Вертикальные потоки, обусловленные слабонелинейными внутренними волнами в бароклинном течении Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МОРСКИХ СИСТЕМ

УДК 551.466.8

Вертикальные потоки, обусловленные слабонелинейными внутренними волнами в бароклинном течении

© 2015 А.А. Слепышев

Морской гидрофизический институт РАН, Севастополь, Россия Поступила в редакцию 20.01.2014 г. После доработки 29.04.2014 г.

В приближении Буссинеска рассматриваются свободные внутренние волны при учете турбулентной вязкости в вертикально-неоднородном течении. В линейном приближении рассчитывается дисперсионное соотношение, декремент затухания волны. Во втором порядке малости по амплитуде волны находятся скорость стоксова дрейфа и вертикальные волновые потоки. Показано, что волновой поток соли по абсолютной величине сравним с турбулентным вне слоя с максимальным градиентом солености, т. е. глубже приповерхностного слоя. Учет течения приводит к тому, что волновой поток несколько уменьшается. Поперечная к направлению распространения волны горизонтальная компонента скорости стоксова дрейфа при учете течения отлична от нуля.

Ключевые слова: внутренние волны, турбулентность, стоксов дрейф.

Введение. Внутренние волны в океане присутствуют повсеместно благодаря тому, что действуют источники, которые их порождают. Внутренние волны могут существовать в стратифицированной среде, когда плотность воды возрастает с глубиной. Глубже верхнего перемешанного слоя такая ситуация типична для Мирового океана. К энергетическим источникам внутренних волн можно отнести возмущения атмосферного давления, ветровые напряжения на поверхности моря, взаимодействие течений и приливов с неоднород-ностями рельефа дна [1], вихревые течения.

Актуальность проблематики связана с тем, что внутренние волны могут вносить свой вклад в вертикальный обмен в океане. Обычно вертикальный обмен в морской среде связывают с мелкомасштабной турбулентностью, которая имеет перемежаемый характер, т. е. турбулентность присутствует в виде «пятен», которые порождаются гидродинамической неустойчивостью течений и обрушением внутренних волн. Вертикальный обмен важен в переносе примесей, диффузии кислорода в глубоководные слои моря и диффузии сероводорода из глубинных слоев Черного моря.

Внутренние волны при учете турбулентной вязкости и диффузии рассматривались в ряде работ [1 - 3], в которых определялся декремент затухания волны на турбулентности. Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн без учета турбулентной вязкости и диффузии рассматривались в [4, 5]. В этих работах определялись среднее течение, индуцированное волной, и неосциллирующая поправка к средней плотности.

Внутренние волны при учете нелинейности и вязкости рассматривались в работе [6], но вертикальные волновые потоки тепла и соли не учитывались.

64 МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015

Вертикальный обмен в стратифицированной толще моря связывают с обрушением мелкомасштабных внутренних волн [7], делаются оценки скорости диссипации турбулентной энергии и коэффициента вертикального турбулентного обмена. Показано, что в области свала глубин на кромке шельфа Черного моря происходит интенсификация вертикального обмена, связанная с увеличением амплитуд внутренних волн при их распространении в область мелководья [8].

Вертикальные потоки, обусловленные слабонелинейными внутренними волнами, рассматривались в работе [9]. Такие потоки существуют за счет фазового сдвига колебаний вертикальной скорости и температуры (солености), отличного от к/2 при учете турбулентной вязкости и диффузии.

В настоящей работе рассматриваются вертикальные потоки, обусловленные внутренними волнами на бароклинном течении. Представляет интерес сравнить волновые потоки с соответствующими турбулентными потоками как при наличии течения, так и при его отсутствии. Кроме того, находится скорость стоксова дрейфа в этих двух случаях.

Постановка задачи. Рассматриваются свободные внутренние волны на бароклинном течении при учете турбулентной вязкости и диффузии в приближении Буссинеска. В линейном приближении находим вертикальное распределение амплитуд внутренних волн, дисперсионное соотношение и декремент затухания волны. Во втором порядке по амплитуде волны определяем скорость стоксова дрейфа и волновые потоки соли.

