CC BY
47
процесса накопления элементарных повреждений, полученного моделированием при помощи вероятностного клеточного автомата, позволяет сделать следующие выводы.
1.Наблюдаемый для потока импульсов ЭМИ переход корреляционной функции в область отрицательных значений может
интерпретироваться как предвестник интенсификации процесса образования микротрещин.
2. Наблюдаемый для потока импульсов ЭМИ излом на зависимости статистики нормированного размаха может интерпретироваться как переход системы на стадию непосредствен-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
но предшествующую разрушению, длительность которой не превышает 40% от времени, предшествующего переходу.
Авторы благодарят профессора Д. В. Алексеева за обсуждение работы и ценные замечания.
1. Алексеев Д.В., Егоров П.В. Персистентность накопления трещин при нагружении горных пород и концентрационный критерий разрушения // Докл. АН.- 1993. - т.333.- № 6.- с.
2. Алексеев Д.В., Егоров П.В., Иванов В.В. и др. Херстовская статистика временной зависимости электромагнитной эмиссии при нагружении горных пород // ФТПРПИ. - 1993.- № 5. - с.45 - 49.
3. Алексеев Д.В., Егоров П.В., Мальшин А.А. Статистические свойства элетромагнитного излучения при разрушении горных пород // Вестн. КузГТУ. - 2005. - № 1. - с. 23 - 28.
4. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Моделирование кинетики накопления повреждений вероятностным клеточным автоматом // ФТТ.- 2006.- т. 48. - № 2.- с.255 - 261.
5. Алексеев Д. В., Казунина Г.А. Кинетика кластеров элементарных повреждений в нагруженных материалах: моделирование вероятностным клеточным автоматом // ФТПРПИ. - 2006.- № 1. - с.49 - 60.
6. Алексеев Д. В. Компьютерное моделирование физических задач в Microsoft Visual Basic. - М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2004.-514 С.
7. Егоров П.В., Иванов В.В., Колпакова Л.А. О некоторых закономерностях импульсного электромагнитного излучения щелочно- галоидных кристаллов и горных пород автоматом // ФТПРПИ. - 1988.-№ 1. - с.67 - 70.
8. Берк К., Кэйри П. Анализ данных с помощью Microsoft Excel. - М.: Вильямс, 2005.- 300с.
9. ФедерЕ. Фракталы. - М.: Мир, 1990. - 260 с.
10. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 527 с.
□ Авторы статьи:
Казунина Мальшин
Галина Алексеевна Анатолий Александрович
- канд. физ.-мат. наук , доц. каф. - канд. техн. наук , доц. каф. физики
высшей математики
УДК 622.833.5
В.М. Волков, А.Е. Клыков
ВЛИЯНИЕ БОКОВОГО РАСПОРА МАССИВА НА СМЕЩЕНИЯ В ВЫРАБОТКЕ
При расчете смещений в выработке необходимо принимать во внимание начальное напряженное состояние массива в месте её расположения. Если нет результатов замеров напряжений в нетронутом массиве, то в случае одиночной выработки это напряженное состояние следует принимать гидростатическим, как наиболее вероятным, с составляющими q = уИ, равными давлению пород на глубине Н расположения выработки. Однако такое состояние может измениться под влиянием опорного давления очистной выработки. При коэффициенте концентрации опорного давления код = 1.2 дополнительная вертикальная составляющая массива Ад=0.2д. Прирост этой со-
ставляющеи сопровождается приростом упругого бокового отпора, зависящего от коэффициента Пуассона л пород. При л = 0.25 прирост горизонтальной составляющей равен 0.2д-^/(1 — л) =
0.0667д. В итоге вертикальная составляющая массива окажется равной 1.2д, горизонтальная -1.0667д, а коэффициент бокового распора п = 1.0667/1.4 = 0.89.
Необходимо выяснить, насколько существенно влияние неравнокомпонентного поля напряжений на смещения в выработке.
На вертикальной оси выработки круглого сечения радиусом R в поле напряжений с верти-
кальной д и горизонтальной щ составляющими в силу совпадения геометрической и силовой симметрий радиальное Ог и тангенциальное Од напряжения являются главными. Поэтому уравнение равновесия элементарного объёма на этой оси в зоне неупругих деформаций (ЗНД) кровли такое же, как и для осесимметричной задачи:
<Лиг аг - и---- + —: + у = 0, (1)
йг г
где у - объёмный вес пород.
