CC BY
15
УДК 539.3, 534.1
В.А. Крысько, М.В. Жигалов, Э.С. Кузнецова, В.В. Солдатов
ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ ЗАМКНУТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Рассматриваются колебания замкнутых цилиндрических оболочек. Для сведения эволюционных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений применяется метод Бубнова -Галеркина в высших приближениях. Изучается динамическая потеря устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек при действии радиальной знакопеременной нагрузки. Для изучения сложных колебаний и явления динамической потери устойчивости впервые применяется вейвлет-анализ.
Хаос, замкнутые цилиндрические оболочки, вейвлет-анализ, нелинейная динамика, динамическая потеря устойчивости.
V.A. Krysko, M.V. Zhigalov, E.S. Kuznetsova, V.V. Soldatov CLOSED CYLINDRICAL SHELLS VIBRATIONS WAVELET ANALYSIS
The authors research vibrations of closed cylindrical shells in this article. They use Bubnov - Galerkin method with high order of approximation to reduce partial differential equations of motion to the system of ordinary differential equations. Dynamical loss of stability of closed cylindrical shells under radial load is studied. Wavelet analysis is used to investigate complex vibrations and dynamical loss of stability of closed cylindrical shells.
Chaos, closed cylindrical shells, wavelet analysis, nonlinear dynamics, dynamic loss of stability.
Введение
Изучению устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек уделяется внимание на протяжении многих десятилетий. Был предложен ряд динамических критериев потери устойчивости: A.C. Shian, T.T. Soong, D.S. Roth [1], B. Budiansky and D.S. Roth [2], Б.Я. Кантором [3], V.A. Krysko and A.V. Krysko [4]. Проблеме собственных и вынужденных нелинейных колебаний замкнутой круговой цилиндрической оболочки посвящена серия работ, начатых H.N. Chu [5], J.L. Novinski [6], D A. Evensen [7], M.Amabili, F. Pellicano, M.P. Paidoussis [8], V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, E.S.Kusnetsova, A.V. Krysko [9,10].
В задачах о динамическом нагружении наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе - перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению. Подобное явление особенно характерно для оболочек и носит название хлопка
или прощелкивания. Хлопок оболочки сопровождается, как правило, значительными перемещениями.
В рамках направления, к которому относятся перечисленные работы, установлены важные особенности задач нелинейного динамического выпучивания цилиндрических оболочек: характерный вид зависимости прогиба от времени, влияние на прогиб оболочки скорости нагружения, амплитуды начальных несовершенств, соотношения между геометрическими параметрами оболочки. Нагрузка, приводящая к динамической потере устойчивости, определялась обычно из условия начала резкого возрастания временного коэффициента у пространственной гармоники, которая, согласно расчетам, обладает наибольшим темпом роста, либо по условию достижения этим временным коэффициентом заданной предельной величины.
В данной работе исследуется динамический критерий потери устойчивости, применяются следующие характеристики: график зависимости итах(д0), сигнал и(*); вейвлет Морле на плоскости и в пространстве, фазовый портрет.
Постановка задачи
Рассмотрим замкнутую цилиндрическую оболочку кругового сечения конечной длины с постоянной жесткостью и плотностью при действии неравномерного знакопеременного внешнего давления, находящуюся в температурном поле (рис. 1). Введем систему координат: ось х направлена по продольной координате, ось у -по окружной координате, ось г - по нормали к срединной поверхности.
Цилиндрическая оболочка как
трехмерная область определяется как
0 = {х,у, г | (х, у) е [0;Ь] х [0;2л],-к < г < к} .
Систему уравнений динамики оболочки запишем в безразмерном виде [9, 10]:
Рис. 1. Расчетная схема
1
12(1 -V2) д 2 Г
,2 д 4и
дх
+ 2-
д 4и 2 д 4и
дх2ду2
ду
4
- Ь(и, Г)
- к
у дх2
X-2 ^ + 2
д2 и ди , 2 , . _ — + куЧ( х y, *) = 0
да2
д4 Г
д2 и
дх
4
12 д 4Г 1Т. . , 2 2 +Х —т +—Ц(и, и) + ку _ дх2ду2 ду4 ^ у дх2
= 0
(1)
Уравнения (1) приведены к безразмерному виду с использованием следующих безраз-
- чз- КЬ - -
мерных параметров: и = 2ки, Г = Е0(2к) Г , * =
2к^
Х = Ь / К; х = Ьх, у = Ку ;
к к 2к
ку=куК
У = д Е (2к) , где Ь и К = Яу - длина и радиус оболочки. Здесь * - время; в - ко-
Ь2 К
эффициент сопротивления среды, в которой происходит движение оболочки; Г - функция усилий; и - функция прогиба; к - толщина оболочки; V - коэффициент Пуассона; g - ускорение свободного падения; Е0 - модуль упругости; ку - кривизна оболочки по у,
т/ „ д2и д2Г д2и д2Г 0д2и д2Г,
Ь(и, Г) = —т—т + —т—т - 2--Л,
дх ду ду дх дхду дхду
Ь(и, и) = 2
д2 и д2 и
' д2и V
дх ду I дхду
- нелинейные
операторы. Для краткости черточка над безразмерными величинами в уравнении (1) опущена.
