CC BY
3Труды МАИ. Выпуск № 97
http://trudymai.ru/
УДК 681.518.5
Вейвлет-анализ в задачах контроля и диагностики линейных
динамических систем
А A A AAA
Конышева В.Ю. , Максимов Н.А. , Шаронов А.В.
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия
*e-mail: konysheva.vict@gmail.com * *e-mail: N-A-Maximov47@yandex. ru ***e-mail: anatoly.sharonov@yandex.ru
Аннотация
В работе рассматривается один из возможных подходов к решению задачи контроля и диагностики бортовых систем летательных аппаратов. Анализ доступных публикаций [2, 4, 9] по теме работы показал, что постановка задачи диагностики предполагает знание текущих значений вектора состояния динамических систем. Однако, измерение всех координат вектора состояния не всегда является возможным. Во-первых, такая ситуация может возникнуть из-за отсутствия "точек доступа". Во-вторых, если результаты измерения некоторых координат вектора состояния содержат "недопустимые" ошибки, не позволяющие их использовать для решения задач контроля и диагностики объектов.
Предложенный подход предполагает наличие дефицита точек контроля, но требует выполнения условий наблюдаемости Р. Калмана, позволяющего восстанавливать все координаты вектора состояния. В этой связи поставленная задача объединяет три задачи: задачу оценки координат вектора состояния, задачу
определения изменившихся параметров объекта и задачу определения моментов возникновения этих изменений (моментов "разладки"). Решение первой задачи традиционно связано с построением фильтра Р. Калмана. Для решения второй задачи предлагается использовать уравнения параметрической чувствительности , а для локализации моментов времени наступления таких "разладок" использовать разложение функций параметрической чувствительности в ряды Фурье по ортонормированному вейвлет-базису.
Результаты математического моделирования решения задачи контроля и диагностики простейших линейных динамических систем подтвердили работоспособность предложенного подхода.
Ключевые слова: линейная динамическая система, точки контроля, уравнения параметрической чувствительности, функции параметрической чувствительности, вейвлет-анализ.
Введение
Диагностика линейных динамических систем, к которым относятся бортовые системы летательных аппаратов, остаётся актуальной задачей на сегодняшний день. Однако, большинство реальных систем являются нелинейными. Можно назвать ряд причин сохраняющегося интереса к вопросам диагностирования динамических систем в целом и линейных динамических систем в частности, но, прежде всего, это принципиальная возможность линеаризации большого класса нелинейных систем и
перенесения результатов их решения на задачи диагностирования исходных систем. [19]
Процесс функционирования динамических систем неотделим от процессов старения элементов и выхода их из строя. В этой связи оперативное выявление моментов сбоя и определение параметров, приводящих к ним, является необходимым для принятия мер к сохранению работоспособности систем. [5, 13, 15, 17]
Основная проблема, возникающая в задачах диагностирования сложных динамических систем, состоит в том, что для её решения необходимо проводить измерения всех координат их вектора состояния, в которых может содержаться информация о значениях параметров математических моделей, адекватно описывающих их свойства. Однако, измерение всех координат вектора состояния по разным причинам, одной из которых является отсутствие «точек доступа», не всегда возможно.
В основу предложенного подхода, свободного от указанного недостатка, положены результаты теории динамической фильтрации, позволяющие при соблюдении условий наблюдаемости Р. Калмана, восстанавливать неизмеряемые координаты вектора состояния с последующим их вейвлет-преобразованием. [3, 14]
Такое преобразование, отличается от классического преобразования Фурье тем, что использует набор базисных функций (вейвлетов), которые не только определяют факт изменения свойств систем, но и локализируют моменты возникновения изменений значений тех или иных параметров математических моделей систем. [20]
Постановка задачи
В процессе функционирования линейных динамических объектов (бортовых систем летательных аппаратов), необходимо оперативно выявлять моменты сбоя или изменений значений параметров, приводящих к изменению свойств объектов. Такая задача может быть решена созданием алгоритмов функционирования систем автоматического контроля и диагностики (АСК). [10]
Анализируя состав и характер функций, реализуемых с помощью АСК, можно говорить об основных (узловых) задачах автоматического контроля и диагностики:
• определение технического состояния объекта контроля в текущий момент времени (прогнозирование отказов);
• определение места и причины возникновения отказа (задача технической диагностики);
• устранение неисправностей (в общем плане - принятие решения о необходимости резервирования, ремонта, регулировки и других мер по обслуживанию объекта);
• накопление и обработка статистических данных о влиянии условий эксплуатации, конструкции и технологии производства на технические характеристики объекта.
