Влияние диссипации энергии на давление в жидкости, заполняющей сосуд с подвижными стенками Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

7. Перекотий В.В., Темердашев З.А., Цюпко Т.Г., Паленая Е.А. // Журн. аналит. химии. - 2002. - 57. - № 5. - С. 538-541.

8. Турьян Я.И., Малука Л.М., Маркова 'Г.Р. // Журн. аналит.

химии. - 1992. 47. 4. С 723 730

9. Ненашева Л.В., Бозина Т.В., Рувииский О.Е., Росляков Ю.Ф. // Проблемы здорового питания: Тез. докл. 1-й Междунар. науч.-практ. конф. - Орел, 1998. - С. 234.

10. ГОСТ Р 51575-2000. Соль поваренная пищевая иодированная. Методы определения иода и тиосульфата натрия. - М.: Изд-во стандартов, 2001. - С. 3-5.

11. ГОСТ 23268.16-78. Воды минеральные питьевые лечебные, лечебно-столовые и природные столовые. Методы определения ио-дод-ионов. - М.: Изд-во стандартов, 1982. - С. 92-95.

Кафедра стандартизации, сертификации

и аналитического контроля

Поступила 23.12.02 г. '

532.5.621.311.001.4

ВЛИЯНИЕ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ НА ДАВЛЕНИЕ В ЖИДКОСТИ, ЗАПОЛНЯЮЩЕЙ СОСУД С ПОДВИЖНЫМИ СТЕНКАМИ

В.В. ТРЕПАЧЕВ ’П I Н иимвч- :

Ростовская государственная академия сельскохозяйственного машиностроения

Сосуды, имеющие прямоугольную форму поперечного сечения, применяются в технологических процессах переработки, хранения и транспортировки жидких продуктов [1]. Изменение давления в жидкости приводит к возникновению кавитации, сепарации и других явлений, активизирующих технологические процессы.

В работе анализируется влияние диссипации энергии на давление в несжимаемой жидкости, которая полностью заполняет сосуд с постоянной площадью поперечного сечения. Область применимости рассматриваемой модели соответствует малым значениям числа Маха иЫСр, где и, Ь - характерные значения скорости жидкости и длины сосуда, сР - скорость звука в жидкости.

Рассматривается задача о плоском движении идеальной несжимаемой жидкости в прямоугольном сосуде переменной длины и высоты. Стенки сосуда жесткие, прямолинейные. Нижняя стенка сосуда неподвижна, верхняя стенка движется в вертикальном направлении. Боковые вертикальные стенки перемещаются в противоположных направлениях. Жидкость несжимаема, поэтому площадь поперечного сечения сосуда имеет постоянное значение .у0=2/?о/о, где ^о, 2/0 -высота и длина сосуда в невозмущенном состоянии.

Выберем начало правой декартовой системы координат на дне сосуда, ось 0-у, направим вертикально вверх. Форма прямоугольного сосуда описывается соотношениями

х = ±1(П,0<у<!ШЬ(П = ^,1(()>0, (1)

где й(0, 2/(0 - высота и длина сосуда в произвольный момент времени.

Обозначим • ■••• - . •

/г(О = А0 + П(0, КО = 10 +4(0, /(О>0,/0 >0, (2)

где 1](7) - возвышение поверхности жидкости, ^(1) - относительное смещение правой стенки в горизонтальном направлении.

Потенциал скорости ср и давление р в жидкости, находящейся в безвихревом движении, определяются из соотношений [2, 3] • ; .

•

; ' ф=~—-(X2-/),|х|</(О,0< у<й(0;

Р =~Р1Ф + >2 (ф^ + фI) + М-ф] + Ро (У> 0 + /(0, (3) Ро(У’[)= Р#[МО- V] + ра, |х| </(/), у < Л(/),

где р - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения; ц. -коэффициент диссипации энергии в жидкости (ц> 0), вызванной силами Релея, которые пропорциональны скорости движения [2];ро(у, 0 - гидростатическое давление [4, 5]; ра - внешнее постоянное давление; /(0 — неизвестная функция времени, которая находится из дополнительного условия: чтобы определить ДО. необходимо задать значения давления р(1) в некоторой точке жидкости.

