CC BY
26ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 004.8
DOI 10.34822/1999-7604-2020-2-20-31
ВЕЙВЛЕТ-ПОДОБНАЯ АРХИТЕКТУРА КОМПЛЕКСНОЗНАЧНОЙ СВЕРТОЧНОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ ДЛЯ СИНТЕЗА КОМПЛЕКСНЫХ СИГНАЛОВ
Д. А. Караваев
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, Россия E-mail: d.a.karavaev@yandex.ru
В работе предложена архитектура комплекснозначной сверточной нейронной сети, разработанная на основе структуры дискретного вейвлет-преобразования. Данная архитектура позволяет производить многоуровневую декомпозицию комплексного сигнала, формируя набор признаков, который можно применять для задач синтеза и классификации сигналов. Приведены результаты решения задачи предсказания значений хаотического комплексного сигнала нейронной сетью, основанные на предлагаемой архитектуре. Полученные результаты сравниваются с результатами решения данной задачи при помощи вещественнозначных нейросетевых моделей, основанными на альтернативных современных подходах. Также проведен анализ представленной комплекснозначной сверточной сети в частотной области, осуществленный за счет сравнительно небольшого числа адаптивных параметров.
Ключевые слова: цифровая обработка сигналов, машинное обучение, комплескно-значные нейронные сети, вейвлет-преобразование, прогнозирование временных рядов.
WAVELET-LIKE ARCHITECTURE OF COMPLEX-VALUED CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORK FOR COMPLEX SIGNAL SYNTHESIS
D. A. Karavaev
Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications,
Saint Petersburg, Russia E-mail: d.a.karavaev@yandex.ru
The paper proposes the architecture of a complex-valued convolutional neural network, built upon a structure of the discrete wavelet transform. This architecture allows performing multiscale decomposition of a complex signal, thus forming a set of features that can be used for the tasks of signal synthesis and classification. The article presents the results of solving the prediction problem for the values of a chaotic complex signal by a neural network based on the proposed architecture. The obtained results are compared with the results of solving this problem using real-valued neural networks based on alternative modern approaches. The analysis of the presented complex-valued convolutional network in the frequency domain is also carried out, which was achieved due to a relatively small number of adaptive parameters.
Keywords: digital signal processing, machine learning, complex-valued neural networks, wavelet transform, time series forecasting.
Введение
Мотивация. На сегодняшний день нейросетевые адаптивные алгоритмы находят свое успешное применение в широком спектре задач обработки сигналов различной природы [1]. Подавляющее большинство нейронных сетей, решающих подобные задачи, являются веще-
ственнозначными, то есть в качестве параметров модели используются вещественные числа, и анализу подлежат вещественные сигналы. Однако существует множество потенциальных приложений, в которых сигналы имеют комплексную природу. Например, задачи, встречающиеся в радиотехнике и связи [2]. Использование в таких случаях вещественнозначной нейронной сети ведет к потере явной информации о фазе сигнала, так как вещественные и мнимые части отсчетов сигнала трактуются подобной моделью как два независимых канала. Таким образом, возникает необходимость в применении комплекснозначных нейронных сетей (КНС), в которых параметры являются комплексными числами, и все операции с ними проводятся согласно соответствующим определениям для комплексных чисел.
Краткий обзор современных достижений. Вопрос разработки КНС имеет длительную историю [3], однако в связи с последними успехами и открытиями в области глубокого обучения данный вопрос актуализировался в новом свете. Так, в статье [4] представлены комплексные аналоги вещественным базовым блокам для построения современных нейронных сетей: различные функции активации, пакетная нормализация [5], процедуры инициализации параметров, et cetera. Особенно стоит выделить работу [6], в которой представлен теоретический анализ специального типа сверточной КНС и отмечается сходство описываемой модели с процедурой дискретного вейвлет-преобразования (ДВП). Некоторые принципы, описанные в отмеченной статье, были применены для разработки архитектуры комлескно-значной сверточной нейронной сети (далее - КСНС), представленной ниже.