Введем безразмерные переменные по следующим формулам (волнистой чертой сверху обозначены размерные физические величины):

I к

I = —, к = —, о) = о,а, щ = и ¡Но,,, щ = и2Но),, й3 = и^Но),,,

СО* н

~ /7п /7п ~

Р = р0Н2сэ*Р, р = Р00)1-, р0 = Р0а>1--, х = Ях, Кг = ,

£ £

М,=М^ (7 = 1,2,3), К,=К2. М1=М2, //,=//2.

где д , ¡и3 - характерные значения горизонтальной и вертикальной турбулентной вязкости; g - ускорение силы тяжести; хг, х2, х3 - две горизонтальные и вертикальная координаты, вертикальная ось х3 направлена вертикально вверх; р и Р - волновые возмущения плотности и давления; р0 -невозмущенная средняя плотность воды; р0 - плотность, осредненная по глубине; и, и2, иъ - две горизонтальные и вертикальная компоненты волновых возмущений скорости; К, К3, М1, М3 - горизонтальные и вертикальные коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии соответственно; Н -глубина моря; гэ» - характерная частота волны. Коэффициенты вертикальной турбулентной диффузии и вязкости и две компоненты скорости среднего те-

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015

65

чения U0, V предполагаются зависящими от вертикальной координаты. Коэффициенты горизонтального турбулентного обмена предполагаются постоянными. Система уравнений гидродинамики для волновых возмущений в приближении Буссинеска имеет вид:

5щ 5и1

■ + щ —1 + U0

5t 5x,

ди, ди,

—1 + V —1

5xj

5x~

+ и,

dU,

о

5P , ! 52щ 5 щ

-=---VS KA ---1

dx3 5xl V 5Хщ

5x2

5

ß 5x3 - 3 5x3 '

5и

(1а)

5и2 ~ôt

■ + и,.

5и2 ' 5x,.

+ U

5и2 5x.

+ V

5и2 5xn

■ + и,

5Vn

5x 5xn

+ s2ß1 -5- [къ ^

5P

=---h s K

5 2и2

5x~

5x~

5 2u2

"5x2'

(1б)

5и3 ~ât

■ + и

5и3 5x

+ U

5и

5x] 5

3 + V + V 0

5и3 5x„

5P 2 jy + s2 K

5x,

5 u3 5 U3

v 5xf

5x,

K 5U3

5x.

3 y

, S2ß2 5K3 5U3

5x3 5x3

5x2 y

P,

(1в)

5p 5p TT 5p 5p 2j — + щ — + U0 — + V —— = s Ml

5t ' 5xt dx dx2

2„\

дP+дLP

У 5x2 5x2 j

+ s2ß2

5x

M

5p 5x

- и.

3 y

5Po 5x

,(1г)

5и,

5x,

^ = 0.

(1д)

Здесь S2 = ^— - малый параметр, пропорциональный значению коэффици-

H 2а,

ента горизонтальной турбулентной вязкости м ; , причем в << е2.

М

Граничные условия на поверхности - условие «твердой крышки» и отсутствие тангенциальных напряжений [2]:

5и

5и,

u (0) = о, ß2 K—+K—3 = о

5x,

5x

ß2 K

x =0

5u2 5x,

+ K ^ = 0

5x0

(2)

x =0

Граничные условия на дне - условия прилипания:

щ (-1) = 0, щ (-1) = 0, щ (-1) = 0.

(3)

66

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015

Линейное приближение. Решения линейного приближения ищем в виде

и\ = и10 (х3)Ае'в + с.с., и\ = и20 (х3)Ае'а + с.с., и0 = и30 (х3)Ае'в + с.с.,

Р = Р0^)Ае'в + с.с., р = р0(х3)Аеш + с.с., (4)

где с.с. - комплексно сопряженные слагаемые; А - амплитудный множи-

д А дв 1 дв <1г л

тель; а - фаза волны; — = к; — = —с (к - волновое число, с - частота).

