Влияние частоты купонных платежей на цену облигации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 336.767.3:51 Н. В. ПОПОВА

N. V. POPOVA

ВЛИЯНИЕ ЧАСТОТЫ КУПОННЫХ ПЛАТЕЖЕЙ НА ЦЕНУ ОБЛИГАЦИИ THE IMPACT OF COUPON PAYMENTS FREQUENCY ON THE BOND PRICE

Аннотация: в данной статье приводятся математические доказательства ранее не изученной зависимости цены, величины изменения цены и процентного изменения цены купонной облигации от числа купонных платежей в году. Установлен характер этих зависимостей при фиксированных значениях основных параметров облигации.

Ключевые слова: купонная облигация; математические методы; частота купонных выплат; цена облигации.

Abstract: mathematical proofs of the previously unexplored impact of the number of coupon payments per year on the price, the value of the price change and the percentage change of the coupon bond price are presented. The character of this dependence is estimated for fixed values of the key bond features.

Keywords: coupon bond; mathematical methods; coupon payments frequency; bond price.

Купонная облигация — наиболее распространённый инструмент для инвестиций с фиксированным доходом. В связи с этим существует потребность в увеличении информации об инвестиционных свойствах данного финансового инструмента. Основными факторами, влияющими на цену облигации, являются: срок до погашения, купонная ставка и доходность к погашению облигации1. О частоте купонных выплат авторы2 пишут: «Как правило, проценты по облигации выплачиваются каждые шесть месяцев. В некоторых случаях интервал выплаты процентов сокращается до одного месяца, и совсем редко выплата осуществляется один раз в год». Авторы3 отмечают: «Увеличение частоты купонных выплат повышает инвестиционную привлекательность выпуска». При этом о влиянии частоты купонных выплат на цену облигации ничего не говорится4. В связи с этим теория

инвестирования в финансовые инструменты с фиксированным доходом представляется неполной.

Известно, что применение математических методов способствует углублению и расширению информации об объекте инвестирования. В работах5 приводятся математические доказательства некоторых важных свойств купонной облигации. Однако зависимость цены купонной облигации от числа купонных платежей в году как математическая задача до сих пор не рассматривалась. Знание такой зависимости, как уже отмечено, может представлять интерес для инвестора.

Пусть дана облигация номиналом А, купонные выплаты по которой производятся т раз в году по годовой купонной ставке f. Предположим, в момент t = 0 облигация продаётся через время т после купонной выплаты, когда до по-

1 Лоренс Дж. Гитман, Майкл Д. Джонк. Основы инвестирования. М.: ДЕЛО, 1999. С. 471-472;

Фрэнк Дж. Фабоцци. Управление инвестициями. М.: ИНФРА-М, 2000. С. 480-482.

2 Лоренс Дж. Гитман, Майкл Д. Джонк. Указ. соч. С. 425.

3 Размещение рублевых облигационных займов [Электронный ресурс]. иЯЬ: http://www.besteconomics.ru (дата обращения 17.03.2012).

4 Лоренс Дж. Гитман, Майкл Д. Джонк. Указ. соч. С. 475. Отмечена зависимость цены облигации от частоты купонных выплат при изменении рыночной процентной ставки.

5 Барбаумов В. Е., Гладких И. М., Чуйко А. С. Финансовые инвестиции. Ч. 1. Инвестиции с фиксированными доходами: Учебное пособие. М.: Рос. экон. акад., 2000. Мельников А. В., Попова Н. В., Скорнякова В. С. Математические методы финансового анализа. М.: АНКИЛ, 2006.

гашения облигации остаётся Т лет и п купонных платежей. Облигация не имеет кредитного риска и не может быть отозвана эмитентом до установленной даты погашения.

Цена облигации в любой момент времени имеет две составляющие: котируемую цену Р и накопленный купонный доход. Так как при торговле на бирже информация о ценах на купонные облигации даётся в виде котируемой цены, зависимость от числа купонных платежей в году т будем рассматривать только для котируемой цены купонной облигации. Это значит, что далее будем считать т = 0. Тогда число купонных платежей п, оставшихся до погашения облигации, равно Тт. Котируемую цену облигации Р будем рассматривать как функцию от т, т. е. Р = Р(т), где т = 1, 2,... Все остальные параметры облигации, в том числе доходность к погашению г, считаем фиксированными.

