Влияние гало темной материи на рост сверхмассивной черной дыры в центре галактики Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 523.11

ВЛИЯНИЕ ГАЛО ТЕМНОЙ МАТЕРИИ НА РОСТ СВЕРХМАССИВНОЙ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ В ЦЕНТРЕ

ГАЛАКТИКИ

Е. А. Васильев, М. И. Зельников

Исследуется влияние темной материи на рост сверхмассивных черных дыр в центрах галактик (прежде всего, Млечного Пути). Показано, что гравитационное рассеяние частиц темной материи на звездах ядра галактики (балджа) приводит к диффузии темной материи в фазовом пространстве {т,т2,1}. Получено соответствующее уравнение диффузии для функции распределения и вычислены его коэффициенты для различных моделей балджа. Показано, что преобладающим эффектом является диффузия по моменту импульса т, которая приводит к значительному потоку частиц в черную дыру. Установлен закон роста черной дыры Мьк ~ ¿9|/16 за счет поглощения темной материи и показано, что этот процесс может дать объяснение наблюдаемым, массам черных дыр. Рассмотрены поправки, связанные с областью гравитационного влияния черной дыры и диффузией темной материи по адиабатическому инварианту I, и сделан вывод, что в большинстве случаев они практически не отражаются на законе роста.

1. Вопрос о взаимодействии центральной сверхмассивной черной дыры (ЧД) в центре галактики и гигантского гало темной материи уже исследовался в ряде работ (см. [1, 2, 3]). Предметом внимания этих работ выступала эволюция гало темной материи (ТМ) под влиянием формирующейся в центре галактики ЧД. Как варианты начально го распределения плотности темного вещества в гало рассматривались: самоподобный

(степенной) профиль р ~ г~а (0 < а < 2), изотермический профиль р ~ г-2 и профиль Наварро-Фрэнка-Уайта (КЕ\¥) р ~ гд у [4]- В работе [1] эволюция гало определя-

лась методом адиабатического инварианта, который применим для определения малых изменений параметров движения частицы за орбитальный период, когда рост ЧД соответствующее изменение гравитационного потенциала происходит адиабатическ: медленно.

Однако пренебрежение поглощением частиц черной дырой, а также предположение о равномерности и постоянстве их распределения по моменту, привело в этой работе к переоценке потока тёмного вещества на ЧД.

Более точный подход был использован в работах [5, 6], где учитывался не только рост черной дыры за счет поглощения падающего вещества, но и соответствующее изменение функции распределения частиц ТМ как из-за их поглощения, так и из-за изменения гравитационного поля ЧД. Оказалось, однако, что учет только перечисленных выше факторов приводит к заключению, что при нынешнем значении массы ЧД в Галактике Мьк — 2.9 ■ 106А/0 (Л/д - масса Солнца) попавшая в нее ТМ составляет лишь малую долю этой массы.

В работе [7] было выдвинуто предположение, что гравитационное рассеяние частиц ТМ звездами ядра галактики может существенно увеличить массу поглощенного темного вещества. Этот эффект приводит к диффузии ТМ в фазовом пространстве {т,т2,1} по моменту импульса т и, как было показано в этой работе, дает правильный порядок массы черных дыр, наблюдаемых в центрах галактик, а также позволяет установи гь закон роста этих ЧД.

Развивая вышеизложенный подход, в настоящей работе мы исследуем влияние на рост центральной ЧД следующих трех факторов, остававшихся до сих пор без должного внимания:

- динамики ТМ в области гравитационного влияния ЧД;

- изменения концентрации звезд в этой области;

- диффузии частиц ТМ по адиабатическому инварианту /, вызванной рассеянием на звездах.

В работе вычислены коэффициенты диффузии внутри и вне зоны гравитационного влияния ЧД по всем фазовым переменным (вблизи порога поглощения ЧД), необходимые для последующего изучения двумерной диффузии ТМ. Произведены оценки, показывающие, что в большинстве случаев перечисленные факторы незначительно сказываются на общем законе роста массы ЧД.

