с иррациональными уравнениями и неравенствами.
Методологическая база исследования / Methodological base of the research
Традиционные методы обучения математическим дисциплинам базируются на знаниевом подходе и вербально-репродуктивной форме обучения, хотя против таких методов, основанных на зазубривании материала, выступали и выступают многие ученые. Вместе с тем из-за инертности образования и сегодня широко распространено предоставление уже готовых знаний с опорой в большей степени на память обучаемых. Современные подходы к образовательному процессу диктуют необходимость внедрения форм обучения, которые максимально способствовали бы активизации познавательной деятельности учащихся, поскольку необходимо не простое овладение определенным перечнем навыков и умений, а воспитание индивида, способного к самостоятельному усваиванию новой информации, его интеллектуальное развитие, а также формирование ключевых компетентностей [25].
В современном понимании педагогические условия выступают совокупностью мер, направленных на обеспечение максимального эффекта от процесса активизации познавательной деятельности учащихся. Отдельно взятое средство активизации и даже их совокупность могут не обеспечить должного уровня активности учащихся в случае, если не будут соблюдены конкретные дидактические условия [26].
В современных условиях возрастания информационной нагрузки на учащихся происходит смещение акцента на осмысление учащимися учебного материала, обеспечение процесса понимания содержания, в частности математического содержания при изучении математики [27].
Решение проблем активизации познавательной деятельности учащихся осуществляется на основе анализа передового отечественного и зарубежного педагогического опыта обучения математике, теоретического анализа научных публикаций по указанной проблеме.
Основой исследования является процессный подход к организации образовательного процесса обучения математике.
Связанный с уравнениями и неравенствами учебный материал школьного курса математики выделяется в отдельную содержательно-методическую линию. Значимость уравнений определяется как теоретико-математической направленностью школьного обучения, так и развитием научного мировоззрения учащихся. Специфика изучения иррациональных уравнений связана с необходимостью выполнения специфического преобразования - освобождения от знака корня неизвестного.
В школьной практике используются различные виды преобразований при решении уравнений: как универсальные, так и специфические. Решение задач, связанных с этими уравнениями, может осуществляться алгебраическими и графическими методами.
Опытно-экспериментальное исследование проводилось в три этапа:
- констатирующий, на котором исследовались проблемы сниженного внимания и восприятия изучаемого материала учащимися;
- поисковый, на котором разрабатывалась методика решения иррациональных уравнений;
- формирующий, на котором проведена апробация разработанной методики решения иррациональных уравнений для активизации учебно-познавательной деятельности учащихся.
В исследовании приняло участие 350 учащихся из 12 школ Алтайского края.
В качестве методов использованы метод анализа литературы по теме, состояния организации процесса обучения математике, метод экспертной оценки.
Результаты исследования / Research results
Исследование осуществлялось в процессе обучения математике в школах Алтайского края в течение 2019-2021 годов.
На первом этапе основные проблемы активизации внимания в процессе изучения школьного курса математики были выделены в отдельный комплекс. В частности, причинами сниженного внимания и восприятия получаемого материала являются:
- недостаточность необходимых знаний и умений;
- большая абстрактность математической информации, не подкрепляемая достаточной эмпирической деятельностью учащихся;
- недостаточное развитие мыслительных способностей (анализа, синтеза и т. д.);
- низкий уровень развития познавательной активности и самостоятельности;
- отсутствие положительной мотивации учащихся.
С целью выявления и обоснования необходимых условий активизации учащихся можно выделить две их группы.
1. Субъективные, к которым, в свою очередь, необходимо отнести: наличие у субъекта деятельности выраженной потребности и устойчивых мотивов ее осуществления, принятие им цели и программы деятельности; опыт организации и осуществления деятельности; теоретическая подготовленность, сформированность умений и навыков выполнения практических действий и операций; соответствие содержания и характера деятельности индивидуальным особенностям субъекта; эмоционально-психологическое и физическое состояние субъекта деятельности.
2. Объективные, в частности организационные и средовые: убедительная мотивировка и четкая постановка цели деятельности, рациональное планирование, организация контроля, объективная оценка; благоприятный нравственно-психологический климат в группе; соответствующие принятым нормам санитарно-гигиенические условия деятельности; материально-техническое и информационное обеспечение.
Таким образом, при изучении иррациональных уравнений в школьном курсе математики могут быть выделены основные проблемы, препятствующие освоению изучаемого материала, а также определены группы факторов, способствующих преодолению данных трудностей.
