CC BY
61
info@agequal.ru
Электронный научный журнал «Век качества» ISSN 2500-1841 http://www.agequal.ru 2018, № 4 http://www.agequal.ru/pdf/2018/AGE QUALITY 4 2018.pdf Ссылка для цитирования этой статьи:
Гулян А.Г., Гомцян С.Г., Бадалян Б.Ф. Вейвлет-обработка сигналов и изображений модифицированными вейвлетами // Электронный научный журнал «Век качества». 2018. №4. С. 80-96. Режим доступа: http://www.agequal.ru/pdf/2018/418006.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ.
Гулян Альберт Гарегинович,
доктор физико-математических наук, профессор кафедры Радиоустройств Национальный политехнический университет Армении, г.Ереван 0203, Армения, г.Аштарак, Гитаван2, з.11, кв.4
8игетаг£8уапа@£тай. сот
Гомцян Светлана Геворковна,
преподаватель кафедры Радиоустройств Национальный политехнический университет Армении, г.Ереван
0008, Армения, г. Ереван, ул. Суворова, 94 gomtsyan.sveta@gmail. com
Бадалян Бениамин Феликсович,
кандидат технических наук, доцент кафедры Радиоустройств Национальный политехнический университет Армении, г.Ереван 0025, Армения, г. Ереван, ул. Михитара Гераци, 18
agentben@rambler. ru
Аннотация. Вот уже несколько десятилетий вейвлет-технологии находят практическое применение в различных областях систем связи: при анализе и восстановлении сложных сигналов и изображений, выявлении их тонких локальных особенностей, очистке от шумов и при сжатии, что позволяет обеспечить более качественную передачу и прием радиотехнических сигналов по сравнению с традиционным аппаратом представления функций тригонометрическими рядами Фурье. В конце 90-х появились новые методы по
УДК 621.391
Вейвлет-обработка сигналов и изображений модифицированными вейвлетами
разработке, так называемых, вейвлетов второго поколения. Одним из таких методов является лифтинг-схема, алгоритм которого был предложен Вимом Свелденсом [1-3]. Этот алгоритм представляет собой элементарную модификацию вейвлет-фильтров точного восстановления, результатом которой является улучшение свойств классических вейвлетов и возможность реализации быстрого вейвлет-преобразования. Улучшающая лифтинг-схема Свелденса не основывается на Фурье-преобразовании, следовательно позволяет строить такие вейвлет-базисы, которые, по сравнению с вейвлетами первого поколения, не основываются на масштабировании и перемещении материнского вейвлета [4; 5].
Ключевые слова: лифтинг-схема; улучшающая последовательность; биортогональные вейвлеты; фильтры разложения и восстановления; маркированное изображение; цифровой водяной знак; лифтинг-преобразование; преобразование Хаара; коэффициент внедрения.
Общая идея улучшения вейвлетов по лифтинг-схеме заключается на предсказании коэффициентов ВЧ (или НЧ) вейвлет-фильтра посредством модификации коэффициентов НЧ (или ВЧ) вейвлет-фильтра при помощи улучшающей последовательности. Согласно Свелденсу, если известны частотные функции Н(г), С (г) и Н(г), 6 (г) фильтров разложения и восстановления биортогональных вейвлетов, первичным элементарным шагом лифтинга называется модификация следующих фильтров [4]:
Н (г) = Н(г) - в (г)Р(г-2), б (г) = б (г) + Н(г)Р(г2). (1) При дуальном шаге модифицируются фильтры:
С '(г) = ОД - НШ(г2), Н '(г) = Н(г) + СШ(г-2), (2) где Р(г2) и Q(z2) - улучшающие последовательности, г = е-ш.
Последовательные итерации улучшения приводят к гладкости вейвлет-функций и увеличению количества нулевых моментов, что может
способствовать улучшению результатов вейвлет-фильтрации и сжатия [6]. Быстрое многофазное вейвлет-преобразование по лифтинг-схеме (ЛВП) позволяет сократить расчетное время почти в два раза, так как рассчитываются только коэффициенты НЧ низкочастотных (или ВЧ высокочастотных) вейвлет-фильтров и улучшающая последовательность [6].
