CC BY
34
Тарасова Валентина Васильевна, Тарасов Василий Евгеньевич ВЛИЯНИЕ ЭФФЕКТОВ ПАМЯТИ НА МИРОВУЮ ...
УДК 330.354; 330.42
ВЛИЯНИЕ ЭФФЕКТОВ ПАМЯТИ НА МИРОВУЮ ЭКОНОМИКУ И БИЗНЕС
© 2016
Тарасова Валентина Васильевна, магистрант Высшей школы бизнеса Тарасов Василий Евгеньевич, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Научно-исследовательского института ядерной физики имени Д. В. Скобельцына
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова (119991, Россия, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, дом 1, e-mail: v.e.tarasov@bk.ru)
Аннотация. В статье обсуждается влияние эффектов памяти на динамику мировой и национальных экономик. Под эффектами памяти подразумевается зависимость экономических процессов не только от текущего состояния экономики, но и от истории изменений ее состояния в прошлом. Предлагается учитывать, что экономические агенты могут помнить историю изменений эндогенных и экзогенных переменных на конечном интервале времени. Используя математическую теорию производных и интегралов нецелого порядка, строится простейшая динамическая модель экономики, учитывающая эффекты памяти с однопараметрическим степенным угасанием. Находятся решения этого уравнения, и доказывается зависимость роста и спада экономики от эффектов памяти. Показывается, что учет эффекта памяти может приводить к замедлению роста экономики и к ее росту, вместо спада, в зависимости показателя затухания памяти. Эффекты памяти с показателем угасания 0<а<1 всегда приводят к подавлению экономического роста вне зависимости от величины начальных доходов, независимых расходов и предельной величины сбережений. Эффекты памяти с показателем угасания 1<а<2 приводит ускорению роста экономики, по сравнению со стандартной моделью, не учитывающей эффекты памяти.
Ключевые слова: мировая экономика, глобальная экономика, экономическая динамика, эффекты памяти, рост и спад экономики, производные нецелого порядка
INFLUENCE OF MEMORY EFFECTS ON WORLD ECONOMY AND BUSINESS
© 2016
Tarasova Valentina Vasil'evna, master student of Higher School of Business Tarasov Vasily Evgen'evich, doctor of physical and mathematical sciences,leading researcher of Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics Lomonosov Moscow State University (119991, Russia, Moscow, GSP-1, Leninskie gory, 1, E-mail: v.e.tarasov@bk.ru)
Abstract. The article discusses the influence of memory effects on the dynamics of world and national economics. The memory effects mean a dependence of economic processes not only on the current state of the economics, but also on the history of changes its state in the past. It is proposed to take into account that the economic agents can remember the history of changes of endogenous and exogenous variables on a finite time interval. Using the mathematical theory of derivatives and integrals of non-integer order, we build a simple dynamic model of the economics that takes into account the effects of memory with one-parameter power-law fading. We find solutions to this equation and proved the dependence of growth and decline of the economics from the effects of memory. It is shown that the inclusion of the memory effect can lead to a slowdown of economic growth, and to its growth instead of downturn, according to the indicator of memory decay. Memory effects with fading order 0<а<1 always lead to the suppression of economic growth regardless of the magnitude of the initial income, independent of costs and limit value of savings. Memory effects with fading order 1<а<2 results in the acceleration of economic growth, compared with the standard model, which ignores memory effects.
Keywords: world economy, global economics, economic dynamics, memory effects, the growth and downturn of the economics, derivatives of non-integer order
Постановка проблемы в общем виде и ее связь с важными научными и практическими задачами. Мировая экономика и макроэкономика как разделы экономической теории изучают глобальные экономические процессы и функционирование экономики как целого, взаимодействие национальных экономических систем. Для описания функционирования этих экономических систем строятся модели [1], объясняющие взаимосвязь между доходом, производством, потребление, сбережением, инвестициями, занятостью, инфляцией и другими факторами и показателями. Макроэкономический подход позволяют описывать функционирование глобальных и национальных экономических систем как целого. Одним из основателей макроэкономического подхода является Джон Кейнс, опубликовавший в 1936 году монографию «Общая теория занятости, процента и денег» [2]. Важную роль для объяснения роста и спада экономики как целого играют эффекты мультипликатора и акселератора. Однако при описании механизма возникновения этих эффектов не учитываются эффекты памяти, обусловленные тем, что экономические агенты помнят историю изменений показателей и факторов как мировой, так и национальных экономик.