На границе ЗНД с упругой зоной реализуется предельное состояние, при котором связь между главными напряжениями для прямолинейной огибающей кругов Мора с углом внутреннего трения р следующая:
Од сог + Осж , (2)
где осж - прочность пород на одноосное сжатие, с = (1 + зтр)/(1 - sinр).
Задача определения напряжений со стороны упругой зоны в граничной точке на вертикальной оси может быть решена методом Колосова-
Мусхелишвили [1]. Если предположить, что очертание ЗНД близко к окружности радиуса Яр , а радиальное напряжение на границе равно Ог(Яр), то из этого решения
Од(Кр) = д(3п - 1) - Ог(Кр) . (3)
Из совместного решения (2) и (3)
^ ^ ) д(3п-1)-асж. аЛ кр) =
■ ' (4)
°e(Rp) =
1 + с cq(3п -1) + ас
р' 1 + с
На основании экспериментальных данных в работе [2] предложено характеризовать связь между главными напряжениями в ЗНД линейной:
Од = кОг + Оо , (5)
где к - характеристика состояния массива, Оо -остаточная прочность пород при одноосном сжатии.
Эта связь выполняется и на границе ЗНД, поэтому из (4) и (5) следует
сд(3п -1) + аСж - Сто (1 + с)
к = -
(6)
<ГП / Go \ к-1 г» Г - Г
= -ГП- + (jo + p)rk1 + R к -1 к -1
д(3и -1) - Стсж Принимая на контуре выработки радиальное напряжение равным сопротивлению крепи р и решая (1) с учетом (5), получим
к-1
к-2 ■ <7)
Здесь и далее напряжения выражаются в долях от максимальной составляющей массива д , а координаты - в долях от радиуса Я выработки. Между ЗНД и крепью выработки может сформироваться пространство, заполненное разрушенными породами, и тогда на границу ЗНД со стороны этих пород будет передаваться некоторое давление р’ , которое надо принимать в расчет в формуле (7) вместо р . При этом параметр уЯ , имею-
щий размерность давления и выраженный в долях от д , необходимо умножить на радиус Я’ границы закрепного пространства, заполненного породами.
Из совместного решения (3) и (5)
^ ) д(3п-1)-а° ■
аг(Яр) = ■
°e(Rp)=
1 + к kq( 3n -1) + а0
(8)
р' 1 + к Определим Ог(Яр) из (7) и с использованием первого выражения из (8) получим уравнение для определения расстояния Яр граничной точки ЗНД от центра выработки:
-R)+RP ж
к -1 к - 2 к - 2 2а0 + q( 3n - 1)(к -1)
(9)
к2 -1
= 0.
Корень этого уравнения при использовании Mathcad можно определить с помощью функции root при начальном значении r = 2.
Напряженное состояние почвы выработки можно найти аналогично, взяв противоположный знак перед у.
На границе упругой зоны с ЗНД на горизонтальной оси
ов(Яр) = q(3 - п) - Gr(Rp) . (10)
С другой стороны, здесь реализуется предельное состояние (2). Отсюда
т (Я ) q(3 -п) -тсж .
&r(Rp)=-
Р (11)
°e(Rp)=
1 + с cq( 3- п) + аа
р' 1 + с
Принимая во внимание линейную связь (5) между главными напряжениями в ЗНД и учитывая (11), для горизонтальной оси получим
к =
cq(3- п) + асж - а0 (1 + с)
(12)
д(3-п)- осж
Составляющая у в проекции на горизонтальную ось равна нулю и для этой оси выпадает из уравнения (2), поэтому решением этого уравнения будет выражение (7) без последнего слагаемого.
Исходя из тех же рассуждений, что и для вертикальной оси, получим расстояние до крайней точки ЗНД по горизонтали:
1 ~
д(3 - п)(к -1) + 2^в_]~^71
Rp =
[-
а0(к +1) + р(к2 -1)
(13)
Приведенные формулы характеризуют напряженное состояние пород на вертикальной и горизонтальной осях ЗНД вокруг выработки.
Перемещение иу(Яр) крайней точки упругой зоны радиусом Яр вызывает перемещение иу(Я) точки на контуре выработки. Эта взаимосвязь сводится к следующему:
щ(Я)Я = Ыу(Яр)Яр . (14)
Смещения точек на границе упругой зоны связаны с дополнительными напряжениями, которые на вертикальной оси равны ав(Яр)-пд и аг(Яр)-д , а на горизонтальной - од(Яр)-д и ог(Яр)-пд. Из геометрического уравнения £д = и(Яр)/Яр в этих точках и воспрещенной деформации в направлении продольной оси выработки для вертикальной оси с учетом (14) получим
1 2
uу (R) = j{(1 - V2 )[°e(Rp)-nq]-
2 R2p
-(v+v )[°r(Rp)-q]}~r-
R
(15)
Аналогичная формула может быть получена для граничной точки на горизонтальной оси выработки.