Условные обозначения. В тексте скалярные величины представлены курсивными строчными символами, например а. Сигналы и их значения обозначаются аналогично, совместно с временным индексом, заключенным в квадратные скобки: а[п]. Вектора и матрицы представлены строчными и заглавными буквами жирным шрифтом без курсива, например а и А соответственно. Множества комплексных и вещественных чисел обозначаются соответствующими символами Си1. Для числа геС вещественная часть обозначается как
Re(z), а мнимая - Im(z). Мнимая единица - j = «J—\ . Операторы, применяемые к сигналам и векторам, представлены заглавными каллиграфическими буквами с аргументом, помещенным в фигурные скобки: Л [а [«]}или Л {а} .
Постановка задачи. Цель данной работы заключается в построении архитектуры КСНС для задачи синтеза комплексных сигналов, которая состоит в аппроксимации некоторого оператора Q, сопоставляющего сигналу s\n\ сигнал g\n\:
На практике предполагается, что в качестве входа в (1) подается фрагмент s\ri\ конечной длительности N - вектор s\ri\ = ^\п - N + 1\, s\n - N + 2], ..., £\п\). Таким образом (1) переходит в
где §["] - вектор конечной размерности, в общем случае не равной N. Результат применения некоторой модели Я, аппроксимирующей Я, будет именоваться §[//].
В качестве тестовой задачи для оценки применимости предлагаемой нейросетевой архитектуры к проблемам, формулируемым в виде (2), была выбрана задача одношагового предсказания значений s\ri\, для которой
(1)
(2)
При использовании Q, результатом в (3) будет s[/? + l]= (s\n-N + 2\, s [/7-TV + 3],..., s[/? + l]) - вектор, состоящий из оценок £[/?] соответствующих значений s[w]. Следовательно, имея решение задачи (3), можно осуществить рекурсивное (многошаговое) предсказание s \п + К\ путем ввода в аппроксимирующую модель Q вектора s \п + К — l].
Инструменты для моделирования. Компьютерные эксперименты были осуществлены с использованием связки программных библиотек Theano [7] и Keras [8] для языка программирования Python. В ходе экспериментов использовалась программная библиотека, разработанная авторами статьи [4], которая предоставляет базовый функционал для работы с комплекснозначными сетями в рамках функционала Keras и Theano. Все графики, представленные ниже, были построены при помощи библиотеки Matplotlib [9] для языка Python. Исходный код на языке Python и параметры нейросетевых моделей доступны по ссылке: URL: https://github. com/dkaravaev/wavelet-ccnn.
Базовый блок обработки
Основным блоком обработки предлагаемой архитектуры КСНС является блок, реализующий нелинейную фильтрацию сигнала s[n], включающий в себя три этапа (рис. 1).
e[n] =JVJ*{i[n]}
Рис. 1. Схема блока обработки
Примечание: составлено автором.
Частотная фильтрация. Первым этапом является частотная фильтрация входного сигнала s[n], которая осуществляется на основе его свертки c комплексной конечной импульсной характеристикой (ИХ) h[n] длины Th, отсчеты которой подлежат обучению:
f [n] = s[n] * h[n] = £ h[k ]s[n - k ], (4)
k=0
где под h[k] понимается число, комплексно сопряженное к h[k].
В некоторых случаях перед блоком обработки может использоваться процедура децимации (понижении частоты дискретизации) с коэффициентом р, которая осуществляется неявно за счет расширяющейся свертки (dilated convolution) со степенью, равной р, из-за чего формула (4) в общем случае принимает вид:
Th-1_
fP [n] = Sp [n] * h[n] = £ h [k ]s[n - pk ]. (5)
k=0
Использование расширяющейся свертки (5) позволяет проводить многомасштабный анализ входного сигнала за счет экспоненциального расширения области применения фильтра, или поля восприятия (receptive field) [10]. При оперировании фрагментом s[n] конечной длительности N (s[n]) для того, чтобы результат (5) также имел длительность N, вектор фрагмента дополняется в начале p(Th - 1) нулями. Далее результат фильтрации из уравнения (5) будет обозначаться как f[n] для упрощения нотации. В случаях, когда будет применяться децимация, значение p Ф 1 будет указано явно.