Механизм, который приводит к возникновению эффекта мультипликатора, связан с тем, что первоначальное увеличение экзогенных расходов может привести к росту потребительских расходов, и, следовательно, к увеличению доходов других потребителей, а это ведет к дальнейшему увеличению потребления и т.д., что приводит к общему увеличению национального дохода боль-АНИ: экономика и управление. 2016. Т. 5. № 4(17)
ше, чем первоначальная величина расходов. Например, механизм появления эффекта инвестиционного мультипликатора заключается в том, что исходное увеличение инвестиций приводит к увеличению дохода компаний. В этих компаниях, в свою очередь, увеличивается производство и занятость, и возникает дополнительный спрос на сырье, материалы и другие товары. Увеличение уровня занятости и доходов работников компании приводит к увеличению их потребления, и, как следствие, к росту производства и увеличению дохода в отраслях, которые создают эти товары и услуги. В результате возникает цепная реакция роста доходов и увеличения производства, которая охватывает все большее количество отраслей экономики.
Под экономическим процессом с памятью мы будем подразумевать процесс, который засисит не только от изменений экономических показателей и факторов (эндогенных и экзогенных переменных) в данный момент времени, но и от их значений в предыдущие моменты времени на некотором конечном интервале времени. Такое понимание процессов с памятью было предложено Вольтерра [3] активно используется в физике [4, 5 с. 417-419, 6 с. 394-395]. Учет эффекта памяти проявляется в том, что при одинаковых повторных изменениях экономического фактора, засисящий от него экономический показатель может меняться по другому. Это порождает неоднозначные зависимости показателя от фактора, которые обусловлены тем, что субъекты экономической дейтельности помнят предыдущие изменения этого фактора и показателя, и поэтому могут
Тарасова Валентина Васильевна, Тарасов Василий Евгеньевич жопомтеские
ВЛИЯНИЕ ЭФФЕКТОВ ПАМЯТИ НА МИРОВУЮ ... науки
реагировать уже по другому, и, в результате, поведение показателя будет другим, несмотря на аналогичное изменение фактора.
Эффект памяти может существенно повлиять на работу механизма эффекта мультипликатора. Например, экономические агенты могут помнить о предыдущих отрицательных (или положительных) изменениях в экономике, и, как следствие, при повторении ситуации могу вести себя по-другому (например, увеличить или уменьшить долю дохода, направляемую на накопление). Кроме этого, склонность к сбережению во многом определяется наличием памяти у экономических агентов и зависит от истории изменений дохода и потребления в предыдущее моменты времени.
Процесс возникновения эффекта мультипликатора часто сравнивают с процессом образования кругов на воде после первичного возмущения, вызванного брошенным камнем. Аналогию с образованием кругов на воде можно продолжить. Учет эффектов памяти в экономическом процессе в некотором смысле аналогичен распространению первоначальных возмущений и волн в сплошных средах с памятью [4].
Затухание эффекта мультипликатора происходит из-за того, что на каждом этапе часть полученного дохода идет на сбережение и поэтому исключается из дальнейшего формирования дохода. Таким образом, величина эффекта мультипликатора полностью зависит от показателей предельной склонности к сбережению (накоплению).