йх

Предполагается, что волна распространяется вдоль оси х1.

Подставим (4) в систему уравнений (1), получим связь амплитудных функций и10, Р, и30 и уравнения для и20 (х3), р10 (х3):

^ =1^, О = с — кио, (5а)

к 5х3

Р10 = (е2А2К3 ^^ ^^^^^ ^ — + О — в2Кк2) ) ^ Д , (5б) ¿х- ^^^ к к ^^^

(е202Мъ—1 + е202-±---е М^2 + /О)р0 = и^^^, (5в)

е2р2Къ ¿Цо + е2р2 ¿К3¿Ц0- + {'О — Е2Кхк2)и2, = изо ^ . (5г)

Уравнение (5г) следует дополнить граничными условиями, вытекающими из

(2), (3):

(и

—20 = 0 - при х3 = 0; и20 (—1) = 0 - при х3 =—1. (6)

йхъ

Функция и30 удовлетворяет уравнению

—N2щп = (е2А2М ^ + Е2Р2 (Мз— — Е2М1 2 + /О) х

а(х Ох (х

х \' Ои30--—

I

(е2а2 К ¿т + е2а2 — е2 Кк2 +'О)Л — + ' ^ и3,

¿х- ¿^з к к

—е2 Кк2и30 + е2А2 Кз°+ 2е2А2 — —1 (7)

Из граничных условий (2), (3) получим условия для и30: на поверхности при х3 = 0

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015 67

дх.

Щ0 = 0, = О, (8а)

"3

на дне при х3 = —1

изо = ^ = О. (8б)

ах3

Уравнение (7) имеет малый параметр при старшей производной ~ (еД)4 . Это уравнение, следуя [10, 11], решаем асимптотическим методом Вишика - Люстерника, раскладывая и30, ( в ряды по малому параметру еД :

изо(хз) = Е(<Д)Ч(хз,е) + еД £(еД)'л^ + (еД)2£(еД^, (9а)

г=0 г=0 г=0

( =(01 (е) + еД(п (е) + (еД)2(21 (е) + ..., (9б)

где ^((1 + х3 )/еД) - погранслойные решения в окрестности дна,

V0 (х3 / еД) - в окрестности свободной поверхности. Погранслойные поправки представляют собой быстроубывающие функции при удалении от границы, которые обеспечивают выполнение граничных условий. Функции uЪi (х3 ,е) в общем случае зависят от параметра е, т. к. он содержится в уравнениях для этих функций.

Подставляя разложения (9) в (7), получим краевую задачу для функции

и о в нулевом порядке малости по параметру еД :

(е2Ыхк2 —Ю01) Цй

I ах3

(Ю01 — е^к2)-1 ди30 + 7 ^ и30 — е2К,к 2< к ах, к ах.

> = N 2и1 ,(10)

где N2 =--— - квадрат частоты Брента - Вяйсяля; О01 = (01 — кио - ча-

дх3

стота волны со сдвигом Доплера.

Граничные условия для и0 следующие:

и30| 0= 0, и30| = 0. (11)

I — 0 I х^ — 1

Уравнение (10) имеет малый параметр е , следуя методу, изложенному в [10], решение и частоту (01 ищем в виде асимптотических рядов по этому параметру:

и°(х3 ,е) = (х3) + е'№1 (х3) + е222 (х3) +..., (12а)

(=(+£(+е2( +.... (12б)

68 МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015

В нулевом порядке по параметру а получим краевую задачу

<2щ + 2(N2 -П2) к <2ип

щ

о Ц=о

О 2

= о,

що +

2° Щ0 = о, . = о,

(13а)

(13б)

где О = — кио . Данная краевая задача (13) при отсутствии сингулярности О = о имеет счетный набор собственных функций - набор мод, причем каждому значению волнового числа к соответствует определенное значение частоты а0, отвечающее данной моде.