Федеральный государственный стандарт общего образования устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования.
Личностные результаты обучения предполагают:
- сформированность мотивации к обучению и целенаправленной познавательной деятельности (иррациональные уравнения традиционно включаются в материалы итоговой государственной аттестации учащихся, что может послужить мотивацией учащихся и их целенаправленной познавательной деятельности к изучению данной темы);
- способность ставить цели и строить жизненные планы.
Метапредметные результаты обучения предполагают следующее:
- знания, полученные при изучении иррациональных уравнений, играют большую роль при изучении физики и других дисциплин;
- в рамках изучения элективных курсов или курсов внеурочной деятельности с применением информационных технологий осуществляется тесная связь математики и информатики. Благодаря такой связи можно организовать интегрированные уроки, отражающие тесную метапредметную взаимосвязь.
Предметные результаты обучения предполагают освоение обучающимися в ходе изучения учебного предмета умений, специфических для данной предметной области, видов деятельности по получению нового знания в рамках учебного предмета, его преобразованию и применению в учебных, учебно-проектных и социально-проектных ситуациях, формирование научного типа мышления, научных представлений о ключевых теориях, типах и видах отношений, владение научной терминологией, ключевыми понятиями, методами и приемами. Всё это находит отражение при изучении темы «Иррациональные уравнения».
На втором этапе исследовалась специфика изучения иррациональных уравнений. Следует отметить важные для изучения иррациональных уравнений положения. Во-
первых, учащиеся должны знать условия возведения в квадрат иррационального уравнения. Весьма распространенный прием решения иррациональных уравнений - возведение в квадрат. Тем не менее важно знать условия возведения в квадрат, иначе можно допустить много ошибок. Во-первых, возводя в квадрат обе части уравнения, можно расширить область допустимых значений неизвестного, что может привести к появлению посторонних корней. Во-вторых, часто в результате этой операции получается уравнение с громоздкими коэффициентами, работать с которыми затруднительно. Наконец, может произойти увеличение вдвое степени уравнения. Возведя обе части в квадрат, возможно избавиться от иррациональностей, но получить рациональное уравнение степени выше второй, способы решения которого в общем виде школьникам не всегда неизвестны или вообще не существуют. Если возводить в квадрат все-таки приходится, нужно внимательно следить за тем, чтобы не включить в ответ посторонние корни. В частности, если уравнение имеет вид ^f(x) = д(х), то для корней должно выполняться условие g(x)> 0 (при этом f(x)=^2(x) >0 и условие f(x)> 0 отдельно ставить не требуется). Еще один способ обнаружить посторонние корни - проверка всех найденных корней подстановкой их в первоначальное уравнение.
Во-вторых, учащиеся должны понимать важность выполнения равносильных преобразований. Должны знать, что все преобразования уравнений можно разделить на два типа:
- равносильные, то есть преобразования, после применения любых из которых получится уравнение, равносильное исходному уравнению;
- неравносильные, то есть преобразования, после применения которых может произойти потеря или приобретение посторонних корней.
Должны знать, какие из следующих типов преобразований приводят к равносильным уравнениям, а какие нет. Рассмотрим эти типы преобразований.
Перенос членов уравнения из одной части в другую, то есть переход от уравнения
f(x)=<Kx) + д(х) (1)
к уравнению
f(x)-<p(x) = д(х). (2)
Указанное преобразование приводит к равносильному уравнению.
Приведение подобных членов, то есть переход от уравнения
f(x)+^(x) - (р(х) = д(х) (3)
к уравнению
f(x)=g(x). (4)
Справедливо следующее утверждение: для любых функций f(x), (р(х), g(x) уравнение (4) является следствием уравнения (3), то есть (3) ^ (4).
Переход от уравнения (3) к уравнению (4) является допустимым преобразованием, при котором потеря корней невозможна, но могут появиться посторонние корни.
Таким образом, при приведении подобных членов, а также при отбрасывании одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения получается уравнение, являющееся следствием исходного уравнения.
Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень, то есть переход от уравнения
f(x)=g(x) (6)
к уравнению
[f(x)]n = [д(х)]п, nEN,n> 2. (7)
Справедливы следующие утверждения:
при любом п£ Ы,п > 2 уравнение (7) является следствием уравнения (6); если п = 2к + 1 (п - нечетное число), то уравнения (6) и (7) равносильны; если п = 2к (п - четное число), то уравнение (7) равносильно уравнению
(8)
(9)
Следовательно, исходя из утверждений 1 и 2, возведение обеих частей уравнения в нечетную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня нечетной степени является равносильным преобразованием.
