CC BY
7
ФИЗИКА PHYSICS
УДК 536.25 ББК 22.365.55 В 57
Малай Николай Владимирович
Профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической и математической физики Белгородского государственного национального исследовательского университета, Белгород, e-mail: malay@bsu.ed.ru Скопец Николай Александрович
Магистр кафедры теоретической и математической физики Белгородского государственного национального исследовательского университета, Белгород, e-mail: nickolay.skopetc@gmail.com
Шулиманова Зинаида Леонидовна
Профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики и естественных наук Российского университета транспорта (МИИТ), Москва, e-mail: zinaida110@yandex.ru Щукин Евгений Романович
Доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Объединенного института высоких температур РАН, Москва, e-mail: evgrom@yandex.ru
Влияние движения среды и внутренних источников тепла на термофорез большой аэрозольной частицы сферической формы во внешнем поле
температурного градиента
(Рецензирована)
Аннотация. Рассматривается модель гидродинамического движения крупной аэрозольной частицы сферической формы во внешнем поле температурного градиента, учитывающая влияние движения среды и внутренние источники тепла, которые неоднородно распределены в объеме частицы. Численное моделирование, проведенное для определенных значений величин, входящих в модель показало, что влияние движения среды на аэрозоли составляет не более 10-12%.
Ключевые слова: термофорез, термофорез сферических частиц, движение сферических частиц в поле градиента температуры.
Malay Nikolay Vladimirovich
Professor, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Theoretical and Mathematical Physics Department, Belgorod State National Research University, Belgorod, e-mail: malay@bsu.edu.ru
Skopets Nikolay Aleksandrovich
Magistrand of Theoretical and Mathematical Physics Department, Belgorod State National Research University, Belgorod, e-mail: nickolay.skopetc@gmail.com
Shulimanova Zinaida Leonidovna
Professor, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Physics and Chemistry Department, Russian University of Transport (MUT), Moscow, e-mail: zinaida110@yandex.ru Shchukin Evgeniy Romanovich
Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Leading Scientist of Joint Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Science, Moscow, e-mail: evgrom@yandex.ru
Influence of the movement of the environment and internal sources of heat on thermophoresis of big aerosol particle of spherical shape in the external field of temperature gradient
Abstract. We explore the model of the hydrodynamic movement of a large aerosol particle of spherical shape in the external field of a temperature gradient, considering influence of the movement of the environment and internal sources of heat which are incoherently distributed in volume of a particle. The numerical modeling, which is carried out for certain magnitudes entering the model, has shown that influence of the movement of the environment on aerosols is no more than 10-12%.
Keywords: thermophoresis, thermophoresis of spherical particles, the movement of spherical particles in the field of temperature gradient.
Введение
Упорядоченное движение частиц, входящих в состав аэродисперсных систем, может быть обусловлено действием сил различной природы. Например, под действием сил межмолекулярного взаимодействия такой процесс осуществляется в газообразных средах с неоднородным распределением температуры. При этом происходит передача некомпенсированного импульса частицам молекулами газообразной среды. Такое движение частиц в градиенте температур называют термофорезом. Термофорез встречается в природе, используется в химии и физике для изучения коллоидных растворов [1-5].
Сложность изучения термофореза в газообразной среде обусловлена непосредственным взаимодействием молекул газообразной среды с поверхностью частицы и объемными эффектами, проявляющимися благодаря наличию неоднородных распределений гидродинамического и температурного полей.
Теория термофореза достаточно хорошо развита как при малых, так и значительных относительных перепадах температуры в окрестности частицы без учета влияния движения среды [1-6]. То есть не учитывался конвективный член в уравнении теплопроводности. За относительный перепад температуры принимается величина, равная отношению разности между средней температурой поверхности частицы Т3 и температурой газообразной среды
вдали от нее Теда к последней, то есть величина (Г3 -Теда)/Теда . Относительный перепад температуры мал, если справедливо неравенство (Г3 -Теда)/Теда «1, в противном случае он считается значительным. При (( -Теда)/Теда «1 коэффициенты теплопроводности, динамической и кинематической вязкости практически постоянны, и газ рассматривается как несжимаемая среда [7].
