CC BY
24
УДК 621.833.7 DOI: 10.18698/0536-1044-2018-7-42-47
Влияние эксцентриситета основных окружностей зубчатых колес эвольвентной передачи на ее передаточное отношение и коэффициент перекрытия
Г.А. Тимофеев, С.А. Новикова
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1
The Influence of Eccentricity of the Base Circle of Involute Gears on Its Transmission Ratio and Engagement Factor
G.A. Timofeev, S.A. Novikova
BMSTU, 105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1 e-mail: timga@bmstu.ru, lanacoffeinaya@gmail.com
В настоящее время при проектировании механизмов нельзя не учитывать, что их реальным конструкциям присущи погрешности размеров звеньев, отклонения формы и взаимного расположения кинематических пар от идеальных и прочие неточности, приводящие к отклонению закона движения выходного звена от требуемого. Эти погрешности необходимо уметь рассчитывать и устранять на стадиях проектирования, производства и сборки. Изготовление зубчатых колес представляет собой одну из самых трудоемких разновидностей металлообработки. Широкое применение в машиностроении передач и необходимость создания для них зубчатых колес различных видов, конструкций и типоразмеров обусловили большой удельный вес зубообработки в общем объеме технологических операций. Методы теории зубчатых зацеплений развиты главным образом для идеальных, а не для реальных зубчатых механизмов, что тормозит возможность вычисления точностных параметров передаточных механизмов и кинематических цепей. Существующие методики расчета точности зубчатых передач в основном ориентированы на определение предельных значений погрешностей. Исследовано влияние эксцентриситета основных окружностей зубчатых колес эвольвентной передачи на ее передаточное отношение и теоретический коэффициент перекрытия. Показано периодическое изменение передаточного отношения и коэффициента перекрытия, а также вычислено переменное ускорение ведомого зубчатого колеса.
Ключевые слова: эвольвентная зубчатая передача, передаточное отношение, коэффициент перекрытия, технологические погрешности колес
At present, when designing mechanisms, one cannot but take into account the fact that errors in link size, deviations in shape and layout of kinematic pairs as well as other inaccuracies are typical in real mechanisms. This leads to deviations in the law of motion of the input link from the desired motion. It is necessary that these errors are calculated and eliminated at the design, manufacturing and assembly stages. Gear production is one of the most labour consuming types of metal processing. Gear processing constitutes a large part
in the total volume of manufacturing operations due to the wide-spread application of transmissions in mechanical engineering and, therefore, the need to produce gears of various types, designs and sizes. Methods of the theory of tooth meshing are developed mostly for ideal, not real gear mechanisms which impedes the possibility of calculating accuracy parameters of transmission mechanisms and kinematic chains. Existing methods for calculating accuracy of gear trains are largely focused on determining limit deviations of errors. This work studies the influence of eccentricity of the base circle of gearwheels in an involute gear train on its transmission ratio and the theoretical engagement factor. The periodic variation of the transmission ratio and the engagement factor is shown; variable acceleration of the driven gearwheel is calculated.
Keywords: involute gear, transmission ratio, engagement factor, manufacturing errors of gears
Неточное исполнение размеров звеньев механизмов (в первую очередь зубчатых), геометрической формы элементов кинематических пар, их взаимного расположения, зазоры в них, а также износ взаимодействующих поверхностей, силовые и температурные деформации в процессе эксплуатации называют технологическими или первичными погрешностями механизма [1-5]. Именно они играют решающую роль в неточности его работы. Существуют несколько методов расчета погрешностей на стадии проектирования кинематических схем механизмов, основоположниками которых являются Н.Г. Бруевич, Н.И. Калашников, Б.А. Тайц и др. [1, 2, 4-5].
Вследствие наличия технологических погрешностей при исследовании реальных плоских механизмов приходится рассматривать их структурные схемы как пространственные, чтобы уменьшить погрешности выходного звена и избежать заклинивания [3, 4, 6, 7-9, 11, 12]. Влияние избыточных связей и технологических
погрешностей на точность работы механизма можно снизить путем рационального проектирования [1, 3, 4, 7], а также с помощью особых технологических приемов при изготовлении и сборке [3, 4, 7, 10-12].
Цель работы — исследование влияния технологических погрешностей на отклонение передаточного отношения и коэффициента торцевого перекрытия эвольвентной зубчатой передачи от требуемых значений.
Рассмотрим задачу определения зависимости передаточного отношения и теоретического коэффициента перекрытия от эксцентриситета основных окружностей зубчатых колес эволь-вентной зубчатой передачи.
Погрешности установки зубчатого колеса при зубонарезании, биение делительного колеса зубообрабатывающего станка, а также погрешности монтажа могут привести к эксцентриситету основных окружностей, т. е. к несовпадению геометрического и кинематического центров колес в собранной передаче.