Исходя из утверждения 1 и 3, возведение обеих частей уравнения в четную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня четной степени является неравносильным преобразованием, при этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.
Применение формулы '-¡/Г(х) • nJg(x) = 'У?(хУ^(х), т е N при п = 2к + 1 является равносильным преобразованием, при п = 2к - неравносильным.
И в-третьих, учащиеся должны проводить контроль и самоконтроль решения иррационального уравнения. Учащимся следует помнить, что при решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств необходимость в этом отпадает). В противном случае могут появиться посторонние корни.
При работе с иррациональными уравнениями важно отработать одно правило, которое не следует забывать при преобразовании уравнений: нельзя выполнять преобразования, которые могут привести к потере корней.
При решении уравнений, в том числе и иррациональных, используют общематематические методы. К таким методам можно отнести:
- тождественное преобразование выражений;
- замену переменной;
- введение параметра;
- оценку области значений.
При решении иррациональных уравнений важно помнить правило, что возводить уравнение в квадрат запрещается при тех значениях неизвестной, при которых левая и правая части уравнения имеют разные знаки.
На третьем этапе исследования проводилась апробация разработанной методики решения иррациональных уравнений для активизации учебно-познавательной деятельности учащихся.
Для оценки качества разработанного курса внеурочной деятельности «Математический практикум по решению иррациональных уравнений» осуществлялась экспертная оценка. Эксперты использовали следующие критерии оценивания:
- степень новизны курса;
- наличие пояснительной записки и методических рекомендаций для учащихся и преподавателей;
- соответствие содержания разработки заявленной цели;
- содержательность (оценка полноты, новизны изложения, материала по теме);
- связность и систематичность изложения материала;
- использование обратной связи, получаемой от учащихся (учащимся и руководителям предоставлена возможность давать обратную связь относительно содержания курса и сроков сдачи самостоятельных работ);
- наличие критериев оценивания;
- возможность использования в учебном процессе;
- методическая грамотность при составлении материала.
Каждый из выделенных критериев оценивался по четырехбалльной шкале от 0 до 3 баллов.
Полученные в ходе экспертной оценки результаты представлены в таблице.
Результаты экспертной оценки
Всего
№ Критерий оценивания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 баллов
1 Степень новизны курса 2 1 2 1 2 2 2 2 1 16
Наличие пояснительной за-
2 писки и методических рекомендаций для учащихся и преподавателей 3 3 3 2 2 3 3 3 2 24
3 Соответствие содержания разработки заявленной цели 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27
Содержательность (оценка пол-
4 ноты, новизны изложения, материала по теме) 2 3 2 2 2 3 2 3 2 21
5 Связность и систематичность изложения материала 3 3 3 3 3 3 3 2 2 25
Использование обрат-
ной связи, получаемой от уча-
6 щихся (учащимся и руководителям предоставлена возможность давать обратную связь относительно содержания курса) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27
7 Наличие критериев оценивания 3 2 2 2 2 3 2 3 2 23
8 Возможность использования в учебном процессе 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27
9 Методическая грамотность при составлении материала 3 3 3 2 3 3 3 2 3 25
Были рассчитаны средние значения экспертных оценок по каждому критерию: Кср1 = 1.8 (среднее значение экспертных оценок по первому критерию); Кср2 = 2.7 (среднее значение экспертных оценок по второму критерию); Кср3 = 3 (среднее значение экспертных оценок по третьему критерию); Кср4 = 2.4 (среднее значение экспертных оценок по четвертому критерию); Кср5 = 2.8 (среднее значение экспертных оценок по пятому критерию); Кср6 = 3 (среднее значение экспертных оценок по шестому критерию); Кср7 = 2.6 (среднее значение экспертных оценок по седьмому критерию); Кср8 = 3 (среднее значение экспертных оценок по восьмому критерию); Кср9 = 2.8 (среднее значение экспертных оценок по девятому критерию).
Исходя из полученных данных, была построена гистограмма соотношения максимально возможного количества баллов и полученного в ходе экспертной оценки (см. рисунок).