Здесь и далее индексы " е " и " г " относятся к газу и частице соответственно; индексом "S" обозначены значения физических величин, взятых при средней температуре поверхности частицы и индексом "да" - физические величины, характеризующие газообразную среду в невозмущенном потоке.
1. Постановка задачи. Изучить движение твердой шарообразной (радиуса Я) аэрозольной частицы, однородной по своему составу, и крупной [2], первоначально находящейся во взвешенном состоянии в газе с плотностью ре, теплопроводностью А,е и вязкостью /ле,
внутри которой действуют тепловые источники плотностью . Внешние источники тепла поддерживают в газе постоянный малый градиент температуры УТ. Будем считать, что процесс теплопереноса в системе частица-газообразная среда протекает квазистационарно. Это связано с малым временем тепловой релаксации. Движение частицы происходит при малых числах Пекле и Рейнольдса.
Построение модели процесса темофореза будем осуществлять гидродинамическим методом, когда получают и затем решают уравнения гидродинамики с надлежащими граничными условиями.
Начало системы отсчета свяжем с центром масс движущейся аэрозольной частицы, и задачу решаем в сферической системе координат г, в, р, причем вектор УТ направим вдоль полярной оси г = г соэв. Задача сводится к анализу обтекания частицы бесконечным плоскопараллельным потоком газа, скорость которого и подлежит определению (и||02). Распределения скоростей, давлений и температур обладают аксиальной симметрией относительно оси 02. В данной системе частицу можно считать неподвижной, а внешнюю среду (газ) - движущимся в сторону, противоположную направлению фактического движения нагретой частицы со скоростью =- ил, где ил - скорость термофореза. Тогда уравнения гидродинамики и теплопроводности можно записать в виде [7]:
/Л ие =УРе, Лгие = 0, (1.1)
РЫ Ue-V)Te = 1eАTe, АT = -qj\ ,
(1.2)
r = R, T„ = T, -1
5TL
5 r
= -Л.
5T
5 r
■ (t 4 - t 4)
1 V i e®/'
U(e) = 0,
U(e ) = K
ue ^ts
Ve 5 Te
(1.3)
RTe 50
r , U(e) = U® cos0, U0e) = -U® sin0, Pe = P® , Te = TOT + |VJ| r cos0, (1.4)
r ^ 0.
T .
(1.5)
Здесь иГ и и^е) — компоненты массовой скорости газа и е, - теплоемкость при постоянном давлении, и® = , - плотность тепловых источников, неоднородно
распределенных в объеме частицы, за счет которых и происходит нагрев ее поверхности. При этом средняя относительная температура поверхности частицы мало отличается от температуры окружающей ее газообразной среды.
В граничных условиях (1.3)—(1.5) на поверхности частицы (г = Я) учтено [2, 5, 6, 8]: равенство температур; непрерывность радиального потока тепла с учетом излучения; условие непроницаемости для нормальной и тепловое скольжение для касательной компонент массовой скорости. Здесь КТ8 — коэффициент теплового скольжения, выражение для которого находится методами кинетической теории газов. При коэффициентах аккомодации тангенциального импульса сст и энергии аЕ, равных единице, газокинетический коэффициент Кп, = 1,152 (например, [8]), а0 - постоянная Стефана-Больцмана, <г1 - интегральная
степень черноты вещества частицы. На большом расстоянии от частицы (г ) справедливы граничные условия (1.4), а конечность физических величин, характеризующих частицу при г ^ 0, учтена в (1.5).
Определяющими параметрами в задаче являются материальные постоянные /е, ре,
Хе и сохраняющиеся в процессе движения частицы Я , |УГ|, Те® и и® . Из этих параметров, кроме числа Рейнольдса, можно составить и безразмерную комбинацию £ = Я |УГ| / Те® , характеризующую перепад температуры на размере частицы. При описании
термофореза £ = Я |УГ| / Те® играет роль малого параметра [2, 8].