Пакетная нормализация. После частотной фильтрации осуществляется этап пакетной нормализации f[n] = BN{f[n]} (batch normalization) [7], суть которого заключается в центрировании и перенормировке отсчетов сигнала f[n]. Данная процедура происходит согласно алгоритму, предложенному в статье [6], который вместо комплексных отсчетов f[n] и f'[n] оперирует соответствующими вещественными двумерными векторам x = (Re(f[n]),Im(f[n])) и x' = (Re(/[n]),Im(/[n])):
1
y = V 2(x-ц), (6)
X' = yy + Р, (7)
где V, ц - выборочные (пакетные) оценки матрицы ковариации и математического ожидания вектора x, a у, Р - квадратный корень матрицы ковариации и математическое ожидание вектора x, которые будут найдены в процессе обучения. Подробное описание и обоснование данного алгоритма можно найти в оригинальной статье [6]. Включение данной процедуры в цепочку обработки приводит к значительному ускорению сходимости модели при поиске значений адаптивных параметров, однако на сегодняшний день строгого обоснования эффективности данного метода не представлено [11].
Нелинейная функция. Заключительным этапом в базовом блоке обработки является нелинейная функция активации <р(-), которая применяется к каждому отсчету сигнала /'[//]. В данной работе используется тривиальное обобщение функции активации ELU(x), iel (Exponential linear unit) [12] для случая комплексных чисел - ELU(z), z е С :
f .X, x > 0
ELU(x) = \ , (8)
\a(ex -1), x < 0 ()
ELU(z) = ELU(Re(z)) + yELU(Im(z)), (9)
где параметр ael задается a priori (далее a = 1). Применение такой функции активации продиктовано результатами проведенных компьютерных экспериментов, в которых ее использование приводило к улучшению сходимости КСНС по сравнению со случаями использования иных функций, в том числе учитывающих специфику комплексных чисел -modReLU(z) [13].
Итоговая формула. Применение к входному сигналу подобного блока нелинейной фильтрации (оператора) будет обозначаться следующим образом:
s[n\ = NT{s[n\}. (10)
Архитектура нейросетевой модели
Этап анализа. На основе предложенного блока обработки (10) можно сформировать КСНС с топологией, основанной на структуре процедуры ДВП [14]. При данной топологии блоки фильтрации соединяются в пару, формируя нелинейный банк фильтров, который также именуется сверточным слоем нейронной сети [15]. После чего происходит рекуррентное
преобразование выхода с 0-го блока обработки, который предварительно был децимирован с коэффициентом 2, до заданного уровня Ь (число слоев) (рис. 2).
Рис. 2. Схема КСНС с вейвлет-подобной архитектурой, реализующей этап анализа
Примечание: составлено автором.
Как уже было отмечено выше, децимация происходит за счет использования расширяющейся свертки, таким образом, во всех слоях, начиная с первого, применяется свертка в виде (5) с р = 2. Полученная сверточная нейронная сеть осуществляет декомпозицию входного сигнала на Б = Ь + 1 каналов - 50[и], ^[и],..., Л[п] по принципу, схожему с ДВП, в процессе которого осуществляется рекурсивная частотная фильтрация парой фильтров с заданными коэффициентами - фильтрами нижних и высоких частот (ФНЧ и ФВЧ соответственно). Далее сети с такой организацией блоков обработки (10) будут называться сетями с вейвлет-подобной архитектурой. Авторы статьи [6] предлагают называть данное преобразование дискретным нелинейным вейвлет-преобразованием. Также стоит отметить, что подобную архитектуру можно обобщить для случая с числом фильтров более двух в одном слое.
С позиции теории цифровой обработки сигналов подобную сверточную сеть можно трактовать как нелинейный банк фильтров, реализующий этап анализа.
Для сравнения: в стандартных архитектурах сверточных нейронных сетей используется иной принцип стыковки слоев, суть которого заключается в том, что каждый фильтр в 1-м слое имеет ИХ для каждого входного канала (выходного с /-1 слоя), и результатом применения такого фильтра является сумма сверток каждого входного канала с соответствующей ИХ. Преимущество предлагаемого метода состоит в том, что информация с этапов первичной обработки непосредственно отображается в результирующем наборе каналов, что позволяет расширить пространство признаков для дальнейшего обучения (например, полносвяза-ных слоев) при меньшем числе фильтров в каждом слое и улучшить сходимость модели при обучении методом обратного распространения ошибки [16].