Установим характер зависимости функции Р(т) от т. Выражение для котируемой цены облигации в момент купли-продажи t = 0 имеет вид6:

Р(т) =

1+-

(1)

где т = 1, 2,... При т = 0 облигация является бескупонной. Цена такой облигации при сроке до погашения Т лет равна р =

(1 + Г у

Заметим, что котируемая цена облигации, продающейся по номиналу (/ = г), при фиксированной доходности г остается неизменной независимо от числа купонных платежей в году. Далее будем рассматривать/ф г.

Найдём предельные значения функции Р(т). Из (1) следует, что

P(1) =

lim P(m) = A|1 - L|e

(1+r )

f

1-^

Af

- lim Tm ln |1 + — J Af

=A| 1 -^| e-Tr + K.

при / > г (облигация продаётся с премией) предельные значения больше номинала облигации А. Действительно:

A^1 - LJe"r + у - A = A(j- - 1^J(i - e-Tr) > 0; A f1-LJ + A - A =Ai1: - ^f1 1 > 0.

Af

f

(1+ Г )Т V Г ) Г I Г ) V (1 + Г)

При/< г (облигация продаётся с дисконтом) неравенства противоположны.

Для дальнейшего изучения зависимости функции Р(т) от т необходима вспомогательная функция:

ф(х) =

1+-

(2)

Функция ф(х) непрерывна и бесконечно дифференцируема на множестве х > 1. Функция ф(х) и котируемая цена облигации P(m) связаны соотношением:

ф(т) = P(m), где m = 1, 2, ... (3)

Кроме того, ф(1) = P(1) и lim ф(х) = lim P(m) — предельные значения функций ф(х) и P(m) совпадают. Докажем лемму.

Лемма. Справедливы следующие утверждения:

1) функция ф(х) является возрастающей и вогнутой на множестве х > 1 тогда и только тогда, когда f > r;

2) функция ф(х) является убывающей и выпуклой на множестве х > 1тогда и только тогда, когда f < r.

Доказательство. Используем свойства функции а(х) = I1 + —Jx, х > 1.

С помощью разложений функций в степенные

( Г )Тх

ряды доказывается, что функция а(х) = 11 + -1

является возрастающей и вогнутой на множестве х > 1, т. е. а/(х) > 0, а//(х) < 0 при х > 1. Так как

ф(х) = (1 - I) + А ,

а (х) V г ) г

то

ф/(х) = a|L - J = j> 0 ö f > r, х > 1;

Y 1 r ) { а 2 (x) ) [< 0, ö f < r

а ''(x)а2 (x) - 2а (x)(a'(x))2 J = j< 0, ö f > r

а4 (x)

> 0, ö f < r

х > 1.

Лемма доказана.

T x

Г

r

m

x

+

r

r

r

r

r

6 Мельников А. В., Попова Н. В., Скорнякова В. С. Математические методы финансового анализа. М.: АНКИЛ, 2006. С. 125.

Характер зависимости котируемой цены облигации Р(т) от частоты купонных платежей т устанавливается следующей теоремой.

Теорема 1. При фиксированных значениях Т, / и г, где / Ф г, справедливы следующие утверждения:

1) котируемая цена облигации, продающейся с премией, увеличивается с увеличением числа купонных платежей в году;

2) котируемая цена облигации, продающейся с дисконтом, уменьшается с увеличением числа купонных платежей в году.

Доказательство. Пусть 1 < т1 < т2, где т1 и т2 — число купонных платежей в году.

1) Облигация продаётся с премией, если / > г. Тогда по лемме ф(х) — возрастающая вогнутая функция на множестве х > 1. Значит, если т1 < т2, то ф(т1) < ф(т2). Используя равенство (3), для котируемых цен облигации получим:

Р(т1) < Р(т2), где т1 < т2.

График зависимости котируемой цены Р(т) от т для случая / > г показан на рисунке 1. Из леммы и равенства (3) следует, что при/> г график функции Р(т) в условиях теоремы 1 — это изолированные точки, принадлежащие графику возрастающей вогнутой функции ф(х). Первое утверждение теоремы доказано.

Р(т)

ср(х)

П„і

ІГ.

абчз

ам

т

А

условиях теоремы 1 — это изолированные точки, принадлежащие графику убывающей выпуклой функции ф(х). Второе утверждение теоремы доказано.

Рисунок 1

2) Облигация продаётся с дисконтом, если / < г. Тогда по лемме ф(х) — убывающая выпуклая функция на множестве х > 1. Значит, если т1 < т2, то ф(т1) > ф(т2). Используя равенство (3), для котируемых цен облигации получим: Р(т1) > Р(т2), где т1 < т2.

