CC BY
14
УДК 532.593+517.9
ВЛИЯНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ СКВОЗЬ ПОВЕРХНОСТЬ СФЕРЫ НА СИЛУ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПОТОКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
© 2008 г. А.Ж. Карсян
In work influence of a filtration of a liquid through a surface of sphere on force of influence of a stream of a viscous liquid is investigated. The law of a filtration of a liquid through a surface of the sphere, providing zero influence of a stream on sphere is defined. Calculations are lead for concrete parameters of a stream and parameters of a filtration. Results of calculations are submitted as schedules.
В данной работе исследуется воздействие потока вязкой несжимаемой жидкости на обтекаемую фильтрующую сферу.
Эта задача интересовала ученых очень давно. В [1] исследовался вопрос об оценке возможного выигрыша в сопротивлении за счет введения в пограничный слой некоторой жидкости с другими физическими характеристиками по сравнению с жидкостью, в которое данное тело погружено (в частности за счет введения в пограничный слой жидкости малой плотности и вязкости). В [2] авторы рассматривают в качестве методов снижения сопротивления ламинариза-цию пограничного слоя путем отсоса жидкости из пограничного слоя, использование развитой кавитации, позволяющей отделить значительную часть смоченной поверхности корпуса от воды газовой про-
слойкой, микропузырьковое газонасыщение турбулентного пограничного слоя, подачу слабых растворов полимеров в пограничный слой, использование податливых покрытий.
Влияние малых полимерных добавок на течение жидкости также рассматривается в [3], управление потоком с помощью упругой границы - в [3, 4]. В [5] изучается совместное влияние податливой границы и полимерных добавок на пристенное турбулентное течение, в [6] - вопрос о снижении турбулентного сопротивления путем совместного использования податливого покрытия, газовых микропузырьков и полимерных добавок. В [7] в качестве метода снижения сопротивления используется пористое покрытие. Решается задача о движении с постоянной скоростью сферической частицы, состоящей из жесткого ядра,
покрытого пористым недеформируемым гидродинамически однородным слоем, в неограниченном объеме вязкой несжимаемой жидкости. Выявлено наличие минимума в зависимости силы от толщины пористого слоя и объяснена природа этого минимума.
В [8 - 14] исследовался вопрос снижения сопротивления тела с помощью деформации обтекаемой поверхности. Показано, что за счет заданного закона изменения по времени малых деформаций поверхности сферы можно добиться даже нулевого воздействия потока жидкости на сферу. В [10, 13 - 18] в качестве метода снижения сопротивления используется пленка, покрывающая тело, заданной толщины с другими физико-механическими характеристиками по сравнению с основным потоком. Толщина вязкой жидкости, покрывающей сферу, считается малой. Показано, что при определенном соотношении между вязкостями пленки и набегающего потока воздействие можно существенно снизить. В [19, 20] предложены методы по снижению сопротивления, заключающиеся в выборе формы тела и изменении способа контакта тела и жидкости.
Среди известных методов снижения сопротивления выделяется метод податливой границы (покрытия). Значительный научный интерес представляет «загадка дельфина» - его движение со значительной скоростью при энергетических затратах, значительно меньших экспериментально полученных.
В попытках разгадать загадку дельфина высказывались различные предположения. Одно их них состоит в том, что дельфин выделяет смазку на поверхности тела, которая делает поток почти потенциальным, т.е. почти без трения. По другой гипотезе дельфин вдоль своего тела создает деформацию как в нормальном направлении к поверхности тела, так и вдоль поверхности. Активное изучение гидродинамики дельфинов началось с работ английского зоолога Д. Грея [21]. Большую роль в исследовании сыграл доктор М. Крамер [22, 23]. Систематическими исследованиями гидродинамики дельфинов занимались такие ученые, как В.Г. Логинович [24, 25], В.И. Меркулов [26], Е.В. Романенко [27 - 30], В.Е. Пятецкий [31], Ф.Г.Вуд [32].
В данной работе рассматривается нестационарное осесимметричное обтекание сферы, поверхность которой совершает малые деформации, потоком вязкой несжимаемой жидкости, имеющей на бесконечности скорость и '^ С.Во • гДе хо ~ единичный вектор вдоль потока. Возьмем II ( в форме V и(\-е '") ,где Гп и Ь -константы; г -время. При этом считается заданным закон малых радиальных деформаций сферы, его производная по времени представляет собой закон фильтрации жидкости сквозь поверхность сферы.