Результат применения КСНС с вейвлет-подобной архитектурой (декомпозиции) к входному сигналу п] далее будет обозначаться как ЖБф].
Этап синтеза. Для решения задачи синтеза (1) на основе описанной выше декомпозиции WDS[n] можно воспользоваться методом, предложенным в работах [17, 18], в котором сигнал g[h] получается путем взвешенного суммирования по всем полученным каналам (рис. 3):
D-1
g[n] = £ vd$d [n], (11)
d=0
где vd g С для d e ¡0,1,..., I) — \\ - набор адаптивных параметров. С точки зрения сверточных нейронных сетей операцию (11) можно представить как применение стандартного сверточ-ного слоя с длинами ИХ для каждого частотного канала, равными 1 (1 х 1 convolution).
Таким образом, процедура (11) является этапом синтеза с точки зрения терминологии цифровой обработки сигналов. Итоговая схема КСНС для синтеза g\ti\, приведена на рис. 3.
Рис. 3. Схема вейвлет-подобной КСНС для задачи синтеза сигналов
Примечание: составлено автором.
Обучение модели
Формализация задачи обучения. Первичным этапом обучения модели является формирование пар (s[w], g[«]), то есть пар входа и желаемого выхода модели Q Далее данные пары разбиваются на обучающую и тестовую выборки, первая из которых служит непосредственно для нахождения значений параметров модели, а вторая - для проверки достижения моделью обобщающего свойства [15].
Формально поиск значений адаптивных параметров нейронной сети для синтеза g\ti\ (2) происходит в процессе минимизации функции среднеквадратической ошибки (ФСО) для различных фрагментов (batch) обучающей выборки:
Y м-1
SE -ш i / ! II »т II", (12)
где M - размер фрагмента. Временные индексы y gm опущены, так как эти вектора, формирующие фрагменты, выбираются из обучающей выборки случайным образом.
Во избежание эффекта переобучения к функции (12) добавляется слагаемое регуляри-
зации типа L2
Le =Е (I Ю |2 +| I h] I I 2) + Z |VJ 2, (13)
1=0 d=0
где h(l) - ИХ /'-го фильтра (i е {0,1}) в l-м слое (I е {0,...,L -1}) и vd - коэффициенты из (11).
Таким образом, учитывая (13), итоговая форма функции ошибки на одном фрагменте обучающей выборки имеет вид:
L = Lmse + Lre, (14)
где Я-е - коэффициент регуляризации.
Решение. Минимизация (14) осуществляется на основе итеративной процедуры градиентного спуска, в котором обучаемые параметры модели обновляются по правилу:
cL( w)
cw
где w - некоторый параметр модели, т - номер итерации обучения, и т] - коэффициент скорости обучения (learning rate). Вычисление производной в формуле (15) осуществляется на основе алгоритма обратного распространения ошибки. Если we С, формула (15) применяется для Re{w} и Im{w} соответственно. В экспериментах, описанных далее, был использован модифицированный вариант формулы обучения (15), который носит название Nadam [19].
Немаловажным пунктом в процессе обучения нейронной сети является этап инициализации адаптивных параметров [20] для процедуры (15). В данной работе, согласно статье [6], инициализация некоторого комплексного параметра w происходит в два этапа. В первую очередь |w| присваивается случайное значения из распределения Рэлея с параметром
а = 1 / +-\fn ) по правилу Глорота [20], где n и no - число входов и выходов в одном слое.
На втором этапе arg{w} инициализируется случайным образом из равномерного распределения на отрезке [-ж, ж].
Предсказание модельного сигнала
Модельный сигнал. В качестве сигнала s[n] для прогнозирования (3) была выбрана хаотическая траектория отображения Икеда [21], которая задается формулой:
Zl = A + Bz\n - 1]exp I -—j^— + СI (16)
где e С - значение траектории в момент времени п и А, В, К, С е № - параметры, варьируя которые можно получать различное поведение динамической системы.
Конкретная траектория s[n] = z: [ z] длительностью 40 000 отсчетов была получена из
системы (16) со значениями параметров A = 1, B = 0,9, K = -6, K = 0,4 и начальным условием zI[0] = 0,5 + j. Портрет zI[n] на комплексной плоскости представлен на рисунке 4. Сигнал s[n] характерен для высокой степени нерегулярности, что видно на рисунке 5, на котором изображен модуль автоковариационной функции Cs[q] (АФ) - его первых 2 000 отсчетов для положительных временных лагов q > 0. Поэтому данный сигнал является привлекательным с точки зрения его использования для изучения свойств сходимости адаптивных моделей.
