CC BY
62
УДК 130.145
ВЛИЯНИЕ ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА МГНОВЕННУЮ СМЕРТЬ ПЕРЕПУТЫВАНИЯ СОСТОЯНИЙ ДВУХ АТОМОВ С ВЫРОЖДЕННЫМИ ДВУХФОТОННЫМИ ПЕРЕХОДАМИ
© 2011 Е.К. Башкиров, А.М. Евдокимова, М.С. Мастюгин1
Исследовано влияние диполь-дипольного взаимодействия на перепутыва-ние состояний двух атомов в различных начальных W-состояниях в модели Тависа-Каммингса с вырожденными двухфотонными переходами. Найдено, что степень перепутывания между атомами может увеличиваться благодаря диполь-дипольному взаимодействию между атомами. Показано также, что для некоторых начальных состояний такое взаимодействие может приводить к исчезновению эффекта мгновенной смерти перепутывания.
Ключевые слова: двухатомная модель, вырожденные двухфотонные переходы, диполь-дипольное взаимодействие, перепутывание, мгновенная смерть перепутывания.
Как хорошо известно, любая технология в физике квантовых вычислений базируется на перепутанных состояниях. Поэтому в настоящее время большое внимание уделяется исследованию различных схем генерации и механизмов сохранения перепутанных состояний. Для практических целей квантовых вычислений пригодны лишь долгоживущие атомные перепутанные состояния. Такие состояния наблюдались в последнее время в ряде экспериментов с ионами и атомами в магнитных и оптических ловушках [1]. Однако во многих случаях возникающие атомные перепутанные состояния оказываются нестабильными. В частности, в случае атомов, взаимодействующих с электромагнитным полем в высокодобротных резонаторах и ловушках, нестабильность атомных перепутанных состояний обусловлена осцилляциями Раби. Исчезновение квантовых корреляций между атомами за счет взаимодействия с окружением получило название мгновенной смерти перепутывания. В ряде недавних работ было показано, что эффект мгновенной смерти перепутывания можем быть ослаблен или полностью сведен на нет за счет включения диполь-дипольного взаимодействия для определенных перепутанных начальных состояний системы [2; 3]. При этом в работе [2] исследована модель двух двухуровневых атомов с невырожденными двухфотонными переходами, а в работе [3] — двухатомная модель с однофотонными переходами. Физически диполь-дипольное взаимодействие можно увеличить, уменьшая относительное
1Башкиров Евгений Константинович (bash@ssu.samara.ru), Евдокимова Анна Михайловна, Мастюгин Михаил Сергеевич (mast12basket@rambler.ru), кафедра общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
расстояние между атомами в резонаторе или ионами в магнитной ловушке Пауля. Преимущество такой схемы заключается в том, что относительное расстояние между атомами или ионами можно легко контролировать. В настоящее время в современных магнитных ловушках Пауля охлажденные атомы могут быть заперты на расстояниях порядка длины волны излучения. В этом случае параметр диполь-дипольного взаимодействия становится сравнимым с константой диполь-фотонного взаимодействия. В связи с вышесказанным представляет интерес продолжить исследования эффекта мгновенной смерти перепутывания в системах дипольно связанных атомов. В настоящей работе рассмотрено влияние диполь-дипольного взаимодействия на перепутывание атомных состояний в двухатомной модели с вырожденными двухфотонными переходами.
Рассмотрим два идентичных двухуровневых атома, резонансно взаимодействующих с модой квантового электромагнитного поля в идеальном резонаторе посредством вырожденных двухфотонных переходов, при наличии прямого диполь-дипольного взаимодействия между атомами. В представлении взаимодействия и приближении вращающейся волны гамильтониан такой модели можно представить в виде:
Н = (а+2 а- + а+°2) + + )■
(1)
¿=1
где а+ и а — операторы рождения и уничтожения фотонов резонаторной моды, а+ и а2 — повышающий и понижающий оператор в г-ом атоме (г = 1, 2), д — константа взаимодействия атомов с полем и П — константа диполь-дипольного взаимодействия атомов.
Обозначим через | +} и | —} - возбужденное и основное состояние двухуровневого атома. Тогда двухатомная волновая функция может быть представлена в виде комбинации волновых векторов вида | а, в} =1 а} I в}, где а, в = +, —. Атом-полевая система в идеальном резонаторе обладает унитарной динамикой, которая в представлении взаимодействия описывается оператором эволюции вида иI(Ь) = вхр—гН^/Н). Если система, включающая атомы и поле, находится в начальный момент времени в чистом состоянии, то ее вектор состояния в любой момент времени в представлении взаимодействия может быть представлен в виде
№(г)} = и (*)|*> (0).