Крепь выработок непосредственно после её установки зачастую лишь предупреждает вывалы породы из кровли и не препятствует дилатансион-ным проявлениям. Это связано с оставлением свободного закрепного пространства А , при котором радиус выработки в проходке Яп = 1 + А . При этом прочность обнаженных пород в результате воздействия агрессивной среды с течением времени снижается, состояние их приближается к руинному, а остаточная прочность - к нулю. До появления контакта между крепью и породами отпора со стороны крепи нет и приконтурная зона находится в ненапряженном состоянии. Возникающий отпор оказывает давление на породы, равное сопротивлению крепи р, в результате чего напряжения в этой зоне
Gr =
с-1/
Ge =
с
(16)
К моменту появления контакта с крепью вокруг выработки сформируется определенная зона разрушения [3]. Координата её крайней точки
R ' = Rn
1 + 2-
Л
(17)
Rne
где еу - дилатансия пород при одноосном сжатии. Радиальное давление на границе этой зоны
р'=р/(Ю
(с-1)/с
. За этой зоной находится зона за-
предельного состояния (ЗЗС) с координатами от Я до Яр. При переходе в это состояние происходит дилатансия пород, вследствие чего возникает смещение границы радиусом Я’ в сторону выработки, которое в долях от этого радиуса составит
Rr
' _ 0
ид = sv
a r(Rp)- a r a r(Rn) + G1
■rdr . (18)
1 .^р<
Это перемещение связано со смещением ид контура выработки аналогично (14). Поскольку изначально линейные размеры выражены в долях
от Я, необходимо в этой формуле принять Я = 1, а затем, переходя к размеру смещения, умножить полученное смещение на заданное значение радиуса выработки. И тогда
ид = u'ó(R')2 R.
(19)
Рассмотрим применение полученных формул для определения смещения кровли выработки при следующих условиях.
Выработка площадью сечения S = 13.85 м2 закреплена арочной крепью. Сопротивление крепи p = 50 кПа, закрепное пространство размером А = 0.2 м забучивается боковыми породами при
коэффициенте заполнения K = 0.9.
Вертикальная составляющая массива q = 25 МПа, коэффициент бокового распора n = 0.9, прочность пород на сжатие асж = 20 МПа, остаточная прочность на сжатие ао = 2 МПа, угол внут-реннего трения р= 30о , с = (1 + sinp)/(1 -sinp) = 3, дилатансия пород при одноосном сжатии svo = 0.1, модуль упругости Е = 104 МПа, коэффициент Пуассона f = 0.25, объемный вес у . = 25 кН/м3 , следовательно, уЯ = 0.0525 МПа.
Радиус равновеликой выработки кругового очертания Я = VS / п = 2.1 м.
При решении задачи выражаем параметры, имеющие размерность давления, в долях от вертикальной составляющей массива, а линейные размеры - в долях от радиуса выработки.
Для определения размера начальной разрушенной зоны (17) нужно ввести перемещение пород до контакта с крепью, равное (1 - K)A . Предлагается следующее решение в Mathcad. q := 1 p := 0.002 осж := 0.8 о0 := 0.08 E := 400 ц := 0.25 с := 3 A := 0.095 K := 0.9 s0 := 0.1 n := 0.9 R := 2.1 YR := 0.0021 Rn := 1 + A
c-1
R ' := Rn 1 + 2
,(1 - K) хЛ
Rn х є0
p ':= p ^ (R ' ) c
oe := p -c
R' = 1.186 p' = 1,785*10-3 oe = 5.949*10-4
_ q х (3n -1) - осж
orRp := -—----------------
1 + с
c х q х (3n -1) + осж
oeRp :=-------i----------------
1 + с
arRp = 0.225 aORp = 1.475
k = c х q х (3n -1) + осж - o0 х (1 + с) к = 6 2
q х (3n -1) - ocж
^ * - g0 , , g0 . , ,k-1
Gr(r) :=—— + (p +—)(r) к -1 к -1
+ ,RхRх r-(r)
к-1
к - 2
оЄ(г) := kxor(r) + o0
r
п Кровля Бок Почва со = 0.08 Почва со = 0
Яр, м и, м Яр, м и, м Яр, м и, м Яр, м и, м
0.8 3.602 0.094 5.022 0.25 3.075 0.071 4.838 0.315
0.9 4.163 0.15 4.849 0.228 3.544 0.112 6.408 0.575
1.0 4.711 0.212 4.674 0.207 3.999 0.155 8.045 0.909
1.1 5.238 0.278 4.497 0.187 4.436 0.202 9.724 1.317
1.2 5.755 0.35 4.318 0.167 4.864 0.252 11.42 1.799
Здесь г выражено в долях от Я'.