1.0
0 800
ООО
О' 400
200
0
-2.5
0.0
0.5
1.0
1.5
О 500 1000 1500 2000
Временной лаг q
И*}
Рис. 4. Портрет траектории Икеда
Примечание: составлено автором.
Рис. 5. Модуль АФ для траектории Икеда
Примечание: составлено автором.
Для проверки качества получаемых предсказаний будет использоваться коэффициент предсказательной силы (prediction gain) [22], измеряемый в децибелах (дБ):
Обучающая и тестовая выборки. В формировании обучающей и тестовой выборок участвовали первые 24 000 отсчетов s\n\, тогда как последующие 16 000 были отложены для оценки работы модели за пределами этих выборок. Каждый фрагмент обучающей выборки содержал M = 100 векторов, длительность которых - N = 1024.
Альтернативные нейросетевые модели. Для сравнения качества решения поставленной задачи вейвлет-подобной КСНС были введены две вещественнозначные нейронные сети, спроектированные на базе современных архитектурных концепций:
1) Полностью сверточная нейронная сеть (ПСНС), состоящая из 8 сверточных слоев со степенью расширения свертки р = 2 и последнего слоя, осуществляющего суммирование в виде (11) для вычисления ф/ +1];
2) Комбинированная нейронная сеть, состоящая из двух различных концептуальных блоков. Первый блок состоит из двух сверточных слоев и формирует набор признаков для второго блока, которым является рекуррентная нейронная сеть типа LSTM [23], осуществляющая прогнозирование. Такая модель будет условно обозначаться ниже как СНС + LSTM.
В обеих сетях сверточные слои имели 32 фильтра, длина ИХ которых равна 4. После каждого сверточного слоя применялись пакетная нормализация и функция активации (8). Общее число адаптивных параметров в ПСНС и СНС + LSTM составило 29 729 и 4 824 соответственно. В процессе обучения для этих моделей полагалось, что Д-е = 0,001 (13) и п = 0,001 (15).
Критерием сравнения между вейвлет-подобной КСНС и данными сетями будет выступать значение функции LMSE (12) на тестовой выборке.
Результаты. Оптимальной из обученных КСНС с вейвлет-подобной архитектурой стала модель с глубиной декомпозиции L = 6 и Th = 4 (5), для которой коэффициенты скорости обучения и регуляризации - ^ = 0,002 (13) и п = 0,001 (15). Таким образом, модель содержит 85 комплексных или 170 вещественных адаптивных параметров. В решении данной регрессионной задачи представленная КСНС значительно превосходит по качеству вещественнозначные модели ПСНС и СНС + LSTM, что можно увидеть на рис. 6, на котором
(17)
где 07 и <те2 - оценки дисперсий сигнала ф/] и сигнала ошибки ф/]=ф/]-ф/] соответственно.
2
изображена динамика значений Ьм$е, полученная на тестовой выборке для каждой из нейронных сетей. При этом КСНС обладает существенно меньшим числом адаптивных параметров по сравнению с вещественнозначными альтернативами.
Рис. 6. Значения ФСО на тестовой выборке для КСНС, ПСНС и СНС + LSTM
Примечание: составлено автором.
Для сигнала .?[//], который был получен путем стыковки последних элементов векторов §[// + 1] на всей длительности траектории (40 ООО отсчетов), коэффициент Я « 22,9 [дБ], что говорит о достижении КСНС обобщающего свойства в задаче прогнозирования на один шаг вперед. Стоит отметить, что данное значение коэффициента (18) существенно выше аналогичных значений для одношаговых предсказаний сигнала (16), полученных линейными адаптивными методами в работе [22], порядок которых составил 4 [дБ] [22, а 4].
