Весовые пространства непрерывно дифференцируемых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.518

ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ1

© 2013 г. А.В. Абанин, И.Н. Боева1

Абанин Александр Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090; заведующий отделом математического анализа, Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: [email protected].

Боева Ирина Николаевна - аспирант, кафедра математического анализа, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: boevain @mail. ru.

Abanin Alexandr Vasilevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of the Mathematical Analysis Department, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090; Department of Mathematical Analysis, Southern Institute of Mathematics, Marcus St., 22, Vladikavkaz, Russia, 362027, e-mail: [email protected].

Boeva Irina Nicolaevna - Post-Graduate Student, Department of Mathematical Analysis, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: [email protected].

Исследуются весовые пространства n раз непрерывно дифференцируемых функций, приводятся их свойства и выделяется оптимальный класс ассоциированных весов. Изучается вопрос о том, при каких условиях эти весовые пространства являются банаховыми. Рассматривается вопрос о вложении этих пространств друг в друга. Для пространств, задаваемых каноническими весами, доказаны критерии вложения и совпадения пространств в терминах весов.

Ключевые слова: весовые пространства, ассоциированный вес, теоремы вложения.

We study weighted spaces of n-times differentiable functions and their properties. Optimal class of associated weights is described. We give some necessarily and sufficient conditions on a weight under which the corresponding weighted space is a Banach space. We consider the problem of embedding of one space of such a type into another. For spaces given by canonical weights we prove criteria of embedding and coincidence formulated in terms of weights.

Keywords: weighted spaces, associated weight, embedding theorems.

Весовые шкалы пространств непрерывно дифференцируемых функций широко используются в различных разделах современной математики и ее приложениях. Для эффективного изучения таких пространств и операторов в них требуется оптимальным образом выбрать необходимый для данной шкалы класс эталонных весов. Именно, нужно взять такой максимально узкий класс весов с регулярными свойствами (гладкость, выпуклость какого-либо типа и т.п.), чтобы с его помощью можно было определить любое из пространств шкалы. Во многих случаях априорные свойства весов позволяют детально изучить алгебраическую и топологическую природу пространств и тем самым решить исследуемую задачу в полном объеме. Следует отметить, что исследований, посвященных проблеме описания оптимальных весовых систем, практически не проводилось, хотя для многих конкретных пространств функций разрозненные результаты о построении системы весов, задающих пространства и обладающих нужными для решения данной задачи свойствами, имеются. На данный момент времени в той или иной степени изучены шкалы пространств непрерывных [1] и голоморфных [2, 3] функций. Насколько нам известно, изучение

весовых пространств гладких функций (п раз или бесконечное число раз дифференцируемых) с этой точки зрения не проводилось. Настоящая работа посвящена восполнению данного пробела.

Пространства и ассоциированные веса

В данном разделе дается определение весовых пространств п раз непрерывно дифференцируемых функций, приводятся их простейшие свойства и выделяется оптимальный класс ассоциированных весов.

Условимся использовать стандартные обозначения многомерного вещественного анализа. В частности,

для X = (хъ...хн) полагаем М := тах Ы . Далее

11 11 1<к<У 1

К5 (а):={х е ^ ы: ||х - а\\ < 5} и К5 (а):={х е : ||х - а\\ < 5}.

Всюду ниже О - открытое в множество. Через Сп(О) обозначаем пространство всех п раз непрерывно дифференцируемых в О функций с топологией равномерной сходимости функций и их производных до порядка п включительно на компактах из О. Напомним, что эта топология задается набором пред-

1Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (соглаше-ние14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них») и гранта ЮФУ «Весовые пространства бесконечно дифференцируемых и голоморфных функций. Общая теория и приложения».

норм

Ни, K

:= maxmax

|/(а)(х}|, где К компактно вло-

|а |<и хеК'

жено в О; /(а) - производная функции / соответствующая мультииндексу а; |а = |а^ + ...+ |а- его

длина. Символом Со (С) обозначаем пространство всех п раз непрерывно дифференцируемых функций / из Сп (С), имеющих компактные носители Бирр / содержащиеся в О.