1.1. Темная материя в галактике. Как показывают наблюдения, большую часть массы во Вселенной составляет темная материя, значительная доля которой представляет собой нерелятивистские частицы, взаимодействующие только гравитационно [8]. Поэтому в газе частиц ТМ отсутствует давление, диссипация и, в общем случае, отсутствует термодинамическое равновесие. Исследование динамики такого вещества методом кинетического уравнения показывает, что в результате роста первоначальных возмущений в распределении материи образуются сферически-симметричные образования - бездиссипативные гравитационные сингулярности (БГС) различных масштабов, имеющие, однако, сходную структуру. Согласно общей аналитической теории, разработанной А.В. Гуревичем и К.П. Зыбиным [9] и подтверждённой численными экспериментами [10], такие объекты имеют одинаковый профиль плотности

р(г) = Аг£ = 12/7. (1)

Из-за того, что первоначальное возмущение в общем случае не является сферически-симметричным, частицы образовавшейся БГС будут обладать моментом (при этом суммарный момент системы остается равным нулю). После сильного сжатия на нелинейной стадии момент, приобретенный частицами, будет небольшим. Он оказывается жестко связанным с их радиальным действием следующим соотношением: т2 = /д/2, где ^ — ~ /г^Т иТ(г)(1г, малый параметр /0 — 0.1 определяется асимметрией начальной неоднородности плотности. Функция распределения частиц темной материи, записанная в переменных 7, т, тг, имеет следующий вид [9]:

/(7, тп, тпх) = /о 11/86(т2 - 12012). (2)

В дальнейшем, после образования БГС галактических масштабов, происходит образование самой галактики в результате концентрации барионного вещества к центру потенциальной ямы, его остывания и формирования галактической структуры балджа, диска и гало. При этом полный гравитационный потенциал перестает определяться темной материей; наоборот, в центральных областях основной вклад в него на этой стадии вносит барионное вещество. В целом процесс образования галактики происходит адиабатически, т.е. достаточно медленно по сравнению с динамическим временем осцилляций частиц темной материи в общем потенциале. В этих условиях радиальное действие является адиабатическим инвариантом (в дальнейшем будем его так и называть).

(3)

г_

где Е - энергия частицы, Ф(г) - гравитационный потенциал, г_, г+ - точки поворота, которые определяются обращением в ноль подкоренного выражения; в силу малости

Нас интересует центральная область галактики - балдж, который мы будем считать приближенно сферически-симметричным. В этом случае полный момент частиц тоже сохраняется, и, следовательно, функция распределения частиц, записанная в переменных /, т, тг, не изменяет свой вид. В предположении, что плотность и гравитационный потенциал балджа имеют степенную зависимость от г, можно показать, что профиль плотности темной материи будет также степенным [5].

Гало темной материи нашей Галактики по оценкам [9] имеет массу Л/# ~ 1О12М0 и радиус Ян ~ 100 Кпс. Численное значение коэффициента /о из формулы (2) для нашей Галактики составляет

Если оценить количество темной материи в пределах балджа, то окажется, что при сделанных предположениях на момент образования галактической структуры масса темной материи в пределах балджа была сравнима с массой барионной компоненты Аналогичное соотношение справедливо и для области влияния черной дыры (т.е. "цен трального парсека").

По-видимому, в настоящее время количество темной материи в балдже, и тем более в его центральной части, меньше количества барионной материи благодаря процесса!М диффузии и поглощения, о которых речь пойдет ниже. Это означает, что используемое нами в дальнейшем пренебрежение вкладом темного вещества в суммарный гравитационный потенциал является оправданным.

1.2. Структура и параметры балджа. Будем считать, что центральная область галактики, называемая балджем, имеет сферически-симметричную форму, размер поряд ка 1 Кпс и массу порядка Ю1ОЛ/0 [11]. Профиль плотности выводится из зависимости дисперсии скоростей звезд от радиуса и может быть аппроксимирован степенной зависимостью п(г) ~ г~(2~а\ При этом для изотермического балджа, т.е. с независящей от

момента справедливо г_ << г+.

(4)

радиуса дисперсией скоростей а2, показатель степени равен -2. Для нашей Галактики можно принять сг ~ г1/4 при г < 50 пс [12], что соответствует а = 0.5.

Следует отметить, что современные измерения не позволяют получить профиль скоростей для удаленных галактик с разрешением лучше ~ 100 пс. В дальнейших расчетах мы будем приближённо считать дисперсию скоростей в них постоянной, а балдж изотермическим. Это предположение, однако, слабо сказывается на конечном значении массы ЧД.

