CC BY
17
ФИЗИКА ЗЕМЛИ, АТМОСФЕРЫ И ГИДРОСФЕРЫ
Влияние эффекта Кориолиса на термодинамические процессы в водоеме
при развитии термического бара
Н. С. Блохина1'0, Д. А. Соловьев2'6
1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физики моря и вод суши. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
2Институт океанологии имени П. П. Ширшова РАН. Россия, 117997, Москва, Нахимовский пр-т, д. 36. E-mail: а [email protected], [email protected]
Статья поступила 13.11.2009, подписана в печать 14.01.2010
Построена математическая модель весеннего термического бара. Использована замкнутая система уравнений типа Рейнольдса, построенная на основе нелинейной системы уравнений термогидродинамики с использованием специальной методики выделения крупномасштабных структур в турбулентной среде. Получено численное решение этой системы в водоеме с наклонным дном и показан вклад, вносимый действием силы Кориолиса в термодинамические процессы в водоеме в период существования в нем весеннего термобара.
Ключевые слова: математическое моделирование, эффект Кориолиса, термобар, конвекция, турбулентность, натурные наблюдения.
УДК: 532.529.2:551.481.1. PACS: 92.10.Ei.
Введение
В конце зимы температура воды во многих озерах умеренных широт меньше 4°С, т.е. температуры, при которой плотность пресной воды достигает своего максимального значения. Поскольку поверхностные воды у берега быстрее достигают температуры максимальной плотности, в водоеме возникает горизонтальный градиент давления, приводящий к образованию двух циркуляционных ячеек с зоной схождения вблизи поверхностных вод с температурой около 4°С (рис. 1). Эту зону от поверхности до дна принято называть термическим баром, или сокращенно — термобаром. Термобар препятствует горизонтальному перемешиванию вод между двумя циркуляционными ячейками и проникновению прибрежных загрязнений в центральную часть водоема. По мере прогрева водоема он смещается из прибрежной части водоема к центру и исчезает, когда температура всего водоема становиться больше 4° С. Подобное явление может наблюдаться и осенью, когда идет охлаждение поверхностных вод до температуры 4° С. Отметим, что в крупных озерах, где термический бар существует в течение нескольких месяцев,
Рис. 1. Схема моделируемого водоема с указанием направления движения линий тока и положения термического бара в начальной фазе его развития. Я — глубина водоема, Ь — ширина по дну, Ь\ — ширина по поверхности
становится важен эффект, связанный с действием силы Кориолиса, который может оказывать существенное влияние на динамику движения жидкости в водоеме и, следовательно, на возникновение и развитие термобара.
Эффектом вращения Земли для горизонтального масштаба водоема Ь можно пренебречь, если промежуток времени, требующийся для перемещения жидкой частицы на расстояние Ь, существенно меньше периода ее вращения. Таким образом, можно предположить, что влияние силы Кориолиса станет существенным при условии: ¿/V » О^1, где О — угловая скорость вращения Земли, V — средняя скорость конвективных течений. Это условие эквивалентно отношению которое обычно принято обозначать как число Россби-Обухова (Ро). Несложно подсчитать, что минимальный горизонтальный масштаб водоема Ь, в картине конвективных течений которого будет заметно действие вращения Земли, может составлять величину от полутора километров и более.
С момента обнаружения явления термобара на Женевском озере Форелем в 1880 г. [1] прошло более 60 лет, прежде чем начались систематические исследования этого явления. В первую очередь это натурные наблюдения в Якиманском заливе Ладожского озера, начатые А. И. Тихомировым [2, 3] и продолженные в дальнейшем как российскими, так и зарубежными исследователями на Онежском, Ладожском, Великих, а также на других озерах мира [4-6]. В этих работах приводятся данные по распределению полей температур и скоростей течений в зоне термического фронта, скоростей перемещения термобара. По данным различных авторов получено, что скорость распространения термобара может лежать в интервале от 200 до 1000 м в сутки. Получено, что горизонтальные составляющие скорости течений вблизи фронта по порядку величины близки к значениям 0.01-0.05 м/с. Из анализа базы
данных многолетних наблюдений были получены эмпирические зависимости, связывающие глубину озера Я, над которой располагается изотерма 4°С на поверхности воды, с датой наблюдения. Эта эмпирическая формула позволила определить среднее положение весенней термической фронтальной зоны на поверхности Ладожского озера для любой интересующей даты [6]. Были получены формулы для расчета скорости распространения термобара с учетом вертикального потока тепла на водную поверхность [7] и обогревающего действия теплой прибрежной зоны [8]. Однако во всех работах, связанных с натурными исследованиями, не обсуждаются особенности течений, вызванных влиянием силы Кориолиса. На этот вопрос также не могут ответить исследования по лабораторному моделированию термобара в связи с ограниченностью размеров лабораторной установки. Лишь теоретические исследования могут указать на особенности течений при учете силы Кориолиса в уравнениях гидродинамики.