Рис. 1. Геометрическая картина зацепления колес, имеющих эксцентриситет (С>102 = ак — межосевое расстояние зубчатой передачи)
Исследование ошибок колес в виде периодической функции, впервые предложенное Н.А. Калашниковым [2], заключается в приведении ряда погрешностей к функционально действующей ошибке. В данном случае такой ошибкой является изменение мгновенных радиусов основных окружностей, которое приводит к периодическому изменению передаточного отношения и коэффициента торцевого перекрытия sа и оказывает влияние на динамику передачи.
Примем синусоидальный закон изменения радиусов основных окружностей ведущего ть1 и ведомого тЬ2 колес (рис. 1) [2]
5тм = ei sin фь 8rtó = 62 sin Ф2, (1)
где 5тЬ1 и 5тЬ2 — погрешности радиусов основных окружностей ведущего и ведомого колес; e1 и e2 — эксцентриситеты основных окружностей ведущего и ведомого колес; ф1 и ф2 — текущие углы поворота, образуемые соответственно осями O1Y1 и O2Y2 и линией, соединяющей геометрический и кинематический центры колес.
Угол наклона осей O1Y1 и O2Y2 к межосевой линии O1O2 равен л/2 -aw (aw — угол зацепления). При этом ничтожно малым значением колебания угла зацепления пренебрегаем.
Примем следующие начальные условия: Ф1 = 0 и ф2 = 0 [2].
Картина зацепления передачи показана на рис. 1. В процессе зацепления радиусы основных и начальных окружностей непрерывно меняются. Мгновенное передаточное отношение u можно определить по рис. 1, где отрезки O1N'1 и O2N2 проведены перпендикулярно линии зацепления N1N2.
Обозначим отрезки O1N'1 и O2 N2 соответственно через радиусы основных окружностей т'ы и т'Ь2.
Очевидно, что
, O2P тъ2
u =- -
O1P т'ы '
(2)
где
т'ы = ГЬ1 + ei sin Ф1; т'Ъ2 = тЪ2 + ^2 sin ф2 . (3)
Определим погрешность передаточного отношения. Продифференцировав выражение (2), получим
с , §ТЪ2 u с ou =---—отЪ1.
Тъ1 ты
После подстановки выражений (1) и (3) в формулу (4) имеем
Ou =-
в2 Sin ф2
u e1 sin ф1
тЪ1 + e1sin ф1 тЪ1 + e1sin ф1 Если e2 = 0, то
Ou = -
u е1 sin ф1
тЪ1 + e1 sin ф1 Найдем зависимость между углами ф1 и ф2:
u =-
йф2
(5)
Подставим значение u из уравнений (2) и (3) в выражение (5) и после интегрирования получим
ГЬ2Ф2 - e2 cos Ф2 = ГМф1 - eX COS ф:. (6)
При заданном угле ф1 определим угол ф2 из уравнения (6), используя один из приближенных методов [5].
Если e2 = 0 , то
ГЬ1 e1
ф2 =-ф1--COS ф1.
ГЬ2 ГЬ2
Погрешности передаточного отношения эвольвентной зубчатой передачи вызывают переменное ускорение ведомого колеса
= drn2 = d ( ^ = ю2 du dt dt ^ u1 J [u')2 dф1
где ю2 и ю1 — угловые скорости ведомого и ведущего колес; t — время; u1 — передаточное отношение передачи.
После подстановок и преобразований получим
ф 2 =
ю12 u e 1 cos ф1 - e2 cos ф2 lu
>\2
(u )2 ты + e1 sinф1 Эксцентриситет основных окружностей вызывает колебания коэффициента торцевого перекрытия. Примем, что эксцентриситет окружностей вершин равен эксцентриситету основных окружностей. Тогда, согласно рис. 1, коэффициент торцевого перекрытия с учетом эксцентрисетов окружностей:
, = B1B2 = Ьа — —
РЪ
= N1B2 - NiP - NiNl + N2Bi - N2P - N2N2 Ръ
где ръ — шаг по основной окружности;
N1B2 = rMtg аЯ1; N[P = rbitg aw; N2Bi = rb2tg ая2; N2P = rb2tg aw; NN1 = e1 cos фь N 2 N2 = e2 cos ф2. После подстановок и преобразований полу-
чим
, = rbi (tg aai - tg aw) + rb2 (tg aa2 - tg aw)
Ea =
ят cos a tg aw (1 Sin ф1 + 62 Sin ф2 ) ят cos a e1 cos ф1 + e2 cos ф2 ят cos a
(7) -0,04
где т — модуль зацепления; а — главный угол профиля исходного контура.
Второй член выражения (7) представляет собой погрешность коэффициента торцевого перекрытия.