1. Восстановление сигналов модифицированными вейвлетами
Авторами были модифицированы сплайн-вейвлеты Ыог2.4, Ыог2.6, которые были признаны как наилучшие при восстановлении одномерных и двумерных сигналов в ряде исследований [7; 8]. Так же были рассмотрены схожие по свойствам вейвлеты Коэн-Добеши-Фово - 'сё£2.4' и сё£2.6 (СоИеп-ВаиЬесЫев-Беаиуеаи), имеющие строго определенное количество нулевых моментов и наименьшую ширину носителя. Разложение сигнала производится фильтрами вейвлет-функций и ^(0, а восстановление - сопряженными фильтрами вейвлет-функций ф (¿) и ф (¿) [6].
При модификации Ыог2.4, Ыог2.6 и сё£2.4, сё£2.6 были улучшены все четыре фильтра этих вейвлетов. Для этого были получены нормированные оптимальные значения первичного и дуального шагов, которые соответствуют лифтинг-фильтрам, а в качестве улучшающей последовательности использовался соответствующий полином Лорана. На основе коэффициентов вышеперечисленных вейвлетов [6], в соответствии с матричными формулами, приведенными в [4], улучшенные фильтры можем представить в следующем виде:
Для Ь8-Ыог2.4:
Н(г) = 0.03315г3 - 0.06629г2 - 0.17682 + 0.4198 + 0.9944г-1 +
+ 0.4198г-2 - 0.1768г-3 - 0.06629г-4 + 0.03315г-5 , ОД = 0.3536г - 0.7071 + 0.3536г-1,
H(z) = 0.3536 + 0.7071z-1 + 03536z-2,
G(z) = - 0.03315z4 - 0.06629z3 + 0.1768z2 + 0.4198z - 0.9944 + + 0.4198z-1 + 0.1768z-2 - 0.06629z-3 - 0.03315z-4.
Для LS-cdf2.4:
H(z) = 0.3536z + 0.7071 + 0.3536z-1,
G(z) = 0.03315z3 + 0.06629z2 - 0.1768z - 0.4198 + 0.9944z-1
- 0.4198z-2 - 0.1768z-3 + 0.06629z-4 + 0.03315z-5 , H(z) = 0.03315z4 - 0.06629z3 - 0.1768z2 + 0.4198z + 0.9944 +
+ 0.4198z-1 - 0.1768z-2 - 0.06629z-3 + 0.03315z-4, G(z) = -0.3536 + 0.7071z-1 - 0.3536z-2.
Для LS-bior2.6:
H(z) = -0.006905z5 + 0.01381z4 + 0.04696z3 - 0.1077z2 - 0.1699z + + 0.4475 + 0.9667z-1 + 0.4475z-2 - 0.1699z-3 - 0.1077z-4 + 0.04696z-5 + 0.01381z-6 - 0.006905z-7, G(z) = 0.3536z - 0.7071 + 0.3536z-1, H(z) = 0.3536 + 0.7071z-1 + 0.3536z-2,
G(z) = 0.006905z6 + 0.01381z5 - 0.04696z4 - 0.1077z3 + 0.1699 z2 + + 0.4475z- 0.9667+ 0.4475z-1 + 0.1699z-2 - 0.1077z-3--0.04696z-4 + 0.01381z-5 + 0.006905z-6.
Для LS-cdf2.6:
H(z) = 0.3536z + 0.7071 + 0.3536z-1,
G(z) = -0.006905z5 - 0.01381z4 + 0.04696z3 + 0.1077z2 - 0.1699z -
- 0.4475 + 0.9667z-1 - 0.4475z-2 - 0.1699z-3 + 0.1077z-4 + 0.04696z-5 - 0.01381z-6 - 0.006905z-7,
H(z) = -0.006905z6 + 0.01381z5 + 0.04696z4 - 0.1077z3 - 0.1699 z2
+0.4475г + 0.9667 + 0.4475г-1 - 0.1699г-2 - 0.1077г-3 + 0.04696г-4 +0.01381г-5 - 0.006905г-6, 6 (г) = 0.3536 + 0.7071г-1 + 0.3536г-2.