от(1) = 1.785х10"3 о0(1) = 0.091
¥(г) := гк-1 х ( р' +
а0 уЯ х Я'
) +
г х
к -1 к - 2
уЯ х Я' 2 ха0 + д х (3п -1) х (к -1)
к - 2 к2 -1
г := 2 г0 := гоо1;(Р(г),г)
г0 = 1.671 ог(г0) = 0.225
Яр := г0хЯ'хЯ Яр = 4.163
1 2 иу := — [(1 - и )(о6Яр - п х д)
Е
Яр 2
- (и + и2 )(°гЯР- ч)] х——
Я
иу = 0.016
' 2 х0 г° огЯр - от(г)
ид := е0 х Я ' 2 х Я |
1
огЯр + ог(г)
х Мг
ид = 0.134 и := ид + иу и = 0.15 Для данных условий размер ЗНД в кровле Яр - Я = 2.063 м. Полное смещение кровли равно 0.15 м, а его упругая часть составляет около 10 % .
Набранное в Mathcad решение может быть использовано для других условий. Для этого достаточно заменить значения параметров первых двух строк в соответствии с этими условиями.
Для определения смещения почвы используется это же решение, при этом параметр уЯ принимается с отрицательным знаком.
Если почва не закреплена, то следует принять р = 0, А = 0. Необходимо учитывать также, что при длительном сроке службы остаточная прочность пород почвы на контуре выработки снижается и может стать близкой к нулю, что может привести к «пучению» почвы. Чтобы оценить это явление, необходимо принять е0 := 0.
На горизонтальной оси на границе с упругой зоной выполняется условие (11). Кроме того, в проекции на горизонтальную ось составляющая объёмного веса у = 0 и координата крайней точки ЗНД определяется непосредственным вычислением корня (13). Поэтому для определения смещения в боку выработки необходимо составить решение, аналогичное приведенному.
Рассмотренное решение позволяет оценить влияние коэффициента п бокового распора массива на смещения в выработке. Значения этого коэффициента ограничены некоторыми пределами (таблица).
Аппроксимация огибающей предельных кругов Мора прямой линией, как это принято в настоящей работе, допустима в области сжимающих напряжений, поэтому полученные формулы справедливы для ог(Яр) > 0 и из соответствующих формул (4) и (11) следует (асж + 1)/3 < п < 3 -асж . Кроме того, условия (3) и (10) для границы упругой зоны получены для кругового очертания этой границы, поэтому получающиеся координаты Яр крайних точек ЗНД в кровле, почве и боках не должны иметь большого различия, а это может наблюдаться при значениях п , близких к 1.
В таблице приведены результаты определения смещений в выработке в рассмотренных услови-ях.Из таблицы видно, что смещения кровли и почвы возрастают с увеличением бокового распора массива, а боков - уменьшаются. Это объясняется увеличением максимального в кровле и почве и минимального в боках напряжений.
Следует отметить, что влияние коэффициента бокового распора массива на смещения в выработке значительно. Изменение его величины от 0.8 до 1.2 приводит к изменению смещений в 4-6 раз.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М., 1966.
2. Волков В.М., Клыков А.Е., Широколобое Г.В. Влияние прочностных свойств горных пород на устойчивость выработок. - В сб. «Научно-технические проблемы подземной разработки месторождений».
- Кемерово: КузПИ, 1991.
3. Клыков А.Е. Влияние состояния закрепного пространства на смещения контура выработки. - В сб. «Актуальные вопросы подземного и наземного строительства». - Кемерово: КузГТУ, 1997.
□ Авторы статьи:
Волков Владимир Матвеевич
- канд. физ.- мат. наук, доцент каф.
прикладной математики
Клыков Александр Ефимович
- канд. техн. наук, доцент каф. сопротивления материалов
