Визуализация замечательных кривых на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Анисимова Э.С. ©

Ассистент, кафедра информатики и дискретной математики,

Елабужский институт Казанского федерального университета

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Аннотация

В статье рассматривается проблема построения замечательных кривых. Предлагается программа для построения кривых, в частности кривой Штейнера, написанная на языке программирования Pascal.

Ключевые слова: алгебраические кривые, уравнение, кривая Штейнера.

Keywords: algebraic curves, the equation, curve of Steiner.

Бесконечному множеству уравнений, связывающих две переменные величины и отнесённых к некоторой системе координат, соответствует бесконечное множество кривых самых разнообразных форм. В основу классификации кривых положена природа их уравнений - подразделение уравнений на алгебраические и трансцендентные соответственно тому, будут ли они алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

К числу алгебраических кривых относится кривая Штейнера.

Кривую Штейнера можно определить как гипоциклоиду, получаемую в том случае, когда радиус производящего круга в три раза меньше радиуса неподвижного круга, т.е. когда модуль равен .

Уравнение кривой Штейнера:

(1)

где - угол поворота производящего круга.

Исключая из (1) параметр , будем иметь:

(2)

Уравнение (2) показывает, что кривая Штейнера является алгебраической линией 4-го порядка.

Свойства кривой Штейнера, присущие ей как гипоциклоиде, таковы:

1) радиус кривизны в произвольной точке

2) длина дуги от начальной точки до некоторой точки до некоторой точки определяется равенством , соответственно этому длина одной ветви равняется , а длина всей кривой ;

3) площадь, ограничиваемая кривой, равняется ;

4) эволюта кривой Штейнера представляет собой также кривую Штейнера, подобную данной, с коэффициентом подобия, равным 3, и повёрнутую относительно данной кривой на угол ;

5) натуральное уравнение кривой Штейнера при условии, что длина дуги отсчитывается от точки, для которой , записывается в виде .

Для анализа кривой Штейнера была написана программа на языке Pascal. Данная программа с одной стороны демонстрирует основные геометрические свойства представленной кривой, а с другой рассматривает возможные варианты построения данной кривой.

©© Анисимова Э.С., 2014 г.

Рис.1. Основные свойства кривой Штейнера

При написании программы для отображения графических изображений применяется графический режим.

Для определения координат точек подключается драйвер мыши. Пользователь нажимает левой кнопкой мыши для определения значений координат точек и при этом указанные координаты записываются в таблицу координат точек. В первой системе координат (слева) показываются варианты при r<0 (r=-0.5, r=-1, r=-1.5), во второй (справа) -когда r>0 (r=0.5, r=1, r=1.5). Причем переход с первой системы на вторую осуществляется при нажатии правой кнопки мыши. Для каждой системы заполняется своя таблица.

Кривая Штейнера

г'О

г>0

Пос'1* бею&лненуя неводимы* операций на графике с мышью нажмите ее пробу» кнопку.

о меню нажмите <ENTER>

Рис. 2. Построение кривой Штейнера

Написанная программа имеет весьма яркий и дружественный интерфейс, она наглядно демонстрирует основные геометрические свойства кривой Штейнера.

Возможных вариантов кривых, для описания которых составляется программа, достаточно много. Кривая Штейнера является лишь примером построения кривой на плоскости с использованием данной программы. Предлагаемая программа может использоваться в качестве обучающей при проведении занятий по математике при изучении замечательных кривых.

Литература

1. E.S. Anisimova - Fractals and digital steganography // Сборник научных трудов Sworld. - 2014. - Т 6. № 1. - С. 69-71.

2. Э.С. Анисимова - Определение кредитоспособности физического лица в аналитическом пакете Deductor (BaseGroup) // Сборник научных трудов Sworld. - 2014. - Т. 23. № 2. С. - 78-81.

3. А.Ф. Филипов, Э.С. Анисимова - Калькулятор для работы с комплексными числами // Сборник научных трудов Sworld. - 2014. - Т 29. №2. - С. 47-50.

4. Д.С. Тимофеев, Э.С. Анисимова - Разработка электронного образовательного ресурса на площадке «Тулпар» системы дистанционного обучения КФУ// Сборник научных трудов Sworld. -2014. - Т.7. №2. -С.80-83.

5. Э.С. Анисимова - Сжатие изображений с помощью квадратичных кривых Безье // Естественные и математические науки в современном мире. - 2014. - № 14. - С. 42-46.

6. Э.С. Анисимова - Формирование математической компетентности студентов психологопедагогического направления // Сборник научных трудов Sworld. - 2013. - Т. 19. № 4. - С. 56-58.

7. Э.С. Анисимова - Фрактальное кодирование изображений // Сборник научных трудов Sworld. -2013. - Т. 4. № 3. - С. 79-81.

8. Э.С. Анисимова - Идентификация онлайн-подписи с помощью оконного преобразования Фурье и радиального базиса // Компьютерные исследования и моделирование. - 2014. - Т. 6. № 3. - С. 357-364.

9. Э.С. Анисимова - Идентификация подписи с использованием радиального базиса // Фундаментальные исследования. - 2014. № 9-6. - С. 1185-1189.

10. Е.В. Шикин, М.М. Франк-Каменецкий - Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложением дискеты "Плоские кривые" М.: ФАЗИС. - 1997. - 336 с.

11. А.А. Савелов - Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. Справочное руководство. М.: Физматлит. - 1960. - 296 с.

12. А.М. Дороднов, И.Н. Острецов, В.А. Петросов, В.Ю. Приходов, И.Б. Сафонов - Графики

функций. Учеб. пособие для поступающих в вузы. М.: «Высш. школа» - 1972. - 104 с.