CC BY
54
Геометрия поверхностей и кривых
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ЗОНТИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ЗОНТИЧНОГО ТИПА С РАДИАЛЬНЫМИ ВОЛНАМИ, ЗАТУХАЮЩИМИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТОЧКЕ
В.А. РОМАНОВА, доцент
Российский университет дружбы народов,
117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6, email: v.a.r-victoryna@mail.ru
В статье рассматривается возможность визуализации процесса образования поверхностей с затухающими радиальными волнами в динамическом режиме путем создания мини-фильма, который может быть использован как преподавателем на лекциях или практических занятиях, так и учащимися при самостоятельном изучении курса «Компьютерная графика».
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: поверхность, визуализация, образующая линия, направляющая линия, пользовательская функция, отсек поверхности.
Поверхности зонтичного типа - циклически симметричные поверхности, состоят из нескольких тождественных модулей. Полная поверхность и составляющие ее элементы описываются одним и тем же уравнением [1]. Зонтичным куполом (зонтичной поверхностью) называется циклически симметричная пространственная конструкция, образованная из нескольких тождественных элементов, в результате пересечения срединных поверхностей которых получаются кривые, являющиеся образующими некоторой куполообразной поверхности вращения. Особое место занимают поверхности с затухающими радиальными волнами в центральной точке. Эти поверхности сложные, поэтому создание мини-фильма, демонстрирующего процесс образования такой поверхности весьма полезно для обучающихся по специальностям «Строительство» и «Архитектура». Мини-фильм создается в Автокаде с использованием языка программирования Автолисп. На рис. 1 показана поверхность, состоящая из девяти модулей, каждый из которых может быть образован движением параболы по двум сторонам АВ и AD угла а (рис. 1).
Движение параболы идет к вершине угла, при этом параметр р параболы не изменяется. Считаем заданными угол а, длины отрезков АВ, АО и высота к1 = СQ1 первой параболы. Ось CQ1 первой параболы расположена на рас-
в
v D
Рис. 1 . Массив образующих одного модуля поверхности
стоянии х = АС от начала координат хуг - точки А. Величины отрезков ВС и СО равны:
а
С
ВС = CD = АВ •sin-.
2
Параболы заданы уравнением
X?
у i = и вычерчиваются в системах
координат XiyiZi, начало которых Qt располагается в вершине парабол. При i = 1 х1 = CD, у1 = —1 • h1 определяется величина параметра р из выражения:
Р = *i/(2yi).
Остальные параболы строятся при изменении координаты х на величину Рис- 2- Образующая линия q состоит
Ах. Для каждого значения Í вычисляют- из 9 соединенных междУ собой паРаб°л ся ACi, hi и координаты точки Q¿. В точку Q¿ переносится начало коор-
динат и вычерчивается парабола.
Для формирования образующей, состоящей из девяти парабол, создается пользовательская функция Form — obraz. В ней для вычерчивания девяти парабол систему координат девять раз поворачивают на угол а вокруг оси z и повторяют операции, описанные для одной параболы. Девять парабол объединяют в одну кривую - образующую q (рис.2). Функция Form — obraz представлена ниже.
(defun form-obraz ()
; Формирование образующей из девяти парабол
(command "ucs" "x" 90)
(setq Q1 (list (* l (cos (/ alfa 2))) hi))
(command "ucs" "o" Q1); система координат в вершине первой параболы
(command "ucs" "y" 90)
;определение параметра парабол - р
(setq x (* cd -1))(setq p (/ (expt x 2) 2.0 hi))
(setq dx 1.0 i i)
(setq n (fix (/ (* cd 2) dx)))
(lin-parabola); функция для вычерчивания парабол
(setq pal (entlast))
(command "change" pal......p" "lw" 0.5 "")
(while (< i 9)
(command "ucs" "na" "r" "snl")
(command "ucs" "z" (* i alfa)); поворот системы координат xyz на угол а
(command "pline" A D "")
(setq e2 (entlast))
(command "pline" B D "")
(setq bdl (entlast))
(setq Qi (list (* l (cos (/ alfa 2))) hi)) (command "ucs" "x" 90)
(command "ucs" "o" Qi); перенос системы координат в вершину i — той параболы
(command "ucs" "y" 90) (setq x (* cd -1)) (lin-parabola)
(setq pa2 (entlast))
(command "change" pa2......p" "lw" 0.5 "")
(command "join" pal pa2 ""); объединение парабол в одну линию - образующую
(setq i (1+ i)) ))
Массив отсеков поверхности (рис. 3) формируется движением образующей линии q, состоящей из девяти парабол, по направляющим BA, CA, DA, EA, FA, GA,НА,KA,LA - сторонам многоугольника BCDEFGHKL. Каждый отсек должен вычерчиваться в специально для него созданном слое, поэтому перед созданием отсеков в чертеж загружается п слоев Vtntl, Vent2, Vent3,... , Ventn, число которых равно числу образующих линий.
Создание отсеков поверхности выполняется программным модулем Nine — parabol — otceki, в котором для вычерчивания образующих используется пользовательская функция Form — obraz, которая приведена ниже.
(defun form-obraz () (command "loft")
; разрыв команды для ввода сечений (foreach ent sp (command ent) )
(command........)
)
Алгоритм образования отсеков включает создание цикла c параметром i, в котором выполняются следующие операции:
- установка текущим слоя Venti,
- вычисление параметров, необходимых для построения парабол на каждом шаге цикла: AQ = АС — Ах, CíDí, QB;, h¿, @г.
