Влияние электромагнитного поля на поверхностное натяжение и устойчивость поверхностей раздела поляризующихся и намагничивающихся жидкостей Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 781-783

781

УДК 532.5.013.4:537.2:537.63

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗДЕЛА ПОЛЯРИЗУЮЩИХСЯ И НАМАГНИЧИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ

© 2011 г. А.В. Жуков

НИИ механики Московского госуниверситета им. М.В. Ломоносова

az@imec.msu.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

С помощью градиентной модели структуры межфазной границы для однокомпонентных поляризующихся и намагничивающихся жидкостей найдена зависимость поверхностного натяжения от напряженности электромагнитного поля. Показано, что вид этой зависимости может существенно влиять на устойчивость свободной поверхности жидкости даже при умеренных полях, когда изменение поверхностного натяжения очень мало.

Ключевые слова: поляризующиеся жидкости, магнитные жидкости, устойчивость свободной поверхности, поверхностное натяжение, структура межфазной границы.

Экспериментально было обнаружено влияние магнитного поля на поверхностное натяжение магнитных жидкостей [1]. Термодинамическая устойчивость поверхности жидкости в магнитном поле изучалась в [2]. Зависимость поверхностного натяжения от напряженности электромагнитного поля исследовалась статистическими методами для поляризующихся [3] и намагничивающихся [4] однокомпонентных жидкостей. В настоящем исследовании используется градиентная модель плоской межфазной границы типа жидкость-пар при тепловом равновесии (см. [5]). Рассматривается в основном случай поляризующихся жидкостей; для намагничивающихся жидкостей получаются аналогичные результаты.

Градиентная модель структуры межфазной границы

Простейшее обобщение градиентной модели на случай поляризующихся жидкостей во внешнем электрическом поле E можно получить, задав свободную энергию неоднородной жидкости Fn в виде функции, зависящей от температуры T, плотности р и градиентов плотности:

Fn = F (р, E,T) + 2(a + aeE 2)(Vp)2,

2 (1) а = const > 0, ae = const > 0.

Условия равновесия для плоской межфазной границы, перпендикулярной оси z, [6]:

dF ■

pz------Fn + цр=p = const, ц=const, Dn = const,

dPz

E(=const, Fn(p,dP,Dn,E(j = Fn+4-EnDn. (2)

Здесь Et, Dn — касательная составляющая электрического поля и нормальная компонента индукции. Значения р, ц, а также плотности фаз pj = р(—га), р2 = р(^) определяются из условий равновесия фаз

Ц =

dF (р,-) др :

р = цр, — F (р,) (, = 1,2),

(3)

£(р) - £(р,0,Бп,Е,).

Для однозначного определения профиля плотности к уравнениям (2), (3) необходимо добавить условие равенства поверхностной плотности нулю [5], выбрав в качестве эквимо-лярной поверхность г = 0. Поверхностная плотность свободной энергии /(Ег, [ф]) вычисляется как

• 1 д&

/ = • - 4-°п [Ф] [Ф] =-4%д^-’

4п ди„

f = j(Fn-МР + P)dz

(4)

где [ф] — величина разрыва электрического потенциала на межфазной границе.

При малых полях и слабых дипольных взаимодействиях между молекулами свободная энергия и электрическая индукция для однородной жидкости имеют вид [6]:

—ад

782

А.В. Жуков

Е

£ = £0(р,Т) - —[1 + п(Т)р], Б = вЕ,

8п

в = 1 + ^ П(Т)~ -1,

где £0(р, Т) — свободная энергия жидкости без учета электромагнитных взаимодействий, £ — диэлектрическая проницаемость. Для поверхностной плотности свободной энергии в линейном приближении по Е. ,О получим

f = a(T) +Y t (T) E2 +y n (T )D2,

f = c + Y tEf —

[ф]2

64n Y

• ҐІ

jpdV

= const

дает уравнения Эйлера — Лагранжа для двух фаз

Г

Лф=° дгPг. =—pg., p) = F —p

б!

дp

Л

5j. +—DE,, ; 4п ;

D = єE, є = єa, xє Va (a = 1,2), где p) — тензор напряжений, а также граничные условия на поверхности X:

(D\ = 4л^—, [ D„ ] = 4nV a ' n' д[ф] n a

дґ

д Ea

«•

^ Dn1 — Dn2 = 4nYtЛ(2) (Ф1 + Ф2 ),

Ф1 — Ф2 = 4nYn (Dn1 + Dn2 ), (7)

[pna ] - [pknrxka ] = — Vb°a , [pnn] - [p гк^^ ] =

(5)

к і a -

= — aabb

ab

ba

cab - 2f + faab.

до

(8)

ab

Аналогично для намагничивающихся однокомпонентных жидкостей получим

'• = С + уН + У пВ1, / (т., вп ) =

= + т.н. = О + УпВ„2 — да.2 /4Уг,

где т. — касательная компонента поверхностной намагниченности [2]. Коэффициенты у. , уп имеют размерность длины. При этом О > 0, у. > 0 всегда, а величина уп < 0 для уравнения состояния £0(р, Т) в форме Пенга—Робинсона [7], наиболее распространенной при вычислениях поверхностного натяжения жидкостей методом Ван-дер-Ва-альса. Эти знаки соответствуют статистически полученным результатам в [3, 4].

