CC BY
214
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ДВУМЕРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
АО. КОНОПЛЕВ, асп. физического факультета МГПУ
В научно-исследовательской деятельности для анализа экспериментальных данных используются классические методы обработки: статистические методы, Фурье-анализ, корелляционный анализ и другие. В настоящее время все большую популярность в научной среде приобретает вейвлет-анализ (от англ. wavelet - «маленькая волна»). Он широко применяется в различных областях: распознавание образов, обработка сигналов, анализ изображений, упаковка больших объемов информации и т.п. [1]
Вейвлет-анализ часто сравнивают с Фу-рье-анализом. Оба метода позволяют определять частотные характеристики сигнала. Преимуществом вейвлет-анализа является то, что он позволяет определять, в какой момент времени в сигнале присутствует та или иная частота. Таким образом, вейвлет-анализ позволяет изучать сигнал в координатном времени и в частотном пространстве [1].
Вейвлет-анализ применяется в основном для исследования одномерных сигналов: временных рядов, спектров. Большой интерес представляет его использование для анализа двумерных данных.
В настоящей работе применяется вейвлет-анализ для обработки дискретных двумерных изображений. Создана методика обработки двумерных изображений, реализованная в компьютерной программе. Эта методика позволяет обнаруживать неоднородности на изображении, определять их положение. Основным достижением является возможность оценки размера неоднородностей.
В разделе 1 даны общие определения вейвлет-анализа, рассмотрен пример исследования одномерного сигнала.
В разделе 2 описан вейвлет-анализ двумерной функции.
В разделе 3 двумерный вейвлет-анализ рассмотрен на модельных примерах.
1. Определение вейвлет-анализа
Вейвлет-анализ состоит из двух этапов:
I. Вейвлет-преобразование.
II. Анализ результатов вейвлет-преобразования.
Разделение на два этапа происходит, во-первых, потому что вейвлет-преобразование час-
то применяется без дальнейшего анализа результатов (сжатие изображений, видеоинформации и т.д.). Во-вторых, на первом этапе выполняются основные математические вычисления. Они довольно продолжительны по времени и выполняются автоматически, без участия человека. В-третьих, результаты, полученные на первом этапе, можно анализировать различными способами.
Вейвлет-преобразование
Под вейвлет-преобразованием функции fx) е L2(R) (дважды дифференцируемой на множестве действительных чисел) понимается скалярное произведение этой функции и базисных функций вида
Vаj, (x) = a 2 Ух—~j . (1)
Здесь a и b - параметры, причем a принимает положительные действительные значения, b - любые действительные значения. Иными словами, вейвлет-преобразование - это разложение функции fx) по всем возможным сдвигам и сжатиям некоторой функции v(x). Функцию v(x) называют порождающим вейвлетом, материнской вейвлет-функцией или вейвлетом. Порождающий вейвлет v(x) выбирается исследователем произвольно, исходя из цели исследования [2].
Примером порождающего вейвлета является «Мексиканская шляпа» (Mexican hat, MEXIHAT)
- вторая производная от гауссианы [3]
2
X
V(x) = (x2 - 1) e 2 (2)
Это один из простейших и наиболее часто используемых вейвлетов. Ее вид приведен на рис. 1.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
77
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Рис. 2. Формирование множества базисных функций. На графике 1 изображен вейвлет (MEXIHAT). На графиках 2, 3 показаны сжатие и растяжение вейвлета. На графиках 4, 5 приведены различные сдвиги вейвлета, подвергшегося растяжению
При различных значениях а и b вейвлет (1) формирует (порождает) множество базисных функций, показанных на рис. 2.
Целью вейвлет-преобразования является вычисление функции двух переменных: i ^ ( X Ь I
W(a,b) = а 2 | f (x)yl----Idx . (3)
В случае, когда параметры а и b изменяются непрерывно, вейвлет-преобразование называют непрерывным (непрерывное вейвлет-преобразование, НВП) [2].
Получить функцию W(a, b) в аналитическом виде можно только в том случае, если удается взять интеграл в формуле (3). При вейвлет-анализе экспериментальных данных функция fх) представлена конечным набором чисел. Аналитический вид функции у(х) выбирается из соображений удобства (например, MEXIHAT).
Чаще всего экспериментальные данные представляют собой конечное дискретное однородное множество чисел. В этом случае интегрирование в (3) заменяется суммированием
W(ab) = а 2 £ f (xk)y
xk -b
k = 1... p . (4)
30
а
k=1
Преобразование (4) называется непрерывным вейвлет-преобразованием дискретных данных, так как функция W является непрерывной функцией своих аргументов а и b. Чаще всего выбирают конечный дискретный набор значений этих параметров a e (a1, a2 ... an); b e (b1, b2 ... bj.