Важную роль в современной экономике играет понятие акселератора, которое было предложено Альбером Афтальоном в 1909 году в статье «Эссе о теории периодически повторяющихся кризисах. Реальность общего перепроизводства» и Джоном Кларком в 1917 году в статье «Деловая акселерация и закон спроса; технический фактор в экономических циклах». Эффект финансового акселератора был описан в 1996 году в статье Бена Бернанке с соавторами [7] для объяснения больших колебаний совокупной экономической активности, возникающих из мелких первоначальных потрясений. Действие механизма финансового акселератора обусловлено потребностью фирм во внешнем финансировании, чтобы инвестировать в бизнес. Способность фирм заимствовать существенно зависит от рыночной стоимости их активов. Кредиторы требуют от фирм-заемщиков гарантий их способности погашать кредиты в виде облигаций, обеспеченных активами. Поэтому падение цен на активы ухудшает балансы фирм и стоимости активов. В результате ухудшается способность фирм к заимствованию, что оказывает негативное влияние на их инвестиции, а это, в свою очередь, ведет к снижению экономической активности и дальнейшему снижению цен на активы. Эта цепная реакция (кредитный цикл) называется финансовым акселератором, эффект которого начинается с небольшого изменения на финансовых рынках, а в результате приводит к большим изменениям в мировой и национальной экономиках.
Отметим, что эффекты памяти могут как ослаблять, так и усиливать эффект финансового акселератора. Например, если экономические агенты помнят, что предыдущие изменения экономической активности (вызванные мелкими потрясениями) были краткосрочными и не столь значительными, то эффект памяти может приводить к более быстрому затуханию текущего колебания экономической активности. С другой стороны, если агенты помнят, что предыдущие колебания, порожденные мелкими потрясениями, были довольно большими и продолжительными, и существенно ухудшили состояние мировой и национальной экономик, то повторение даже более мелких потрясений, может привести к более существенным изменениям экономической активности, чем это происходило ранее.
Рассмотрим простейшую модель, позволяющую описать влияние эффектов памяти на динамику мировой 370
экономики. Для этой цели возьмем простейшую модель экономического роста, называемую моделью Кейнса. В рамках этой модели, динамика экономики описывается уравнением
где А/<11 - производная по времени первого порядка; ) (!) - доход; - описывает склонность к сбережению (0<//К1); аф - норма акселерации, которая характеризует уровень технологий и инфраструктуры; ЕЬШ = £■(£]+ &(£} - независимые расходы (Е(Ь - расходы на капиталовложения, которые не зависят от дохода, а ЬФ - расходы на личное потребление, которые тоже не зависящие от дохода). Для простоты будем рассматривать модель для постоянных величин Еь (в = Еь, а(1) а, Решение уравнения экономического роста
(1), не учитывающее эффекты памяти, имеет вид
+ (2)
Решение (2) уравнения (1) описывает динамику экономики при постоянных значениях склонности к сбережению, норме акселерации и величины независимых расходов. Из уравнения (2) видно, что в случае К (О) — Еъ/з > 0 наблюдаем экономический рост, а для У СО) — Еь/я < 0 наблюдается спад экономики.
Отметим, что уравнение (1) не учитывает эффекты памяти. Известно, что производные первого и следующих целых порядков определяются свойствами дифференцируемой функции лишь в бесконечно малой окрестности исследуемой точки. В результате дифференциальные уравнения с производными целого порядка по времени не могут описывать процессы с памятью. Фактически такие уравнения описывают лишь экономические процессы и системы, в которых все экономические агенты обладают полной амнезией. Другими словами, экономические модели, использующие только производные целого порядка, применимы, когда экономические агенты забывают историю изменения экономических показателей и факторов за бесконечно малый промежуток времени. Очевидно, что использование в экономических моделях предположения об отсутствии памяти у агентов и субъектов экономической деятельности, является довольно сильным ограничением.