Поставлены 2 задачи:
1. Задан закон по времени малых деформаций поверхности сферы (как радиальной, так и тангенциальной (вдоль поверхности сферы)). Определяется сила воздействия набегающего потока на сферу как при наличии малых деформаций поверхности сферы, так и при их отсутствии.
2. Определяется закон малых радиальных деформаций поверхности сферы, обеспечивающий заданную (в том числе нулевую) величину воздействия потока на обтекаемую сферу. Продифференцированный по времени закон малых радиальных деформаций сферы определяет собой закон фильтрации жидкости сквозь поверхность сферы, обеспечивающий нулевое воздействие потока на сферу.
В сферической системе координат для осесиммет-ричного случая в линейной постановке уравнения нестационарного движения вязкой несжимаемой жидкости имеют вид
дК
_ др_
dt р dr
ctg$yvr
d2V„
dr2
1 d2Vr r2 дв2
2<К_
rr
2 dVe 2Vr 2ctg$
dVa
89 . 1 dp
V
1 d2Va
dt pr дв dr2
, 2 dVe | cfgQr,
dr r2 dd
dd2
2 dVr
2
К
0
r2än2e
г Or r^ üb r^ de В сферической системе координат для осесимметричного случая имеем
т\б>,Л
vx= О.
У=*ъЛ = о
dp
= 0
Уравнение несжимаемости в сферической системе координат для осесимметричного случая представля-
ется в виде
дК
1 8Va ч—
2К
r Vectg9 Q
dr г d0 Граничные условия:
1.На бесконечности задается нестационарная скорость набегающего потока: Уг —»,
Уе = -и при г со
2. На поверхности деформированной сферы задается закон, по которому сфера может деформироваться в условиях осевой симметрии (или фильтровать сквозь себя жидкость). Также задается закон по времени деформации вдоль поверхности сферы: Г,. = Уф.
v* dt'
г=а+д■
v0=vT
i=1
dP,( cose)
de
при
• а, где 4' = X ь, (t)Pf (cos(ö)) - закон ради-
i=1
альной деформации границы сферы
л
«1
К -
тангенциальной деформации поверхности сферы; Уф -
фильтрации жидкости сквозь поверхность сферы; V -кинематический коэффициент вязкости жидкости; V-вектор скорости частиц жидкости; р - плотность жидкости; р - отклонение давления П от равновесного: /> = П - р., : П - гидродинамическое давление; р., /)() - атмосферное давление или давление на бесконечности; 1) - 1)(со$(0))- полиномы Лежандра первого рода; с, (I) - режим по времени радиальной деформации сферы.
2
2
2
2
Г
r
r
2
r
При д = 0 и Ут = О условия на поверхности сферы принимают вид ¥г\г=а= 0 , ¥д | г=а = 0 .
Начальные условия будем считать нулевыми: при г = 0, У = 0, С/О=0, д = 0,¥т=0.
Решение задачи строим с помощью преобразования Лапласа по времени г и разложением искомых и заданных функций в ряды по полиномам Лежандра.
