CC BY
21
УДК 536.421.1
ВЛИЯНИЕ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА ПЕРВОГО РОДА НА ФОРМУ УДАРНОЙ АДИАБАТЫ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ШИШКИНА В.А., *РЫБАКОВ НА., КОЗЛОВ А Н., *РЫБАКОВ А.П.
Пермская государственная сельскохозяйственная академия, 614990, г. Пермь, ул. Петропавловская, 23 *Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29
АННОТАЦИЯ. Рассмотрена область вблизи пересечения ударной адиабаты твердого тела и кривой плавления. Последняя описана с помощью уравнения Симона. Пересечение ударной адиабаты твердого тела с кривой плавления определяет состояние начала плавления. Пересечение адиабаты жидкости - определяет состояние окончания плавления. Развитая модель продемонстрирована для легкоплавких металлов РЬ, В^ Cd, Sn II.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: ударная адиабата, кривая плавления, твердое тело.
ВВЕДЕНИЕ
При сжатии сильными ударными волнами твердые тела нагреваются до очень высоких температур, существенно превышающих нормальную температуру плавления. Поэтому представляет интерес вид ударной адиабаты в месте пересечения ею кривой плавления твердого тела.
В свое время Урлин [1] отметил, что ударная адиабата в области сосуществования фаз (твердой и жидкой) определяется только уравнением состояния твердой фазы и кривой плавления. Действительно, закон сохранения энергии для ударной волны имеет вид:
Е-Ео = \ (Р+Рот^), (1)
где Р, V, Е и Р0, V), Е0 - давление, удельный объем и внутренняя энергия за фронтом волны и перед ним, соответственно. Когда за фронтом ударной волной частично произошел фазовый переход I рода, то внутреннею энергию можно записать в виде
Е = Ет + аЕт , (2)
где Ет - внутренняя энергия твердой фазы на кривой плавления при давлении Р; а - доля жидкой фазы; Ет - теплота плавления при давлении Р. Обозначая удельные объемы твердой и жидкой фаз на кривой плавления при давлении Р через Ут и Уж и ДУ = Уж — Ут , можно
записать а= С учетом уравнения Клаузиуса-Клапейрона:
Лр Ет
(3)
ЛТ Т*ЛУ ' уравнение (2) переписывается в виде:
Е = Ет + (У — Ут)тЛр , (4)
где Т - температура. Таким образом, при рассмотрении вопроса о влиянии плавления на форму ударной адиабаты не нужна информация о жидкой фазе.
Ударная адиабата твердого тела
Для ударной волны закон сохранения массы, закон сохранения импульса и закон сохранения энергии, соответственно, имеют следующий вид:
Р = ^ = .
ро V й-и;
Р — Р0= р0иО; (5)
Е — Е0 = —~(Р + Р0){У — У0),
где р - плотность; У=1/р - удельный объем; Р - давление; Е - внутренняя энергия; и - массовая скорость за фронтом ударной волны; Б - скорость фронта ударной волны. Индекс «0» означает принадлежность параметра к начальному состоянию. Считается, что и0 =0.
Многочисленные экспериментальные данные по ударно-волновой сжимаемости конденсированных тел аппроксимированы зависимостью
Б=Со+ви, (6)
где С0 и в - коэффициенты, причем С0 имеет значение близкое к гидродинамической объемной скорости звука. Значение коэффициентов С0 и в затабулированы (например, в [2]).
Уравнения (5) и (6) по задаваемым значениям массовой скорости и, как по параметру, позволяют определить пары соответствующих друг другу значений - давление Р и плотность р (либо удельный объем V) - на ударной адиабате. Для определения третьего параметра состояния ударносжатого тела - температуры Т - необходимо уравнение состояния твердого тела. В диапазоне температур меньших Т<11600 К, что соответствует произведению постоянной Больцмана на температуру кТ<1 эВ, справедливо уравнение состояния в форме уравнения Ми-Грюнайзена:
Р-Рх_рГ(Е -Ех), (7)
где Г - параметр Грюнайзена; индекс «х» означает принадлежность параметра к состояниям на кривой холодного сжатия. Запишем уравнение состояния твердого тела в виде:
Р = Рх+рГ ^Г; (8)
Е = Ех + —Т,
х м '
где Я - газовая постоянная; М - молярная масса.