Изложение основного материала исследования с полным обоснованием полученных научных результатов. В динамических моделях мировой и национальных экономик можно учитывать эффекты, обусловленные наличием памяти у экономических агентов. Эффект памяти означает, что экономический процесс зависит не только от текущего состояния процесса и бесконечно близкие к нему предыдущих состояний, но и от всех предыдущих состояний данного процесса [8]. Другими словами, экономический процесс с эффектом памяти зависит от предыдущей истории изменений процесса, поскольку в нем участвуют экономическихе агенты и субъекты, обладающие памятью о прошлом данного процесса [8, 9, 10, 11, 12]. Одним из первых, кто сформулировал базовые описания эффектов памяти был итальянский математик Вито Вольтерра [3] и её угасания [3, с. 227]. В своих работах он использовал интегральные уравнения для описания эффектов памяти в естественных науках [3, с. 226-229]. В настоящее время для описания процессов с памятью в естественных науках, помимо интегральных уравнений, активно используются дифференциальные уравнения с производными нецелого (дробного) порядка [6, 13].
Используя понятие предельной величины нецелого порядка, определенное в работе [11], и понятие акселератора с памятью, предложенное в статье [12], можно обобщить уравнения экономической динамики с целью учета эффектов затухающей памяти. Уравнение экономического роста с памятью, являющееся обобщением АНИ: экономика и управление. 2016. Т. 5. № 4(17)
Тарасова Валентина Васильевна, Тарасов Василий Евгеньевич ВЛИЯНИЕ ЭФФЕКТОВ ПАМЯТИ НА МИРОВУЮ ...
уравнения стандартной модели Кейнса (1) за счет учеты памяти с затуханием степенного типа, принимает вид
С (3)
где - производная Капуто порядка н > О,
определяемая формулой
гСта-я) - = Сс-О2-*-1-1
где Г (а) - гамма функция, У<(V) - производная целого порядка п:=[а]+1 функции Т(т) по переменной т: 0<т<1. Производная Капуто является обобщением производных целого порядка, поскольку для целых порядков а=и, производная Кагт\то совпадает Г13 с. 92-931 с обычной производной (Л„1У)(Й = и
(и^УХО = УШ. Модель экономической динамики, базирующаяся на уравнении (3), учитывает эффекты памяти с затуханием степенного типа с показателем а>0. Используя формулы [13, с. 230-231, с. 271, с. 323], решение уравнения (3), описывающего динамику экономики с памятью с показателем затухания 0<а<1, имеет вид
Выражение (4) задает решение уравнения экономического роста с памятью, являющегося обобщением уравнения модели Кейнса с постоянными независимыми расходами, склонность к сбережению и нормой акселерации. Для а=1, используя Еа1[г] = в3. уравнение (4) дает (2), то есть решение (4) с а=1 в точности совпадает с решением (2) уравнения экономического роста без памяти (1) модели Кейнса. В силу этого, уравнение (3) и его решение (4) включают в себя как частый случай уравнение (1) и решение (2).
Из уравнения (4) видно, что если выполняется условие — Еь/б > 0. то решение (4) описывает экономический рост, а при выполнении условия 1'(0) — Еъ/$ < 0 наблюдается спад экономики.
Для иллюстрации приведем функцию У(Г), являющуюся решением (4) уравнения (3) для модели экономического роста с памятью, показатель угасания которой равен а=0.9, в виде графика на Рис. 1 для )'(0) 12. Е-0 = 3, ¡7=2.4 и 5=0.3. Эффект памяти, в случае показателя затухания а=0.9 (отсутствие памяти характеризуется а=1), замедляет рост экономики (график 2 на Рис. 1). Функция У(Г), являющаяся решением (4) уравнения (3) для модели экономического роста с памятью, показатель угасания которой равен а=0.1, представлена на Рис 2 для У(0) = 12, Е-с = 3, ¡7=2.4 и 5=0.3. Эффект памяти, в случае показателя затухания а=0.1 (отсутствие памяти характеризуется а=1.0), приводит к существенному замедлению роста экономики (график 2 на Рис. 2) по сравнению с моделью, не учитывающей эффекты памяти (график 1 на Рис. 2).