(2)
В двухатомном базисе | +, +}, | +, —}, | —, +}, | —, —} оператор эволюции и1 (Ь) для рассматриваемой модели может быть записан как [4]
и11 и12 и1з и14 \
и21 и22 и23 и24
и (Ь) = из1 из2 изз из4
и41 и42 и43 и44
Здесь
и11 = 1 + 2а2 Аа+2, и14 = 2 а2 Аа2, Л Л и41 = 2а+2 Аа+2 Л
и12 = и1з = а2 В В, и21 = и31 = о - Ва+2 " оа , и24 = из4 = В ~о
и22 = изз =
(3)
!г2
- „+2
В
2
о
ехр Г—г% (а + 04] г а 1
—^—^-— \ [1 - ехр(гд0^)]а + 20 ехр(^(3а + 0Щ + 0[1 + ехр(га0£)Ц ,
40 I 2 )
и23 = и32 =
ехр 2 (а + в)А Г [1 - ехр(гд0^)]а - 20 ехр(«а(3а + 0)^] + 0[1 + ехр(гд0£)]) , 40 2
где
А = ехр
аа —г—£ 2 .
В = ехр
сюв ( уМ + ^ М } - 1,
-а (а + 0)г [1 - ехр(га0£)]
2
и а = ^, Л = 2(2а+2а2 + а2а+2), 0 = л/(8(а+2о? + а2а+2) + а2 .
Предположим, что атом-полевая система приготовлена в начальный момент времени в перепутанном состоянии ^-типа вида
|Ф(0)> = о|+, -, 0) + Ь\-, +, 0) + с\-,-, 2), (4)
где коэффициенты удовлетворяют условию нормировки |а|2 + |Ь|2 + |с|2 = 1. Заметим, что в настоящее время предложено большое число схем реализации таких перепутанных состояний (см. ссылки в [3]).
Используя соотношения (2)—(4), можно представить временную волновую функцию системы в в виде
\Щ£)> = Х!\+, -, 0) + Х2\-, +, 0) + Хз\-,-, 2), (5),
где
В
Х1 = №2)0 а + (Ц23)0 Ь + ^ с,
0о
В
Х2 = (^23)0 О + (Ц2з)о ь + у/2 ВО с,
00
Х1 = 72 В0 а + ^2 В0 Ь +(1+4 А0) с. 0О 0О ЛО
Здесь мы ввели обозначение O=(n|O|n>, где О - произвольный оператор, зависящий от переменных поля и \п) - полевое состояние с определенным числом фотонов.
Информация относительно перепутывания состояний атомов содержится в редуцированной атомной матрице плотности ра (£), которая может быть получена при усреднении полной матрицы системы "атомы+поле" рае(£) = |^(£))(^(£)| по переменным резонаторного поля
Ра(£) = ТтР рае(£). (6)
В двуатомном базисе |+, +), |+, -), \-, +), \-, -) редуцированная матрица плотности (6) может быть записана в виде
Ра
0 0 0 0 \
0 |Х112 Х1Х2 0
0 Х2 ХЦ |Х2|2 0
0 0 0 |Хз |2 )
(7)
C(P , )
а
б
Рис. 1. Временная зависимость параметра перепутывания C(рл) для двухатомной системы начальным состоянием (4) и значениями коэффициентов: a = b = c = 1/л/3 (а) и a = ^/2/3,b = c = 1/л/3 (б). Параметр диполь-дипольного взаимодействия а = Q/g = 4 (сплошные линии) и а = Q/g = 0 (штриховые линии)
Для количественной оценки степени перепутывания двух двухуровневых атомов воспользуемся критерием перепутанности двух кубитов Вуутерса [5]. Для редуцированной атомной матрицы плотности (8) соответствующий параметр перепутывания дается выражением
C(pA) = 2max{0, IM2}. (9)
На рис. 1 представлены результаты численного моделирования параметра перепутывания (9) для различного значения параметра диполь-дипольной связи и начального состояния системы вида (4).
Из рисунка хорошо видно, что для обоих начальных состояний эффект мгновенной смерти перепутывания атомов отсутствует, и диполь-дипольное взаимодействие приводит к увеличению степени перепутывания атомов. Зависимость максимального значения параметра перепутывания от параметра диполь-дипольной связи а представлена на рис. 2. Максимальная степень перепутывания достига-
ется для рассматриваемого начального состояния системы (а = Ь = с в случае, когда параметр дипольного взаимодействия атомов а = 5, 5.