2. Распределения скоростей и давления, температур вне и внутри частицы. Вычисление термофоретической силы и скорости. Анализ полученных результатов
Вычисление термофоретической силы и скорости будем осуществлять по первому порядку малости £ . Для этого необходимо определить распределения скорости, давления, а также температур вне и внутри частицы в окрестности нагретой частицы. Решения уравнений (1.1) можно получить в виде разложений по полиномам Лежандра и Ге-генбауэра [9]. Известно [9], что для определения общей силы, действующей на частицу, достаточно определить первые члены этих разложений. Тогда общие выражения для компонент массовой скорости и давления будут иметь вид [9]:
Ре (у,в) = Р®+/008^4 , Я
(
U(e)(y, 0) = cos0
V
A + A+Ал
y y J
y
U0e)( y,0) = - sin0
Л
4 -
2 y 2 y
(2.1)
где постоянные интегрирования Д, А2, А3 определяются из граничных условий, у = г / Я . Так как термофорез рассматривается в системе координат в мгновенном положении
центра масс частицы и газ на бесконечности покоится, сама частица движется с характерной скоростью и =— и ш, то выражения для обезразмеренных компонент массовой Уе = и е / и,
где и = | и|, из (2.1) будут иметь вид:
V(e >( y,ff) = cose
A A
,y y J
vee ч y,e) = - sin 3
A . + A2
Л
2 y 2 y
(2.2)
С учетом выражений (2.2), решая уравнения (1.2) методом разделения переменных, получаем следующие выражения для te и tt (tk = TkjTerrj, к = e, i):
te M = teo M+ztel M, ti (y,0) = to (y) + eta (у,в), (2.3)
-p fl ill 1 где teo (у) = 1 + -, to (у) = Д, + - - \¥ody dy, ® = Pr Го, Co = —— f q,dV, У У У У У У V
tel (y,e)=cose
Г a
y+-2+-r y 2
A2 A1
y 2y3
, t ,1 (y,e)=cose
Bi y++1 I yf dy —Vf^ ydy I
y 3 V 1 y y -1 J
1 R 2 +1 3R 2 "1"1
f q,zdV, ^q =- f q<(r,e)dx, =-2 f q<(r,e)xdx, x =cose
2 +1
C =■
4^Rv
2W„ -1
2^ -1
г = г еоэ^, = г2 ъшбйбйцйт, |qizdV - дипольный момент плотности тепловых источ-
V
ников [10, 11], Рг - число Прандтля [7].
Постоянные интегрирования, входящие в выражения для полей температур, определяются из граничных условий на поверхности частицы. В частности, для коэффициентов Г0, Г1 имеем:
Г =
1 keS
5 V kiS
= 2 k
-a
+ 3C -a
5 25
f
keS — + ®0 VkS
Л
f
J
3 k
\
+ a0
v k
J
Го = tes - 1.
(2.4)
Здесь 5 = 2— + a0, a0 = 1 + 4
ks
Tl/eS , ts = t,0(y = 1), teS = te0(y = 1) .
Среднее значение температуры поверхности частицы Т]3 определяется из решения следующей системы уравнений, в которой Т13 = ^ Тех, Те3 = 1е5 Тех :
teS tiS ■
t S -1 =-
eS 4nRXeTex v
kr f q-dv
RT3
k
fc -1].