Для 1<а<2 (п=2) решение уравнения (3), описывающего экономический рост с памятью при постоянных независимых расходах Е-0 &) = Е-е имеет вид
,
более быстрому росту экономики (график 2 на Рис 3) по сравнению со стандартным случаем (график 1 на Рис. 3), в котором эффекты памяти не учитываются.
Функция У(Г), являющаяся решением (5) уравнения (3) для модели экономического роста с памятью, показатель угасания которой равен п=1 6 ппедставлена графически на Рис 4 для }уо; = 12, УС"Й) = 5, Еь = 6, я=2.4 и 5=0.3. Эффекта памяти, в случае сильной памятью а=1.9 (отсутствие памяти характеризуется а=1.0), приводит к росту экономики (график 2 на Рис. 4) по сравнению с падением экономики в стандартном случае (график 1 на Рис. 4), в котором эффекты памяти не учитываются.
(5)
где I71--1 (0) - предельный доход в начальный момент времени, описываемый значением производной первого порядка функции дохода Y(t) при 1=0.
Функция Y(t), являющаяся решением (5) уравнения (3) для модели экономического роста с памятью, показатель угасания которой равен г/=1 I ппе вставлена графически'на Рис 3 для ¥(0) 12. УшШ) = 0.1 Еь = 3 , ¡7=2.4 и 5=0.3. Эффекта памяти, в случае памяти а=1.1 (отсутствие памяти характеризуется а=1.0), приводит к
Выводы исследования и перспективы дальнейших изысканий данного направления. Из уравнения (3), описывающего динамику мировой и национальных экономик с памятью, и из графиков решений (4) и (5) для различных значений показателя угасания памяти, представленных на рисунке 1, 2, 3, 4, видно, что поведение функции дохода существенно зависит от наличия или отсутствия эффекта памяти. Так учет эффекта памяти с показателем 0<а<1 приводит к тому, что рост экономики замедляется (график 2 на рисунке 1), по сравнению с моделью, не учитывающей эффекты памяти (график 1 на рисунке 1 и 2). При этом замедлении экономики тем сильнее, чем больше разность 1-а (графики 2 на рисунке 1 и 2). Учет эффекта памяти с показателем 1<а<2 приводит к тому, что либо рост экономики становится больше (график 2 на рисунке 3), по сравнению со стандартной моделью (график 1 рисунке 3), или реализуется рост экономики (график 2 на рисунке 4) в отличие от спада экономики (график 1 на рисунке 4) в стандартной модели, не учитывающей эффекты памяти. Полученные результаты доказывают, что пренебрежение эффектами памяти в динамических моделях мировой и национальных экономик, может приводить к качественно другому типу поведения экономики.
В результате, эффект памяти с показателем угасания 0<а<1 приводит замедлению роста экономики («память медведя»), по сравнению со стандартной моделью, не учитывающей эффекты памяти. Эффект памяти с показателем угасания 1<а<2 приводит ускорению роста экономики или возникновению роста («память быка»), по сравнению со стандартной моделью, не учитывающей эффекты памяти. Заметим, что случай замедления роста для 0<а<1 и ускорения роста для 1<а<2, похоже на ситуацию возникающей в физической кинетике при описании аномальной диффузии, которая реализуемой в виде субдиффузии при 0<а<1 и супердиффузии - при 1<а<2
Тарасова Валентина Васильевна, Тарасов Василий Евгеньевич ВЛИЯНИЕ ЭФФЕКТОВ ПАМЯТИ НА МИРОВУЮ ...
[14, 15]. Отметим, что уравнения аномальной диффузии стали активно применяться для описания финансовых процессов [16, 17, 18, 19, 20].