1/73)
0,9
0,8
0,7
0,6
10
12
Рис. 2. Зависимость максимального значения параметра перепутывания С(рл)тах от параметра диполь-дипольной связи а = П/д. Начальное состояние двухатомной системы имеет вид (4) для а = Ь = с = 1/
Рассмотрим теперь другое начальное перепутанное состояние ^-типа: |Ф(0)) = о|+, +, 0) + Ь|+, -, 2) + с\-, +, 2). В этом случае временная волновая функция системы может быть записана в виде |Ф(0)) = Х1|+, +, 0) + Х2|+, -, 2) + Хз\-, +, 2) + Х4\ , -, 4), (10)
Х1 = (1+4А2) о + 72 В2 Ь + 72 В2 с, Л2 02 02
Х2 = 72 В а + (^22)2 Ь +(^23)2 с, 02
Х3 = 72 Ва + (Ц23)2Ь + (и22)2с, 02
Х4 = 476 А2 а + 712 В2 Ь + 712 В2 с. Л2
В двухатомном базисе соответствующая редуцированная атомная матрица плотности есть
(11)
| Х1 | 2 0 0 0
= 0 |Х212 Х2Х3 0
ра 0 Х3Х2* |Х3|2 0
V 0 0 0 |Х412 )
Параметр перепутывания, соответствующий атомной матрице плотности (11), дается выражением
С(ра) = 2тах{0, |Х2Х3| - |Х1Х4|}. (12)
На рис. 3 представлены результаты численного моделирования параметра пе-репутывания (12) для различного значения параметра диполь-дипольной связи и начального состояния системы вида (10) с коэффициентами: а = Ь = с = 1/73 (а)
6
и a = у/2/3, b = c = 1/%/б (б). В этом случае в отсутствие диполь-дипольного взаимодействия атомов в системе за счет наличия осцилляций Раби имеет место мгновенная смерть перепутывания. Для первого состояния (рис. 3, а) при достаточно больших значениях параметра диполь-дипольного взаимодействия эффект мгновенной смерти перепутывания исчезает, для второго состояния включение диполь-дипольного взаимодействия не приводит к исчезновению указанного эффекта.
а
C (р, ) 0,6
0,5
0,4
б
Рис. 3. Временная зависимость параметра перепутывания C (рл) для двухатомной системы с начальным состоянием (10) и значениями коэффициентов: a = b = c = 1/^3 (а) и a = y/2/3, b = c = 1/у/6. Параметр диполь-дипольного взаимодействия а = Q/g = 10 (сплошные линии) и а = Q/g = 0 (штриховые линии)
Таким образом, в настоящей работе мы исследовали влияние прямого диполь-дипольного взаимодействия двухуровневых атомов на динамику их перепутыва-ния при взаимодействии с одномодовым электромагнитным полем в идеальном резонаторе посредством вырожденных двухфотонных взаимодействий. В качестве начального состояния системы "атомы+поле" выбирались различные перепутанные состояния W-типа. Показано, что для некоторых начальных состояний ди-поль-дипольное взаимодействие может приводить к исчезновению эффекта мгновенной смерти перепутывания.
Литература
[1] Schumacker D., Westmoreland M.D. Quantum Processes, Systems, and Information. New York: Oxford University Press, 2010. 469 p.
[2] Zhang G-feng, Chen Zi-yu. The entanglement character between atoms in the non-degenerate two photons Tavis-Cummings model Optics Communications. 2007, V. 275. P. 274--277.
[3] Li Chen, Shao Xiao-Qiang, Zhang Shou. The influence of dipole-dipole interaction and detuning on the sudden death of entanglement beween two atoms in the Tavis-Cummings model // Chinese Physics B. 2009. V. 18. № 3. P. 888-893.
[4] Bashkirov E.K. Entanglement induced by the two-mode thermal noise // Laser Phys. Lett. 2006. V. 3. № 3. P. 145-150.
[5] Wootters W.K. Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. № 10. P. 2245-2248.
Поступила в редакцию 18/X/2010; в окончательном варианте — 18/Х/2010.
THE INFLUENCE OF DIPOLE-DIPOLE INTERACTION ON THE SUDDEN DEATH OF ENTANGLEMENT OF TWO ATOMS WITH DEGENERATE TWO-PHOTON
TRANSITIONS
© 2011 E.K. Bashkirov, A.M. Evdokimova, M.S. Mastyugin2
The influence of dipole-dipole interaction on the entanglement between two atoms with different initial W-like states in Tavis-Cummings model with degenerate two-photon transitions has been investigated. The results show that the entanglement between two atoms can be increased by means of dipole-dipole interaction and for some initial states the sudden death effect can be weakened.
Key words: two-atom model, degenerate two-photon transitions, dipole-dipole interaction, entanglement, sudden death of entanglement.
Paper received 18/X/2010. Paper accepted 18/X/2010.
2Bashkirov Evgeniy Konstantinovich (bashSssu.samara.ru), Evdokimova Anna Mihailovna, Mastyugin Mihail Sergeevich (mast12basketSrambler.ru), the Dept. of General and Theoretical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
