CC BY
24ВИКОРИСТАННЯ СИСТЕМ КОМП'ЮТЕРНОÏ АЛГЕБРИ ДЛЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ЗАВДАНЬ
1.А.Гетьман, канд.техн.наук, доцент, М.А.Гетьман, студентка,
Донбаська державна машинобудiвна академiя,
м. Краматорськ, УКРАША
Розглянут1 особливоспп використання систем компьютерноï алгебры nid час розв'язування математичних задач. Проведений поргвнялъний аначгз комп 'ютерних математичних пакетгв Mathematica, MathCad, Maple, MatLab. Onucani Чх основш переваги й недолти Установлено, що використання ушверсачъних систем комп 'ютерноХ ачгебри дозволяе тдняти pieem тдготовки студенппв i прищепити ттерес до вивчення математичних ducifumm.
Ключое'1 слова: систем а комп'ютерно'г ачгебри, розв'язування математичних завданъ, ма-тематичний пакет, MathCad, Maple, MatLab, Mathematica.
Постановка проблеми. Використання шформащйно-комуткащйних технологш пщ час розв'язання науково-техтчних задач вщбуваеться по багатьом напрямам. З одного боку - це використання утверса-льних мов програмування, а з шшо! - спе-щатзованих програмних продуклв для розв'язування найбшьш поширених в тш або шшш област завдань. Кожний 1з них мае сво! переваги й недолши. Перший на-прям вимагае професшного володння методами й засобами програмування, а та-кож значних тимчасових витрат, другий -професшного володння методами й засо-бами iiei обласл знань, до яко! вщносить-ся програмний продукт [1].
Останнiми роками особливий iнтерес представляють Системи комп'ютерног алгебри (СКА). Пщ цим термшом розуметь-ся «сукуптсть методов i засобiв, що забез-печують максимально комфортну й швид-ку подготовку алгоритмiв i програм для розв'язування математичних завдань будь-яко! складносп з високим ступенем вiзуа-л1зацп усiх етап1в розв'язування» [2]. При цьому в переважн1й бiльшостi випадюв передбачаеться об'еднання можливостей текстових редакторiв (у форматi Word, на-приклад) з власне математичними системами. Це дозволяе створювати електроннi документи i книги з «живими» прикладами математичних розрахунюв i високим
ступенем графiчноl вiзуалiзацii усiх етапiв розв'язування задач1. Програмш засоби комп'ютерно! математики реалiзованi у вигляд комп'ютерних математичних систем. 1снуе велике число таких систем, на-приклад, Mathematica, MathCad, Maple та ^i [2,3].
Аналiз актуальних дослщжень. Пи-
танням використання систем комп'ютерно! алгебри для розв'язування математичних завдань присвячет працi Г.М.Олександ-рова, В.В.Анiсiмова, С.П.Грушевського, В.П.Клименко, В.П.Д'яконова, С.О.Захарова та ш. Дослiдження, проведет А.П.Ляховим, показують, що перевагою застосування СКА е можливiсть наочного подання графiчних даних, швидюсть i то-чнiсть обчислень. Серед трудношiв пщ час використання СКА в кура вищо! математики найбiльш суттевим, на думку деяких учених, е недостаттсть науково-методичних розробок по 1х застосуванню, та якiсть навчальних програм [4]. Як свщ-чать матерiали численних дослщжень, системи комп'ютерно! алгебри в цей час пере-ходять у розряд робочих засобiв аналгтич-них обчислень. Накопичено деякий досвiд застосування СКА в сферi вищо! освiти (у вузах Киева, Харкова, Донецька, Полтави, Москви та ш.).
Метою статтi е розгляд питань пов'я-заних з використанням засобiв комп'ютер-
но! алгебри пщ час розв'язування р1знома-н1тних математичних завдань та проведения пор1вняльного анал1зу комп'ютер-них математичних систем (Mathematica, MathCad, Maple), описаш !хш недолши й переваги.