Весом на О называется произвольная положительная на О функция. С каждым весом V свяжем нормированное пространство

,, /(а)(х)

CW(G) =

/ е Cn (G):

= max sup-

"W,n \a\<nxeG W(X)

< да

которое и будет основным объектом изучения в данной работе. Определяющую роль при этом играют хорошо известные «шапочки». Мы будем использовать бесконечно дифференцируемые в [N «шапочки» a, построенные по любым фиксированным

а е [N и S> 0 и обладающие свойствами:

П5,а (x) = 1 при ||x - а <8/2; 0 <^5а < 1 в [N;

а(x) = 0 при ||x - а > 8 . Через w* будем обозначать нижнюю регуляризацию веса w, которая определяется формулой

w*(x) := lim inf W(y), x е G, и является наиболь-5^+0|| .у - x| <5

шей полунепрерывной снизу на G функцией, не превосходящей w на G. Ясно, что w* (x) > 0 всюду на G.

Будем говорить, что пространство CW (G) не исчезает в точке x0 е G, если в CW (G) существует функция f такая, что /(а)(x0) Ф 0 при некотором а е Nn, |а| < n . Если CW(G) не исчезает в каждой точке некоторого подмножества D в G, то говорим, что CW (G) не исчезает на D.

Ясно, что пространство CW (G) нетривиально (т.е. содержит хотя бы одну функцию, отличную от тождественного нуля) тогда и только тогда, когда оно не исчезает хотя бы в одной точке множества G. Таким образом, вопрос нетривиальности пространства

CW (G) сводится к характеризации точек множества G, в которых оно не исчезает.

Справедлив следующий результат, доказательство которого элементарно, и мы его опускаем.

Предложение 1. Следующие условия эквивалентны:

i) пространство CW (G) не исчезает в точке

x0 е G;

ii) имеет место неравенство w*(x^) > 0 ;

iii) существует / е CW (G) с /(а)(x0) Ф 0 при всех

а е N 0) , |а|< n ;

1у) пространство С^ (С) не исчезает в некоторой окрестности точки х0 е С;

у) имеется такое 8 > 0, что любая «шапочка» а

с а е К8 (х0) принадлежит С^ (С).

Из предложения 1 немедленно вытекает такое следствие.

Следствие 1. Если пространство С^ (С) нетривиально, то оно бесконечномерно.

Доказательство. Пусть пространство С*П (С) нетривиально, т.е. оно не исчезает хотя бы в одной точке множества О. Будем считать, что оно не исчезает в точке хо е С. Тогда, согласно условию (у), имеется такое 8> 0, что любая «шапочка» ^8,а с

а е К8 (хо) принадлежит СW (С).

Зафиксируем произвольное т е и рассмотрим функции ,,...,Т1у,^ таKИе, что ак е к8(х0)

и шары ||х - Хк||№И <У не пересекаются и целиком

содержатся в К8(хо), к = 1, т. Легко видеть, что они линейно зависимы, откуда и следует требуемое.

Доказательство следующего утверждения основано на использовании свойства непрерывности.

Предложение 2. Для любого веса V на О верны утверждения:

1) множество Оу точек О, в которых С^ (С) исчезает, замкнуто в О;

2) множество Опу точек О, в которых С^ (С) не

исчезает, открыто в О и, более того, в

Из утверждения (2) предложения 2 следует, что

вместо С^П (С) можно ограничиться рассмотрением пространства СW (Опу), которое не исчезает ни в одной точке открытого в множества Опу. В связи с этим всюду в дальнейшем будем исследовать лишь те пространства С^ (С), которые не исчезают ни в одной точке множества О. Соответствующие веса V при этом будем называть полными на О. Отметим важное свойство полных весов, следующее из предложения 1 (см. свойство И) или у)).

Предложение 3. Всякий полный на О вес локально отграничен от нуля в О, т.е.

шТ w(х) > 0 для любого компакта KZО.

хеК

Следствие 2. Пусть V - полный вес. Тогда Со (С) с СП (О).