Однако наиболее интересным является анализ многошагового рекурсивного предсказания. Результат работы КСНС в таком режиме представлен на рис. 7 с изображением портрет сигнала л. [/?] длительностью 40 ООО отсчетов на комплексной плоскости. На данном рисунке видно, что модель не смогла повторить сложные детали портрета траектории системы Икеда (16), несмотря на общее визуальное сходство £,.[«] и £[«], коэффициент Я « -2,6 [дБ], что говорит о низком качестве полученного предсказания. Можно предположить, что это является следствием неадекватности оценки низкочастотных составляющих сигнала s{n\ нейросетевой моделью, то есть неспособности к обучению его долгосрочным зависимостям. Данный факт проявляется при сравнении оценок спектральных плотностей мощности (СПМ) сигналов £,.[/?] и £[и], представленных на рис. 8. Приведенные оценки СПМ были получены
на основе метода Уэлша с числом частотных ячеек, равным 1 024. Предварительно оба сигнала были центрированы для удаления пика на нулевой частоте.
Рис. 7. Портрет рекурсивного предсказания
Примечание: составлено автором.
Рис. 8. Оценки СПМ
Примечание: составлено автором.
Также представляется интересным провести качественное сравнение фильтров полученной КСНС с фильтрами ДВП в разрезе частотно-избирательных свойств. Схема с амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) фильтров КСНС представлена на рис. 9. На данной схеме видно, что фильтры во всех слоях, кроме последнего, не обладают значительными частотно-избирательными свойствами. Только фильтры в последнем слое можно нестрого трактовать как пару ФНЧ и ФВЧ.
Рис. 9. АЧХ фильтров КСНС с вейвлет-подобной архитектурой для прогнозирования траектории системы Икеда; Значения АЧХ представлены в линейной шкале на отрезке [0; 0.5]
Примечание: составлено автором.
На рис. 9 у выхода каждого фильтра, результаты которого включаются в итоговый набор каналов, представлена величина:
1
V
V =~ IV/ 1> v =
уа I'
(18)
/=0
где параметры \'с/ из формулы (11). Значение \'с/ отражает степень участия ¿/-го канала в синтезе оценки +1]. Величины \'с/ оказались распределены относительно равномерно, следовательно, КСНС равноправно использует информацию с выходов результирующих каналов.
Заключение
Основным результатом данной работы является предложенная нейросетевая архитектура, осуществляющая декомпозицию сигнала, структурно схожую с дискретным вейвлет -преобразованием. Причем результат подобного разбиения возможно применять не только для задач синтеза сигналов, таких как прогнозирование, но и для их классификации.
Приведенная выше модель, основанная на вейвлет-подобной архитектуре, успешно справилась c задачей синтеза одношагового предсказания хаотического сигнала при относительно малом числе адаптивных параметров, показав при этом значительно лучший результат по сравнению со стандартными линейными и на порядок более сложными вещественно-значными нейросетевыми аналогами. Однако найденная модель оказалась неспособной решить задачу долгосрочного прогнозирования с удовлетворительным качеством.
В дальнейшем есть несколько путей усовершенствования таких моделей. Во-первых, можно задавать тип избирательности фильтра в слое, как это было предложено в работе [8], таким образом явно указывая на разбиение полосы входного сигнала. Потенциально это может помочь в случае анализа сигналов с заранее известными полосовыми характеристиками. Во-вторых, можно модифицировать этап синтеза сигнала. Например, использовать симметричную схему канальной композиции согласно структуре восстановления сигнала в дискретном вейвлет-преобразовании. Это может обогатить модель и позволит избежать избыточного добавления нулей на каждом этапе свертки для поддерживания равенства длительностей входного и выходного сигнала в тех задачах, где это необходимо.
В перспективе подобные комплекснозначные сверточные нейронные сети могут служить альтернативой стандартным адаптивным методам в радиотехнических задачах, таких как компенсация искажений, вносимых каналом в системах связи [2], или подавление узкополосных помех на фоне широкополосного приема [24].
Литература
1. LeCun Y., Bengio Y., Hinton G. E. Deep Learning // Nature. 2015. Vol. 521, No. 7553. P. 436-444. DOI: https://doi.org/10.1038/nature14539.
2. Джиган В. И. Адаптивные фильтры и их приложения в радиотехнике и связи. Ч. 3 // Соврем. электроника. 2010. Т. 2. С. 70-77.