Рассмотрен один тип краевых условий - шарнирное опирание по торцам с присутствием на торцах гибких ребер:
— = Мх = Ых = 8у = 0 при х = 0;1, у = 0;2л (2) и нулевые начальные условия:
—(х, У) 1=о = 0, —=о = 0. (3)
Краевую задачу по пространственным координатам решаем методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях. В данной работе функции — и ¥, являющиеся решениями, приближенно аппроксимируемыми аналитическим выражением, содержащим конечное число произвольных параметров, представляются в виде произведения функций, зависящих от времени и от координат.
N N N N
— = ЕЕА (<)ф, (х, у), ^ = 11В ()ъ (х, у), (4)
1=0 1=0 1=0 1=0
где фгу (х, у) и (х, у) - некоторые заданные функции х, у.
После применения процедуры Бубнова - Галеркина к системе (1) получена система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций Ац (^) и Вц (^) , записанная в матричной форме:
О (АА + еА) + 8А + С1В + Б1АВ = ),
С2 А + РВ + Б2 АА = 0, 5)
где О = \руы\\ , 8 =|Р^нЦ , С1 = \\С1уы\\ , С2 = \С2цк\ , = Ц , °2 = ||Ау™и||, Р = |\Рцк\ - квадратные матрицы размерностью 2 • Ы1 • Ы2 х 2 • Ы1 • N2, А = 11Агу ||, В = ||Вгу ||, О = || - матрицы
размерностью 2 • N1 • N2 х 1.
Далее второе уравнение системы (5) разрешается относительно матрицы В и решается методом обратной матрицы на каждом шаге по времени (6):
В = [- р-1Д а - РС А. (6)
Умножая на О-1 первое уравнение системы (5) и обозначая А = Я, придем к задаче Коши для нелинейной системы уравнений первого порядка (7):
Я = -8Я + О-1Б1 АВ - О-18А + (7)
А = Я
Проведенное преобразование возможно, т.к. обратные матрицы О 1 и Р 1 существуют, если координатные функции линейно независимы.
К уравнениям (7) присоединяем краевые и начальные условия, полученную задачу Коши решаем методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности. Шаг по времени выбирается по правилу Рунге.
Удовлетворяя условиям шарнирного опирания (2), фгу, ^ из (4) представим в виде
произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента
N1 N2
— = Е ЕА ^) 8т(/лх) ео8(уу),
'=1 '=0 (8)
N1 N2 4 '
р = Е ЕВу ^ )$т(1ш)со$,(]у).
1=1 1 = 0
Численные результаты
Рассматривается характер колебаний оболочки с параметрами ку = 112,5 при X = 2, в = 9, под действием поперечной нагрузки ) = д0 зт(ю *), приложенной ко всей поверхности цилиндрической оболочки, 0 < х < 1, ю = 2,3, количество членов ряда в разложении искомых функций (8) Ы1 = 1, Ы2 = 9. Дальнейшее увеличение членов ряда в (8) не приводило к существенным изменениям решения.
Качественные исследования будем проводить на основании анализа следующих характеристик: сигнала и(0,5;0;*) , вейвлета на плоскости и в пространстве, фазового портрета, сечения Пуанкаре, спектра мощности на базе преобразования Фурье, ляпунов-ских показателей, анализа автокорреляционной функции. Основное внимание здесь будет уделено исследованию динамической потери устойчивости. Будут приведены только сигналы, фазовые портреты, спектры мощности и вейвлет-спектры.
Для построения зависимости итах(д0) для каждого элемента д0 из диапазона д0 е [0;0,4975] определялся максимальный прогиб в точке (0,5; 0). Данные
результаты приведены на рис. 2. Здесь мы наблюдаем динамическую потерю устойчивости, когда небольшое изменение д0 приводит к резкому росту прогиба. Точка перегиба этого графика дает нам возможность определить .
Исследуем характер колебаний в докритическом состоянии (д0 < 0,225, рис. 3-6).