Следующий член в разложении (12а) определяется из уравнения

< 2щ 2^2 —по) , к < и о

-Т + к -2- Щ +---Т "1

О2 О О0

щ = —

^2 к2 щ — 2 ^ — К <2ЦоЛ

Граничные условия для функции

щ

1X =о

= о.

щ

= о.

Условие разрешимости краевой задачи (14), (15)

о

| /"о <хз = о.

= / (хз) (14)

(15)

(16)

Данное условие при о, вообще говоря, не выполняется и краевая задача (14), (15) решений не имеет.

Следующее приближение щ по параметру а удовлетворяет уравнению

О2

--к2

щ + N2 к2 щ + кО0 щ =(&2+ Мк2 )| к 2О0 Щ -Ц, - к

<2щ„ , <2и,.

+ О

а\ кщ - I - К к2 <2щ>. + К к4щп

= ф.

(17)

Граничные условия для щ имеют вид

щ ,1 = о, щЛ = о.

21хз =о ' 21хз =-1

Условие разрешимости краевой задачи (17), (18)

о

| фщ0<х3 = о.

(18)

(19)

Отсюда находим выражение для со2:

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015

69

2

<

Мк

а

1к N2ж0 — Кк2 ^ + к4Кж

2

Ох

2

1 "0

ж

(2 =

-г-

'N12к 2 ■ ^

0^3 а2 ах3 у

ж 0 ёх3

Найдем погранслойное решение у° в разложении (9а) для удовлетворения граничных условий (8а), (8б) на поверхности. Подставляя разложение (9а) в уравнение (7) и разлагая К3 , М3 и (У0, V в ряд Тейлора в окрестности х3 = 0, получим в нулевом порядке по параметру еД уравнение для

Vо0(^, ц =

еД

6 0

дь I

V,

4 О

54 I

V,

2 0

К3 (0)М3 (0) + 700 (0)(К3 (0) + М3 (0)) = 02 (0)

дц

дц

52 I

дц2

(21)

Решение уравнения (21), затухающее при удалении от поверхности, имеет вид

^ = С00 ехР(ЛЦ) + е^(Я22ц),

где

С0 =

а2 Ж)(0)

Ох2 (Л)2 — (Л,0)2

р0 =—Си 1 0 С 0 .

(22) (23)

Здесь Л° , определяются по формулам

л° =

0р(0) 2М3 (0)

(1—0, Л0 =

4(0) 2К3 (0)

(1 — 0.

(24)

Уравнение для погранслойного решения ^((1 + х3)/ е2 ) в окрестно-

сти дна имеет вид

д64 + Ю„ (—1) М3 + К3 д^

дЦ

а02 дХ = 0

МК дцц МК дЦ

(25)

где ц = ■

(хвЦ) еД

. Решение данного уравнения, затухающее при удалении от

дна и удовлетворяющее граничным условиям (8б), определяется следующим образом:

= ехр(—\ц 1) + 0\ ехр(—Я2Ц1),

(26а)

где

70

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015

0

0

х

3

1

=

Ож0(—1) 1 Ох3 л—Л

=— .

(26б)

Величины Л , Л находятся по формулам (24), только коэффициенты турбулентного обмена и частота волны со сдвигом Доплера вычисляются на нижней границе.

Уравнение для волновых возмущений солености £ имеет вид

дs

д?

д?

ч д

— + (и + и+ (и + V+ и3— + = е2 —

д?

дБп

+е

дх

М

дх, д?

дх

дх

дх

дх

М1 — . дх1 у

дх

д

+ (еДП~

2 У

дх

М

д?

дх

(27)

3 у

где £0 (х3) - средний профиль солености. Решения линейного приближения будем искать в виде

£ = £10 (х3)Ае'в + с.с..

(28)

где 510 удовлетворяет уравнению

ач И а?