Все ранее выполненные работы по теоретическому исследованию явления термического бара можно разделить на две категории. Исследования, относимые нами к первой категории, сконцентрированы на предсказании распространения термического бара и основаны на моделях баланса тепла [2, 9, 10], которые также не учитывают особенностей влияния геострофических эффектов. Вторая категория исследований — математическое моделирование. В этих исследованиях можно получать подробные поля распределения температур, скоростей течений в водоемах различных размеров без учета и с учетом в уравнениях термогидродинамики силы Кориолиса и проводить сравнение результатов моделирования. Среди наиболее известных работ, в которых в уравнениях переноса импульса учитывались геострофические эффекты, можно выделить [10-13]. Однако в этих работах основное внимание сосредоточено на анализе течений, наблюдаемых на ограниченном участке водоема около термического бара. В них не исследуется влияние силы Кориолиса на течения в водоеме на протяжении всего времени развития термического фронта и не производится сравнение с результатами расчетов в случае неучета геострофических эффектов.
Цель настоящей работы состоит в том, чтобы методом численного моделирования оценить термогидродинамические эффекты, происходящие в пресных водоемах больших размеров в период возникновения и всего времени развития в них термобара, связанные с учетом силы Кориолиса в уравнениях переноса импульса.
Постановка задачи
В работе рассматривается движение жидкости в области, соответствующей половине водоема с наклонным правым берегом. Форма области вытянута вдоль хч и бесконечна вдоль оси х\. Задача решается в системе координат ОхиОх2,Ох3 (рис. 1). За начало отсчета принимается левый нижний угол.
Для описания термогидродинамических процессов в вязкой несжимаемой жидкости используется система уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска, уравнение теплопроводности, неразрывности и уравнение состояния для пресной воды в области температуры
и ро — плотность 4°С соответственно,
аномальной плотности
р(Т) = р0(1^1(Т^4°С)2). (1)
Здесь Т — температура, р воды при температуре Т и 7 = 0.000085 град^2.
Считается, что вдоль оси Х\ движение однородно, а крупномасштабные конвективные структуры, возникающие справа и слева от термобара, формируются в турбулентной среде. Для выделения крупномасштабных структур в турбулентной среде система уравнения термогидродинамики преобразуется согласно методике, предложенной в работе [14]. В результате получаются системы уравнений для конвективных упорядоченных структур и мелкомасштабной составляющей потока. Система уравнений для мелкомасштабной составляющей не решается, а для замыкания первой системы уравнений вводится коэффициент турбулентной вязкости ит, постоянный во всей исследуемой области, но изменяющийся по времени и вычисляемый в ходе решения задачи исходя из интенсивности движения (см. ниже уравнение (6)). Подробно вывод окончательной системы уравнений и уравнения замыкания дан в работе [15]. При этом учитывалась однородность движения вдоль оси х\, что позволило записать исходную систему уравнений в переменных функции тока ф и вихря (р.
С учетом сделанных предположений система уравнений термогидродинамики и уравнение замыкания в безразмерной форме, записанные в переменных ф, ц>, Т и 11\, приобретают вид
щ дф щ дф щ т ^
дх3 дх2 дх2 дх3
( д2^ д2их \
0дф
2-—Озта = дх3
дф д(р дх3 дх2
'дV
94) дф д(р дх2 дх3
(2)
г, гч ■
+ 2——О апа =
дх3
<9х|
дф_ дт_
дх3 дх2
дг^дТ_\ _ дх2 дх3 ) ^
'дх9'
(3)
д(р
дт аГ
Аф--
(6)
коор-Здесь
р = ъ>т/Нл/^Н — безразмерный коэффициент турбулентной вязкости, Т4 — безразмерное значение температуры максимальной плотности пресной воды. При обезразмеривании уравнений в качестве масштаба приняты: для расстояний — глубина водоема Я, для температуры — -^/1/7, для скорости — у/цН, для времени — \fHjg.