В дальнейшем считаем, что на верхней стенке сосуда выполнено условие

р({)-=ра, х = о, >' = /?(/). (4)

Траектория жидкой частицы находится путем решения задачи Коши < V

• • с1х I <!у I , . ...

—— = — у, (5)

т I л /

лее длительным из-за необходимости построения градуировочной характеристики. .

ЛИТЕРАТУРА

1. Краткая химическая энциклопедия: В 5 т. Т. 2 / Под ред. И. Л. Кнунянц и др. - М.: Сов. Энциклопедия, 1963. - С. 285-287.

2. Лабораторный практикум по общей технологии пищевых производств / Под ред. Л.П. Ковальской. - М.: Агропромиздат, 1991. -С. 300-302.

3. ГОСТ 25832-89. Изделия хлебобулочные диетические. Технические условия. - М.: Изд-во стандартов, 1996. - С. 14-17.

4. Nogueira A.R.A., Mockiuti F., Souza G.B.de, Primavesi O. // Anal. Sci. - 1998,- 14. -№ 6. - P. 559-564.

5. Xiang-Nong L., Bi-Yu V., Sheng-Quan J. // Chin. J. Spectrosc. Lab. - 2000. - 17. - № 6. - P. 635-636.

6. Arafa E.A., Bejey A.M., Etwir R.H., Das H.A. // J. Trace and Microprobe Techn. - 2000. - 18. - № 3. - P. 461-466.

х = х0,1 = 0\у=уо,1=0 .

Правые части системы дифференциальных уравнений в (5) равны проекциям вектора скорости на соответствующие оси координат. Функция /(0 в (2) удовлетворяет условию /(0)=/0. Интегрируя (5), имеем

x(O = x0~y(t) = y0 !°

т

(6)

где х о, уо - координаты частицы в начальный момент времени / = 0, 1(1) - закон движения правой стенки сосуда.

Траектория жидкой частицы (6) представляет собой равнобочную гиперболу, так как х($ у({) = хоу0-Воспользуемся (3), (4) и найдем давление в жидкости

p(x,y,f) = -p

ґї _Р_ 1 Т

(*>-/+*>)■

+-

1 /

+pa(y,t№)

і г~

г-

а

dt

>ґіл

KlJ

-0, /(0) = /„, /(0) = «0

(8)

где г<0 - скорость стенки в начальный момент времени (= 0.

При выполнении условия (8) давление в жидкости не содержит вклада потенциала ускорений, что видно из (7) и (8). Решив однородное дифференциатьное уравнение (8), имеем

/ = /0 ехр(А'0, А = А0 ехр(-Ш),к = у-;

г 1о

<? = \к{х2<7 <А(/); (9)

Р = -

|[(а2 + + (/с2 -1дА-)(/ - /ї2)] + рg(h - у) + ра.

Потенциал скорости не зависит от времени /, поэтому формулы (9) описывают случай установившегося движения жидкости. Выделим три случая установившегося состояния: к = 0,к = ц, к - -ц.

В случае к = 0 жидкость и стенки сосуда неподвижны, давление в жидкости распределено по гидростатическому закону р = ^ (йо -у) ра- Линии равного давления - прямые, параллельные оси 0-х. Наименьшее давление равно ра, оно наблюдается на всей верхней границе^ = А0-

Подставим к = ц. в (9), найдем давление в слое жидкости, длина которого увеличивается по закону / = /еехр(р./). В результате имеем

p = -pii-x + pg[h0exp(~nf)-y] + pa.

(10)

Выражение в квадратных скобках, умноженное на -р, называют модифицированным давлением. Модифицированное давление вызвано движением жидкости, которое в общем случае не является установившимся, поэтому в (7) присутствует вклад потенциала локального ускорения жидкости ф.

Рассмотрим движение жидкости, удовлетворяющее условию, которое выражено в виде задачи Коши

Линии равного давления (в каждый фиксированный момент времени) - параболы. Вершины парабол расположены на оси 0-_у, параболы выпуклы вверх. Наименьшее давление pmm равно ра - рц2/'2, оно наблюдается в крайних точках верхней границы у -h,x = ±1, его величина уменьшается при увеличении длины слоя /. В случае ршт=Рк, где pk - давление парообразования, наступает явление кавитации.