Условие на границе раздела и устойчивость свободной поверхности

Рассмотрим изотермическое равновесие двух фаз жидкости-диэлектрика в областях у , У2 с межфазной поверхностью X: = х^(ыа) во

внешнем гравитационном поле с ускорением свободного падения g = (0, 0, —g). Объемная свободная энергия для фазы а имеет вид

Е2

£ = ^ (р, Е = -Уф) = ^ (р)-в а —,

8п

а поверхностная свободная энергия (5) — вид

/ = /(ааЪ > <даФ> [Ф]) где ааЬ — первая квадратичная форма поверхности, а, Ъ = 1, 2, и используются обозначения [ф] = ф2 — ф1, (ф) = 1/2(ф2 + + ф1) для функций, разрывных на поверхности X. Вариационное уравнение

5/[р,ф,Е] =0, I= П^У+|у ^У+^3^У'],

Здесь ЪаЬ - вторая квадратичная форма, С -тензор поверхностных напряжений. Условия (7), (8) справедливы независимо от возможности фазовых превращений на границе. Если же на границе могут происходить фазовые превращения, то из (6) следует дополнительное условие

"д^"

[ц ] -

Sp

= О.

Уравнения Лапласа для потенциала имеют нестандартные граничные условия (7), содержащие вторые производные искомых функций, что может привести к некорректности задачи. Естественно потребовать корректности постановки задачи в области —Ь < х3 < Ь с условиями Дирихле при х3 = ±Ь и межфазной поверхностью х3 = 0 в пределе Ь ^ га. Тогда с помощью преобразования Фурье легко показать, что при ут > 0, уп < 0 условие корректности задачи имеет вид

(6)

min( Si, 82) < q < max( Si, 82), q = —Yt / Y n. (9) Задача корректна также при ут < 0, yn > 0 и любых q [2], однако этот случай не реализуется для однокомпонентных жидкостей ни в градиентной модели (1), ни в статистических моделях [3, 4].

Рассмотрим в рамках данной модели задачу об устойчивости состояния равновесия для плоской горизонтальной свободной поверхности несжимаемой жидкости во внешнем электрическом поле. В качестве критерия устойчивости используем неравенство

S2 Ieff [р, I] > 0 при j pdV = const,

Ieff [P, I = I [p, q>[2],E ], (10)

где ф[Х] — решение электростатической задачи при фиксированных условиях на д V. Приближение свободной поверхности формально соответствует р: = 0, F01 = 0, е: = 1, а приближение несжимаемой жидкости — условию р2 = р = const. Решение задачи легко найти с помощью преобразования Фурье. В частности, для нормального к

поверхности электрического поля при YT = Yn = 0 критерий устойчивости имеет обычный вид [6]

172 ^ 172 _ 8ns(s + 1) I-- _

E < E0 _ / 1Ч2 VCTPg, S —S2.

(s — 1)2

При ут Ф 0, Yn Ф 0 порог неустойчивости E* существенно зависит от отношения коэффициентов (9) и, вообще говоря, отличается от E0 даже при YT — 0, Yn — 0. В частности, при q = = const, YnVPg /c ^ 0 получим

(E*/E0)2 —■ z/(q + e) < 1. Аналогичный результат получается для намагничивающихся жидкостей с помощью замены E —— H, e —— ц.

Таким образом, зависимость поверхностного натяжения от напряженности электромагнитного поля может существенно влиять на устойчивость свободной поверхности жидкости даже при умеренных полях, когда изменение поверх-

ностного натяжения за счет поля очень мало.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №10-01-00015,11-01-00051).

Список литературы

1. Голубятников А.Н., Субханкулов Г.И. // Магнитная гидродинамика. 1986. №1. С. 73—78.

2. Голубятников А.Н. // Успехи механики. 2006. Т. 4, №3. С. 3—25.

3. Warshavsky V.B., Zeng X.C. // Phys. Rev. E. 2003. V. 68, №5. P 051203-1-13.

4. Shilov V.P. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2006. V. 302, No 2. P. 495—502.

5. Роулинсон Дж., Уидом Б. Молекулярная теория капиллярности. М.: Мир, 1986. 376 с.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с.

7. Peng D.-Y, Robinson D.B. // Industrial and Engineering Chemistry: Fundamentals. 1976. V. 15, No 1. P. 59—64.

INFLUENCE OF ELECTROMAGNETIC FIELD ON SURFACE TENSION AND INTERFACE STABILITY IN POLARIZABLE AND MAGNETIZABLE FLUIDS

A. V Zhukov

Using a square-gradient model of the interface structure for one-component polarizable and magnetizable fluids, the dependence of surface tension on static electromagnetic field strength is found. It is shown that the form of this dependence may influence drastically on the stability of a free fluid surface even at moderate field values when the rate of change of surface tension is small.

Keywords: polarizable liquids, magnetic fluids, free-surface stability, surface tension, interface structure.