В решении (4) и (5) уравнения (3) эффект памяти определяется показателем а, характеризующих угасание (затухание) памяти об истории изменений дохода и инвестиций. Случай а=1 описывает отсутствие памяти. При любых положительных постоянных начальных доходах, независимых расходах, и предельной величины сбережений экономический рост может перейти в спад экономики из-за эффектов памяти при 0<а<1. Другими словами, эффекты памяти с показателем угасания 0<а<1 всегда приводят к подавлению экономического рост вне зависимости от величины начальных доходов, независимых расходов и предельной величины сбережений. Используя известные биржевые символы, можно сказать, что «медведь, помнящий свою историю, тормозит любого быка с амнезией». Эффект памяти с показателем угасания 1<а<2 приводит ускорению роста экономики, по сравнению со стандартной моделью, не учитывающей эффекты памяти. Используя те же биржевые символы можно сказать, что «бык, помнящий свою историю, может поднять любого медведя с амнезией». В данной статье, существование описанных эффектов доказано лишь для динамической модели, являющейся обобщением модели Кейнса, в которой мы учли эффекты памяти. В общем случае, данные эффекты экстраполировать на все модели экономической динамики нельзя. Однако эффекты памяти могут играть существенную роль для экономических процессов и явлений в мировой экономике. В силу этого при построениях макроэкономических моделей для мировой и национальной экономики важно учитывать влияние эффектов памяти на экономическую динамику.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Аллен Р. Математическая экономия. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. - 670 с.
2. Кейнс Дж.М. Общая теория занятости, процента и денег. М.: Прогресс, 1978. - 494 с.
3. Вольтерра В. Теория функционалов и интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Пер с англ. М.: Наука, 1982. - 304 с.
4. Локшин А.А., Суворова Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью. М.: Изд-во МГУ, 1982. - 152 с.
5. Тарасов В.Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. - М.: Институт компьютерных исследований, 2011. 568 с.
6. Tarasov V.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. New York: Springer, 2010. - 505 p.
7. Bernanke B., Gertler M., Gilchrist S. The financial accelerator and the flight to quality // Review of Economics and Statistics. 1996. Vol. 78. No. 1. P. 1-15.
8. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Критерии эредитарности экономического процесса и эффект памяти // Молодой ученый. 2016. № 14 (118). С. 396-399.
9. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Elasticity for economic processes with memory: Fractional differential calculus approach // Fractional Differential Calculus. 2016. Vol. 6. No. 2. P. 219-232.
10. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Предельная полезность для экономических процессов с памятью // Альманах современной науки и образования. 2016. № 7 (109). С. 108-113.
11. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Предельные величины нецелого порядка в экономическом анализе // Азимут Научных Исследований: Экономика и Управление. 2016. № 3 (16). С. 197-201.
12. Тарасова В.В., Тарасов В.Е., Обобщение понятий акселератора и мультипликатора для учета эффектов памяти в макроэкономике // Экономика и предпринимательство. 2016. № 10-3 (75-3). С. 1121-1129.
13. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory
and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. - 540 p.
14. Bouchaud J. P., Georges A. Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications // Physics Reports. 1990. Vol. 195. No. 4-5. P. 127-293.
15. Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Physics Reports. 2000. Vol. 339. No. 1. P. 1-77.
16. Scalas E., Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus and continuous-time finance // Physica A. 2000. Vol. 284. No. 1-4. P. 376-384.
17. Mainardi F., Raberto M., Gorenflo R., Scalas E. Fractional calculus and continuous-time finance II: The waiting-time distribution // Physica A. 2000. Vol. 287. No. 3-4. P. 468-481.
18. Laskin N. Fractional market dynamics // Physica A.
2000. Vol. 287. No. 3. Pp. 482-492.
19. Gorenflo R., Mainardi F., Scalas E., Raberto M. Fractional calculus and continuous-time finance III: the diffusion limit // Mathematical Finance. Birkhauser, Basel,
2001. P. 171-180.
20. Cartea A., Del-Castillo-Negrete D. Fractional diffusion models of option prices in markets with jumps // Physica A. 2007. Vol. 374. No. 2. P. 749-763.