В самом деле, по предложению 3 тк := ^ w(x) > 0

хеК

для любого компакта К в О. Поэтому для произвольной функции / е С0П (С) с носителем в К имеем

1

-maxmax

" llW,n mK |а|<и xsK требуемое вложение.

/ (<X)(x)

< да, откуда следует

<

Будучи нормированным пространством, СП (О) определяется своим единичным шаром ВП (О). Поэтому естественно попытаться задать СП (О) с помощью ассоциированного веса

x) := maxsup | f(а) (x)

|а|<n V I

: f e ВП (G)

w(x) > j при x - x .■ <8 j (j e N).

у , := max max

xeRN |a|<n

< )8 j (x)

fm

= 8Ир 8Ир

m 1

s

< nxeGw( x) j =k+1 у

< )8 j (x)

= 8Ир 8Ир

1 1

< !8.,( x)

1

k+1

Перечислим свойства ассоциированного веса, следующие из его определения:

1) 0 < П(х) < м<х), Ух е О ;

2) СП (О) = СП (О), при этом ||| = ||| ~ ;

3) П(а) = 0 « /(к)(а) = 0, V/ е СП(О),Ук = 0,п ;

4) П - полунепрерывная снизу функция.

Из сказанного выше следует, что при рассмотрении пространств СП (О) можно ограничиться положительными полунепрерывными снизу на О весами V. Будем называть их регулярными.

Полнота весовых пространств

Изучим вопрос о том, при каких ограничениях на веса весовые пространства п раз непрерывно дифференцируемых функций являются банаховыми.

Предложение 4. Пусть V - регулярный вес. Пространство СП (О) является банаховым тогда и только тогда, когда вес V локально ограничен сверху.

Доказательство. Доказательство достаточности проводится стандартно за счет использования полноты пространства Ип (О). По этой причине мы его опустим и приведем лишь доказательство необходимости.

Предположим, рассуждая от противного, что СП (О) полно, однако вес V не является локально ограниченным сверху. Тогда существует последовательность (ху )"=! : ху ^ а, у ^ да, где ху е О, а е О и п(ху) >у,у е N. Возьмем попарно непересекающиеся

окрестности Кг (ху), компактно лежащие в О и не

содержащие точку а. Так как вес V полунепрерывен снизу в каждой точке ху, то 35у > 0: 5 у < г у и

|а|<пк+1<у<т|х—х .

|<5 п(х) у у

Поэтому (/т)т=1 фундаментальна в СП(О). Предположим, что она сходится в СПп (О) . Тогда /¡а\а) ^ /(а)(а) при т ^да при любом а (а|< п). Заметим, что поскольку а & Кг (ху) при

всех }, то /(а) (а) = 0 при всех да и а. Значит, /(а) (а) = 0 (|а < п). Теперь выберем подпоследовательность {/тк (х)}да=1 так, чтобы значения Утк достигались при одном и том же мультииндексе а0 (0 < а0 < п) . Так как мультииндексов конечное число, то это возможно. Так как окрестности из последовательности (Кг (х/)) да=1 попарно не пересекаются, то при любом тк > у имеем

/(а0)(х) =— ^^ (х), х е Кгу (ху) .

тк у ху ,5 у ■> ■>

Переходя здесь к пределу при к ^ да при каждом фиксированном ], получим /(а0)(х) =— (х),

x e Kr (x,-), j e N.

'j^j

Возьмем

^ (~k)

xJ '8mk

Wk e K'mv (xmv )

= у

mk

. Тогда

f(a0)(xmk )

так, чтобы = 1,k e N.

Ясно, что ~т ^ а при к ^ да. Учитывая непре-

рывность f (а° , получаем отсюда, что

f {a°\a)

= 1.

т 1

Образуем функции /т (х) =2—Пх 5 (х), где

у=1 у у у, у

. Покажем, что последова-

тельность (/т )т=1 является фундаментальной в СПп (О) , но тем не менее не сходится в СПп (О) . Имеем 1

Это противоречит тому, что / (а° (а) = 0.