Виклад основного матерiалу. Одним 1з найпотужшших засоб1в математичного моделювання е сьогодт математична система MathCad, яка забезпечена шструмен-тар1ем для чисельного i символьного розв'язування математичних i техтчних завдань р!зно! складност! Роль системи MathCad пщ час навчання математики останшм часом неухильно росте, полег-шуючи розв'язування складних математичних задач, що робить навчання щкавь шим i зрозумiлiшим. Тому можна сказати, що грамотне застосування системи в на-вчальному процесi сприяе пiдвищению якосп математично! освiти. MathCad е ушверсальною системою для розв'язу-вання вельми широкого круга завдань, са-ме тому i"i можливостi широко використо-вуються пщ час розв'язування математичних задач в кура дисциплши «Вища математика». Розглянемо приклад викорис-тання пакета MathCad пiд час розв'язування системи рiвнянь iз двома змiиними (рис. 1).
Як математичний пакет, MathCad ха-рактеризуеться деякими особливостями, що вигщно вiдрiзняють його вiд шших програмних продуктiв аналогiчиого приз-начення. Це, зокрема, наявнiсть в макет! MathCad формульного, текстового та гра-ф!чного редакторiв, як! дозволяють ефек-тивно працювати з формулами, графками, таблицями, текстовими фрагментами, ма-люнками, створюючи тим самим високоя-юсш документи, а також максимальна на-ближешсть мови MathCad до реально! ма-тематично! мови. Усе це дозволяе ефектив-но використовувати MathCad як зааб ав-томатизаци розв'язування найр!зноматт-тших задач математичного змгсту. Прик-лади на виконання математичних обчис-лень у пакет! MathCad можна виконувати вже тодо, коли тшьки ще починаеться зна-йомство з iнструментарiем математичного пакету. Особлива увага придiляеться реа-л!зацп в MathCad одно- i двовишрних ма-
сив!в (матриць), а також визначенню фун-кцш i побудов! !хшх графiкiв. Окрш цього MathCad мае значний арсенал засобiв для комп'ютерно! реал!зацп методов розв'язування систем лшшних алгебрашних р!в-нянь (СЛАР).
MatLab зарекомендувала себе програ-мою наукового й iиженерного характеру. Пщ час ii' застосування виникае ряд склад-нош!в з! сприйняттям змшних цiе! програ-ми, як MatLab розумiе як матрицю розмь рносп 1x1. Результат обчислень проводиться за умовчанням у чисельному вигляд й використовуе чисельиi методи. Це вимагае завдання додаткових вхщних умов, таких, як метод чисельного обчис-лення. Такi особливосл складт для розу-мшня студентiв i вщволжають 1х вщ влас-не математичного завдання [7].
Mathematica i Maple вщносяться до класу програм символьних обчислень i роблять акцент на формульному i точному обчислениi результатiв. Будь-який вико-ристовуваний параметр за умовчанням сприймаеться ними як змшна.
Maple можна використовувати як дуже могутнш калькулятор для обчислень за заданими формулами. Але головним и до-стошством е здатиiсть виконувати ариф-метичнi до в символьному виглядо При робот! з дробами i коренями програма не приводить 1х у процесi обчислень до десят-кового вигляду, а проводить необхщт скорочення i перетворення в стовпчик, що дозволяе уникнути помилок пщ час округленна. Для роботи з десятковими екв!ва-лентами в Maple е спещальна команда, що апроксимуе значення виразу у формат! чисел !з плаваючою комою. Maple обчис-люе кiицевi й нескшчент суми i добутки, виконуе обчислювальт операци з комплекс-ними числами, легко приводить комплекс-не число до числа в полярних координатах, обчислюе числов! значення елементар-них функцш, а також знае багато спещаль-них функцш i математичних констант. Maple пропонуе р!зт способи уявлення, скорочення й перетворення вираз!в, на-приклад, так! операци, як спрощення й ро-зкладання на множники вираз!в алгебри та приведення !х до р!зного вигляду. Таким чином, Maple можна використовувати для
©
розв'язування р!внянь i систем. Maple мае безл!ч могутшх iнструментальиих засоб!в для обчислення вираз!в з однею або декль-кома змшними. Ё можна використовувати для розв'язування завдань диференщаль-ного та штегрального числення, обчис-
лення гpaниць, poзклaдaнь в pяди, пщсу-мoвyвaния pядiв, множення, iитегpaльииx пеpетвopень, a тaкoж для дослщження не-пеpеpвниx aбo чaстиииo-иепеpеpвниx функцш.
lyj Mathcad - íprimerl.Kmcd]
[а| В
File Edit View Insert Format Tools Symbolics Window Help
- fi1 X
D-tÂHaCàv^ m ^ да u> ■ ^ п i ioo% - m
Normal
Arial
'110 - В S U gl Ш := ¡ =
My Site
¿>Go
Розв'язування системи р!вненнь
х+у=1
3 метою спрощеннл процесу пошуку розв'язаннл спочатку поддуем о графжи функцп (р1внення округам ocii задан е параметрично y(t)=a5m(t) x(t)=acos(t)= х-1 - р^вняння прямоГ): потам проведен! вкповщш обчислення.