В центре балджа обычно находится компактный объект; в настоящее время принято считать, что балдж содержит сверхмассивную черную дыру [13]. Для нашей Галактики считается доказанным, что центральный компактный объект Sgr А* является сверхмассивной черной дырой с массой Мьн — 2.9 • 1О6М0 [14]. Звездное скопление вокруг нее имеет профиль плотности

/ г \ -3/2 1

п(г) = По — , где По = ю8—, г0 = 0.02 пс [15]. (5)

\Г0/ пс-3

Примем для упрощения вычислений массы всех звезд одинаковыми и равными Ms. Определим радиус гравитационного влияния черной дыры Ro таким образом, что масса звезд внутри этого радиуса сравнивается с массой черной дыры. В нашей Галактике в настоящее время Ro ~ 1 гас. Будем считать, что в центральной области г < Ro основной вклад в гравитационный потенциал вносит черная дыра, а вне ее - звезды балджа с указанным выше профилем плотности.

Отметим, что эволюция черной дыры и балджа приводит к изменению значений по и Ro. Легко показать, что связь между Мьн и Ro дается соотношением

Мьн = ^-MsfjbR^a, (6)

где г)ь - параметр балджа: пь(г) = fjbr~2+c"-

2. Постановка задачи. Кинетическое уравнение

Наша конечная задача заключается в том, чтобы определить, какую долю массы центральной черной дыры Мьи может составлять темное вещество, и установить закон роста черной дыры за счет поглощения темной материи. Прежде всего отметим, что прямое падение в ЧД частиц темной материи с моментами, меньшими тд .=

(нерелятивистский порог поглощения ЧД), не приводит к существенному росту черной дыры, т.к. если, используя (2), (4), оценить массу таких частиц при современном значении тд, то окажется, что она на два-три порядка меньше Мьи. [6].

Простейшим процессом, приводящим к изменению первоначальной функции распре деления, является гравитационное рассеяние частиц темной материи на звездах, но форме взаимодействия тождественное кулоновскому.

Функция распределения частиц темной материи удовлетворяет кинетическому уравнению

^над.ад: (п

Н0 - функция Гамильтона для движения в данном гравитационном потенциале, { . } скобки Пуассона, St{f} - столкновительный член, который может быть записан в форме Ландау [16]. Поскольку частота соударений со звездами много меньше частоты их орбитального движения, то можно перейти к каноническим переменным действие-угол {1к,Фк}', {1к} = {7,т,тг} и переписать уравнение в усредненном за период виде:

(3)

Тогда выражение для столкновительного члена принимает следующий вид:

=к

(9)

где величины являются коэффициентами диффузии.

Можно показать [1, 5], что для степенного потенциала адиабат-инвариант можно приближённо (с ошибкой менее 8%) представить в виде:

1(Е,т) яз J{E) — Ьат. (10)

При этом константа Ьа = 1 в случае кулоновского (а = — 1) и осцилляторного (а = 2) потенциалов, а в случае изотермического или близкого к нему потенциала Ьа « 0.6.

Оказывается удобным перейти от переменных {/,т,тг} к ^^т^тг) с помощью линейного преобразования (10), при этом в силу малости коэффициента /о, начальная функция распределени (2) в новых переменных примет такой же вид:

Ш,т) = /с/1/8«(т2 - 1р2У (11)

Поскольку начальная функция распределения не зависит от тг, то и решение уравнения (8) будем искать в виде /(</, а выражение (9) перепишем в виде:

ып 1 д (п 91 мр Щм д (а аЛ по\

Далее, некоторые наблюдения свидетельствуют в пользу того, что функцию распределения звезд можно считать изотропнои, т.е. зависящей только от энергии, ко не от момента, в том числе и в центральных областях [17]. Формулы для вычисления коэффициентов диффузии в случае изотропной функции распределения звезд получены в [7].

Чтобы приступить к решению диффузионного уравнения (8), (12), прежде всего необходимо задать функцию распределения звезд.

Предположим, что плотность числа звезд в балд же изменяется степенным образом: п(г) = п0 7, причем потенциал тоже имеет степенной вид Ф(г) = ФоГ°. В этом случае изотропную функцию распределения звезд можно представить также в виде степенной зависимости от энергии [18]:

/V, г) = Е = у + ф(г), 7 = - I) а. (13)

Нас будут интересовать два случая: во-первых, самосогласованный потенциал, создаваемый звездами в балдже (из наблюдений известно, что профиль плотности звезд можно считать степенным с показателем степени 7, близким к 2 [19]), и во-вторых, кулоновский потенциал в области гравитационного влияния черной дыры.