В зависимости от назначения АСК и особенностей их построения, не все из перечисленных задач контроля должны ставиться и решаться в одинаковом объёме. В предлагаемой статье рассматриваются решения только первых двух задач.
В настоящее время существует большое число методов контроля и диагностики динамических объектов, границы использования которых зависят от
объема априори известной информации, например, от конструктивных особенностей реального объекта (наличие необходимого количества точек доступа). Однако, в сложных динамических объектах измерение всех координат вектора состояния не всегда представляется возможным. Поэтому разработка методов и алгоритмов для разрешения проблемы контроля и диагностики динамических объектов при отсутствии необходимых "точек доступа" является актуальной задачей.
В этой связи рассматриваемая задача разбивается на две подзадачи: задачу восстановления неизмеряемых координат вектора состояния и традиционную задачу диагностики по известным или восстанавливаемым входам и выходам функциональных элементов.
Предполагается, что математическая модель линейной динамической системы, состоящей из двух последовательно соединенных функциональных элементов, задана и имеет вид:
Т1У1 + Ух = Т2У2 + У2 = к2уг '
Структурная схема системы приведена на рисунке. 1. При этом измерению доступен только выход функционального элемента II, т.е. координата у2 , а ко о рд и н ат а у±вектора состояния является неизмеряемой. На рисунке точка M является недоступной для контроля.
х(0 I Ух(0 II у2оо ИИС В осстановление у КО
м УхСО
у2( 0
Рис. 1. Структурная схема функциональных элементов, соединенных
последовательно
Исходная математическая модель линейной динамической системы в векторно-матричной форме записи задается следующим образом:
у = Ау + Вх, у{1 = 0) = у(0), (1)
где
(-Т
А — I к2г 1 I - матрица размером (2x2), характеризующая динамические
V т2 т2/
свойства модели объекта;
УТ — (У1,У2) - вектор состояния;
ВТ — (р, 0 ^ - вектор коэффициентов усиления;
- входное воздействие;
71 и 72 - постоянные времени функциональных элементов I и II соответственно;
к 1 и к2 - коэффициенты усиления функциональных элементов I и II соответственно.
Математическая модель, связывающая результаты измерений и вектор состояния:
г (0 — сТу ( 0 , сТ — ( 0, 1 ) .
В работе рассматривается так же линейная динамическая система, состоящая из тех же двух функциональных элементов, но соединенных по принципу обратной связи. Ее математическая модель задана следующим образом
{ТгУг + Уг = \т2У2 +У2 = к2Уг;
где , тогда
(Т1У1 +У1 = к1(рс-у2), I Т2у2 + у2 = к2у^
Структурная схема системы представлена на рисунке 2. Координата у1
вектора состояния измеряется, а координата не доступна для измерения.
Рис. 2. Структурная схема функциональных элементов, соединенных по принципу
обратной связи В векторно-матричной форме записи имеет вид
у = Ау + Вх, у(Х = 0) = у(0), (2)
где
/с
1
Л = I к' 1 ^ I - матрица, характеризующая динамические свойства
т.
2/
модели объекта;
УТ = (У1»У2) - вектор состояния;
ВТ = 0 ^ - вектор коэффициентов усиления;
- входное воздействие;
71 и 72 - постоянные времени функциональных элементов I и II соответственно;
к 1 и к2 - коэффициенты усиления функциональных элементов I и II соответственно.
Математическая модель, связывающая результаты измерений и вектор состояния:
г (0 — сТу ( 0 , сТ — ( 1 , 0 ) .
Решение первой подзадачи возможно, при выполнении условий наблюдаемости пары (А, с). Условие наблюдаемости Калмана заключается в том, чтобы ранг матрицы наблюдаемости 5 равнялся размеру вектора состояния
гапкБ = п,
где
5 — (сТ • АТсТ : ...: (АТ) 1 ~""^с7^) - матрица наблюдаемости Калмана;
I - степень минимального полинома матрицы А. [19]
Для исследуемых линейных динамических систем условие наблюдаемости выполняется, и неизмеряемые координаты векторов состояний могут быть восстановлены.