Найдены трансформанты Лапласа для радиальной и тангенциальной компонент скорости потока, обтекающего сферу, и для давления:
V =
С,
г 2 r vpa
( + 2\ 4 vpa r \pa
3A2P2 Cose"
4
r vpa
A,*to.O
—Jar
n=3 vpa
D,
0
2 P0
Di
("1 +4a p1 Cose}-—2 (r~4 r"3 +2 P2 <os(9}-
>
+ —1 r ' + >lcc p1%osv J--2 3r T3\ ur Tur p2\
n+1
n=3r (
p =
Co +
Q
(
A
P0<ostf> B1+ A P^osffj
{ r )
A 00 A
(1)
№= 3r
-Jar
—°4actg6P0 Cosdy r
-0,5—— (r'l+-Jccr~2+ r~3 -TP- +
1 ^ <de
+ —
^a-Ja a
*Ja 1
ж — r
n=3n(n+ 1)
- + —- + —- + -
6r 2r2 r3
(
dP
dO
1
r^ ^ 1 dX
dr
-2rn~2\ r~1d)" e~r^
P dO
dP1
~de
>7Г, A
<B -A r-O A2 r Oz
x 1 1 * de 2 r^2 de
p =
í 2 A — а (Г
сЛ—
v r
P0<os0> -Üprv— P1<os(9j-
+ —*b. pv
( ~ ( aqxa
2
V v
a3 Ir а2 ш
+ V1a
1 I CT 1
A (
vaMv a2 y
-Üa
3 + 3 Iff ^ <r 1
2a3 2a2 Vv v 2a
/у
Vr =
f 2 A — a
P0<os0> ÜP1 <osé?>
(2)
f — Г
2
V v
a3 Ir a2 av
a3 \ v a2
t/av
3 + 3 la ^a 1
2a3 2a2 \ v v 2a
p0tosey + Pit™e]
1 cr 1
A
Kr3 V v r2 y
ae
■ ^t/ - 2Fj - cr^j
dP1 <osfl^ dP1 a3^ 1 ^
ve=Ü ,
0 de de r3
Í1a
2v
V v
— + — —+ —
a3 a 2Vv av
V1av
— + — — ya3 a 2\vJ
Üav
3 3 a 1 o
2a3 2a2 \ v 2a v
/
л}
1 -^aa a-i-
an "v ¿ - -+ — e — e - 2Fj - cr^
v
í> 1 [a 1 a^
^ r3 \ V r2 vr
dPx
По найденным давлению и скоростям (2) определяем воздействие потока жидкости на деформируемую сферу как результирующую силу нормальных и касательных напряжений, действующих на поверхность сферы [33]:
\¥ = \\{ргг совб» - Ргв яп е)Л8 , (3)
где рп, - нормальное напряжение; ргв - касательное
напряжение; ргг = -р + 2ц-
дг
Ргв =М
1 dVr +8Ve Ve
Вп, Сп, Ап, Бп - неизвестные коэффициенты.
Удовлетворяя граничным условиям при г = а , учитывая условия на бесконечности и приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра
„ сП> (сочО) ^ Рп (со^), -, определяем константы. Под-
de
ставляем их в выражения для компонент скорости и давления (1) в трансформантах Лапласа и находим трансформанты Лапласа искомых функций:
г дО дг г
В трансформантах Лапласа формула для определения силы воздействия (3) имеет вид
IV = \\{ргг совб1 - ргв втб»)^ =
5
я
= 2ялргг со^- ргв 5те)5тШе . (4)
о
Подставляем найденные значения компонентов тензора напряжений в трансформантах Лапласа в формулу (4) и определяем трансформанту Лапласа воздействия потока жидкости на неподвижную сферу с учетом радиальной и тангенциальной деформаций поверхности сферы:
— — 2 I & —
W = -4anpV1V - 2a жу—р v^a -
- 2ажр vá;x + 2а3лП ^ jp г— - — а3яр г— сг^
V 3 V
-4a 2&J—pvV1+6a7¿J +6a 2n\—p\ÜÜ ^
V \ v
где a - параметр преобразования Лапласа.
2
r
3
a
r
a
r
r
r
+
4
r
Определяем в трансформантах Лапласа часть силы воздействия потока жидкости, которая происходит только за счет нормальных напряжений (с учетом радиальной и тангенциальной деформации поверхности сферы):
Щ = 4ларV + 2т
4 2 ,7 2 2 -— ш А—рш у—руадх-
-6тшруод1+2тш 2 J—р \U ^ J-
+ 2mp\U(¡-^- — жгъpv—<jgx.
3 v
(6)
Определяем в трансформантах Лапласа часть силы воздействия потока жидкости, которая происходит только за счет касательных напряжений (с учетом радиальной и тангенциальной деформации поверхности сферы):
W2 = 4mpvog1 + 4mp\U ^ Jy 4rn J—p
8 2 а ~ 2 с " 4 ~
- — ял у—/7^-ял у—р—^ .
При отсутствии деформаций поверхности сферы трансформанта Лапласа воздействия потока жидкости на сферу имеет вид (обтекание недеформируемой сферы нестационарным потоком)
1У= 2тшуриЬ])3 + 3а.& + —а21 . (7)
I Ь V
В этом случае трансформанта Лапласа части силы воздействия потока жидкости, которая происходит только за счет нормальных напряжений, имеет вид
Щ=2лп3рг — и^ 3-
V
+ 2ла2 1—р U ^^J- 2mpiU{f
(8)
Аналогично в этом случае трансформанта Лапласа части силы воздействия потока жидкости, которая происходит только за счет касательных напряжений, имеет вид
W2 = 4m2J—p4mp\U{f^ .