3. Hirose A. Complex-Valued Neural Networks. Studies in computational intelligence. Springer-Verlag, 2006. URL: https://books.google.ru/books?id=d2INKuuzQjEC (дата обращения: 30.04.2020).
4. Chiheb T., Bilaniuk O., Serdyuk D., et al. Deep Complex Networks // CoRR. 2017. URL: http://arxiv.org/abs/1705.09792 (дата обращения: 30.04.2020).
5. Ioffe S., Szegedy C. Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift // CoRR. 2015. URL: http://arxiv.org/abs/1502.03167 (дата обращения: 30.04.2020).
6. Bruna J., Chintala S., LeCun Y., et al. A Theoretical Argument for Complex-Valued Convolutional Networks // CoRR. 2015. URL: http://arxiv.org/abs/1503.03438 (дата обращения: 30.04.2020).
7. Theano Development Team. Theano: A Python framework for fast computation of mathematical expressions // arXiv e-prints. 2016. URL: http://arxiv.org/abs/1605.02688 (дата обращения: 30.04.2020).
8. Keras: the Python deep learning API. URL: https://keras.io. (дата обращения: 30.04.2020).
9. Hunter J. D. Matplotlib: A 2D Graphics Environment // Computing in Science & Engineering. 2007. Vol. 9, No. 3. P. 90-95.
10. Yu F., Koltun V. Multi-Scale Context Aggregation by Dilated Convolutions // CoRR. 2015. URL: http://arxiv.org/abs/1511.07122 (дата обращения: 30.04.2020).
11. Santurkar S., Tsipras D., Ilyas A., et al. How Does Batch Normalization Help Optimization? // Advances in Neural Information Processing Systems. 2018. Vol. 31, P. 2483 -2493.
12. Clevert D. A., Unterthiner T., Hochreiter S. Fast and Accurate Deep Network Learning by Exponential Linear Units (ELUs) // CoRR. 2015. URL: http://arxiv.org/abs/1511.07289 (дата обращения: 30.04.2020).
13. Arjovsky M., Shah A., Bengio Y. Unitary Evolution Recurrent Neural Networks // CoRR. 2015. URL: http://arxiv.org/abs/1511.06464 (дата обращения: 30.04.2020).
14. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing, Third Edition: The Sparse Way. Orlando, FL, USA : Academic Press, Inc., 2008.
15. Goodfellow I., Bengio Y., Courville A. Deep Learning. MIT Press, 2016.
16. He K., Zhang X., Ren S. et al. Deep Residual Learning for Image Recognition // CoRR. 2015. URL: http://arxiv.org/abs/1512.03385 (дата обращения: 30.04.2020).
17. Van den Oord A., Dieleman S., Zen H., et al. WaveNet: A Generative Model for Raw Audio // CoRR. 2016. URL: http://arxiv.org/abs/1609.03499 (дата обращения: 30.04.2020).
18. Borovykh A., Bohte S. M., Oosterlee C. W. Conditional Time Series Forecasting with Convolutional Neural Networks // CoRR. 2017. URL: http://arxiv.org/abs/1703.04691 (дата обращения: 30.04.2020).
19. Dozat T. Incorporating Nesterov Momentum into Adam // Workshop track - ICLR. 2016. URL: https://openreview.net/pdf?id=OM0jvwB8jIp57ZJjtNEZ (дата обращения: 30.04.2020).
20. Glorot X., Bengio Y. Understanding the Difficulty of Training Deep Feedforward Neural Networks // Proceedings of the International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (AISTATS'10) : Society for Artificial Intelligence and Statistics. 2010.
21. Ikeda K. Multiple-Valued Stationary State and its Instability of the Transmitted Light by a Ring Cavity System // Optics Communications. 1979. Vol. 30, No. 2. P. 257-261.
22. Mandic D. P., Still S., Douglas S. C. Duality between Widely Linear and Dual Channel Adaptive Filtering // 2009 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. 2009. P. 1729-1732.
23. Hochreiter S., Schmidhuber J. Long Short-Term Memory // Neural Computation. 1997. Vol. 9, No. 8. P. 1735-1780.
24. Rusch L. A., Poor H. V. Narrowband Interference Suppression in CDMA Spread Spectrum Communications // IEEE Transactions on Communications. 1994. Vol. 42, No. 234. P. 1969-1979.