Предполагается, что параметры моделей (1) и (2) изменяют свои значения в случайные моменты времени. В этих условиях необходимо сформировать алгоритмы обработки результатов измерений локализующие моменты времени возникновения этих изменений и фиксирующие изменившиеся параметры.
Решение задачи контроля и диагностики линейных динамических систем
Поскольку условие наблюдаемости выполняется, то очевидно можно сконструировать алгоритм, восстанавливающий неизмеряемые координаты вектора состояния, а потому предполагаются известными все координаты векторов состояний моделей (1) и (2).
В этой связи в работе основное внимание уделяется решению задачи определения моментов времени изменения значений параметров математических моделей динамических объектов.
Ясно, что изменение значений их параметров приводит к изменению спектра измеренных или восстановленных процессов. Появление новой спектральной составляющей будет сигнализировать о изменении параметров моделей. Такое изменение спектра отражается в разложении Фурье по системе базисных тригонометрических функций, которое, однако, не дает представления о моменте изменения значения параметра, поскольку оно обладает хорошей локализацией по частоте, но не обладает хорошей локализацией моментов наступления этих изменений. [1]
В качестве иллюстрации рассмотрим эти особенности преобразования на следующем примере. Пусть исходный сигнал задается функцией:
у ( :) — 5 т (&> + с о 5 (&> 2:) + с о 5 (&> з:) ■ и( : — ¿¿) ,
где
а)1 = 0.37, а)2 = 0.57, а)3 = 1.26;
1 (> г,
До момента времени ti = 150 с. составляющая с о 5 ( оз*:) отсутствовала, а после этого момента стала отличной от нуля. Фурье-спектр имеет три явных максимума, но не позволяет определить, в какой момент появляется третья частота (рисунок 3). [11] В то время, как вейвлет-преобразование локализует этот момент ti = 150 с. (рисунок 4). [6, 7, 8]
20
к .....—^
Рис. 3. Результаты преобразования Фурье для исходного сигнала
10 5
И), 0
- 5
10
1 50 л У1 г 1 Ч л /"1 гг '1 г л -/"I 1~Г п г
1
"" "и ЛУ 1-Г У-Г^ 1—/и 11 *Т_Г\_Г 1г [ г Г г 1г
и 1 ] и и и ] 11 и и и 1 и и и
0
Рис. 4. Результаты вейвлет-преобразования для исходного сигнала Это свойство вейвлетов будет использовано при анализе функций параметрической чувствительности, которые удовлетворяют системам линейных дифференциальных уравнений чувствительности, непрерывно зависящих от параметров математических моделей объектов, а их вейвлет-преобразования будут локализовать моменты изменения свойств динамических объектов.
Для решения первых двух задач контроля и диагностики линейных динамических объектов предлагается сформировать алгоритмы функционирования АСК, структурная схема ее фрагмента представлена на рисунке 5.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
V
Рис. 5. Структурная схема фрагмента АСК, 1 - входно е возмуще ни е, 2 - результаты измерения одной координаты вектора состояния динамического объекта, 3 - восстановленная неизмеряемая другая координата вектора состояния динамического объекта.
Необходимые для решения поставленной задачи функции параметрической чувствительности, например, для модели (1) удовлетворяют системе уравнений параметрической чувствительности [18] пополненной уравнениями математической
модели динамического объекта (1):
. _ 1 1 # кг
иТ11 — +^г~2>'1* 2Х(0'
7Ю 1 10 У10
• _ 1 1
— — ик11 х(0' 110 110
. _ ^20 1 ^20 иТ22 ~ ^ иТ22 12 ~ гЗ7! + ™ 2 ^2'
120 120 120 120
. _^20 1 1 , и/с22 _ ™ и/с12 ^~ик22 У1 >
120 120 120
1
иТ12 —
и/с12 —
'иТ12>
!10 1
10
= 0) = = 0) = иТ22(Х = 0) =
ик 22 О = 0) = иТ120 = 0) = ик12(Х = 0) = О,
где
- вход системы,
- восстановленная и измеренная координаты системы соответственно,
иТ11
9У1 _ _ ду2 _ ду2
" дГ1'ит22~~д^'ик22 ~ дГ2'ит12
ду± .. _ ЭУх дТ2 ' ^12 ~ дк2
соответствующие функции параметрической чувствительности,
оД 1 0'^2 оД 2 о - номинальные (расчетные) величины значений соответствующих параметров.