Подставим к = -ц в (9), найдем давление в слое жидкости, длина которого уменьшается по закону I = = /0ехр (—Lit). В результате имеем

p(y,t) = -рц2(у1 - h2)+pg(h - у)+ pa,h = h0 ехр(ц/). (11)

Давление не зависит от координаты х. Линии равного давления - прямые, параллельные оси 0-х. Наименьшее давление равно ра> оно наблюдается на всей верхней границе у = h. Наибольшее давление больше гидростатического на величину р,и2/?2, оно наблюдается на всей нижней границе у - 0. Линии равного давления сгущаются у верхней границы.

Изучим вклад потенциала локального ускорения жидкости в давление. Преобразуем формулу давления в жидкости (7)

P(x> yJ) )х2 + b(f)(у2 -h2)]+ pQ (>',/), (12)

где коэффициенты a(t), b(t) равны

1

я(0=—(/ +иО; h

... 2/

1 •• /2 •

b(t) =-----(/ -2—+ ц/).

21 I

(13)

Выделим два случая a(t) = 0, b(t) = 0. В первом случае / = 1(f) находится из задачи Коши для однородного линейного дифференциального уравнения

/ +ц/=0,/(0) = /0,/(0) = и0.

(14)

Воспользуемся формулами (1)-(3), (12), (13) и условием (14), имеем

/(О =4 + с (О,«О = — [1 -ехрНі/)], ц

■ h(t)=h0l0(l0 +ф)),и0 +ц/0 >0;

(15)

р(у,0 = -р

(У2 -h2>) + pg-(h-y)+pa.

Из неравенства и0 + ц/0 > 0 следует, что 1(f) в (15) принимает конечные положительные значения

С

у

н

А

с

м

в

К

Ті

I

/0 <l(t)<I0 +и0 /ц, М0 >0, 0</ <оо;

О</0 +и0 /р. <l(t)<l0, и0 <0, 0</<оо. (16)

Из (16) видно, что соотношения (15) отличаются от (11) тем, что они допускают описание случая не только уменьшения длины полости, но и увеличения ее длины. Градиент давления направлен вертикально вниз. Абсолютное значение градиента движущейся жидкости больше, чем в случае покоящейся жидкости. Возможно наблюдение эффекта сепарации легких частиц, вызванного их всплыванием.

Рассмотрим случай b(t) = 0. Функция /(f) находится из решения задачи Коши для однородного нелинейного дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка

V 7*-2/2//+ц/=0, /(0) = /0, /(0) = и0. (17)

Воспользуемся формулами (1)-(3), (12), (13) и условием (17), имеем . ;

I ^ ■ “ | ^ | “

p(x,yj) = pa+pg(h-y)-p\ ~ | ехр(-2ц/). (18)

\,1Щ Ш ■'

Длина сосуда 2/(0 в (18) принимает конечные положительные значения. Безразмерное число

/? 1 Ul> /. I якияртгст ‘Л и я Tnrn\f иш^ття PfMmn пи nr-i Чя f'O-

-■а | /ц/0|.. .......... ---------- ---------.—“•

ны изменения длины сосуда (15)и(18) качественно отличаются друг от друга. Например, формула (15) описывает конечное увеличение длины сосуда при любых конечных значениях числа R^, а формула (18) описывает конечное увеличение длины сосуда только при значениях Ra' 1. Увеличение коэффициента диссипации энергии ц приводит к увеличению скорости затухания неустановившейся части давления в (15) и (18).

ЛИТЕРАТУРА

1. Горбатюк В.И. Процессы и аппараты пищевых производств. - М.: Колос, 1999. -335 с.

2. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. - М.: Наука, 1997. - 816 с.

3. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. - М.: Наука, 1979. - 431 с.

4. Крауффорд Ф. Волны. Берклеевский курс физики. T.3. -М.: Наука, 1974.-527 с.

5. Кухлииг X. Справочник по физике. - М.: Мир, 1982. -

491с. ,

Кафедра высшей математики -

Поступила 24.10.02 г. г rfv ; ■