4
2.4
■¿бsin С О 0-S -0.S
-2.4 -'■-. +
— 4
1-х
:= 2
2 2 X + V = б
у — —1 Giveü
'VP
-2.4-0.S 0.S 2.4
-J~6 COS ( t) д
Ч.У1
:= Fmd(x,y)
X + у = 1
Пер ев in ка х := 2.236 у := —1
А 1 Л'.'.' лгл
Given
xl - 2.236
2 2 , X + V = 6
yl - -1
х + у = 1.236
X := -1
A-W
у := 2
iWW
2 2 ^
X + у =6 X + V = 1
'х2 ^
уу2;
- Find(x,y)
х2 - 1 v2 - 2.236
Пер^в1рка X := —1 V := 2.236
r .WH- ffrt
' □
Trace Window ■ pi imer l.xrncd
2 2 r X + V = 6
: + y = 1236
Press F1 for help.
AUTO
Pagel
Рис. 1. Розрахунки за допомогою MathCad
Maple може обчислювати границ! функ- час 1'х обчислення; дозволяе розв'язувати
цш, а також розтзнае невизначеносп пщ безл!ч звичайних диференщальних р!в-
нянь, а також диференщальт р1вняння з частинними диференщалами, зокрема, за-вдання з початковими умовами i завдання з граничними умовами. Maple шдтримуе як двовим!рну, так i тривимiрну графiку. Таким чином, можна представити явн1, неявнi й параметричш функцй, а також
багатовимiрнi функцй' i просто набори да-них у графiчному вигляд i вiзуально шу-кати закономiрностi.
Розглянемо приклад розв'язання дифе-ренцiального рiвняння з використанням пакету Maple та побудуемо графiк його розв'язку (рис. 2).
<ß> Maple V Release 4 - [primer2.mws]
ЗИ>
И File Edit View Insert Format Options Window Help
ГрВ] |i|t|[>| □ [
0 1
E
[Î2 tj|b|j|u| lililil
Виршшти диференщальне рЁняння y1 +2y=f для право! частини виду 1=0 i початковими умовами у(хЭ)=1; у'(х0)=0. Побудуватиграфкршення навщр13Еу i0=l, xt=5
> restart:
Права частана диференщального рп.н.чнн.ч
> f:=0: Початков1 умови:
> хО:=1 : уО:=1 :dyO:=0 :xk:=5 : Диференц1альне ршняння:
> ur:=diff[уix),xS2)+2*y{x)=f;
:уО)
„дх
+ 2 y(jc) = О
Ршення диференщального ршняння:
> resh:=dsolve((ur,y(хО)=yO,D[у}(x0)=dy0},у(х));
resh — у{х) = sn( VT) sufajï х) + coss/T) cos[i'T.i} Привласнення роения диференщального ршняння, восстановдленк у жзмшшй:
> assign[resh]:resh:=y{x):y:='yF: Побудова графЬса ркпення диференщального ршняння:
> plot(resh,х=х0..хк) ;
_Time: 0.9s Bytes: 1791К Free: 1654920К
Рис. 2. Розрахунки з допомогою Maple
Графiчнi засоби Maple дозволяють бу-дувати двовимiрнi графши вiдразу декшь-кох функцiй, створювати графiки конформ-них перетворень функцш з комплексними числами й будувати графiки функцiй в ло-гарифмiчнiй, подвiйнiй логарифмiчнiй, параметричнiй, полярнш i контурнш фор-мi. Можна графiчно представляти жр!в-носп, неявно задат функцй' i розв'язання диференщальних ршнянь [4].
Вибiр засоб1в комп'ютерно'1 алгебри пщ час розв'язування задач дисциптни «Вища
математикам» не е очевидним. Усi описан СКА заслуговують уваги та можуть бути вибрат шдивщуально кожним студентом пщ час розв'язання тих чи шших завдань.