3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0
I Среднее значение экспертных оценок
I Максимальный балл
123456789
Соотношение максимального балла и среднего значения полученных оценок
Результаты экспертной оценки позволяют оценить приемлемость разработанной методики.
Апробация позволила выявить следующие основные положения методики активизации познавательной деятельности учащихся при изучении иррациональных уравнений.
1. При изучении иррациональных уравнений в основной школе целесообразно применять процессный подход к обучению [28], при котором обучение математике рассматривается как сеть взаимосвязанных процессов: проектирование обучения содержанию темы, обучения понятиям, обучения математическим методам, в частности методам решения иррациональных уравнений и др.
2. Изучение стандартных методов решения иррациональных уравнений сопровождается рассмотрением целесообразно подобранных примеров, которые создают базу понимания учащимися учебного материала [29].
3. Важнейшей задачей обучения является закрепление всех основных приемов решения иррациональных уравнений в условиях урочной и внеурочной деятельности.
4. Целесообразное активное привлечение понятия параметра при изучении иррациональных уравнений. Решение уравнений с параметрами, использование графической, знаково-символической и словесной форм представления математического содержания, а также организация перевода из одной формы представления информации в другие позволяют эффективно осваивать математическое содержание.
5. Рассмотрение разнообразных нестандартных методов решения иррациональных уравнений (метод мажорант, функционально-графические методы) расширяет сферу понимания учащихся [30].
6. Возможна разработка специальной программы внеурочной деятельности учащихся по изучению иррациональных уравнений в основной школе.
7. С целью влияния разработанной методики на активизацию познавательной деятельности учащихся был выявлен уровень познавательной активности школьников до и после эксперимента. Исследовался уровень познавательной активности школьников:
- высокий уровень - творческий;
- средний уровень - интерпретирующая активность;
- низкий уровень - воспроизводящая активность.
Результаты исследования показали превышение на 24% доли учащихся с высоким уровнем активности в результате внедрения разработанной методики решения иррациональных уравнений. Влияние этой методики на повышение уровня познавательной активности отмечают и учителя, участвовавшие в опросе. Более 30% учителей из 18, принимавших участие в апробации, отметили повышение уровня познавательной активности учащихся в результате внедрения новой методики.
Заключение / Conclusion
В соответствии с указанными положениями студенткой магистратуры И. А. Шлайгер была разработана рабочая программа внеурочной деятельности по математике «Математический практикум по решению иррациональных уравнений» для учащихся основной школы, которая была апробирована на базе МКОУ «Па-новская СОШ» в 2019/2020 учебном году [31].
Результаты апробации показали, что реализация этого курса способствовала не только повышению уровня знаний учащихся по данной теме, но и развитию понимания и повышению интереса обучающихся к изучению математики.
Ссылки на источники / References
1. Кисельников И. В. Методический анализ веера ответов участников ЕГЭ по математике // Фундаментальные науки и образование: материалы II междунар. науч.-практ. конф. / Алтайская гос. академия обр-я им. В. М. Шукшина. - Бийск: ФГБОУ ВПО «АГАО», 2014. - C. 424-427.
2. Кисельников И. В. Методический анализ результатов Единого государственного экзамена по математике профильного уровня в 2015 году в Алтайском крае // Современные проблемы науки и образования. - 2015. - № 5. -URL: http://www.science-education.ru/128-21580.
3. Якиманская И. С. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся; Науч.-исслед. ин-т общей и педагогической психологии Академии пед. наук СССР. - М.: Педагогика, 1989. - 224 с.
4. Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М.: Вербум-М; Изд. центр. «Академия», 2003. - 432 с.
5. Есипов Б. П. Самостоятельная работа учащихся на уроках. - М.: Учпедгиз, 1961. - 239 с.
6. Петрусинский В. В. Игры - обучения, тренинг, досуг. - М.: Новая школа, 2014. - 199 с.
7. Усова А. П. Обучение в детском саду / под ред. действит. чл. АПН СССР А. В. Запорожца. - 3-е изд., испр. -М.: Просвещение, 1981. - 175 c.
8. Фридман Л. М. Методика обучения решению математических задач // Математика в школе. - 1991. - № 5. - С. 59-63.
9. Шахмейстер А. Х. Иррациональные уравнения и неравенства: учеб. пособие. - 5-е изд. - СПб.: Петрогриф, 2014. - 216 с.