График зависимости Р(т) от т для случая /< г показан на рисунке 2. Из леммы и равенства (3) следует, что при / < г график функции Р(т) в

Рисунок 2

Следствие. При неизменных значениях Т, / и г размер премии Пт или дисконта Дт уменьшается при уменьшении числа купонных платежей в году.

Итак, установлено поведение цены облигации, продающейся с премией или с дисконтом, в зависимости от числа купонных выплат в году (в условиях теоремы 1). Если предположить, что в данный момент времени на рынке имеются облигации, все параметры которых совпадают, кроме числа купонных платежей в году, то следует ожидать, что их цены Р(т) (а также размеры премий и дисконтов) распределятся в соответствии с утверждениями доказанной теоремы (см. табл. 1 и 2).

Следующий вопрос, который необходимо изучить, это величина изменения цены облигации при изменении числа купонных платежей в году. Предположим, число купонных платежей в году увеличилось с т до (т + 1) при фиксированных значениях остальных параметров облигации. Согласно доказанной теореме, котируемая цена облигации, продающейся с премией, поднимется на величину ДР(т) = Р(т + 1) - Р(т), а цена облигации, продающейся с дисконтом, снизится на величину ДР(т) = Р(т) - Р(т + 1). Таким образом, величина изменения цены облигации при изменении числа купонных платежей в году положительна по определению. Докажем следующую теорему.

Теорема 2. При фиксированных значениях Т, /и г, где / Ф г, величина изменения котируемой цены облигации при изменении числа купонных платежей в году тем больше, чем меньше число купонных платежей в году:

ДР(т1) > ДР(т2), где т1 < т2. Доказательство. Пусть/ > г. Величина изменения цены облигации при увеличении числа купонных платежей в году с т до (т + 1) равна ДР(т) = Р(т + 1) - Р(т) = ф(т + 1) - ф(т) = = ф/(х) ((т + 1) - т) = ф/(х), поскольку функция ф(х) непрерывна на отрезке [т, т + 1], дифференцируема на интервале ]т, т + 1[ и по теореме Лагранжа точка х е ] т, т + 1[.

Пусть т1 < т2, где т1 и т2 — число купонных платежей в году. Предположим, в обоих случаях число купонных платежей в году увеличилось на 1. Будем считать, что пересечение интервалов ]т1, т1+1[П]т2, т2+1[ = 0. Сравним величину изменения котируемых цен облигации в обоих случаях. Рассмотрим разность

Д Р(т1) - Д Р(т2) = ф/(х1) - ф/(х2), где х1 е ]т1, т1 + 1[, х2 е ]т2, т2 + 1[. Согласно лемме ф//(х) < 0 при / > г. Значит, производная ф/(х) является убывающей функцией на множестве х > 1. Так как т1 < т2 и пересечение ]т1, т1 + 1[П]т2, т2 + 1[ = 0, то х1 < х2. Тогда ф/(х1) > ф/(х2). Отсюда следует неравенство ДР(т1) > ДР(т2), где т1 < т2. Утверждение теоремы для случая/ > г доказано.

Пусть теперь / < г. В этом случае величина изменения цены облигации при увеличении числа купонных платежей в году с т до (т + 1) равна

ДР(т) = Р(т) - Р(т + 1) = ф(т) - ф(т + 1) = = ф/(х) (т - (т + 1)) = - ф/(х),

где х е ]т, т + 1[. Далее, рассуждая аналогичным образом и учитывая, что ф//(х) > 0 при / < г, получим ДР(т1) > Д Р(т2), где т1 < т2. Теорема доказана.

Процентное изменение цены облигации представляет для инвестора наибольший интерес. Докажем следующую теорему.

Теорема 3. При фиксированных значениях Т, / и г, где / Ф г, относительное изменение котируемой цены облигации при изменении числа купонных платежей в году тем больше, чем меньше число купонных платежей в году:

Д Р(т,) Д Р(т2)

—, где т, < т„.

Р(т1) Р(т2)

Доказательство. Пусть f > r и m1 < m2.

Неравенство

Д P(m1) Д P(m2)

P(ml)

Р(шг)

> 0

очевидно, поскольку в этом случае по доказанным теоремам имеем

Р(т2) > Р(т1) и ДР(т1) > ДР(т2).

Пусть/ < г. Используем функцию

а(х) = ^ , где х > 1 (см. лемму).