Воспользуемся для Рх и Ех следующими выражениями из работы [3], основанными на экспериментальной зависимости (6):
Р _ РоСо2
х _ 40
40(1-р) „
е р - 1
Ех_4рРг-Ы1-р) (9)
40Ро 40
Таким образом, выражения (5) - (9) позволяют определить параметры состояния (Р, V, Т) в любой точке ударной адиабаты твердого тела и позволяют получить зависимость температуры от давления Т(Р) и удельного объема от давления У(Р), например, в виде:
Т _ Т0еь(р-ро), (10)
Р _ Р0 еХ( ^о ),
где Ь, х - коэффициенты. Кривая плавления
Кривую плавления в координатах «давление-температура» будем описывать с помощью уравнения Симона, которое он предложил еще в 1927 году [4], но строгое обоснование было дано позднее Солтером [5]. К настоящему времени это уравнение признано [6], и для нескольких сотен веществ табулированы [7] коэффициенты, используемые в этом уравнении. Будем использовать уравнение Симона в виде:
р-г' (11)
где Р' и Т' - давление и температура в тройной точке фаз; а и с - коэффициенты, зависящие от вещества. Обычно величиной давления Р' пренебрегают, поскольку она на 7 порядков меньше давлений ударного сжатия.
Теплота плавления Ет на кривой, а также скачок удельного объема А V _ Уж — УТ на кривой плавления определяются с помощью выражения
Ет _ ТА5 - РАV (12)
йР
в совокупности с уравнением Клаузиуса-Клапейрона Ет _ Г — АV, а также с уравнением
Симона. Здесь Д£ - изменение энтропии при плавлении. Величина Д£ в общем случае слабо зависит от давления. Почти для всех твердых тел при плавлении АV > 0, за редким исключением, например, для льда АV < 0.
Ударная адиабата жидкости
Непосредственно после плавления теплоемкость жидкости можно принять равной теплоемкости твердого тела [8]. Следует учесть уменьшение тепловой составляющей внутренней энергии, идущей на нагрев, вследствие того, что часть ее расходуется на плавление твердого тела. В таком случае уравнение состояние принимает вид
(13)
Р = Рх+рГ (НТ + Ет); _ 3 R
Е — Ех " ^ Т " Ет ■
В соответствии с этим, зависимость температуры от давления для жидкого состояния имеет вид:
м
Т — T0ebp Ет 3R •
(14)
Пересечение ударных адиабат с кривой плавления
На рис. 1, а изображены: 1 - кривая плавления по уравнению (11); 2 - ударная адиабата твердого тела по уравнению (10); 3 - ударная адиабата жидкого тела по уравнению (14). Пунктир выше кривой плавления соответствует перегретому твердому телу. Пунктир ниже кривой плавления соответствует переохлажденной расплавленной жидкости. В точке А начинается плавление, в точке В оно заканчивается.
а
б
в
Рис. 1. Разрыв (А-В) на ударной адиабате при плавлении твердого тела: а - в координатах «давление Р - температура Т»; б - в координатах «давление Р - удельный объем V»; в - в координатах «волновая скорость D - массовая скорость и». 1 - кривая плавления, 2 - ударная адиабата твердого тела, 3 - ударная адиабата жидкого тела,
А - начало плавления, В - конец плавления
На рис. 1, б изображены ударные адиабаты твердого тела и жидкого тела в координатах «давление Р - удельный объем V». Следует отметить что в окрестностях области плавления (точки А и В) существует неоднозначность, а именно одному значению V соответствуют два значения давления: одно на участке твердого тела, другое на участке жидкого. Естественно, такая неоднозначность невозможна в реальности. С другой стороны, после начала плавления в состоянии А и по мере осуществления этого процесса доля жидкой фазы постепенно увеличивается от 0 до 1, что неизбежно приводит к увеличению значения удельного объема от УА до Ув. Выход из этой ситуации возможен при введении в рассмотрение двуволновой конфигурации в этой окрестности. По-видимому, в этой области ударная волна расщепляется на две последовательные, которые постепенно объединяются в одну при осуществлении давлений Р > РВ.
На рис. 1, в ударная адиабата изображена в координатах «волновая скорость Б -массовая скорость и». На ударной адиабате при давлении выше состояния точки В ( Р > Рв) реализуется жидкое состояние, которое является более ожидаемым, чем твердое:
йи
ар IV
и<и_д
>
йР
IV
У>УА
= Рт>РЖ =
У<УВ
йЯ
йи
и>иВ
Следовательно, участки ударной адиабаты в координатах Р^ и D-u выше точки В являются более пологими, чем для твердой фазы ниже точки А.
Конкретные примеры
Для конкретной реализации развитой модели выбраны следующие легкоплавкие металлы: свинец, висмут, кадмий, олово. Причиной такого выбора является экспериментальная диагностика состояний этих металлов на ударной адиабате: твердое или жидкое. Диагностика выполнена путем регистрации процесса откольного разрушения [9 - 11]. В табл. 1 приведены данные, являющиеся исходными для расчетов. Там же указаны литературные источники.