10. Божович Л. И. Избранные психологические труды : Пробл. формирования личности / под ред. Д. И. Фель-дштейна. - М.: Междунар. пед. акад., 1995. - 209 с.
11. Щукина Г. И. Труды и дни / ред.-сост. М. А. Верб, И. Г. Шапошникова. - СПб., 1997. - 335 с.
12. Bloom B. S. Taxonomy of Educational Objectives, Handboor 1: Cognitive Domain. - New York: David Mc Kay, 1956. - 216 р.
13. Кабанова-Меллер Е. Н. Учебная деятельность и развивающее обучение. - М.: Знание, 1981. - 96 с.
14. Boer H. de, Donker A. S., Kostons D. D. N. M., Van der Werf G. P. C. Long-term effects of metacognitive strategy instruction on student academic performance: A meta-analysis // Educational Research Review. - 2018. - Vol. 24. -P. 98-115. - URL: https://doi.org/10.1016Zj.edurev.2018.03.002.
15. Imai M., Kanero J., Masuda T. The relation between language, culture, and thought // Current Opinion in Psychology. - 2016. - Vol. 8. - P. 70-77. - URL: https://doi.org/10.1016/j.copsyc.2015.10.011.
16. Utomo D. P., Santoso T. Zone of proximal development and scaffolding required by junior high school students in solving mathematical problems // The Education and Science Journal. - 2021. - 23 (9). - Р. 186-202. DOI: 10.17853/1994-5639-2021-9-186-202
17. Попов Н. И. Методика обучения тригонометрии на основе когнитивно-визуального подхода // Сибирский педагогический журнал. - 2008. - № 11. - С. 34-42.
18. Мордкович А. Г. Беседы с учителями математики: учеб.-метод. пособие. - 2-е изд., доп. и перераб. - М.: ООО «Издательство Оникс»; ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. - 336 с.
19. Далингер В. А. Наглядные образы как средство решения математических задач // Математика в школе. -2007. - № 7. - С. 26-31.
20. Гончарова М. А., Решетникова Н. В. Образовательные технологии в школьном обучении математике. - Барнаул: АлтГПА, 2013. - 199 с.
21. Стефанова Н. Л., Подходова Н. С. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.
22. Скафа Е. И., Гончарова И. В., Абраменкова Ю. В. Технологии эвристического обучения математике: учеб. пособие. 2-е изд испр. и доп. - Донецк: ДонНУ, 2017. - 220 с.
23. Митник О. Я. Завдання для розвитку творчих здiбностей дп"ей // Обдарована дитина. - 2002. - № 3. - С. 55-57.
24. Eraut M. Concepts of Competence // Journal of Interprofessional Care. - 2018. - P. 34. - URL: https://doi.org/10.3109/13561829809014100.
25. Роберт И. В. и др. Информационные и коммуникационные технологии в образовании. - М.: Дрофа, 2017. - 320 c.
26. Назарова Н. М., Моргачева Е. Н., Фуряева Т. В. Сравнительная специальная педагогика. - М.: Academia, 2017. -336 c.
27. Кулешова И. Г., Кисельников И. В., Брейтигам Э. К. Содержание фаз понимания учебного материала // Science for Education Today. - 2019. - Т. 9. - № 5. - С. 97-109.
28. Кисельников И. В. Процессный подход в обеспечении качества обучения математике в общеобразовательной школе // Мир науки, культуры, образования: научный журнал / Учредитель редакция журнала «МНКО». -2010. - № 1(20). - С. 148-151.
29. Брейтигам Э. К., Кисельников И. В. Повышение качества математического образования на основе достижения понимания учебного материала // Вестник АлтГПА: Психолого-педагогические науки, Гуманитарные науки. - 2013. - № 14-15. - С. 108-115.
30. Кисельников И. В. Проектирование процесса обучения математическим понятиям в системе обеспечения качества обучения математике // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 2. - URL: http://www.science-education.ru/116-12539.
31. Шлайгер И. А. Активизация познавательной деятельности учащихся при усвоении темы «Иррациональные уравнения» // Актуальные проблемы математического образования в школе и вузе: материалы X Междунар. науч.-практ. конф., г. Барнаул, 24-25 октября 2019 года / под ред. И. В. Кисельникова, И. Г. Кулешовой. - Барнаул: АлтГПУ, 2019. - С. 131-134.