На рис.1 представлены пары функций разложения и восстановления (^(0, и (¿), (¿)) модифицированных биортогональных вейвлетов ЬБ-Ьюг2.4, ЬБ-сё12.4 и ЬБ-Ьюг2.6, ЬБ-сё12.6, соответствующие рассчитанным фильтрам.
* Разработано авторами
Рис.1. Функции разложения и восстановления модифицированных вейвлетов ЬБ-Ыог2.4 (а), ЬБ-сё12.4 (б), ЬБ-Ыог2.6 (в) и Ь8-сё£2.6 (г)
Для восстановления тестового звукового сигнала mtlb(1:900) были апробированы вейвлеты Ьюг2.4, LS-bюr2.4 и LS-cdf2.4, а для восстановления тестового изображения belmont1 - вейвлеты Ьюг2.6, LS-bior2.6 и LS-cdf2.6. Реализовано лифтинг-преобразование от 1-ого до 6-ого уровня. В качестве критерия восстановления в среде MATLAB рассчитана норма среднеквадратичной ошибки:
\\Х-У\\2
МБЕпогт =---, (3)
N
где X-исходный сигнал, Y-восстановленный сигнал, ^количество отсчетов сигнала.
Построены графики зависимости MSEnorm от уровней разложения (рис.2). Результаты подтверждают эффективность модифицированных вейвлетов, причем на высоких уровнях декомпозиции ошибка восстановления остается почти неизменной, что особенно заметно в случае изображения.
info@agequal.ru
* Разработано авторами
Рис.2. Восстановление сигнала (а) и изображения (б) модифицированными
вейвлетами
2. Алгоритм внедрения цифрового водяного знака в изображения с использованием модифицированных вейвлетов
Эффективным методом для аутентификации и защиты авторских прав информации является маркировка данных цифровыми водяными знаками (ЦВЗ). На сегодняшний день существует множество методов внедрения ЦВЗ, однако требования, предъявляемые к ним одинаковы: ЦВЗ должен быть незаметным на маркированном изображении (МИ) и робастным к внешним воздействиям, что способствует его восстановлению с приемлемым качеством [9-11]. Для достижения незаметности целесообразно ЦВЗ внедрять в ВЧ область изображения, что связано с особенностями человеческого зрения. Однако этот поддиапазон наиболее подвержен таким воздействиям как шумы, сжатие, что делает ЦВЗ менее робастным. Следовательно, важной задачей является разрешение данного противоречия.
Разработанный авторами алгоритм внедрения и извлечения ЦВЗ представлен на рис.3.
" Составлено авторами
Рис.3. Алгоритм внедрения и извлечения ЦВЗ по лифтинг-схеме Внедрение в изображение основывается на слиянии изображений аддитивным методом, при использовании модифицированного вейвлета ЬБ-Ыог2.6 и одноуровневого лифтинг-преобразования (ЛВП). Для обеспечения робастности ЦВЗ внедряется в НЧ поддиапазон, модифицируя Ыш вейвлет-коэффициенты исходного изображения (ИИ):
^ии = ^^ии + а • ^цвз . (4)
Для достижения незаметности подбирается необходимый коэффициент внедрения а, значения которого можно аддитивно изменять в зависимости от маркируемого изображения.
Электронный научный журнал «Век качества» Online scientific journal «Age of Quality»
№ 4 (2018) ISSN 2500-1841
http://www.agequal.ru info@agequal.ru
Извлечение ЦВЗ реализуется по обратной формуле:
LLmh — LLm
ЬЬцвз — ^ . (5)
При одноуровневом прямом ЛВП исходного изображения и цифрового знака производится расчет низкочастотных аппроксимирующих и высокочастотных детализирующих коэффициентов. Согласно лифтинг-схеме этот процесс осуществляется улучшающими фильтрами 1[к] и L[k] с применением дуального шага (рис.4,а). При обратном ЛВП из детализирующих и модифицированных по формуле (4) И'ИИ коэффициентов удаляются улучшающие компоненты (рис.4,б), а объединение коэффициентов дает восстановленное изображение уже с внедренным ЦВЗ.