Системы уравнений параметрической чувствительности, для модели (2) не
приводятся.
Результаты исследования
При математическом моделировании решения задачи контроля и диагностики динамической системы, состоящей из двух последовательно соединенных функциональных элементов номинальные (расчетные) значения параметров
задавались следующим образом , которые до моментов
времени t1 = 1 с., t2 = 2 с., t3 = 3 с. и t4 = 4с сохраняли свои значения и изменяли их соответственно только в указанные моменты до значений
соответственно. Входное воздействие задавалось функцией единичного скачка.
Математическое моделирование процесса решение задачи проводилось в системе МаШсаё, которая имеет две встроенных функции для расчета вейвлет-преобразования на основе вейвлетообразующей функции Добеши (ВаиЬесЫеБ). [12, 16]
Количество элементов вектора значений у в случае вейвлет-преобразования, аналогично преобразованию Фурье, должно равняться 2П (где п - целое положительное число больше 2). [11]
На рисунках 6 и 7 представлены результаты вейвлет-преобразований разности функций параметрической чувствительности по параметрам Т1 и Т2, вычисленных при номинальных и измененных параметрах объекта.
Анализ графиков вейвлет-преобразований, представленных на рисунках 6 и 7, позволяет сделать вывод о том, что в моменты времени t1 = 1 с. и t2 = 2 с. изменились значения параметров либо Т1, либо к1 функционального элемента I, а в момент времени t4 = 4 с. - параметра к2 функционального элемента II.
Ы7)),
К 3 4 1
-
0.5
(Ск12<П,
- 0.5
а)
¡1-ДП
20
(Ск21<7))1Г
20
40
- 601"
2 4 , 1
20
20
40
(Ск22( 7))п
- 60
б) ¡1-^1 Рис. 6. Результат применения вейвлет-преобразования к разностям функций
чувствительности для параметров к и к2: а) элемента I; б) элемента II
40
20
(СХ11( 7)).
20 40
4
1
1
0.5 0
0.5 1
(СХ12( 7)).
а)
¡1- ш
(СТ22<7)).1
12
/
1 1
(СТ21( 7)).
б)
¡1- Д11
Рис. 7. Результат применения вейвлет-преобразования к разностям функций чувствительности для параметров Т1 и Т2: а) элемента I; б) элемента II Моделирование решения задачи контроля и диагностики динамической системы, состоящей из двух функциональных элементов, соединенных по принципу
2
0
1
0
2
4
0
0
2
4
0
2
4
4
2
0
2
4
0
2
4
обратной связи осуществлялось так же в начальный момент времени при значениях параметров 7\ 0 = 72 0 = 1 , к± 0 = к2 0 = 1 • Параметры функциональных элементов I и II последовательно изменяются в моменты времени = 1 с., = 2 с., 13 = 3 с. и = 4 с. и принимают следующие значения 7Х = 1 5 , к± = 3 , 72 = 6 , к2 = 5 соответственно. Входное воздействие задавалось так же функцией единичного скачка.
0.05
(ок11<7>)11
0.05
- 0.1
а)
0.1
1 1 1
0 2 11 ■ ДП 4
0.02
(етЧ,
0.1
0.2
4 • 1 1
0.02
0.06
0.01
( Ск12<7>)й
0.01'
0.02
0.03
(Ск22( 7>)п
б)
¡1-ДИ
Рис. 8. Результат применения вейвлет-преобразования к разностям функций чувствительности для параметров к1 и к2: а) элемента I; б) элемента II Результат применения вейвлет-преобразования к полученной разности приведен на рисунках 8 и 9.
0
0
- 0.04
0
0
0
2
4
( CT11< 7>)n
0.1 0.08 0.06 0.04
0
а)
( CT21( 7>)ü
0.02 0
- 0.02
0.2 0.15 0.1 0.05 0
- 0.05' 0
1
1
0.01
( CT12<7>)..
i1At1
- 0.01 - 0.02
0.08 0.06 0.04 0.02 0
0.02
( CT22< 7>).