—'О^ + ^ = е2 (—к2М1510 + Д2 а (Мг °г)). (29)

Уравнение (29) имеет малый параметр при старшей производной, и решение будем искать в виде, аналогичном (9а):

£10 = ^ + (еД)2

х +1

(еД)2 4 + еДЕ П е^ХД)' +(еД)2 Е 4 ф(еД)'. (30)

' =0

еД

'=0

еД

Из (29) следует, что

I 2

£10 = £0 + е £2 + ... :

где

£0 = —

¡ж0

ОХ^

^ =— (+ к2М, ) Ж ^ Ж2 А

а 2 Ох^ а0 ОХ^

(31) (32а) (32б)

здесь ( = — . Погранслойные решения япо и £по в окрестности дна и сво-

бодной поверхности удовлетворяют соответственно уравнениям

а

а

Ш0)*т + (М3(0)—Уп0 =

азд „

Оц Оц йх

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015

у0(ц),

(33а)

71

¿Ц>(- 1)4о +-<- (Мг(-1)-<-)*по = ^^Т^ (33б)

<х

Граничные условия имеют вид

*о(о) = 1) = о. (34)

Решение уравнения (33а) в окрестности поверхности моря следующее:

*°по(л) = С ехрА^) + 0% ехр(А^) + ехр(А^), (35)

где

р = с; <мо», (36а)

5 2А°МЪ (о) <х3

а =_с_, (3бб)

5 О( о)[1 -М3( о)/К( о)] <х3

со =- (3бв)

Погранслойное решение уравнения (33б) в окрестности дна имеет вид

5Я0(^1) = С°2? еХР(-А^) + 051 еХР(-•Я2^1) + ^51 еХР(-Л^Х (37)

где

р =__^, (38а)

51 2А м (-1) <х3

=_0_<<Ш) . (38б)

^ Оо(-1)[1 -Мз(-1)/Кз(-1)] <хз 1 '

Из граничного условия (34) следует

С0, = -051. (39)

Нелинейные эффекты. Скорость стоксова дрейфа частиц жидкости определяется по формуле [12]:

U = j UdrVU, (40)

0

где U - поле волновых эйлеровых скоростей, черта сверху означает осреднение по периоду волны. Горизонтальная компонента скорости стоксова дрейфа, направленная вдоль волнового вектора, с точностью до членов, квадратичных по амплитуде волны, имеет вид:

,, / 2со du30 du_o , U30 d U30 , U30 d U30\ (Л\\

U1s ~ 1 ^ * Л Л2 + *J2) • (41)

к coco ax3 ax3 со dX2 со dX2 72 МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015

Поперечная к направлению распространения волны горизонтальная компонента скорости стоксова дрейфа определяется по формуле

^ = ЦД* й(и30и20) + с , А = Ае(. (42)

* ( йх3

При наличии среднего течения, у которого поперечная к направлению распространения волны компонента скорости У0 зависит от вертикальной координаты, величина и2х отлична от нуля и в невязком случае определяется следующим образом:

= _ 2МА (^ йу0) . (43)

к0 йх йх

Найдем вертикальный волновой поток соли щБ, учитывая разложения (9а), (30), (31):

/Ц2| = ^.2 + ф ^ + (Ф)2 О* + **(Ф + (ф)2 У00) + £2 ^ + С.С. (44)

Результаты расчетов. Волновые потоки соли рассчитаем для внутренних волн, которые наблюдались в ходе эксперимента юго-западнее г. Евпатория в третьем этапе 44-го рейса научно-исследовательского судна «Михаил Ломоносов».