Тогда формула (4) принимает вид -1 , 4 ( xk - b I
Wj = aГ-£f(x,)v
k=1
k = 1 ... p, i = 1 ... n, j = 1 ... m. (5)
Такое вейвлет-преобразование называют дискретным вейвлет-преобразованием дискретных данных.
Результатом дискретного вейвлет-преобразования (5) является двумерный массив W, который удобно представить графически.
На рис. 3 приведен график f(xk) суммы двух синусоид (график 1). Синусоида с периодом 20п определена на всем диапазоне x, e (0; 160), а синусоида с периодом 2п - только на x, e (0; 100).
На рис 3. показано графическое представление функции двух переменных W. (изображение 2) - результат вейвлет-преобразования.
78
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
f ixk)
-1
-0
—1
-10
15
•16'
-20
■25
ьза.
0
20
40
60
г-
80
100 “I—
Т2 = 6 и 2ж
Сигнал с меньшим периодом существует только | на этом интервале.
20
40
Т = 63 « 20^ _L
60
80
_1_
100
_L
120
т
_L
120
xk = k
_1_
140
T
140
Рис. 3. Функцияfx ) (график 1) и результат ее вейвлет-преобразования W. при помощи вейвлета MIXAHAT (изображение 2)
1
0
2
а. = i
Анализ результатов вейвлет-преобразования
Изображение 2 на рис. 3 состоит из двух частей. Первая (занимающая большую часть изображения) - полоса чередующихся больших двух светлых и трех темных пятен. Середина светлого пятна соответствует локальному максимуму функции W, середина темного пятна - локальному минимуму функции W.. Сравнивая график 1 и изображение 2 на рис. 3, можно увидеть, что локальные максимумы и минимумы W, соответствуют максимумам и минимумам функции f(xk). Расстояние между соседними светлыми пятнами примерно равно периоду функции f(xk). Эта часть изображения соответствует синусоиде с периодом 20п.
Вторя часть изображения (верхняя левая область изображения) состоит тоже из чередующихся светлых и темных пятен. Она соответствует синусоиде с периодом 2п.
Таким образом, можно сделать следующие выводы:
- вейвлет-анализ позволяет по отдельности исследовать сигналы, представленные в смешанной форме;
- можно определить интервалы, на которых существуют максимумы и минимумы сигналов;
- измерив расстояния между локальными максимумами (минимумами) по оси b, можно определить период сигнала, если сигнал периодический;
- измерив положение максимумов (минимумов) функции W, по оси а, можно оценить размер неоднородностей в сигнале. В приведенном примере размеры неоднородностей 2 и 16 единиц. Их соотношение примерно равно соотношению периодов соответствующих им сигналов
2 ^ Т2 ^ 20п
16 ~ Т ~ 200п .
2. Двумерное вейвлет-преобразование
Вейвлет-анализ можно применить для исследования функций двух переменных:
fx, y), (6)
В этом случае анализируемая функция и вейвлет будут функциями двух переменных
V(x, y), (7)
Va,b,c (У У )= а, 1 . (8)
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
79
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Рис. 4. Вейвлет MEXIHAT
Вейвлет MEXIHAT показан на рис. 4 [4].
v(x, У) = (2 - x2 - у2 )e 2 . (9)
Результатом вейвлет-преобразования в этом случае будет функция трех переменных
^ x - b у - c\
dxdy, (10) Л
W (a, b, c)= ad- J J f (x, у )y
V a a
W, j h = a-2 EE f (xk, Уi )v
-ад -ад
p q
( xk - bj У, - ch
V a.
V i
a
k=1 l=1
k = 1 ...p, l = 1 ... q, i = 1 ... n,
j = 1 ... m, h = 1 ... 5. (11)
Анализ результатов вейвлет-преобразования удобно производить, представив набор коэффициентов W графически. Это просто сделать при вейвлет-преобразовании функции одной переменной, так как массив W получается двумерным (рис. 3, изображение 2). Если производится вейвлет-преобразование функции двух переменных, массив W - трехмерный. В этом случае проводить анализ сложнее, так как невозможно представить графически трехмерный массив данных целиком.
Обычно поступают следующим образом.
1. Производят вейвлет-преобразование
при фиксированном значении параметра a (формулы (10), (11)). Результатом будет функция Wbc = W, | t. В случае вейвлета MEXIHAT (рис. 4)
этот метод применяется для поиска и определения положения неоднородностей заданного размера, пропорционального значению a.
2. Производят вейвлет-преобразование
при фиксированном значении параметров b и c (формулы (10), (11)). Результатом будет функция W = W. | В случае вейвлета MEXIHAT
a a,b,c b=const, c=const J
(рис. 4) этот метод применяется для оценки размеров неоднородностей, когда известно их положение. Размер пропорционален параметру a.
Примеры, иллюстрирующие применение этих двух методов, приведены ниже.
3. Примеры применения вейвлет-анализа модельных данных
Пример 1
Оценка размера
Внутри окружности радиуса r случайно распределены точки с координатами (xu, у) Радиус r задается произвольно. Поверхностная концентрация точек одинакова при любых r.