Таблица 1
Исходные данные для легкоплавких металлов
Металл Данные для расчета ударной адиабаты [12] Данные для расчета кривой плавления [6, 7]
77 Дж Ео, — кг кг Ро, — м* км ^ - с в кг М,- моль Т', К а, ГПа с Дж кг • К
РЬ 3,23-104 11,34-103 2,03 1,52 0,20719 600,2 3,23 2,405 38,42
В1 9,79-103 2,00 1,34 0,20898 462 6,66 6,2 95,84
Cd 8,64-103 2,44 1,67 0,1124 594,1 4,5 2,4 90,96
Бп II 4,5-104 7,28-103 2,64 1,48 0,11869 591 1,47 5,2 120,38
Результаты расчетов по модели (5) - (14) приведены в табл. 2. В качестве примера, для свинца и кадмия на рис. 2 представлены графические изображения результатов расчетов.
Т-10-3, к 3 -
Т-10"3, к
Р. ГПа
50
о
Р. ГПа
25
50
25
а б
Рис. 2. Кривая плавления (1) и ударная адиабата (2) для свинца (а), кадмия (б). I - твердое состояние, II - жидкое состояние
В табл. 2 указаны также значения давления для тех состояний на ударных адиабатах выбранных металлов, для которых в работах [9 - 11] выполнена экспериментальная диагностика состояний: либо твердого, либо жидкого.
Для Bi в твердом состоянии в работах [9 - 11] диагностировались разные состояния с разными давлениями. Аналогично для Sn II в жидком состоянии. Сравнение экспериментальных и расчетных данных показывает их соответствие и адекватность описанной модели.
Таблица 2
Результаты расчетов по модели (5) - (14) и экспериментальные данные из работ [9 - 11]
для легкоплавких металлов
Металл Ta, К PA, ГПа Pex< Pa, ГПа Диагностика твердого состояния Tb, К Pb, ГПа Pex>PB, ГПа Диагностика жидкого состояния
Pb 1643 33,2 28,6 1767 39,6 57 43
Cd 1511 38,4 25 1679 49,7 53
Bi 1556 53,2 50 23 - - -
Sn II 900 25,4 - 978 38,7 40 57
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Урлин В.Д., Иванов А.А. О плавлении при сжатии ударной волной // Доклады АН СССР. 1963. Т. 149, № 6. С. 1303-1306.
2. Compendium of shock wave data / ed. Van J Thiel - Lowrence Radiation Laboratory - Livermore : California University Press, 1966. 1030 p.
3. Рыбаков А.П. Твердые тела в условиях давлений и температур ударного сжатия . М. : ЦНИИ Атоминформ, 1978. 88 с.
4. Simon F.F., Glatzer G. Remarks on the fusion-pressure curve // Z. anorg. u. allgem. Chem., 1929. V. 178. P. 309-312.
5. Salter L. The Simon Melting Equation // Phil Mag., 1954. V. 45. P. 369-378.
6. Стишов С.М. Плавление при высоких давлениях // Успехи физических наук. 1968. Т. 96, вып. 3. С. 467-495.
7. Babb S.E. Parameters in the Simon Equation Relating Pressure and Melting Temperature // Reviews of Modern Physics. 1963. V. 35, № 2. Р. 400-413.
8. Урлин В.Д. Плавление при сверхвысоких давлениях, полученных в ударной волне // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1965. Т. 49, вып. 2(8). С. 485-492.
9. Бородулин С.А., Бричиков А.И., Волков К.В., Ольховский Ю.В., Рыбаков А.П. Рентгенографические исследования процесса разлета легкоплавких металлов при выходе ударной волны на их свободную поверхность // Физика твердого тела. 1976. Т. 18. С. 2814-2816.
10. Rybakov A.P., Rybakov I.A. Reaction of condensed matter to extremely short-duration and intense loading. Strength of solids and liguids under dynamic damage // Eur. J. Mech., B. Fluids, 1995. V. 14, № 2. P. 197-205.
11. Rybakov A.P. Spall in non-one-dimensional shock waves // Int. J. of Impact Eng., 2000. V. 24. P. 1041-1082.
12. Жарков В.Н., Калинин В.А. Уравнение состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. М. : Наука, 1963. 311 с.
INFLUENCE OF FIRST KIND PHASE TRANSITION ON FORM OF SHOCK ADIABATE OF SOLID
Shishkina V.A., Rybakov N.A., Kozlov A.N., Rybakov A.P.
SUMMARY. First kind phase transition in shocked solid form of shock adiabate of solids in melting range. The crossing range of shock adiabate and melting curve have been considered. Generated model is illustrating behaviour of low-melting metals: Pb, Bi, Cd and Sn II.
KEYWORDS: shock adiabate, melting curve, solids.
Шишкина Валентина Александровна, аспирант кафедры информационных систем ПГСХА, тел. 8-909-727-96-81, e-mail: 112_22@rambler.ru
Рыбаков Никита Анатольевич, кандидат технических наук, докторант кафедры общей физики ПНИУ, тел. 8-902-839-99-13, e-mail: anatryb@yandex.ru
Козлов Алексей Николаевич, кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры информационных систем ПГСХА, тел. 8-902-474-03-12
Рыбаков Анатолий Петрович доктор физико-математических наук, профессор ПНИУ, тел. 8-902-792-19-33