На рис. 1 представлены 4 реализации возвышений изолиний температуры, полученных по данным приборов ГРАД (градиентно-распределенные датчики температуры) [13]. Первый прибор располагался в слое 5 - 15 м, второй - в слое 15 - 25 м, третий - в слое 25 - 35 м, четвертый - в слое 35 - 60 м. Легко видеть, что мощные колебания с периодом 15 мин в слое 25 - 60 м находятся в противофазе с колебаниями в слое 15 - 25 м, что говорит о колебаниях второй моды. Максимальная амплитуда по возвышениям составила 0,5 м. Вертикальные профили частоты Брента - Вяйсяля и двух компонент скорости течения показаны на рис. 2, а, в. Краевая задача (13) для внутренних волн решается численно по неявной схеме Адамса третьего порядка точности. Волновое число находится методом пристрелки из необходимости выполнения граничных условий (13б). Собственная функция 15-минутных внутренних волн второй моды показана на рис. 2, б.

Волновое число равно 0,032 рад/м. Нормирующий множитель А1 найдем по известной величине максимальной амплитуды вертикальных смещений (шах = 0,5 м). Для этого выразим вертикальное смещение , используя

ёСз

соотношение -= щ :

Ж 3

^з = —0 А1 ехр(гк^1 - (0 Г) + с.с.

О о

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015

73

Рис. 1. Временной ход вертикальных смещений изолиний температуры

Рис. 2. Вертикальный профиль частоты Брента - Вяйсяля - а, собственная функция 15-минутных внутренних волн - б, вертикальные профили компонент скорости течения Ц/0(■■■),

УЛ—)-«

74

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015

Отсюда следует

шах <^3

А =■

2 шах щ / О0

Таким образом, амплитуда вертикальных смещений пропорциональна щ. Экстремумы функции щ соответствуют максимальным вертикальным смещениям по данным эксперимента (рис. 1; 2, б), т. е. в эксперименте наблюдалась вторая мода. Коэффициент вертикальной диффузии М3 определим по эмпирической формуле, справедливой в области свала глубин на северо-западном шельфе Черного моря [7]: М3 = 8,4 • Ю-4N—1 м2/с, N соответствует частоте Брента - Вяйсяля в цикл/ч. Длина волны 15-минутных внутренних волн второй моды равна 195,6 м, типичное значение коэффициента горизонтального турбулентного обмена М1 составляет 1 м2/с. Дисперсионные кривые первых двух мод при наличии и отсутствии течения показаны на рис. 3.

- / / .-' у

- / ? -

/ / и V 1 1 1 1 1

0.02 0.04 к, рад/м

1-ц. .1 1=

Рис. 3. Дисперсионные кривые: первая мода без течения (-) и с течением (---); вторая

мода без течения (.........) и с течением (-----)

Рис. 4. Скорость стоксова дрейфа при наличии течения (-) и при его отсутствии (.........)

Краевую задачу (17), (18) по определению функции щ решаем численно

по неявной схеме Адамса 3-го порядка точности при К3 = 2М3, К = 2М1.

Находим единственное решение, ортогональное щ, и декремент затухания

волны 8(0 = (. У 15-минутных внутренних волн второй моды

3(0 = -1,46•Ю-3 рад/с. На рис. 4 показаны вертикальные профили горизонтальной компоненты скорости стоксова дрейфа при наличии течения и при его отсутствии (пунктирная кривая). При наличии течения скорость стоксова дрейфа по модулю меньше. Поперечная к направлению распространения волны компонента скорости стоксова дрейфа отлична от нуля только при учете течения (рис. 5).

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015 75

Рис. 5. Поперечная к направлению распространения волны горизонтальная компонента скорости стоксова дрейфа

Рис. 6. Вертикальный профиль солености

Рис. 7. Профили волновых и турбулентного потоков соли: волновой поток при наличии течения (-) и при его отсутствии (.........); турбулентный поток соли (---)

Волновые потоки соли рассчитаем при вертикальном профиле солености, показанном на рис. 6. Турбулентный поток соли определяется по формуле

76

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015

*, = —М3 —0 . На рис. 7 представлены вертикальные волновые потоки соли ЖЕ

ы3Б для 15-минутных внутренних волн второй моды и турбулентный поток.