Каждая точка задается гауссианой
g(x, у) = e п .
То есть формируется функция, над которой можно будет провести вейвлет-преобразование
2 2 x + у
v
f (x, у )=E g (x - xu, у - уи )=
u =1
v (x-xu )2+(y- yu )2
= E e °2 . (12)
и =1
Рис. 5. Точки, равномерно распределенные внутри окружности радиуса r
Рис. 6. Анализируемая функция в дискретном виде fxk, yl)
80
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Таблица
Значения определенных из графика а для различных r. п = 1,41
r 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060 0,070
а. 0,007 0,014 0,022 0,028 0,036 0,042 0,051
п = r / а. 1,43 1,43 1,36 1,43 1,39 1,43 1,37
Изображение приводится к дискретному виду (рис. 6).
Производится вейвлет-преобразование для точки, находящейся в центре окружности. При этом изменяется только параметр а. в формуле (11). Результат такого преобразования приведен на рис. 7.
Значения afaax для других r приведены в таблице.
Из табл. 1 видно, что параметр а. при максимальном значении W пропорционален радиусу r окружности, внутри которой равномерно распределены точки. Отклонения отношения П = r / afaax от среднего значения п связаны с тем, что координаты точек внутри окружности задаются случайным образом.
Этот метод оценки размеров неоднородностей удобен, когда надо определить соотношения между размерами различных неоднородностей.
Пример 2
Поиск и определение положения неоднородностей
На рис. 8 на изображении 1 распределены точки. Каждая точка аналогично примеру 1 моделируется гауссианой. Распределение точек взято из каталога галактик 2dF RGS. На изображении приведен фрагмент каталога.
На рис. 8 на изображениях 2, 3, 4 графически изображены результаты вейвлет-преобразований W h при различных значениях параметра а На изображениях 2, 3, 4 светлые области соответствуют большим значениям функции W h, темные - меньшим. Положение локальных максимумов соответствует положению неоднородностей заданного размера в распределении точек. Масштаб искомых неоднородностей задается параметром а . а играет роль радиуса неоднородности. Здесь неоднородности - скопления точек. Более яркие локальные максимумы соответствуют большим отклонениям от однородности.
Значение функции W ,h имеет вероятностный смысл. Чем больше концентрация точек в окрестности (b, ch), тем больше значение W.. Чем больше W..h в конкретной точке, тем с большей вероятностью там находится неоднородность размера а.. Но при этом нельзя говорить, что в данной точке находится неоднородность размера а.. Истинный размер неоднородности определяется методом, описанным в примере 1.
На изображении 4 отчетливо выделяются 6 локальных максимумов: A, B, C, D, E, F. Для параметра а. = 40 можно сказать, что вероятность нахождения неоднородности этого размера в точке F больше, чем в других, а в точке D - меньше, чем в других. В точке D значение функции W..h - минимальное из всех локальных максимумов, в точке F - максимальное.
Этот метод определения положения неоднородностей удобно применять, когда приблизительно известно, какого размера неоднородности находятся на изображении. Далее методом, описанным в примере 1, можно уточнить размер неоднородностей.
Заключение
На модельных примерах показаны возможности применения вейвлет-анализа для обработки экспериментальных данных. Описанный метод позволяет выявить периодичность одномерного сигнала, определить период и время существования гармоники.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
81
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Рис. 8. Фрагмент каталога 2dF RGS (изображение 1) и результаты его вейвлет-преобразования (изображения 2, 3, 4) при различных значениях a.. а. измеряется в пикселях изображения
На двумерных изображениях метод позволяет обнаруживать неоднородности, определять их положения и размеры.
В дальнейшем предполагается применить описанный метод вейвлет-анализа к данным каталога галактик 2dF RGS с целью нахождения структур, которые образуют галактики, определения их положений и относительных размеров.
В заключение автор выражает благодарность научному руководителю И.К. Розгачевой за постановку задачи и обсуждение работы.
Библиографический список
1. Астафьева, Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н.М. Астафьева // Успехи физических наук.- М., 1996.
2. Грибунин, В.Г. Глоссарий по цифровой обработке сигналов. Предварительная версия / В.Г Грибунин. - СПб.: http://www. autex.spb.ru.
3. Введение в анализ данных с применением непрерывного вейвлет-преобразования / Перевод: В.Г. Грибунин СПб.: http://www.autex.spb.ru.
4. Slezak E., Bijaoui A., Mars G. Astron. & Astrophys. 1989, Vol. 227, P. 301.
5. Girardi M., Biviano A., Giuricin G., Mardirossian F., Mezzetti M. Astrophys. J. 1993, Vol. 404, P. 38.
6. Pisani A. Mon. Not. R. astr. Soc. 1993, Vol. 256, P. 706.
82
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