Наибольший интерес в приложениях представляют только полные весовые пространства. В связи с этим и установленным только что критерием полноты пространства СПп (О) естественно называть оптимальными или каноническими весами для пространств рассматриваемого вида положительные полунепрерывные снизу и локально ограниченные сверху функции.

Теоремы вложения

Рассмотрим вопрос о вложении введенных выше пространств друг в друга. Нас интересуют условия на веса П12, по мере возможности необходимые и достаточные, при которых Сп (О) с Сп (О). Перед

формулировкой результатов напомним, что вес П1 называется подчиненным весу П2 П < м^), если ЗС > 0: П1(х) < См2 (х), Ух е О. Веса м^ и П2 называются эквивалентными (м^ ~ П2), если они подчинены друг другу.

<

k

W , n

Доказательство достаточных условий вложения одного пространства в другое тривиально, и мы его опускаем.

Предложение 5. Если Wj ■< W2, то пространство СП (G) непрерывно вложено в СП (G).

Далее из теоремы о замкнутом графике вытекает следующий результат об автоматической непрерывности оператора вложения.

Предложение 6. Предположим, что веса Wj и W2 являются каноническими в G. Если Сn (G) с С^ (G), то пространство С^ (G) непрерывно вложено в Сn (G).

Предложение 7. Пусть wj и W2 - канонические веса в G. Если Сn (G) с С^ (G), то Wj ^ w2 .

Доказательство. Так как СП (G) с СП (G) , то по предложению 6 пространство СП (G) непрерывно вложено в С n (G) , и значит,

W2

ЗС > f\i2,n < СД^' fе CW1(G). (!)

Рассмотрим произвольную точку a е G. В силу полунепрерывности веса Wj снизу имеется такое

8 > 0, что Wj (x) > 1 Wj (a), Vx е K5 (a).

Для «шапочки» qa,8 /2 найдем a е K5 /2(a) и ~

(|~| <n ) так, чтобы max max q(a§/2(x) = -^з/г® |a|<nxeRN a, a,

Тогда для функции f (x) := q a, 5 / 2 (x - a + , носитель которой содержится в K5 (a), имеем

* f

f (a)(a)|

<11 f\

w2(a) 11 llw2,

f(a)(x) I ~ I = C max sup --< C\f (fl)(a) su

sup

■< C

\f (ï)(")|

max max

Ы< «xeR N

f (a)( x)

f (a)(")

Подставив эту функцию в неравенство (1), получим

M<"xeG w1(x) 1 xeKs (a) w1(x) w1(a)

Поэтому wi(a) < 2Cw2(a). В силу того, что C не зависит от a e G, заключаем отсюда, что wi ■ w2, что и требовалось.

Из предложений 6, 7 следует основной результат данного параграфа.

Теорема 1. Пусть wj и w2 - канонические веса в

G. Для того чтобы C« (G) с C« (G), необходимо и

достаточно, чтобы wj ■ w2 .

Из этой теоремы непосредственно вытекает Следствие 3. Пусть wj и w2 - канонические веса

в G. Для того чтобы C« (G) = C« (G), необходимо и

достаточно, чтобы w1 ■ w2 .

В заключение отметим, что, как и в случае пространств непрерывных функций, вложение одного

весового пространства C« (G) в другое C« (G) не

может быть компактным. Поскольку доказательство данного результата не претерпевает существенных изменений по сравнению с известным для непрерывных функций, мы его опускаем.

Литература

1. Абанин А.В. Весовые пространства непрерывных и голоморфных функций // Математический анализ и математическое моделирование. Владикавказ, 2010. С. 15-20.

2. Bierstedt K.D., Bonet J., Taskinen J. Associated weights and spaces of holomorphic functions // Studia Math. 1998. Vol. 127. P. 137-168.

3. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Painleve null sets, dimension and compact embedding of weighted holomorphic spaces // Studia Math. 2012. Vol. 213. P. 169-187.

Поступила в редакцию

30 января 2013 г.

1