В среде MATLAB была составлена программа, реализующая разработанный алгоритм внедрения и извлечения цифрового водяного знака. В качестве маркируемого изображения взят отпечаток пальца, а в качестве ЦВЗ -полутоновое изображение герба Армении. Для оценки эффективности алгоритма были рассчитаны максимальная ошибка восстановления (maxERR) водяного знака:
max ERR — max (abs(W''(m, n) — W(m, n))), (7)
где W - исходный, а W'' - восстановленный ЦВЗ;
и пиковое отношение сигнал/шум (PSNR) маркированного изображения:
(2В — 1) •N
PSNR — 10 log2 -L-— , (6)
Li=i(Am i~ лми i)
где N - количество пикселей изображения, B - наибольшее значение яркости изображения (бит/пиксел), ХИИ t - пиксели исходного изображения, ХМИ t -пиксели маркированного изображения.
Качество маркированного изображения считается приемлемым, если PSNR > 28 ... 30 дБ [9].
а) б)
" Составлено авторами
Рис.4. Алгоритм одноуровневого ЛВП-разложения (а) и восстановления (б)
Были апробированы различные коэффициенты внедрения: а = 0.001,0.005,0.01,0.05,0.1,0.5,0.7. Цель - выявить зависимость шахЕЯЯ от коэффициента внедрения и определить оптимальные значения а, при которых Р8КЕ>28дБ, иначе ЦВЗ становится видимым на маркированном изображении. Для сравнения был использован модифицированный вейвлет ЬБ-сёО.б, а также преобразование Хаара, которое находит широкое применение при маркировке изображений вейвлетами [12; 13].
Рис.5 иллюстрирует зависимости пикового отношения сигнал/шум и максимальной ошибки восстановления от коэффициента внедрения при использовании вышеупомянутых вейвлетов. Результаты подтверждают действенность разработанного алгоритма и оптимальность модифицированного
вейвлета, при помощи которого ЦВЗ можно восстановить на 2 порядка точнее, чем при преобразовании Хаара.
PSNR of Watermarked Image
а)
б)
* Разработано авторами
Рис.5. Зависимости пикового отношения сигнал/шум (а) и максимальной ошибки восстановления (б) от коэффициента внедрения
Что касается РБ^Я, то во всех случаях его значение получается одинаково удовлетворительным и превышает значения 28...36 дБ, из-за чего водяной знак незаметен на маркированном изображении (рис.6,а). Однако при больших значениях коэффициента внедрения (а = 0.5 и 0.7) отношение сигнал/шум падает, и ЦВЗ становится видимым (рис.6,б).
Original Image
500 1000 1500 2000 ■
Ii.;
pt
500 1000 1500 2000 Watermarked Image
500 1000 1500 2000 ■
/ • v.
500 1000 1 500 2000
Watermark
500 1000 1 500 2000 Recovered Watermark
200 400 600 BOO 1000
500 1000 1500 2000
500 1000 1500 2000
Original Image
Watermark
500 1000 1500 2000 Watermarked Image
r.--.-
500 1000 1500 2000
500 1000 1500 2000 Recovered Watermark
200 400 600 BOO 1000
* Разработано авторами
Рис.6. Видимость ЦВЗ на МИ при а = 0,001 (а) и а = 0,5 (б)
Оптимальные значения а не являются постоянными величинами и зависят от качества, типа и размеров маркируемого изображения и логотипа, а также уровня декомпозиции и модифицируемых вейвлет-коэффициентов (НЧ или ВЧ). Учитывая эти факторы, в разработанном алгоритме значение а не фиксировано, и есть возможность адаптировать его в соответствии с обрабатываемыми изображениями.
Выводы
1. Реализована модификация вейвлетов первого поколения Ыог2.4, Ыог2.6 и cdf2.4, cdf2.6 по лифтинг-схеме. Эффективность улучшенных вейвлетов подтверждается среднеквадратичной ошибкой восстановления исследуемого сигнала и изображения, значение которой в 2 раза меньше, чем при классических вейвлетах.