В первом случае для самосогласованного потенциала справедливо соотношение

Ф = Ф оЛ

а2 = а¿¡г" - дисперсия скоростей,

+ 1 1 = 2-а. (14)

а I

В пределе а —> 0 мы получаем изотермическое звездное скопление: /'(Е) = .Ро ехр (— ). сгд - постоянная дисперсия скоростей.

Во втором случае Ф(г) = — СМгЬк; ограничимся случаем 7 = —3/2, следующим из наблюдений [15]. Тогда функция распределения звезд не зависит от энергии и равна при Е < 0, где _ соответствующая постоянная балджа.

3. Коэффициенты диффузии

Рассмотрим два предельных случая: для частиц темной материи, у которых г+(,7) < -Ко (Ло _ граница области гравитационного влияния черной дыры (6)), будем вычислять коэффициенты по формулам для кулоновского потенциала черной дыры, а для осталь ных используем выражения для самосогласованного потенциала и распределения звезд в балдже, считая, что большую часть орбитального периода эти частицы проводят вне зоны влияния черной дыры.

Опуская для краткости промежуточные вычисления, приводим полученные коэффициенты диффузии для этих двух случаев.

Для случая балджа коэффициент диффузии по моменту т

Л22 « 0.46ОМ5Ьсс^

Этот результат в точности совпадает с формулой, полученной в работе [7]. что 7?22 не зависит от т и слабо зависит от <7, причем в изотермическом зависит вовсе. Коэффициент диффузии по 3 оказывается равным

Ли-« Я» • (16)

7?ц возрастает с уменьшением момента, однако далее будет показано, что этот рост в действительности ограничен.

Что касается коэффициента Л12, то его можно представить как Л22 ■ Ка (у) - где Ка(ц) —► 0 при —> 0. Поэтому при малых моментах членом с Л12 в (12) можно пренебречь.

Для случая центральной области аналогичным образом получаем

Л22 = 2.4С1/2М5Мь-,1/2Ло3/2£с.72. (17)

Сравнивая с выражением (15), убеждаемся, что при ,7 = 7/(7?о) (на границе области гравитационного влияния черной дыры) коэффициенты диффузии совпадают, то есть формулы для двух предельных случаев хорошо согласуются друг с другом. Далее, для диффузии по 7 имеем:

Лц = Л22 ■ 0.25 — . ' (18)

т

(15)

Отметим, случае не

Аналогично предыдущему случаю устанавливаем, что Д12 сопв^ггу! т.е. не представляет интереса при малых т.

3.1. Коэффициенты диффузии для уточненного распределения звезд. До сих пор при вычислении коэффициентов диффузии мы пренебрегали тем, что плотность звезд вблизи черной дыры может существенно отличаться от общего степенного профиля. Между тем, основное влияние на коэффициент /2ц оказывают звезды в перицентре орбиты частицы темной материи, т.е. для частиц с малыми моментами - наиболее близкие к черной дыре звезды. Попробуем выяснить связанные с этим поправки в коэффициент Яц.

Для начала рассмотрим область кулоновского потенциала. Из наблюдений [14] известно, что ближайшая к черной дыре звезда имеет характерный размер орбиты порядка 1000 АЕ или 3 • Ю-4 пс. Между тем, согласно (5), внутри сферы данного радиуса мы должны были бы наблюдать около 15 звезд.

Для учета этой несогласованности примем, что функция распределения звезд по энергиям обращается в нуль для Е < Есг = — _ д3 сопоставления с наблюдениями получаем значение гсг ~ 5 • Ю-3 пс ~ 104г5, где гд - гравитационный радиус ЧД.

Модифицированный коэффициент диффузии В!хг ~ Яц • при г_ < гДля зна-

чений г+ < 1 пс, р. = у < 0.1, справедливо г_ < гсг, так что во всей интересующей нас области коэффициент Дп оказывается существенно меньше, чем вычисленный по формуле (18). Можно показать, что если рассматривать эту поправку для звезд вне центральной области, принимал значение гсг ~ 102 — Ю3гэ, как следует из наблюдений, то Яц возрастает с уменьшением момента вплоть до т = 102 — 103т3, а затем выходит на постоянный предел. В то же время на /?22 это обрезание практически не отражается.