(2.5)
Интегрируя тензор напряжений по поверхности частицы, находим выражение для общей силы, действующей на частицу [7]:
Fz = J(-р cos Q + orr cos e-CTr0sin e)r2sin в dв d^ . (2.6)
(^) r=R
Здесь arr, are , UГ. и Uв - компоненты тензора напряжений, радиальная и касатель-
ная компоненты массовой скорости, arr = /ие
[ дПе 2 ^ 2 и - 2 divU
, °rd=ße
[due 1 due иеА
ду у de y
ду 3
Подставляя выражения (2.2), (2.3) и (2.4) в (2.6), после интегрирования получаем, что общая сила, действующая на частицу, будет складываться из силы вязкого сопротивления среды , термофоретической силы Ел и силы ¥ат, обусловленной движением среды
2
2
(то есть учета конвективного члена в уравнении теплопроводности):
р = р + р(1), р(1) = рл +ГЛт, (2.7)
где Рм = - 6жЯМе и, РЛ = - 6жЯМе/а У Т , РтЬ = - 6ЖЯ/ У Т .
Значения коэффициентов /й и могут быть оценены из следующих выражений:
Л = 2КГС ¥ , = -2KTS—ipH: ¥ С . (2.8)
Так как частица движется равномерно, то полную силу можно приравнять к нулю. В результате получаем общее выражение для скорости упорядоченного движения частицы, которая будет складываться из термофоретической скорости ил и скорости иЛп1, обусловленной движением среды:
ир = -(ил + иЛт ), (2.9)
где и А = 2КГЗ ¥ УТ , и йя = - 2Кга ¥ ®УТ .
Полученные выше формулы (2.7), (2.9) позволяют оценивать влияние движения среды и нагрева поверхности частицы на величину силы и скорости термофореза. При со = 0 получаем выражения для чистого термофореза крупной аэрозольной частицы сферической формы [2].
Из формул также видно, что вклад движения среды отрицательный и он пропорционален коэффициенту с = РгГ0. Учитывая, что для большинства газов число Прандтля порядка
единицы, то вклад определяется коэффициентом Г0 = 1е3 -1. Коэффициент Г0 определяется из решения системы уравнений (2.5). Для решения этой системы уравнений необходимо задать явный вид распределения плотности тепловых источников внутри частицы. Таким образом, на величину силы и скорости термофореза влияет движение среды (учет конвективного члена в уравнении теплопроводности) через нагрев поверхности частицы. Это позволяет использовать полученные формулы при разработке методов тонкой очистки газов от аэрозольных частиц; при проектировании экспериментальных установок, в которых необходимо обеспечить направленное движение аэрозольных частиц и т.д.
Для оценки вклада движения среды рассмотрим наиболее простой случай, когда частица поглощает излучение как черное тело. В этом случае поглощение происходит в тонком слое толщиной ¿Я<<Я, прилегающем к нагреваемой части поверхности частицы. При этом плотность тепловых источников внутри слоя толщиной ¿Я определяется с помощью формулы:
q =
Т ж
-^cos0, -<0<ж, R-SR<r<R, = 1 SR 2
0, 0 <0<ж
2
где 10 - интенсивность падающего излучения. С учетом этого имеем следующее выражение:
-1-Г дЛУ = ж Я210. (2.10)
4жЯА1Те® I4' 0 ' ;
Среднее значение температуры поверхности частицы Гопределяется из решения следующей системы уравнений (Т^ = ^ Гет, Ге3 = ^ Гет):
teS tiS -
R Т „ RTeiU ,1 (2.11)
и /г / Г 1
ts = 1+1щГ Т 0- ij.
Численное моделирование, проведенное с помощью формул (2.10)-(2.11) для крупных частиц (R = 25мкм) меди и железа, взвешенных в воздухе при Pex = 105 Па, Tex = 273 K, и изменении средней температуры поверхности частицы в интервале от TS = 273K до TS = 303 K, показало, что вклад движения среды в общую картину термофореза составляет не более 10-12%.
Примечания:
1. Вальдберг А.Ю., Исянов П.М., Яламов Ю.И. Теоретические основы охраны атмосферного воздуха от загрязнения промышленными аэрозолями. СПб.: Нииогаз-фильтр, 1993. 235 с.
2. Яламов Ю.И., Галоян В.С. Динамика капель в неоднородных вязких средах. Ереван: Луйс, 1985. 208 с.