б)
i1- At1
Рис. 9. Результат применения вейвлет-преобразования к разностям функций чувствительности для параметров Ti и T2: а), г) - элемента I; б), в) - элемента II Анализ графиков вейвлет-преобразований, представленных на рисунках 8 и 9, позволяет сделать вывод о том, что в моменты времени ti = 1 с., t2 = 2 с. изменились значения параметров либо Ti, либо ki функционального элемента I, а в момент времени t4 = 4 с. - параметра к2 функционального элемента II.
0
2
4
2
4
Заключение
В работе предложен один из возможных подходов к решению задачи контроля и диагностики линейных динамических объектов при дефиците точек доступа. Эта задача решалась в предположении о выполнении условия наблюдаемости Калмана, которое позволяет обойти ограничения связанные с дефицитом точек доступа.
Измеренные и восстановленные координаты вектора состояния математической модели динамической системы использовались для формирования функций параметрической чувствительности локализующих функциональные элементы, в которых изменились значения их параметров. При решении же задачи локализации моментов времени наступления этих событий использовались результаты теории рядов Фурье, в которых в качестве набора базисных функций были выбраны вейвлеты.
Результаты математического моделирования решения поставленной задачи для простейших фрагментов линейных динамических систем подтвердили работоспособность предложенного подхода.
Библиографический список
1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. Т. 166. № 11. С. 1145 - 1170.
2. Безмен Г.В., Колесов Н.В. Функциональное диагностирование линейных динамических систем с использованием нечеткого анализа // Информационно-управляющие системы. 2009. № 5. С. 67 - 73.
3. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. - М.: Техносфера, 2004. - 273 с.
4. Бобышев В.В., Чье Ен Ун, Шалобанов С.В. Диагностирование цифровых систем методами теории чувствительности // Техническая диагностика. 2001. № 2. С. 78 - 82.
5. Бушуева М.Е., Беляков В.В. Диагностика сложных технических систем // Труды 1-го совещания по проекту НАТО SfP-973799 Semiconductors, Нижний Новгород, 2001. С. 63 - 98.
6. Вадутов О.С. Математические основы обработки сигналов. - Томск: Томский политехнический университет, 2014. - 100 с.
7. Варнавский А.Н. Макетирование манипулятора с биоэлектрическим управлением // Автоматизация в промышленности. 2016. № 10. С. 61 - 64.
8. Рахманкулов В.З., Ахрем А.А., Герасимов В.В., Лебедев В.В. Вейвлет-анализ изображений промышленных деталей // Труды ИСА РАН. 2007. Т. 29. С. 289 - 301.
9. Воронин В.В., Шалобанов С.В., Шалобанов С.С. Диагностирование непрерывных динамических систем с использованием параметрических функций чувствительности // Научный вестник НГТУ. 2016. Т. 63. № 2. С. 24 - 34.
10. Воскобойников Ю.Е., Гочаков А.В., Колкер А.Б. Фильтрации сигналов и изображений: Фурье и Вейвлет алгоритмы (с примерами в Mathcad). - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2010. - 188 с.
11. Гурский Д. А., Турбин Е. С. Вычисления в Mathcad 12. - СПб.: Питер, 2006. -544 с.
12. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике.- М.: СОЛОН-Пресс, 2010. -400 с.
13. Закиров Р.Г. Прогнозирование технического состояния бортового радиоэлектронного оборудования // Труды МАИ. 2016. № 85. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=67515
14. Захарова Т.В., Шестаков О.В. Вейвлет-анализ и его приложения. - М.: Инфра-М, 2012. - 157 с.
15. Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем. - СПб.: МГУ, 1998. - 256 с.
16. Пупков К.А., Егупов Н.Д. Нестационарные системы автоматического управления. Анализ, синтез, оптимизация. - М: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - 631 с.
17. Пархоменко П.П. Основы технической диагностики. Модели объектов, методы и алгоритмы диагноза. - М.: Энергия, 1976. Кн. I. - 464 с.
18. Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. - М: Наука, 1981. - 464 с.
19. Шаронов А.В. Методы и алгоритмы обработки результатов экспериментальных исследований. - М.: Изд-во МАИ, 2004. - 243 с.
20. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования. - Новосибирск: НГТУ, 2003. - 104 с.