3.2. Скорость диффузии. Нетрудно показать, что для уравнения = ^ (^М) характерным "временем релаксации" на пространственном масштабе I является г ~ Пользуясь этим, сделаем некоторые оценки, касающиеся уравнения (8) с коэффициентами (15), (16), вычисленными для балджа.

Время диффузии по моментам т2 = ~ Ю6 (7^7) лет, т.е. времени существо-

вания Галактики соответствует область г < 100 пс (ниже мы уточним эту оценку). Коэффициент 7?ц возрастает с уменьшением т; при минимальном моменте т = тд характерное время диффузии по J составляет гх ~ 3 • Ю6^: лет, то есть для г+ ~ 100 пс Т\ намного меньше возраста Галактики. Однако при моментах, уже хотя бы на порядок

превышающих тд, диффузия по J не вносит существенных искажений в одномерную диффузию по т. В предыдущем параграфе было показано, что учет обрезания профиля плотности звезд при г —► 0 приводит к тому, что R\\ с уменьшением т стремится к конечному пределу, то есть Т\ становится сравнимым с т2 либо превосходит его для всех значений г+ < 100 п с. Таким образом, в первом приближении диффузией по J можно пренебречь по сравнению с диффузией по т, по крайней мере для не слишком малых значений т.

Что же касается характерного времени диффузии по моментам для центральноп области, то из-за того, что R22 ~ «72 = Чт2, характерное время не зависит от начального значения момента и составляет т2 = 106лет X ) -

4. Поглощение темной материи и рост черной дыры

4-1. Приближение одномерной диффузии. В предыдущих разделах было показано, что коэффициент R2 2 в балд же не зависит от т, коэффициент Ru ~ i?2 2 , е < 1, а R12 ~ R22• Поскольку в начальный момент тп = IqJ « J, а нас интересует поведение функции / при малых ш, то в (12) можно пренебречь членом с Л12. Далее, из тех же соображений следует, что |j ~ в начальный момент, а поскольку при m = l0J

справедливо Ru ~ Д22, то Rudf/dJ « R^df /дт при не слишком малых значениях т. Кроме того, как было показано выше, Ru в действительности ограничен при m —► 0. Наконец, при т = тд имеем /(m, J, t) = 0, поэтому = 0, и, таким образом.

т=тд

величина Ru§j ограничена при тп 0.

Суммируя все сказанное, можно в первом приближении пренебречь в выражении (12) всеми членами, кроме первого, и записать кинетическое уравнение (8) в виде

% - Ш w

с граничными условиями

/L=m9=0, m—f\m=oo = 0, (20)

начальными условиями (4) и коэффициентом диффузии (15), вычисленным для бал-джа (влияние центральной области и уменьшение коэффициента диффузии в ней будет обсуждаться ниже).

Поток темной материи через границу m = mg дается выражением

S{t) = 16тг3 J dJf0J1/8Sj(t), (21)

где Sj(t) = rrigR^L - поток через границу т = тд для уравнения (19) с начальным

условием

f(m t — 0si = Mm2 — m2\ m.~. = I.-..T (22)

J yiv, О — u; — uyi.u "'0/5 ""U — 'U'

4-2. Поток в одномерной задаче. Рассмотрим вспомогательную задачу: уравнение

(19) с граничными условиями (20) и начальным условием (22) и найдем для него поток &(*) =

Решение уравнения (19) представляется в виде

оо

/(т,г) = I с1т'С(т,т',г)/(т', 0), (23)

где

оо

G = J d\m'ехр(—XRt)Z\(m, mg)Z\(m', mg)

- функция Грина,

„ , , J0(y/Xmg)Y0(y/\m) — Jo(V\m)Y0(y/Xmg) Z\(m,ma) = --~f=----

(Jg(V\mg) + ГДч/Лтя))1/2

- ортонормированная система собственных функций граничной задачи (20), Jo, Уо функции Бесселя 1-го и 2-го рода нулевого порядка.

С учетом начальных условий (22) f(m,t) = ^^G(m,mo,t).