На рис. 2 приведены гармонические колебания передаточного отношения и зубчатой пары колес со следующими параметрами: числа зубьев ведущего и ведомого колес — г1 = 20 и г2 = 40; а = 20°; ак = 25°; а„1 = 37,8°; аЯ2 = 31,5°; еа = 2,0; зубья — полностью заостренные.
При построении кривых с учетом рекомендаций, приведенных в работах [6, 7], принято, что
ei,2 =
¿и &PbS 2я
л/2 л 3/2тг 2л 5/2л Зл 7/2л ср, рад
где АрЕ — одностороннее отклонение наибольшей разности основных шагов в пределах линии зацепления.
Рис. 2. Зависимость погрешности передаточного отношения 8и' от угла поворота входного звена ф
Для 9-й степени точности при Ар^5 = = ±45 мкм получим вг ~ 0,1 мм и е2 ~ 0,2 мм.
Выводы
Введение эксцентриситета основной окружности при нарезании зубьев вызывает изменение передаточного отношения изготавливаемой передачи по периодическому закону, что приводит к появлению систематических погрешностей в перемещении выходных звеньев рабочих механизмов машин. Полученный кинематический эксцентриситет может быть скомпенсирован путем неконцентричной установки заготовки при зубообработке на неточном станке или при обработке отверстия после зубонарезания в специализированном патроне.
Литература
[1] Беспалов В.В., Хазова В.И. Влияние погрешностей зацепления, изменяющихся по сину-
соидальному закону по углу ф, на спектр гармонических составляющих циклической погрешности зубцовой частоты цилиндрических зубчатых передач. Вестник ИжГТУ, 2014, № 4(64), с. 30-33.
[2] Локтев Д.А. Современные методы контроля качества цилиндрических зубчатых колес.
Оборудование и инструмент для профессионалов. Сер. Металлообработка, 2009, № 4, с. 6-11.
[3] Попов П.К. Расчетно-экспериментальное обеспечение точности зубчатых передач.
Дис. ... докт. техн. наук. Москва, 1996. 269 с.
[4] Крайнев А.Ф. Механика машин. Фундаментальный словарь. Москва, Машинострое-
ние, 2000. 904 с.
[5] Болотовский И.А., ред. Справочник по геометрическому расчету эвольвентных зубча-
тых и червячных передач. Москва, Машиностроение, 1986. 448 с.
[6] Вулгаков Э.Б. Теория эвольвентных зубчатых передач. Москва, Машиностроение,
1995. 320 с.
[7] Сидоров П.Г., ред. Многопоточные зубчатые трансмиссии. Теория и методология про-
ектирования. Москва, Машиностроение, 2011. 340 с.
[8] Litvin F., Fuentes A. Gear geometry and applied theory. Cambridge, Cambridge university
press, 2004. 792 p.
[9] Litvin F.L., Fuentes A., Demenego A., Vecchiato D., Fan Q. New developments in the design
and generation of gear drives. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C. Journal of Mechanical Engineering Science, 2001, vol. 215(7), pp. 747-757.
[10] Litvin F., Fuentes A., Zanzi C., Pontiggia M. Design, Generation, and Stress Analysis of two version of Geometry of Face-gear drives. Mechanism and Machine theory, 2002, vol. 37(10), pp. 1179-1211.
[11] Wang Y., Lan Z., Hou L., Zhao H., Zhong Y. A precision generating grinding method for face gear using CBN wheel. International journal of advanced manufacturing technology, 2015, vol. 79, is. 9-12, pp. 1839-1848.
[12] Tang Q., Zhang Y., Jiang Z., Yan D. Design Method for Screw Forming Cutter Based on Tooth Profile Composed of Discrete Points. Journal of Mechanical design, Transactions of the ASME, 2015, vol. 137, is. 8, pp. 251-260.
References
[1] Bespalov V.V., Khazova V.I. Vliianie pogreshnostei zatsepleniia, izmeniaiushchikhsia po si-
nusoidal'nomu zakonu po uglu 9, na spektr garmonicheskikh sostavliaiushchikh tsiklich-eskoi pogreshnosti zubtsovoi chastoty tsilindricheskikh zubchatykh peredach [Effect of Transmission Error Varying According to Sinusoidal Law by 9 Angle on Spectrum of Harmonic Components of Cyclic Error of Gear-Meshing Frequency of Spur Gears]. Vest-nik IzhGTU [Bulletin of Kalashnikov ISTU]. 2014, no. 4(64), pp. 30-33.
[2] Loktev D.A. Sovremennye metody kontrolia kachestva tsilindricheskikh zubchatykh koles
[Modern Methods of Quality Control of Cylindrical Gears]. Oborudovanie i instrument dlia professionalov, seriia Metalloobrabotka [Equipment and tools for professionals. Ser. Metal-working]. 2009, no. 4, pp. 6-11.