где их динаты
XI .
скорость движения воды вдоль а — географическая широта.
На верхней границе моделируемого водоема (л'з = #) для скоростей задаются условия, соответствующие свободной границе, и постоянный во времени и акватории водоема балансовый радиационный поток тепла С}, прогревающий поверхностные воды. На дне (л'3 = 0) водоема и правой наклонной (х2 = ЬЬ[) боковой границе задаются условия прилипания и непроницаемости для скорости и потоки тепла, соответствующие потокам в весенний период, полученным из натурных наблюдений. На левой (л'2 = 0) границе области задается условие симметрии для всех переменных. В начальный момент времени движение жидкости в водоеме отсутствует и температура на поверхности воды задается меньше 4° С.
Уравнения (2)-(5) вместе с уравнением замыкания (6), граничными и начальными условиями образуют замкнутую систему уравнений для моделирования динамики конвективного движения водных масс в водоеме в период развития в нем термобара. Рассматривается водоем в северном полушарии Земли на географической
Т
.. ■ ' ' j , sV
■ 2.5 / 1 1 1 1 3.5 / 4.0 7
широте а = 60°. Половина моделируемого водоема имеет длину Li = 8880 км. Максимальная глубина водоема Я равна 150 м. Балансовый поток тепла, поступающий на поверхность воды, Q = 210 Вт/м2.
Для решения полученной системы уравнений используется неявная абсолютно устойчивая конечно-разностная схема. Задача решается с помощью метода чередующихся направлений на пространственной сетке, содержащей 1649 узлов с безразмерным шагом по времени т = 4. Для аппроксимации и вычисления граничных условий для функций ф и tp используется подход, предложенный в [16].
Результаты математического моделирования
Опишем динамику развития термического бара. На рис. 2 представлены поля распределения температуры Т (а) и функции тока ф (б) с шагом по времени At = 7.25 сут. Кривые, изображенные пунктирной и сплошной линией, отражают случаи, когда сила Кориолиса не действует (fi=0) и действует соответ-
h
h
.. ■ ■ ■ \ ' \551У
■■ si 4.0 5.0\ \ у _
U
\ u
j \\ 551У
■■ ! 3.5 4.0 . V:
15
Ч
Рис. 2. Поля распределения температуры Т (а) и функции тока Ф (б) в плоскости (хг.^з) с шагом по времени / = 7.25 сут. Пунктирные линии — сила Кориолиса не действует (0 = 0), сплошные линии — сила
Кориолиса действует
ственно. Приток тепла к воде приводит к тому, что поверхностные воды вблизи берега достигают температуры максимальной плотности (4°С). Начинается формирование фронтального раздела — термического бара. В этой области происходит опускание теплых поверхностных вод, инициирующее нисходящее течение в узкой полосе от поверхности до дна водоема. Одновременно в центральной области водоема идет подъем холодных глубинных вод, которые, нагреваясь, смещаются к температурному фронту с водами максимальной плотности (рис. 2, /1). Таким образом, водоем оказывается разделенным на две области, между которыми отсутствует горизонтальный обмен вод. Фронт термического бара, расположенный, как правило, параллельно береговой линии, постепенно двигается к центру озера (рис. 2, ^ В прибрежной ячейке наблюдается движение жидкости против часовой стрелки, а в глубинной — по часовой стрелке. В начале прогрева водоема глубинный конвективный вихрь охватывает весь водоем. По мере прогрева поверхности водоема скорость циркуляции жидкости в глубинной ячейке снижается. Одновременно с этим глубинная ячейка уменьшается, а прибрежная, напротив, увеличивается в размере, замещая собой глубинную циркуляцию. Скорость циркуляции вод в прибрежной ячейке растет по мере поступления тепла на поверхность водоема. Термический бар исчезает (рис. 2, /7), когда температура всей акватории водоема становиться больше 4° С. При этом прибрежная ячейка занимает всю область от правого берега