Можно показать, что поток Sj(t) ~ уехр С ~ 5. Чтобы найти более точный

вид зависимости, воспользуемся следующим рассуждением.

Поток Sj(t, m) = m/?|£ непрерывен по m; более того, в области mg < т < т0 можно считать этот поток почти независящим от т (это справедливо, начиная с некоторого момента времени когда ширина "пика" функции /(т) станет порядка то, см. рис. 1).

Обозначим n(t) = , тогда

v ) dm т=ТОэ'

/то

-ТГ-дгп! = mgK{t) In—. (24)

ят тпа

Рис. 1. Нормированные значения /(ш,^)//п(ш/ту) для различных т (24): 1) т — т0/2, 2) т — 20тд, 3) т — 1.2тд, 4) теоретическая оценка для потока /с(2) по формуле (25) при т0 = 100т?. Видно, что профиль зависимости от времени практически одинаков, максимальные значения, нормированные на 1п(т/тд), совпадают, хотя и достигаются в разные моменты времени, соответствующие приходу в точку начального возмущения. Теоретическая кривая является хорошим приближением для потока при его максимальном значении, а при больших временах несколько переоценивает поток.

Согласно сказанному выше, «(£) « = ехр (—_ некоторая константа. к(Ь) име ет максимум при аргументе экспоненты, равном —1; значение Ктах = ^Щ. Если для

ето0

определения значения Е мы применим формулу (24) при т = то/2, то учитывая, что

/тах(т0/2) = получим значение Е = —-————. Окончательно поток оказы-

вается равным:

^/ч е1п2 1 ( т1 \

я

Применимость проведенного рассуждения подтверждается хорошим соответствием формулы (25) с проведенным нами численным интегрированием задачи (рис. 1).

4-3. Закон роста черной дыры. В первом приближении пренебрежем тем, что в обла сти кулоновского потенциала вблизи черной дыры коэффициент й(<7) описывается фор

мулой (17). Представим его для всего диапазона <7 согласно (15) в виде Д(<7) = е = ^^ < 0.2. Подставляя полученное выражение для Б^) в формулу для общего потока (21), перепишем ее в виде

эд^л^Ы-С1)- (2б)

О 2 ТПд \ С /

Логарифм под интегралом слабо меняется, поэтому будем считать его значение приближенно постоянным и равным 10. Тогда получаем

5(1) = 8.9/„Я,^1 Н, = )(27) 1г~щ=ъ \10) 2-6

Если считать, что рост черной дыры определяется исключительно поглощением темного вещества, то получаем следующую зависимость массы черной дыры от времени (принимая массу затравочной дыры малой):

Мьн{1) = В = 8.9/о#б8(2~е). (28)

Отметим, что если пользоваться более точным выражением для Б^) при больших то коэффициент В понижается приблизительно в 1.2 раза.

Таким образом, рост черной дыры имеет степенной характер с показателем степени около 9/16. Это в целом согласуется с результатами работы [7], хотя показатель степени оказывается несколько меньшим.

4-4- Влияние области кулоновского потенциала на рост черной дыры. Поскольку коэффициент диффузии в области влияния черной дыры (17) меньше, чем в балдже (15), можно было бы предположить, что диффузия этой области происходит медленнее, и это замедляет рост массы черной дыры. В действительности это не совсем так. Согласно сделанным в конце п. 3.2 оценкам, характерное время диффузии т ~ МЬ2Л и в настоящее время составляет 106 лет, а значит, раньше оно было еще меньше. Кроме того, из (25) видно, что максимум потока приходит из области Jmax < y57?i//o) что на нынешний момент соответствует области г < 100 п с, тогда как Jo соответствует г ~ Inc. Зависимость от времени у этих величин также практически одинаковая, Jmax ~ t1^2-, J0 ~ Mbh{t) ~ ¿9|/16, то есть соотношение J0 << Jmax сохранялось и в прошлом.

Нетрудно показать, что для изменяющегося во времени коэффициента R выражение для Sj(t) изменится следующим образом:

Sj(i) =

R(t)

eln2

1П1п m° '

2m.g JR(t')dt>

О

exp

V

IIJ2

5 / R(t')dt'

(25')

Поскольку же Д(г) начинает уменьшаться при Ь > ¿о(«-0 : ^о(^о) = 3, причем согласно сказанному выше tn(J) — 104т^гг = 104£„,а.г( где trr,nJJ) - время максимума потока.