(9)
#=2/zavp- ^
aif + b
i i CT CT 2
3 + 3aJ--1--а
V К V
(Tb + <
(
2m 3pv— + 2rn 2 J—pv + 2mpv
А
U 0b
(10) (11)
<jb. + &
( fä Л 4na 2J—pv+4napv
V V
После обращения по Лапласу из формулы (10) определяем воздействие потока жидкости на сферу:
W = 2mapUc
3v-3e~btv-
-bt 2, e a b-
34vа^
4тй
(12)
Формула (12) устанавливает закон, по которому определяется воздействие потока жидкости на сферу в зависимости от времени I, радиуса сферы а, коэффициента вязкости у, плотности жидкости р. Эта формула согласуется с формулой Буссинеска [34].
Предельным переходом при / —» со формула (12) переходит в формулу Стокса [36]: IV = (та \;/Я/0.
Аналогично после обращения по Лапласу из формул (11) находим вклады в силу воздействия потока на тело только за счет нормальных (Щ) и касательных (Щ) напряжений:
Wl = 2napU (
v-e~btv-
-bt 2 и , a
-e a b +
4nt
(13)
(
W2 = 4mvpUc
1 + -
,-bt
Л
При / —>• со формулы (13) переходят в известные результаты [33].
Ниже приведены графики, отражающие изменение силы воздействия потока только за счет тангенциальных и нормальных напряжений в зависимости от времени I (рис. 1, 2). Считаем, что сфера обтекается водой (г = 0,018, р. = 0,018, /7 = 1). Положим а = 1,
и0= 1, 6 = 1.
Если взять от заданной на бесконечности скорости набегающего потока преобразование Лапласа, то ее
и ъ
трансформанта Лапласа будет иметь вид II = ——2—-ч.
Тогда для силы воздействия потока жидкости на сферу (7) и их частей (8), (9) имеем
( г~ . ^
Рис. 1
На рис. 2 приведены графики, отражающие вклад силы воздействия за счет нормальных напряжений и вклад силы воздействия за счет касательных напряжений в силу воздействия потока в зависимости от времени Ь Считаем, что сфера обтекается водой г = 0,018, // = 0,018, (/7 = 1). Положим г = 1,
1/0,Ь,х0 =1 (рассмотрено отношение силы воздействия потока за счет нормальных напряжений к полной
а
силе воздействия потока жидкости на сферу, отношение силы воздействия за счет тангенциальных напряжений к полной силе воздействия потока жидкости на
сферу).
W : 70- Г\ 1
60:
50- / *
40- ж / '
30; —.——■—i-.-— ' Т ■ t
10
» Вклад норм напр в воэд - Вклад кэсат напр в возд
Рис. 2
Отметим, что в отличие от стационарного случая при малых значениях времени вклад сил давления превосходит вклад сил вязкости и может даже достигать 75 % от общей силы воздействия, в то время как в стационарном случае силы давления составляют третью часть от полного воздействия.
Найдем закон изменения по времени вдоль поверхности сферы радиальной деформации поверхности сферы (в трансформантах Лапласа), который обеспечивал бы нулевое воздействие потока на сферу. Из формулы (5) при 1\ = О и IV = 0 выводим:
- ъй^у 3
Ci
er
С- + Г
(14)
После обратного преобразования Лапласа формула (14) примет вид
д = д1Р14о&в1 (15)
Тогда поверхность сферы с найденным законом ее радиальной деформации (15), обеспечивающим нулевое воздействие потока, описывается формулой г = а + д^1\ 0 .
Продифференцировав найденный закон радиальной деформации сферы (15) по времени, найдем закон фильтрации жидкости сквозь поверхность сферы, обеспечивающий нулевое воздействие потока на обтекаемую сферу (рис. 3):
VA =
dt
t > ^ + \¡)A ios О
(16)
Участок ABC - часть обтекаемой сферы, на которой жидкость всасывается в сферу, на BC -выпрыскивается из сферы по закону (16).
Таким образом, решение рассматриваемой задачи показывает, что за счет фильтрации жидкости сквозь поверхность сферы можно управлять силой воздействия потока на сферу и даже сделать его равным нулю.
Это объясняет один из механизмов, обеспечивающий дельфину высокую скорость при малых энергетических затратах.