1. Kisel'nikov, I. V. (2014). "Metodicheskij analiz veera otvetov uchastnikov EGE po matematike" [Methodological analysis of the range of the answers of the participants of the Unified State Exam in mathematics], Fundamen-tal'nye nauki i obrazovanie: materialy II mezhdunar. nauch.-prakt. konf., Altajskaya gos. akademiya obr-ya im. V. M. Shukshina, FGBOU VPO "AGAO", Bijsk, pp. 424-427 (in Russian).
2. Kisel'nikov, I. V. (2015). "Metodicheskij analiz rezul'tatov Edinogo gosudarstvennogo ekzamena po matematike profil'nogo urovnya v 2015 godu v Altajskom krae" [Methodological analysis of the results of the Unified State examination in mathematics (profile level) in 2015 in the Altai Region], Sovremennye problemy nauki i obra-zovaniya, № 5. Available at: http://www.science-education.ru/128-21580 (in Russian).
3. Yakimanskaya, I. S. (1989). Vozrastnye i individual'nye osobennosti obraznogo myshleniya uchashchihsya [Age and individual characteristics of students' imaginative thinking], Nauch.-issled. in-t obshchej i pedagogicheskoj psi-hologii Akademii ped. nauk SSSR, Pedagogika, Moscow, 224 p. (in Russian).
4. Gusev, V. A. (2003). Psihologo-pedagogicheskie osnovy obucheniya matematike [Psychological and pedagogical foundations of teaching mathematics], Izd. "Verbum-M": Izd. centr. "Akademiya", Moscow, 432 p. (in Russian).
5. Esipov, B. P. (1961). Samostoyatel'naya rabota uchashchihsya na urokah [Independent work of students in the classroom], Uchpedgiz, Moscow, 239 p. (in Russian).
6. Petrusinskij, V. V. (2014). Igry - obucheniya, trening, dosug [Games - learning, training, leisure], Novaya shkola, Moscow, 199 p. (in Russian).
7. Usova, A. P. (1981). Obuchenie v detskom sadu [Kindergarten education], 3-e izd., ispr., Prosveshchenie, Moscow, 175 p. (in Russian).
8. Fridman, L. M. (1991). "Metodika obucheniya resheniyu matematicheskih zadach" [Methods of teaching solving mathematical problems], Matematika vshkole, № 5, pp. 59-63 (in Russian).
9. Shahmejster, A. H. (2014). Irracional'nye uravneniya i neravenstva [Irrational equations and inequalities]: ucheb. posobie, 5-e izd., Petrogrif, St. Petersburg, 216 p. (in Russian).
10. Bozhovich, L. I. (1995). Izbrannye psihologicheskie trudy [Selected psychological works]: Probl. formirovaniya lich-nosti, Mezhdunar. ped. akad., Moscow, 209 p. (in Russian).
11. Shchukina, G. I. (1997). Trudy i dni [Works and days], St. Petersburg, 335 p. (in Russian).
12. Bloom, B. S. (1956). Taxonomy of Educational Objectives, Handboor 1: Cognitive Domain, David Mc Kay, New York, 216 p. (in English).
13. Kabanova-Meller, E. N. (1981). Uchebnaya deyatel'nost' i razvivayushchee obuchenie [Educational activities and developmental learning], Znanie, Moscow, 96 p. (in Russian).
14. Boer, H. de, Donker, A. S., Kostons, D. D. N. M. & Van der Werf, G. P. C. (2018). "Long-term effects of metacognitive strategy instruction on student academic performance: A meta-analysis", Educational Research Review, vol. 24, pp. 98-115. Available at: https://doi.org/10.1016/j.edurev.2018.03.002 (in English).
15. Imai, M., Kanero, J. & Masuda, T. (2016). "The relation between language, culture, and thought", Current Opinion in Psychology, vol. 8, pp. 70-77. Available at: https://doi.org/10.1016/j.copsyc.2015.10.011 (in English).
16. Utomo, D. P. & Santoso, T. (2021). "Zone of proximal development and scaffolding required by junior high school students in solving mathematical problems", The Education and Science Journal, 23 (9), pp. 186-202. DOI: 10.17853/1994-5639-2021-9-186-202 (in English).
17. Popov, N. I. (2008). "Metodika obucheniya trigonometrii na osnove kognitivno-vizual'nogo podhoda" [Methods of teaching trigonometry based on a cognitive-visual approach], Sibirskijpedagogicheskijzhurnal, № 11, pp. 34-42 (in Russian).