до центра водоема. Анализ продвижения термического бара в моделируемом водоеме показал, что от времени возникновения термического фронта до его исчезновения прошло 57.3 сут, а средняя скорость движения изотермы 4°С равна 155 м/сут. Полученные значения качественно совпадают с данными натурных наблюдений на различных водоемах [6, 7, 10]: для скорости 200-1000 м/сут и времени прохождения термобара 1-3 мес. Из рис. 2 видно, что действие силы Ко-риолиса в моделируемом водоеме приводит к заметному замедлению процесса развития термобара во времени и термический бар наблюдается на несколько суток дольше. Здесь следует учесть, что прогрев водоема идет в течение полных суток, т. е. без учета суточного изменения теплового баланса, поэтому значение времени жизни термобара занижено примерно в два раза. Оценка средних скоростей движения жидкости в водоеме за время существования термического бара представлена в таблице, где обращает на себя внимание уменьшение средней горизонтальной скорости циркуляции жидкости и2 в водоеме примерно на 20% (О^ Обозначение средних скоростей движения жидкости в водоеме за время существования термического бара
м/с, х 1СГ3 п = о п^о
г/] — 6.5
и2 1.2 0.9
и3 13.0 10.0
Остановимся на рассмотрении эффекта влияния силы Кориолиса на скорость распространения термического бара при его перемещении от правого наклонного берега к центру водоема. Пространственное распределе-
ние величины и направления скорости циркуляции в исследуемом водоеме с шагом по времени Д/ = 14.5 сут (с учетом силы Кориолиса) построено на рис. 3. Здесь хорошо заметно отклонение вправо векторов скорости движения жидкости от направления прямолинейного движения (в случае 0 = 0). Видно, что угол отклонения вектора скорости на поверхности водоема может достигать 10°, что говорит о выборе модельного водоема достаточного размера, чтобы изучать геострофические эффекты.
^ > V V \ \ \ » ^ | * ■
/ г г г г
ыаттт-*1 * 1 1 1 \\ г
* ' ' ' ' ' 1 4 * »
Г Г С «Г К
л-*-V Г
»< < < (11
' 1 ' ' 4 -.Л
1 ' '
у л -;'' > ' Ц ¿¡}
-. . . л м.^'Лгч
~г
Т~
Т"
Рис. 3. Поля распределения скорости течения воды П(х],х2,хз) в моделируемом водоеме с шагом по времени / = 14.5 сут при учете силы Кориолиса в уравнениях гидродинамики
На начальном этапе прогрева водоема изотерма 4° С, обозначенная сплошной линией (рис. 2, t^-tз), быстрее двигается вдоль оси х-2 к центру моделируемого водоема, чем изотерма 4° С, обозначенная пунктирной линией, т. е. скорость смещения термического бара с учетом силы Кориолиса несколько больше. Это отражено на графиках зависимости числа Россби-Обухова (Ио = У/£1Ь) от времени прогрева водоема (рис. 4). Увеличение скорости перемещения термобара под действием силы Кориолиса со временем связано с уменьшением средней скорости циркуляции жидкости в глубинной циркуляционной ячейке, имеющей большую протяженность на начальном этапе формирования термического бара (рис. 4). Когда термический бар проходит половину расстояния до центра водоема (рис. 2, 4), размеры ячеек близки и средняя скорость циркуляции жидкости в обеих ячейках становиться одного порядка (рис. 4, I и 29 сут). Затем скорость продвижения термического бара в случае действия силы Кориолиса становится заметно меньше (рис. 2, /5-/7)- Это связано с меньшей
куляционных ячейках примерно на 20% и продлению времени существования термобара в водоеме приблизительно на 5%.
Полученные результаты указывают на заметное влияние геострофических эффектов в протяженных водоемах на динамику конвективных течений, формирование и развитие термобара, что указывает на важность учета силы Кориолиса в уравнениях гидродинамики при проведении математического моделирования.
Список литературы
1. Форель Ф.А. Руководство по озероведению (общая лимнология). СПб., 1912.