Рис. 3
Литература
1. Лойцянский Л.Г. // ПММ. 1942. Т. 6. С. 95-100.
2. Мальцев Л.Н. и др. // Теплофизика и аэромеханика. 2000. Т. 7. № 3. С. 319-337.
3. Меркулов В.И. Управление движением жидкости. Новосибирск, 1983.
4. СеменовБ.Н. // ПМТФ. 1971. № 3. С. 58-62.
5. Семенов Б.Н., Семенова А.В. // Теплофизика и аэромеханика. 2000. Т. 7. № 2. С. 191-200.
6. Семенов Б.Н. и др. // Теплофизика и аэромеханика. 1999. Т. 6. № 2. С. 225-233.
7. Васин С.И., Старов В.М., Филиппов А.Н. // Коллоидный журнал. 1996. Т. 58. № 3. С. 298-306.
8. Карсян А.Ж. // Строительство-2003: Материалы меж-дунар. науч.-практ. конф. Ростов н/Д, 2003. С. 141-142.
9. Потетюнко Э.Н. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ес-теств. науки. 2000. № 3. С. 127-130.
10. Карсян А.Ж., Потетюнко Э.Н. // Проблемы математического и компьютерного моделирования в научных исследованиях и образовательном процессе: Тр. конф. 15-16 мая. Краснодар, 2003. С. 115-121.
11. Карсян А.Ж. // Вестник РГУПС. 2004. № 1. С. 93-96.
12. Карсян А.Ж., Потетюнко Э.Н. // Безопасность жизнедеятельности. Охрана труда и окружающей среды: Межвуз. сб. науч. тр. Ростов н/Д, 2003. С. 95-97.
13. Потетюнко Э.Н., Шубин Д.С., Карсян А.Ж. Управление сопротивлением сферы, обтекаемой потоком вязкой жидкости. Ростов н/Д, 2004. 101 с. Деп. в ВИНИТИ РАН. № 283-В2004.
14. Karsian А. et al. IC-260 Wind response of the spherical structure with film cladding: Joint International Conference on Computing and Decision Making in Civil and Building Engineering. Montreal. 2006.
15. Карсян А.Ж, Лайпанов Х.С. // Вестник Карачаево-Черкесского государственного университета. 2004. № 14. С. 275-298.
16. Карсян А.Ж. // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. XVII Междунар. науч. конф. Кострома, 2004. Т. 1. С. 95-97.
17. Карсян А.Ж. // Сб. науч. тр. Луганского национального аграрного университета. Серия «Технические науки». 2004. № 49/52. С. 383-388.
18. Карсян А.Ж., Елманов И.М. // Транспорт-2004: Тр. Все-рос. науч.-практ. конф. Ч. 2. Ростов н/Д, 2004. С. 13-14.
19. Готман А.Ш. Определение волнового сопротивления и оптимизация обводов судов. Ч. 1, 2. СПб., 1995.
20. Дьяченко В.К. Сопротивление движению судов на воздушной подушке. СПб., 1999.
21. Gray J. // J. Exp. Biol. 1936. Vol. 13. № 2. P. 192-199.
22. Kramer M.O. // J. Aeronaut. Sci. 1957. Vol. 24. № 6. P. 459.
23. Kramer M.O. // New Scientist. 1960. Vol. 7. № 181. P. 1118-1120.
24. Логвинович Г.В. // Бионика. 1970б. № 4. С. 5-11.
25. Логвинович Г.В. // Бионика. 1973а. № 7. С. 3-8.
26. Меркулов В.И. // Бионика. 1970. № 4. С. 95-104.
27. Romanenko E.V. Fish and Dolphin Swimming. Pensoft. Sofia, 2002.
28. Romanenko E.V. // Biological Fluid Dynamics. 1995. Cambridge, P. 21-33.
29. РоманенкоЕ.В., ЯновВ.Г. // Бионика. 1973. № 7. С. 52-56.
30. Романенко Е.В. // Морское приборостроение: Научн. -техн. сб. Серия акустика. 1972. Вып. 1. С. 154-161.
31. Пятецкий В.Е., Савченко ЮН. // Бионика. 1969. Вып. 3. С. 90-96.
32. Вуд Ф.Г. Морские млекопитающие и человек. М., 1979.
33. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М., 1971.
34. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., 1987. С. 503.
Ростовский государственный университет путей сообщения
5 июня 2007 г.