2. Разработан новый алгоритм маркировки изображения цифровым водяным знаком, в котором используется быстрое вейвлет-преобразование по лифтинг-схеме, метод слияния изображений по аддитивному механизму и
модифицированный вейвлет LS-bior2.6. Эффективность представленного алгоритма подтверждается отношением сигнал/шум маркированного изображения и максимальной ошибкой восстановления цифрового знака, значение которой на 2 порядка меньше, по сравнению с широко распространенным преобразованием Хаара.
Литература
1. Sweldens W. The lifting scheme: A custom-design construction of biortogonal wavelets. Appl. Comput. Harmon.Anal., 1996 - Vol.3, №2. - P.186-200.
2. Sweldens W. The lifting scheme: A construction of second generation wavelets. Siam J. Math. Anal., 1997. - Vol.29, № 2. - P. 511-546.
3. Sweldens W. The Lifting Scheme: A new philosophy in biorthogonal wavelet constructions. In A. F. Laine and M. Unser, editors, Wavelet Applications in Signal and Image Processing III, Proc. SPIE 2569, 1995. - P. 68-79.
4. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. - М.: ДМК Пресс, 2014. - 628 с.
5. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. - М.: СОЛОН-Р, 2002. -446 с.
6. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. Пер. с англ. Жилейкина Я.М. -М: Мир, 2005. - 671 с.
7. Гомцян С.Г, Бадалян Б.Ф., О.А.Гомцян. Анализ и сжатие сигналов с использованием вейвлет-функций. // Вопросы радиоэлектроники, серия "Техника телевидения". - СПб., 2018. - Вып. 3. - С. 108-115.
8. Бадалян Б.Ф., Гомцян С.Г. Восстановление двумерных сигналов с применением вейвлет-технологий // Материалы 13-й Междунар. молод. научн.-техн. конф. "Современные проблемы радиотехники и телекоммуникаций РТ-2017", 20-24 ноября 2017г. - Севастополь, 2017. - С. 191.
info@agequal.ru
9. Грибунин В., Оков И., Туринцев И. Цифровая стеганография. - Солон Пресс, 2002. - 272 с.
10. Wang Houng-Jyh, Lu C., Kuo C.-C. Jay Image protection via watermaking on perceptually significant wavelet coefficient // Proc. of the IEEE Workshop on Multimedia Signal Processing, Redondo Beach, CA, 1998. - Vol.1. - P. 279-284.
11. Chae J.J., Mukherjee D., Manjunath B.S. A robust embedded data from wavelet coefficients // Proceedings of SPIPE, Electronic Imaging, Storage and Retrieval for Image and Video Database. 1998. - Vol. 3312. - P. 208-317.
12. Xia X.-G., Boncelet C.G., Arce G.R. Wavelet transform based watermark for digital images // Optics Express, 1998. - № 3. - P. 497-502.
13. Бахрушина Г.И., Сафанюк И.В., Федорова Г.Н., Бахрушин А.П.. Программная реализация алгоритма цифрового маркирования изображений, базирующегося на дискретном вейвлет-преобразовании и сингулярном разложении. Электронное научное издание: Ученые заметки. - ТОГУ 2016. -Том 7, №4. - С. 25-36.