Висновки. Так на нашу думку, Maple володое рядом переваг перед шшими пакетами. Може виконувати аналгтичт обчис-лення. Пщвищення ефективносп чисель-них розрахунюв у Maple дозволяе викори-стати його в чисельному моделювант й у виконаннi складних обчислень - у тому чист з дов1льною точнютю. Ядро символь-
(6Ô)
них обчислень Maple уже включено до складу цшого ряду систем комп'ютерно'1 алгебри. Пакет мае прекрасно виконаний i зручний користувальницький iнтерфейс i потужну довщкову систему. До недолшв системи Maple можна вщнести лише ïï де-яку «замислешсть», причому не завжди обгрунтовану.
MathCad - це, скорше, простий, але просунутий редактор математичних текс-■пв i3 широкими можливостями символь-них обчислень i прекрасним iнтерфейсом. MathCad не мае мови програмування як тако'1, а движок символьних обчислень за-позичений з пакета Maple. Зате штерфейс програми MathCad дуже простий. Уй об-числення тут здшснюються на рiвнi вiзуа-льного запису виразiв у загальновживанiй математичнiй форм! Пакет мае тдказки, докладну документацш, функцiю навчан-ня використанню, цший ряд додаткових модулiв i пристойну технiчну шдтримку виробника. Однак поки математичнi мож-ливостi MathCad в обласл комп'ютерно'1 алгебри набагато уступають системам Maple, Mathematica, MatLab.
Використання в навчальних ц1лях ушвер-сальних систем комп'ютерно1 алгебри дозволяе якюно щдняти ревень подготовки студентов. Практика показуе, що студенти з цжавю-тю вщносяться до вивчення цих систем i активно використовують гх для розв'язування навчальних i прикладних завдань, пов'язаних
з математичними обчисленнями.
1. Муха B.C. Введение в СКМ/С.В.Муха. - Мн.: БГУИР, 2002. - 140 с.
2. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика / В.П.^конов. - М.: Нолидж, 2001. -1296 с.
3. http://exponenta.ru.
4. . .
: // Друга ювтейна лижнародна науково-ттнчна конфе-ренцт «Комп 'ютерна математика в nayifi, ¡нженери та oasimi» (CMSEE-2008), м. Полтава 29-31 жовтня 2008р. - Кию: Вид-во HAH Укроти, 2008. - С.20-21.
5. Клименко В.П. 1нтелектуал1зацт розе 'я-зування складних прикладних задач методами комп'ютерно! алгебри /В.П.^именко - К: Логос, 2009.-293 .
6. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике,
/ . . . - .:
Пресс, 2006. - 720 с.
7. КурбатоваЕ.А. MATLAB 7 / Е.А.Куфбатова - М.: Диалектика 2005. - 256 с.
8. . . -: Maple: /
В.З.Аладьев. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2006. - 792 .
9. . . -
,
Mathematica 5 / Е.М.Воробьев. — М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2005. — 368 с.
10. Плис АЛ. MATHCAD 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров / А.И.Плис, Н.А.Сливина - М.: Финансы и стати, 2000. - 656 .
Резюме. Гетьман MA., Гетьман И.А. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. Рассмотрены особенности использования систем компьютерной алгебры при решении математических задач. Проведен сравнительный анализ компьютерных математических систем Mathematica, MathCad, Maple, MatLab. Описаны их основные преимущества и недостатки. Установлено, что использование универсальных систем компьютерной алгебры позволяет качественно поднять уровень подготовки студентов и привить интерес к обучению математических дисциплин.
Ключевые слова: система компьютерной алгебры, решение математических задач, математический пакет, MathCad, Maple, MatLab, Mathematica.
Abstract. Getman M., Getman I. THE USE OF COMPUTER ALGEBRA SYSTEMS FOR MATHEMATICAL PROBLEM SOLVING. Specific features of the use of computer algebra systems for mathematical problem solving are considered in the article. It gives the comparative analysis of the computer mathematical systems Mathematica, MathCad, Maple, MatLab. The main advantages and disadvantages of these systems are described. It has been stated that the use of universal systems of the computer algebra allows to raise the level of students ' training dramatically and evoke interest to mathematical disciplines.
Key words: system of computer algebra, mathematical problem solving, mathematical packets, MathCad, Maple, MatLab, Mathematica.
Стаття представленапрофесором ОЛ.Скафою.
Надшшла до редакци 11.01.2010 р.
®