3. Optical Thermophoresis for Quantifying the Buffer Dependence of Aptamer Binding / P. Baaske, C.J. Wienken, P. Reineck, S. Duhr, D. Braun // Angewandte Chemie International Edition. 2010. No. 49 (12). Р. 2238-2241.
4. Reineck P., Wienken C.J., Braun D. Thermophoresis of single stranded DNA // Electrophoresis. 2010. No. 31 (2). Р. 279-286.
5. Щукин Е.Р., Малай Н.В., Шулиманова З.Л. О скорости термофореза твердых двухслойных крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2015. Вып. 2 (161). С. 23-30. URL: http ://vestnik.adygnet.ru
6. Малай Н.В., Лиманская А.В., Щукин Е.Р. Термо-форетическое движение нагретых крупных аэрозольных частиц сферической формы // Прикладная механика и техническая физика. 2016. Т. 57, № 2. С. 164-171.
7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6: Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
8. Поддоскин А.Б., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Теория термофореза умеренно крупных аэрозольных частиц // ЖТФ. 1982. Т. 52, № 11. С. 22532262.
9. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 630 с.
10. Фотофорез нагретых крупных аэрозольных частиц сферической формы / Н.В. Малай, А.В. Лиманская, Е.Р. Щукин, А.А. Стукалов // Журнал технической физики. 2012. Т. 82, № 10. С. 42-49.
11. Береснев С. А., Кочнева Л.Б. Фактор асимметрии поглощения излучения и фотофорез аэрозолей // Физика атмосферы и океана. 2о03. Т. 16, № 2. С. 134-141.
References:
1. Waldberg A.Yu., Isyanov P.M., Yalamov Yu.I. Theoretical bases of protection of atmospheric air from pollution by industrial aerosols. SPb.: Niiogaz-filter, 1993. 235 pp.
2. Yalamov Yu.I., Galoyan V.S. Dynamics of droplets in inhomogeneous viscous environment. Yerevan: Luys, 1985. 208 pp.
3. Optical Thermophoresis for Quantifying the Buffer Dependence of Aptamer Binding / P. Baaske, C.J. Wienken, P. Reineck, S. Duhr, D. Braun // Angewandte Chemie International Edition. 2010. No. 49 (12). Р. 2238-2241.
4. Reineck P., Wienken C.J., Braun D. Thermophoresis of single stranded DNA // Electrophoresis. 2010. No. 31 (2). Р. 279-286.
5. Shchukin E.R., Malay N.V., Shulimanova Z.L. On the velocity of thermophoresis of solid two-layer large and moderately large aerosol particles // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2015. Iss. 2 (161). P. 23-30. URL: http://vestnik.adygnet.ru
6. Malay N.V., Limanskaya A.V., Shchukin E.R. Ther-mophoretic movement of heated large aerosol particles of spherical shape // Applied Mechanics and Technical Physics. 2016. Vol. 57, No. 2. P. 164-171.
7. Landau L.D., Lifshits E.M. Theoretical physics. Vol. 6: Hydrodynamics. M.: Nauka, 1986. 736 pp.
8. Poddoskin A.B., Yushkanov A.A., Yalamov Yu.I. Theory of thermophoresis of moderately large aerosol particles // ZhTF. 1982. Vol. 52, No. 11. P. 22532262.
9. Happel J., Brenner G. Hydrodynamics at low Reynolds numbers. M.: Mir, 1976. 630 pp.
10. Photophoresis of heated large aerosol particles of spherical shape / N.V. Malay, A.V. Limanskaya, E.R. Shchukin, A.A. Stukalov // Journal of Technical Physics. 2012. Vol. 82, No. 10. P. 42-49.
11. Beresnev S.A., Kochneva L.B. Factor of asymmetry of radiation absorption and photophoresis of aerosols // Physics of the Atmosphere and Ocean. 2003. Vol. 16, No. 2. P. 134-141.