0.1
0.2
0.3
0.4
Рис. 2. Зависимость №тах(д0)
w_2.300_0.22500_T_10_100_120_
1
1нш
w__2.300_0.22500_T_10__100_310_
Рис. 3. №(0,5; 0; О
Рис. 4. 2й вейвлет Морле
Рис. 5. 3й вейвлет Морле
Рис. 6. Зависимость №(0,5; 0; Г), и (0,5;0; *)
Анализ этих колебаний показывает, что они являются многочастотными, причем их частотный состав практически не изменяется во времени. На это указывают как неизменные по времени максимумы на вейвлет-спектре (рис. 4, 5), так и стабильность фазового портрета (рис. 6).
Рассмотрим характер колебаний в зоне потери устойчивости оболочки (0,225 < д0 < 0,3225, рис. 7-10).
ы 2.300 0.32250 Т 10 100 120
\«__2.300_0.32250_Т_10_10_310_
и* 0 -100 -200 -300,
50
аы
105 110 115 120
1
0
100
20
0
10
Рис. 7. Зависимость Рис. В. 2D вейвлет Рис. 9. 3D вейвлет Рис. 1Q. Зависимость w(0,5; G; t) Морле Морле w(Q,5; Q; t), w(0,5;0;t)
Здесь четко виден изменяющийся во времени характер колебаний (см. вейвлет-спектр на рис. 7, 8), кроме того, присутствуют элементы хаотизации, на что указывает и фазовый портрет (рис. 10).
Выводы
Анализ колебаний замкнутых цилиндрических оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки с помощью вейвлет-анализа позволяет установить переходные процессы в системе, определить характер колебаний системы, выявить моменты времени, когда происходит динамическая потеря устойчивости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Shian A.C. Dynamic Buckling of conical shells with Imperfection / A.C. Shian, T.T. Soong, D.S. Roth // AIAA Journal. 1974. Vol. 12. № 6. P. 24-30.
2. Budiansky B. Axissimmetric Dynamic Buckling of Clamped Shallow Spherical Shells / B. Budiansky, D.S. Roth // Collected papers on instability of Shell structures NASA TN D-1510. 1962. P. 597-606.
3. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории пологих оболочек / Б.Я. Кантор. Киев: Нау-кова думка, 1971. 136 с.
4. Крысько В. А. Проблемы бифуркаций и жесткой потери устойчивости в нелинейной теории пластин / В.А. Крысько, А.В. Крысько // Механика оболочек и пластин в XXI веке. Саратов: СГТУ, 1999. С. 50-67.
5. Chu H.N. Influence of large amplitude on flexural vibrations of thin cylindrical shell / H.N. Chu // J. Aerospace Sci. 1961. Vol. 28. № 8. P. 602-609.
6. Novinski J.L. Nonlinear transverse vibrations of orthotropic cylindrical shells / J.L. Novinski // AIAA J. 1963. Vol. 1. № 3. P. 617-620.
7. Evensen D.A. Some observations on the nonlinear vibrations of thin cylindrical shells / D A. Evensen // AIAA J. 1963. Vol. 1. № 12. P. 2857-2858.
8. Amabili M. Non-linear vibration of simply supported circular cylindrical shells coupled to quiescent fluid / M. Amabili, F. Pellicano, M.P. Paidoussis // Journal of Fluids and Structures. 1998. № 12. P. 883-918.
9. Chaotic vibrations of closed cylindrical shells in a temperature field / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, E.S. Kusnetsova, A.V. Krysko // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2008. № 18(5). P. 1515-1529.
10. Chaotic vibrations of closed cylindrical shells in a temperature field / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, E.S. Kusnetsova, A.V. Krysko // International Journal Shock and Vibration. 2008. № 15. С. 335-343.
Крысько Вадим Анатольевич -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета
Krysko Vadim Anatolyevich -
Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of «Mathematics and Modeling» of Saratov State Technical University
Жигалов Максим Викторович - Zhigalov Maksim Viktorovich -
кандидат технических наук, доцент кафедры Candidate of Technical Sciences, «Математика и моделирование» Assistant Professor of the Department
Саратовского государственного технического университета
of «Mathematics and Modeling» of Saratov State Technical University
Кузнецова Элла Сергеевна -
кандидат физико-математических наук, д кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета
Солдатов Владислав Викторович -
аспирант кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета
Kuznetsova Ella Sergeyevna -
Candidate of Sciences in Physics & Mathematics, Assistant Professor of the Department of «Mathematics and Modeling» of Saratov State Technical University
Soldatov Vladislav Viktorovich -
Post-graduate Student of the Department of «Mathematics and Modeling» of Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 10.07.09, принята к опубликованию 09.09.09