I (зл.) ---- ^ ' - -----» ' Г

то это сказывается лишь на далеком "хвосте" функции т.е. практически несуще

ственно.

4-5. Влияние диффузии по J на рост черной дыры. Попробуем более точно оценить, насколько существенно влияние диффузии по J, т.е. насколько правомерным был переход к одномерной диффузии. Для этого по полученному приближённому решению (ограничимся случаем а = 0, т.е. i?22 = const) найдем величину

д ( df\ д ( п J д

I

eln2

йГ

ln-

101n^ R„t

exp

IP2

Нас будет интересовать время t ~ lj5~r- Оказывается, что tj ~ tmax — t:

5R22t_

, соответствующее максимуму потока: tmax =

1п2

9 ' 1

51п££ 11Лт

(l - —) .

\ ^тах'

(29)

Теперь надо сравнить г] с членом Т]т = ^ ^ Однако нетрудно убедиться,

что при подстановке (24) этот член тождественно обращается в нуль, поскольку приближенное решение не удовлетворяет исходному уравнению во всей области т > тд. Поэтому сравним г/ с величиной г]т = — •

dt

Ч т =

51п2 Д221п^

1РА

21п

l0J

2772л

V ^тах'

(30)

2 iu

Сопоставляя с (29), находим ~ = 25т.

Для J(r+ = 100 пс), т = тд это отношение составляет « 30. Как было указа но в конце п. 3.1, для оценки максимального значения /?ц вместо тд следует брать величину порядка 102шэ, то есть это отношение станет порядка единицы. Необходи мо, однако, отметить, что все приведенные в этом параграфе оценки остаются весьма

приближенными, поскольку для точных оценок необходимо использовать точное решение уравнения одномерной диффузии, тогда как метод п. 4.2 дает только правильное выражение для общего потока через m = тд, но не дает решения уравнения при всех т.

Проблемой данного метода пока остается ограниченная применимость перехода к одномерной диффузии при приближении m к границе поглощения тд. Впрочем, учет двумерной диффузии в этой области вряд ли существенно изменит величину потока через m = тд, так как диффузия по J приводит к "размыванию" функции распределения вдоль оси J, а коэффициент диффузии по моментам Л22 слабо зависит от .7 согласно (16). Этот эффект может стать существенным при "выталкивании" темной материи в область столь больших J, что диффузионное приближение перестает быть применимым, т.е. где изменения величин m, J за один период превосходят сами значения этих величин.

5. Сопоставление с наблюдениями и выводы

Сделаем теоретические оценки масс черных дыр Мьк, получаемых из закона роста (28), и сравним их с наблюдаемыми величинами для трех галактик.

В галактиках M 31 и NGC 4258 дисперсия скоростей звезд слабо зависит от расстояния до центра и средняя скорость составляет приблизительно 200 км/с [20]. Принимал значение /0 таким же, как в нашей Галактике (4), а время t — 3-101' с = Ю10 лет, получим значение Мъь, — 1.8-10' М®, тогда как наблюдаемые значения равны (2.0—8.5)-10' М® для M 31 и 3.8 • 107М® для NGC 4258. Это означает, что темная материя может составлять значительную долю массы черных дыр в этих галактиках.

В нашей Галактике зависимость дисперсии скоростей от расстояния до центра можно приближенно представить в виде <т(г) = а0 , = 60 км/с [12], что соответствует значению а = 0.5. Тогда выражение (28) дает величину Мьк ~ Ю'М®, что приблизительно втрое превышает наблюдаемую массу Mbh ~ 2.9-1О6М0 [14]. Отметим, что по сравнению с работой [7], полученное в данной работе теоретическое значение Мьк приблизительно в два раза ближе к наблюдениям за счет более точной оценки потока S(t).

Остающееся расхождение с наблюдениями может быть связано как с достаточной чувствительностью (28) по отношению к изменению /о и /0, определяемых здесь оценочным образом, так и с не учтенной здесь эволюцией функции распределения звезд в балд же.