[3] Popov P.K. Raschetno-eksperimental'noe obespechenie tochnosti zubchatykh peredach Diss.
dokt. tekhn. nauk [Calculation and experimental ensuring the accuracy of gears. Dr. tech. sci. diss.]. Moscow, 1996. 269 p.
[4] Krainev A.F. Mekhanika mashin. Fundamental'nyi slovar' [Mechanics of machines. Funda-
mental Dictionary]. Moscow, Mashinostroenie publ., 2000. 904 p.
[5] Spravochnik po geometricheskomu raschetu evol'ventnykh zubchatykh i cherviachnykh
peredach [Guide to geometric calculation of involute gears and worm gears]. Ed. Bolotov-skii I.A. Moscow, Mashinostroenie publ., 1986. 448 p.
[6] Vulgakov E.B. Teoriia evol'ventnykh zubchatykh peredach [Theory of involute gears]. Mos-
cow, Mashinostroenie publ., 1995. 320 p.
[7] Mnogopotochnye zubchatye transmissii. Teoriia i metodologiia proektirovaniia [Multithreaded
gear transmission. Design theory and methodology]. Ed. Sidorov P.G. Moscow, Mashi-nostroenie publ., 2011. 340 p.
[8] Litvin F., Fuentes A. Gear geometry and applied theory. Cambridge, Cambridge university
press, 2004. 792 p.
[9] Litvin F.L., Fuentes A., Demenego A., Vecchiato D., Fan Q. New developments in the design
and generation of gear drives. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C. Journal of Mechanical Engineering Science, 2001, vol. 215(7), pp. 747-757.
[10] Litvin F., Fuentes A., Zanzi C., Pontiggia M. Design, Generation, and Stress Analysis of two version of Geometry of Face-gear drives. Mechanism and Machine theory, 2002, vol. 37(10), pp. 1179-1211.
[11] Wang Y., Lan Z., Hou L., Zhao H., Zhong Y. A precision generating grinding method for face gear using CBN wheel. International journal of advanced manufacturing technology, 2015, vol. 79, is. 9-12, pp. 1839-1848.
[12] Tang Q., Zhang Y., Jiang Z., Yan D. Design Method for Screw Forming Cutter Based on Tooth Profile Composed of Discrete Points. Journal of Mechanical design, Transactions of the ASME, 2015, vol. 137, is. 8, pp. 251-260.
Статья поступила в редакцию 07.05.2018
Информация об авторах
ТИМОФЕЕВ Геннадий Алексеевич (Москва) — доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой «Теория механизмов и машин». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: timga@bmstu.ru).
НОВИКОВА Светлана Александровна (Москва) — ассистент кафедры «Инженерная графика». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: lanacoffeinaya@gmail.com).
Information about the authors
TIMOFEEV Gennadiy Alekseevich (Moscow) — Doctor of Science (Eng.), Professor, Head of Department of Theory of Mechanisms and Machines. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: timga@bmstu.ru).
NOVIKOVA Svetlana Aleksandrovna (Moscow) — Teaching Assistant, Engineering Graphics Department. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: lanacoffeinaya@gmail.com).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Тимофеев Г.А., Новикова С.А. Влияние эксцентриситета основных окружностей зубчатых колес эвольвентной передачи на ее передаточное отношение и коэффициент перекрытия. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2018, № 7, с. 42-47, doi: 10.18698/0536-1044-2018-7-42-47.
Please cite this article in English as: Timofeev G.A., Novikova S.A. The Influence of Eccentricity of the Base Circle of Involute Gears on Its Transmission Ratio and Engagement Factor. Proceedings of Higher Educational Institutions. МаМт Building, 2018, no. 7, pp. 4247, doi: 10.18698/0536-1044-2018-7-42-47.
В Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана вышло в свет учебное пособие Л.П. Мухамедова
«Основы проектирования транспортных космических систем»
Изложены основы проектирования транспортных космических систем с жидкостными ракетными двигателями, предназначенных для доставки полезных грузов на целевые орбиты и траектории назначения, и их составляющих: ракет-носителей и разгонных блоков.
Рассмотрено формирование граничных условий решения задач баллистического проектирования. Предложены инженерные методики выбора основных проектных параметров и определения энергомассовых и геометрических характеристик проектируемого изделия в составе ракетного комплекса. Приведены численные примеры решения задач баллистического проектирования транспортных космических систем.
Для студентов старших курсов машиностроительных вузов, а также для специалистов, занимающихся разработкой ракетно-космических систем.
По вопросам приобретения обращайтесь:
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. Тел.: +7 499 263-60-45, факс: +7 499 261-45-97; press@bmstu.ru; www.baumanpress.ru