Обозначим через Да(т) = а(т + 1) - а(т). Можно показать, что Да(т1) > Да(т2), где т1 < т2 (аналогично доказательству теоремы 2). Выражение (1) для котируемой цены облигации запишем в виде

P(m) =—^~ il - —

а (m) V r

+

Af

Тогда

ДР(т) = P(m) - P(m + 1) = All - —

f

Да (m)

а (m) а (m +1)

Д P(m) P(m)

f

1---|Да (m)

r

f f

а (m +1) | 1-+а (m)—

rr

и отношение

ДP(m1) / ДP(m2) = V r r

а (m2 +1)| 1 - — + а(m2)— ІАа (m1)

P(m1) P(m2) а(m1 +1) І1 - — + а(m1)— |Аа(m2)

rr

поскольку Да(т1) > Да(т2), а(т2) > а(т1), а(т2 + 1) > а(т1 + 1) при т1 < т2. Теорема доказана.

В таблицах 1 и 2 приводятся результаты расчётов котируемых цен облигаций Р(т), величин

* „. . Д Р(т)

ДР(т) и отношений---------в зависимости от т

Р(т

для облигаций с параметрами: A = 100, T = 5 лет, r = 0,08, f = 0,1 или f = 0,07 (годовых). Вычисления подтверждают доказанные утверждения. С увеличением m цены приближаются к своим предельным значениям: 108,242 (табл. 1) и 95,879 (табл. 2), вычисленным по формуле для limP(m), полученной в начале статьи.

Следует подчеркнуть, что утверждения теорем и результаты вычислений получены при фиксированных значениях основных параметров облигации. В реальности это условие может не выполняться. Задача решалась в рамках теории финансовых инвестиций с фиксирован-

r

r

ным доходом в условиях определённости. Известно, что, несмотря на серьёзные ограничения этой теории, например фиксированное значение доходности, её результаты необходимы как часть общей теории инвестирования. Изученная в данной статье зависимость цены купонной обли-

Таблица 1 А = 100 Т = 5 / = 10 % г = 8 %

гации от частоты купонных выплат может быть полезна при принятии инвестиционных решений (с поправкой на условия, при которых получены результаты), особенно в тех случаях когда эмитент облигации может изменить число купонных платежей в году в течение срока инвестирования.

Таблица 2 А = 100 Т =5 / = 7 %

г = 8 %

т Р(т) АР(т) АР/Р

1 107,985 0,12548 0,001162

2 108,111 0,04305 0,000398

3 108,154 0,02177 0,000201

4 108,176 0,01314 0,000121

5 108,189 0,00879 0,000081

6 108,198 0,00630 0,000058

7 108,204 0,00473 0,000044

8 108,209 0,00368 0,000034

9 108,212 0,00295 0,000027

10 108,215 0,00242 0,000022

11 108,218 0,00202 0,000019

12 108,220 0,00171 0,000016

13 108,221 0,00146 0,000014

14 108,223 0,00127 0,000012

15 108,224 0,00111 0,000010

16 108,225 0,00098 0,000009

17 108,226 0,00087 0,000008

18 108,227 0,00078 0,000007

19 108,228 0,00070 0,000006

20 108,229 0,00064 0,000006

21 108,229 0,00058 0,000005

22 108,230

т Р(т) АР(т) АР/Р

1 96,007 0,06274 0,000653

2 95,945 0,02153 0,000224

3 95,923 0,01088 0,000113

4 95,912 0,00657 0,000068

5 95,906 0,00440 0,000046

6 95,901 0,00315 0,000033

7 95,898 0,00237 0,000025

8 95,896 0,00184 0,000019

9 95,894 0,00148 0,000015

10 95,892 0,00121 0,000013

11 95,891 0,00101 0,000011

12 95,890 0,00085 0,000009

13 95,889 0,00073 0,000008

14 95,889 0,00063 0,000007

15 95,888 0,00056 0,000006

16 95,887 0,00049 0,000005

17 95,887 0,00044 0,000005

18 95,886 0,00039 0,000004

19 95,886 0,00035 0,000004

20 95,886 0,00032 0,000003

21 95,885 0,00029 0,000003

22 95,885

ЛИТЕРАТУРА

1. Лоренс Дж. Гитман, Майкл Д. Джонк. Основы инвестирования. - М.: ДЕЛО, 1999. - 991 с.

2. Фрэнк Дж. Фабоцци. Управление инвестициями / Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 2000. - 932 с.

3. Барбаумов В. Е., Гладких И. М., Чуйко А. С. Финансовые инвестиции. Ч. 1. Инвестиции с фиксированными доходами: Учебное пособие. - М.: Рос. экон. акад., 2000. - 160 с.

4. Мельников А. В., Попова Н. В., Скорнякова В. С. Математические методы финансового анализа. -М.: АНКИЛ, 2006. - 440 с.