При наличии течения волновой поток соли несколько меньше, чем при отсутствии. Волновой поток при отсутствии течения (пунктирная кривая) по модулю сравним с турбулентным на глубине более 25 м, т. е. вне приповерхностного слоя максимальных градиентов солености.

Выводы.

1. Волновой поток соли ы3Б при учете турбулентной вязкости и диффузии отличен от нуля и при наличии течения несколько меньше, чем при его отсутствии.

2. Волновой поток соли при отсутствии течения сравним по абсолютной величине с турбулентным вне приповерхностного слоя, где градиенты солености максимальны.

3. Поперечная к направлению распространения волны компонента скорости стоксова дрейфа при учете течения отлична от нуля.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. - М.: Мир, 1981. - Ч. 2. - 363 с.

2. LeBlond P.H. On damping of internal gravity waves in a continuously stratified ocean // J. Fluid Mech. - 1966. - 25, part 1. - Р. 121 - 142.

3. Островский Л.А., Соустова И.А. Верхний перемешанный слой как сток энергии внутренних волн // Океанология. - 1979. - 19, вып. 6. - С. 973 - 981.

4. Борисенко Ю.Д., Воронович А.Г., Леонов А.И. и др. К теории нестационарных слабонелинейных внутренних волн в стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1976. - 12, № 3. - С. 293 - 301.

5. Grimshaw R. The modulation of an internal gravity wave packet and the resonance with the mean motion // Stud. In Appl. Math. - 1977. - 56. - Р. 241 - 266.

6. Grimshaw R. The effect of a dissipative processes on mean flows induced by internal gravity-waves packets // J. Fluid Mech. - 1982. - 115. - Р. 347 - 378.

7. Иванов В.А., Самодуров А.С., Чухарев А.М., Носова А.В. Интенсификация вертикального турбулентного обмена в районах сопряжения шельфа и континентального склона в Черном море // Доп. НАН Украши. - 2008. - № 6. - С. 108 - 112.

8. Самодуров А.С., Носова А.В., Слепышев А.А. Физические механизмы интенсификации вертикального обмена в зоне сопряжения шельфа и свала глубин // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон и комплексное исследование ресурсов шельфа. - Севастополь: МГИ НАН Украины, 2011. - Вып. 25. - 2. - С. 190 - 203.

9. Слепышев А.А. Процессы переноса, обусловленные слабонелинейными внутренними волнами при наличии турбулентности // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. -1997. - 33, № 4. - С. 536 - 548.

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015

77

10. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук. - 1957. - XII, вып. 5 (77). - С. 3 - 122.

11. Черкесов Л.В. Гидродинамика волн. - Киев: Наук. думка, 1980. - 259 с.

12. Longuet-Higgins M.S. On the transport of mass by time varying ocean current // Deep-Sea Res. - 1969. - 16, № 5. - P. 431 - 447.

13. Отчет о работах в 44-м рейсе (3-й этап) НИС «Михаил Ломоносов» 7 августа - 15 сентября 1985 г. - Севастополь: МГИ НАН Украины, 1985. - Т. 1. - 135 с.

Vertical fluxes induced by weak-nonlinear internal waves in a baroclinic flow

A.A. Slepyshev

Marine Hydrophysical Institute, Russian Academy of Sciences, Sevastopol, Russia

Free internal waves are considered in the Boussinesque approximation with account of turbulent viscosity in a vertically non-uniform flow. Dispersive relation and the wave attenuation decrement are calculated in linear approximation. The Stokes drift speed and vertical wave fluxes of salt are found in the second order of the wave amplitude. It is shown that the salt wave flux absolute value is comparable with that of the turbulent flux outside the layer with maximum salinity gradient, i. e. deeper than the surface layer. When the flow is taken into account the wave flux somewhat decreases, and the component of the Stokes drift velocity (transversal to the wave propagation direction) is different from zero.

Keywords: internal waves, turbulence, Stokes drift.

78

МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 1 2015