- формирование образующей qt, включение ее в список образующих Sp,
- формирование отсека поверхности с использованием функции Loft.
По окончании работы цикла создается блок, содержащий отсеки и образующие кривые.
Рис. 3. Образование поверхности с Рис. 4. Поверхность с затухающими затухающими радиальными волнами. радиальными в°лнами.
Для формирования поверхности существует отдельный программный модуль Defrost — layers, в котором используется способ образования поверхностей методом «размораживания» слоев, содержащих отсеки поверхности [2]. Процесс образования поверхности показан на рис. 3. На рис. 4 представлена полученная поверхность.
Рис.5. Круговая синусоида -направляющая m
Точка А для нее является центральной и особой, в этой точке происходит затухание радиальных волн (рис. 4).
Формирование поверхности с затухающими радиальными волнами можно
выполнить также посредством движения кубической параболы q по синусоидальной кривой т.
Начальное положение системы координат показано на рис. 5. Направляющая линия - синусоидальная кривая m вычерчивается в трехмерной системе координат хАу с использованием функции 3DPoly. Координаты точек кривой определяются из следующих выражений:
х = г • cos (р, (1)
у = к • sin(n • <р), (2)
z = г • sin <р, (3)
где г - радиус базовой окружности s; п -число волн синусоиды на базовой окружности s; к - коэффициент высоты направляющей т.
Конечные точки парабол лежат на синусоиде т, следовательно, при х = г координата утах параболы равна координате ум(<р) точки M синусоиды. Поскольку координата у точки M является функцией от (р, параметр параболы р есть также функция от ср. т.е. р = р(<р). Величину параметра р для каждой параболы можно определить из соотношения:
р(*0 = ^
В чертеже создается i слоев. Отсеки формируются в цикле с параметром i. На каждом шаге цикла система координат поворачивается на угол Afi и устанавливается в AutoCAD "е соответствующий параметру i слой. Кубические параболы у = рх3 вычерчивается в плоскости хАу, 0 < х < г (рис. 5) и помещается в список sp.
Начиная со второго шага, формируются отсеки поверхности с помощью функции Loft. По окончании цикла создается блок, содержащий отсеки поверхности. Образование поверхности выполняется посредством извлечения отсеков из блока с использованием функции Defrost — layers.
Формирование двухслойной поверхности с затухающими радиальными
волнами можно выполнить посредством движения синусоиды q по синусоидальной кривой m (рис.7).
Алгоритм программы аналогичен алгоритму программы, формирующей поверхность движением параболы по круговой синусоиде.
Направляющая синусоида вычерчивается при изменении параметра ^ от нуля до 720 градусов. Число волн круговой синусоиды в одном слое поверхности принято п = 4.5.
Направляющая синусоида строится по уравнениям (1,2,3).
Рис. 6. Образование поверхности синусоидальными волнами.
Функция синусоиды - образующей q - yt = кг sin а , где кг - коэффициент высоты синусоиды. Область определения функции уг = к sin а - 0 < а <
л/2. При а = л/2 у± = к±.
Синусоида - образующая в процессе движения переходит из одной плоскости пучка в другую (У1,У2,У3,...Уп). При а = л/2 ее ордината совпадает с, ординатой синусоиды - направляющей, т.е. у1 = у. Следовательно, кг = к • sin(n<p), и функция для построения образующей синусоиды принимает вид:
уг = к • sin а ■ sin пер. Особенностью построения массива отсеков поверхности при <р > 2л является «замораживание» слоев с отсе-
Формирование поверхности выполняется последовательным «размораживанием» блока с отсеками (рис. 8).
Литература
1. Криеоишпко С.И. Новые примеры поверхностей зонтичного типа и их коэффициенты основных квадратичных форм// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2005. - № 2. -С. 6-14.
2. Романова В.А. Особенности изображения процесса образования поверхностей в системе САПР AutoCAD// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2012. - №4. - С. 3-5.
3. Романова В.А. Визуализация образования поверхностей зонтичного типа// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2014, № 3. - С. 19-22.
4. Ch.A. Bock Hyeng, Krivoshapko S N. Umbrella-Type Surfaces in Architecture of Spatial Structures. IOSR Journal of Engineering (IOSRJEN). 2013; Vol. 3, Iss. 3, p. 43-53.
R e f e r e n c e s
1. Krivoshapko, S.N. (2005). New examples of umbrella-type surfaces and their Gaussian quantities for the surface. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, No 2, p. 6-14.
2. Romanova, V.A. (2012). The Features of the image formation surfaces in the CAD system AutoCAD. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, No 4, p. 3-5.
3. Romanova V.A. (2014). Visualization of the formation of umbrella-type surfaces. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, No 3, p. 19-22.
4. ChA. Bock Hyeng, Krivoshapko S.N. (2013). Umbrella-Type Surfaces in Architecture of Spatial Structures. IOSR Journal of Engineering (IOSRJEN), Vol. 3, Iss. 3, p. 43-53.
VISUALIZATION OF FORMING OF UMBRELLA-TYPE AND UMBRELLA
SURFACES WITH RADIAL DAMPING WAVES IN THE CENTRAL POINT
V.A. ROMANOVA
Peoples' Friendship University of Russia, Moscow
The article considers the possibility of visualization of the process of formation of surfaces with radial waves evanescent special point in the dynamic mode by creating a mini-film, which can be used as a lecturer at lectures or practical classes and students for self-study course «Computer Graphics».
KEY WORDS: umbrella surface, visualization, generatrix line, directrix line, user function.
поверхности с сотами ками, сформированными при ф < 2л.
Рис. 8. Образование поверхности с сотами