В целом можно признать, что рассмотренная в работе модель позволяет дать адекватную оценку для наблюдаемых масс сверхмассивных черных дыр и показывает, что значительную, если не большую, часть этой массы может составлять темное вещество. Дальнейшая разработка модели потребует, во-первых, более точного вычисления коэффициентов диффузии при малых моментах с учетом детального знания распредели ния звезд в центральных областях, во-вторых, задания модели эволюции балджа и его центральной области, и, в-третьих, перехода к решению двумерного уравнения диффу зии по m, J. Такое рассмотрение позволит более точно учесть эффект набора энергш частицами темной материи и диффузию частиц из балджа.

Авторы благодарят В. JI. Гинзбурга за заинтересованное внимание, содействовавшее проведению данного исследования, а также А. В. Гуревича, К. П. Зыбина, А. С. Ильина и В. А. Сироту за многочисленные плодотворные дискуссии по теме работы. Работа выполнена при финансовой поддержке Минпромнауки РФ по гранту N НШ-2063.2003.2 и Российского фонда фундаментальных исследований по грантам NN 01-02-17829 и 03-02-06745.

ЛИТЕРАТУРА

[1] G о п d о 1 о P., Silk J. Phys. Rev. Lett., 83, 1719 (1999); (astro-ph/9906391).

[2] M а с M i 1 1 a n J. D., H e n r i k s e n R. N. Asrophys. J., 569, 83 (2002); (astro-ph/0201153).

[3] U 1 1 i о P., Zhao H., К a m i о п k о w s k i M. Phys. Rev., D64, 043504 (2001); (astro-ph/0101481).

[4] N a v a г г о J., F г e n k C., White S. Astrophys. J., 490, 493 (1997); (astro-ph/9611107).

[5] G u r e v i с h A., Z у b i n К., I 1 у i n A. "Nonlinear dynamics of gravitating dark matter and baryonic matter" in: Proceedings of the Third International Sakharov Conference, eds. A.Semikhatov, M.Vasiliev, V.Zaikin (Moscow, Scientific World, 2002).

[6] G u r e v i с h A., Z у b i n К., I 1 у i n A. "Black hole growth in the center of the dark matter halo" in: Proceedings of the Third International Sakharov Conference, eds. A.Semikhatov, M.Vasiliev, V.Zaikin (Moscow, Scientific World, 2002).

[7] Ильин A., 3 ы б и н К., Г у p e в и ч А. ЖЭТФ (в печати).

[8] Silk J. Int. J. Mod. Phys., A17, Supplement, 167 (2002); (astro-ph/0110404).

[9] Г у p e в и ч А., Зыбин К. УФН, 165, N 7, 723 (1995).

[10] Fukushige L., Makino J. Astrophys. J., 477, L9 (1997).

[11] Bureau M. "Structure, kinematics and dynamics of bulges" in: Disk of Galaxies: Kinematics, Dynamics and Perturbations, eds. E. Athanasoula, A. Bosnia & R. Mujica (San Fancisco, ASP, 2002); (astro-ph/0203471).

[12] T r e m a i n e S. et al. Astrophys. J., 574, 740 (2002); (astro-ph/0203468).

[13] Kormendy J., Gebhardt К. "Supermassive Black Holes in Nuclei of Galaxies" m: The 20th Texas Symposium on Relativistic Astrophysics, eds. H. Martcl & J.C. Wheeler (New York, AIP, 2001); p.363; (astro-ph/0105230).

[14] Schrödel R., Genzel R., Ott Т., Eckart A. Astron. Nachr., 324, Si (2003): Special Suppliment The Central 300 Parsecs of the Milky Way, eds. A.Cotera, H.Falcke, T.R.Geballe, S.Markoff; (astro-ph/0304197).

[15] Ott Т. et al. The ESO Messenger, 111, 1 (2003); (astro-ph/0303408).

[16] Лифшиц E., Питаевский JI. Физическая кинетика, М., Наука, 1979.

[17] Genzel R. "The Nuclear Star Cluster of the Milky Way: Star Formation, Dynamics and Central Black Hole" in: Proceedings of the Star2000 Meeting, Heidelberg, March 2000, ed. R.Spurzem; (astro-ph/0008119).

[18] Поляченко В., Фридман А. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем, М., Наука, 1976.

[19] Faber S. М. et al. Astrophys. J., 114, 1771 (1997); (astro-ph/9610055).

[20] Sofue Y., Rubin V. Ann. Rev. Astron. Astrophys., 39, 137 (2001); (astro-ph/0010594).

Поступила в редакцию 1 сентября 2003 г.