Wavelet processing of signals and images by modified wavelets
Gulyan Albert Gareginovich,
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Chair of Radio Devices National Polytechnic University of Armenia, Yerevan 0203, Armenia, Ashtarak, Gitavan2, h.11, ap.4 surensargsyana@,gmail. com
Gomtsyan Svetlana Gevorkovna,
Lecturer in the Chair of Radio Devices National Polytechnic University of Armenia, Yerevan 0008, Armenia, Yerevan, st. Suvorov, 94 gomtsyan. sveta@gmail. com
Badalyan Beniamin Feliksovich,
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Chair of Radio Devices National Polytechnic University of Armenia, Yerevan 0025, Armenia, Yerevan, st. Mihitar Heraci, 18
agentben@rambler. ru
Abstract. For several decades, wavelet-technologies have found practical application in various areas of communication systems: in analyzing and recovering complex signals and images, identifying their fine local features, cleaning noise and compression, which allows for better transmission and reception of radio signals compared to with the traditional apparatus of representing functions by trigonometric Fourier-series. In the late 90s, new methods for the development of so-called second-generation wavelets appeared. One of such methods is the lifting-scheme, the algorithm of which was proposed by Wim Swededens. This algorithm is an elementary modification of the wavelet-filters of exact reconstruction, the result of which is the improvement of the properties of classical wavelets and the possibility of implementing a fast wavelet-transform. The Sveldens improvement lifting-scheme is not based on the Fourier-transform, therefore it allows to build
info@agequal.ru
such wavelet bases which, according to the first generation wavelets, are not based on the scaling and movement of the mother wavelet.
Key words: lifting-scheme; improving sequence; biorthogonal wavelets; decomposition and recovery filters; labeled image; digital watermark; lifting-transform; Haar-transformation; implementation rate.
1. Sweldens W. The lifting scheme: A custom-design construction of biortogonal wavelets. Appl. Comput. Harmon.Anal., 1996 - Vol.3, №2. - P.186-200.
2. Sweldens W. The lifting scheme: A construction of second generation wavelets. Siam J. Math. Anal., 1997. - Vol.29, № 2. - P. 511-546.
3. Sweldens W. The Lifting Scheme: A new philosophy in biorthogonal wavelet constructions. In A. F. Laine and M. Unser, editors, Wavelet Applications in Signal and Image Processing III, Proc. SPIE 2569, 1995. - P. 68-79.
4. Smolentsev N.K. Osnovy teorii veyvletov. Veyvlety v MATLAB. - M.: DMK Press, 2014. - 628 p.
5. Dyakonov V.P. Veyvlety. Ot teorii k praktike. - M.: SOLON-R, 2002. - 446 p.
6. Malla S. Veyvlety v obrabotke signalov. Per. s angl. Zhileykina YA.M. - M: Mir, 2005. - 671 p.
7. Gomtsyan S.G, Badalyan B.F., O.A.Gomtsyan. Analiz i szhatiye signalov s ispol'zovaniyem veyvlet-funktsiy. // Voprosy radioelektroniki, seriya "Tekhnika televideniya". - SPb., 2018. - № 3. - P. 108-115.
8. Badalyan B.F., Gomtsyan S.G. Vosstanovleniye dvumernykh signalov s primeneniyem veyvlet-tekhnologiy // Materialy 13-y Mezhdunar. molod. nauchn.-tekhn. konf. "Sovremennyye problemy radiotekhniki i telekommunikatsiy RT-2017", 20-24 noyabrya 2017g. - Sevastopol, 2017. - P. 191.
References
info@agequal.ru
9. Gribunin V., Okov I., Turintsev I. Tsifrovaya steganografiya. - Solon Press, 2002. - 272 p.
10. Wang Houng-Jyh, Lu C., Kuo C.-C. Jay Image protection via watermaking on perceptually significant wavelet coefficient // Proc. of the IEEE Workshop on Multimedia Signal Processing, Redondo Beach, CA, 1998. - Vol.1. - P. 279-284.
11. Chae J.J., Mukherjee D., Manjunath B.S. A robust embedded data from wavelet coefficients // Proceedings of SPIPE, Electronic Imaging, Storage and Retrieval for Image and Video Database. 1998. - Vol. 3312. - P. 208-317.
12. Xia X.-G., Boncelet C.G., Arce G.R. Wavelet transform based watermark for digital images // Optics Express, 1998. - № 3. - P. 497-502.
13. Bakhrushina G.I., Safanyuk I.V., Fedorova G.N., Bakhrushin A.P. Programmnaya realizatsiya algoritma tsifrovogo markirovaniya izobrazheniy, baziruyushchegosya na diskretnom veyvlet-preobrazovanii i singulyarnom razlozhenii. Elektronnoye nauchnoye izdaniye: Uchenyye zametki. - TOGU, 2016. -V. 7, №4. - P. 25-36.