2. Тихомиров А.И. // Изв. Всесоюз. геогр. об-ва. 1959. 91, № 5. С. 424.
3. Тихомиров А.И. // Изв. Всесоюз. геогр. об-ва. 1963. 95, № 2. С. 134.
4. Rodgers G.K. 11 Proc. 11th Conf. Great Lakes Res. Internal, Wisconsin, April 18-20, 1968. P. 942.
5. Hubbard D.W., Spain ID. 11 Proc. 16th Conf. on Great Lakes Rese., Ann Arbor, Michigan, 1973. P. 735.
6. Науменко M.A., Каретников С.Г. 11 Метеорология и гидрология. 1998. № 4. С. 107.
7. Тихомиров А.И. Термина крупных озер. JL, 1982.
8. Зилитинкевич С.С., Тержевик А.Ю. // Океанология. 1987. 27, № 5. С. 732.
9. Zilitinkevich, S.S., Kreiman K.D., Terzhivik A.Y. 11 J. Fluid Mech. 1992. 236. P. 27.
10. Malm J., Jonsson L. // Remote Sens. Environ. 1994. 48. P. 332.
11. Huang J.C.K. 11 Geophys. Fluid Dyn. 1972. 3. P. 1.
12. Farrow D.E. 11 J. Fluid Mech. 1995. 289. P. 129.
13. Farrow D.E. 11 J. Fluid Mech. 1995. 303. P. 279.
14. Ковалев В.А., Орданович A.E. Физико-математическая модель турбулентного горизонтального стратифицированного потока с учетом когерентных структур. Ч. 1. Построение модели. М.: Деп. ВИНИТИ. 1981. № 2771-81.
15. Блохина Н.С., Овчинникова А.В., Орданович А.Е. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2002. № 2. С. 60.
16. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М., 1980.
The influence of the Coriolis effect on thermodynamic processes in a water reservoir during the development of a thermal bar
N. S. Blokhina1,11, D. A. Solov'ev2 ''
1 Department of Sea and Inland Water Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
2Sea-Air Interaction and Climate Laboratory, P.P. Shirshov Institute of Oceanology of Russian Academy of
Sciences, Moscow I ¡7858, Russia.
E-mail: a [email protected], b [email protected].
A mathematical model of a springtime thermal bar is constructed. A closed system of Reynolds-type equations is used based on a nonlinear system of thermohydrodynamic equations with the use of a special method of extracting the large-scale structures in a turbulent medium. A numerical solution of the system in a water reservoir with an inclined bottom is obtained; the contribution introduced by the Coriolis force into thermodynamic processes in a water reservoir in the period of existence of a springtime thermal bar is demonstrated.
Keywords: mathematical modeling, the Coriolis effect, thermal bar, convection, turbulence, field observations,
thermodynamics and hydrodynamics.
PACS: 92.10.Ei.
Received 13 November 2009.
English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2010).
Сведения об авторах
1. Блохина Наталия Сергеевна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., ст. науч. сотр.; тел.: (495) 939-36-98, e-mail: [email protected].
2. Соловьев Дмитрий Александрович — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр.; тел.: (499) 124-59-96, e-mail: [email protected].
Рис. 4. Зависимость числа Россби-Обухова от времени прогрева водоема. Пунктирная линия — сила Кориолиса не действует (П = 0), сплошная линия — сила Кориолиса действует
средней скоростью циркуляции жидкости в прибрежной циркуляционной ячейке, охватывающей весь моделируемый водоем (рис. 4).
Выводы
Оценки, полученные при численном моделировании, несмотря на значительные упрощения, оказались достаточно близки к данным натурных наблюдений [6, 7, 10].
Анализ результатов численного счета позволил выделить два этапа в общей картине конвективных движений в водоеме. На начальном этапе прогрева водоема под действием силы Кориолиса происходит ускорение смещения термобара к центру водоема, а на конечном этапе его развития — незначительное замедление. Такой характер движения, очевидно, вызван разным размером областей с водами, охваченными конвективными циркуляциями в глубоководных и мелководных областях моделируемого водоема в разные моменты времени.
Учет эффекта Кориолиса при математическом моделировании способствовал снижению средней горизонтальной скорости циркуляции жидкости в обеих цир-