18. Mordkovich, A. G. (2008). Besedy s uchitelyami matematiki [Conversations with math teachers]: ucheb.-metod. posobie, 2e izd., dop. i pererab., OOO "Izdatel'stvo Oniks"; OOO "Izdatel'stvo "Mir i Obrazovanie", Moscow, 336 p. (in Russian).
19. Dalinger, V. A. (2007). "Naglyadnye obrazy kak sredstvo resheniya matematicheskih zadach" [Visual images as a means of solving mathematical problems], Matematika vshkole, № 7, pp. 26-31 (in Russian).
20. Goncharova, M. A. & Reshetnikova, N. V. (2013). Obrazovatel'nye tekhnologii v shkol'nom obuchenii matematike [Educational technologies in teaching mathematics at school], AltGPA, Barnaul, 199 p. (in Russian).
21. Stefanova, N. L. & Podhodova, N. S. (2005). Metodika i tekhnologiya obucheniya matematike [Methods and technology of teaching mathematics]. Kurs lekcij: posobie dlya vuzov, Drofa, Moscow, 416 p. (in Russian).
22. Skafa, E. I., Goncharova, I. V. & Abramenkova, Yu. V. (2017). Tekhnologii evristicheskogo obucheniya matematike [Technologies of heuristic teaching of mathematics]: ucheb. posobie, 2-e izd ispr. i dop., DonNU, Doneck, 220 p. (in Russian).
23. Mitnik, O. Ya. (2002). "Zavdannya dlya rozvitku tvorchih zdibnostej ditej" [Tasks for the development of children's creative abilities], Obdarovana ditina, № 3, pp. 55-57 (in Ukranian).
24. Eraut, M. (2018). "Concepts of Competence", Journal of Interprofessional Care, p. 34. Available at: https://doi.org/10.3109/13561829809014100 (in English).
25. Robert, I. V. et al. (2017). Informacionnye i kommunikacionnye tekhnologii vobrazovanii [Information and communication technologies in education], Drofa, Moscow, 320 p. (in Russian).
26. Nazarova, N. M., Morgacheva, E. N. & Furyaeva, T. V. (2017). Sravnitel'naya special'naya pedagogika [Comparative special pedagogy], Academia, Moscow, 336 p. (in Russian).
27. Kuleshova, I. G., Kisel'nikov, I. V. & Brejtigam, E. K. (2019). "Soderzhanie faz ponimaniya uchebnogo materiala" [The content of the phases of understanding the educational material], Science for Education Today, t. 9, № 5, pp. 97-109 (in Russian).
28. Kisel'nikov, I. V. (2010). "Processnyj podhod v obespechenii kachestva obucheniya matematike v obshcheobra-zovatel'noj shkole" [The process approach in ensuring the quality of teaching mathematics in secondary schools], Mir nauki, kul'tury, obrazovaniya: nauchnyj zhurnal, Uchreditel' redakciya zhurnala "MNKO", № 1(20), pp. 148151 (in Russian).
29. Brejtigam, E. K. & Kisel'nikov, I. V. (2013). "Povyshenie kachestva matematicheskogo obrazovaniya na osnove dos-tizheniya ponimaniya uchebnogo materiala" [Improving the quality of mathematics education based on the achievement of understanding of educational material], Vestnik AltGPA: Psihologo-pedagogicheskie nauki, Gumanitarnye nauki, № 14-15, pp. 108-115 (in Russian).
30. Kisel'nikov, I. V. (2014). "Proektirovanie processa obucheniya matematicheskim ponyatiyam v sisteme obespech-eniya kachestva obucheniya matematike" [Designing the process of teaching mathematical concepts in the quality assurance system for teaching mathematics], Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya, № 2. Available at: http://www.science-education.ru/116-12539 (in Russian).
31. Shlajger, I. A. (2019). "Aktivizaciya poznavatel'noj deyatel'nosti uchashchihsya pri usvoenii temy "Irracional'nye uravneniya" [Stimulation of cognitive activity of students learning the topic "Irrational equations"], in Kisel'nikov, I. V. & Kuleshova, I. G. (eds.). Aktual'nye problemy matematicheskogo obrazovaniya v shkole i vuze: materialy X Mezhdunar. nauch.-prakt. konf., g. Barnaul, 24-25 oktyabrya 2019 goda, AltGPU, Barnaul, pp. 131-134 (in Russian).
