Труды Карельского научного центра РАН
№6. 2021. С. 77-84
DOI: 10.17076/mat1347
УДК 519.115:519.2
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМ РАЗМЕЩЕНИЯ ЧАСТИЦ ПО ЯЧЕЙКАМ С ФИКСИРОВАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ИХ МИНИМАЛЬНОГО ЗАПОЛНЕНИЯ
Н. Ю. Энатская
Московский институт электроники и математики,
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Россия
В схемах равновероятного размещения r частиц по n ячейкам изучаются вероятностные распределения минимальных уровней заполнения ячеек, чисел ячеек с фиксированным минимальным уровнем заполнения и числа пустых ячеек. Рассматриваемые схемы отличаются разными парными качествами ячеек и частиц по их различимости.
Ключевые слова: варианты размещения частиц; число пустых ячеек; вероятностное распределение минимального заполнения ячеек.
N. Yu. Enatskaya. PROBABILITY ANALYSIS OF THE SCHEMES OF PARTICLE ALLOCATION TO CELLS WITH A FIXED MINIMUM FILLING VALUE
Schemes of equiprobable allocation of r particles to n cells are studied for the probability distributions of minimum cell fill levels, numbers of cells with a fixed minimum fill level, and the number of empty cells. The schemes have different paired qualities of cells and particles in terms of their distinguishability.
Keywords: particle allocation variants; number of empty cells; probability distribution of the minimal numbers of elements per cells.
Введение
Вероятностные распределения указанных для исследования характеристик определяются в следующих четырех схемах размещения частиц по ячейкам, характеризующихся разными парными качествами ячеек и частиц в них:
схема А - размещение различимых частиц по различимым ячейкам;
схема В - размещение различимых частиц по неразличимым ячейкам;
схема С - размещение неразличимых частиц по различимым ячейкам;
схема О - размещение неразличимых частиц по неразличимым ячейкам.
Вероятностный анализ схем проводится на основе процедур прямого перечисления благоприятных исходов схем для допустимых значений изучаемых характеристик со следующими обозначениями:
и - минимальный уровень заполнения ячеек в исходе схемы;
^к - число ячеек с минимальным уровнем заполнения и = к, где к - целое ^ 0;
^о - число пустых ячеек.
Для всех схем считаем, что г ^ пк.
Укажем диапазоны изменения возможных значений к, у к изучаемых характеристик. Очевидно, что
к = 0, [r/n], где [Z] - целая часть числа Z,
ßh = h L,
(1)
(2)
где для ук при заданном значении к величины I и Ь очевидно определяются из условий г — укк ^ (п — ук)(к + 1), т. к. ук ячеек с к частицами, а остальные (п—ук) ячеек с более чем к частицами, откуда г ^ укк + (п — ук)(к + 1), а Ь = п, когда г = пк, или Ь = п — 1, когда г > пк , что можно записать следующими формулами для значений I и Ь:
l = max(1,n(k + 1) — r),
j = 1- cn+r
—nh
L = n — J.
(3)
Число пустых ячеек равно 0 при и = к > 0.
Вероятностный анализ характеристик схем начнем с нахождения распределения случайной величины (с. в.) и с учетом разных качеств ячеек и частиц (по их различимости):
а) при различимости ячеек будем различать варианты наборов составов частиц в ячейках (для различимых частиц) или их количеств (для неразличимых частиц);
б) при различимости частиц будем различать наборы составов частиц в ячейках с учетом порядка этих наборов (для различимых ячеек) или без учета их порядка (для неразличимых ячеек).
Теперь по приведенным общим соображениям будем находить вероятностные распределения исследуемых характеристик в каждой схеме со спецификой, определяемой качествами ячеек и частиц.
1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМЫ А
Теорема 1. Для вероятностного распределения минимального заполнения ячеек при к, удовлетворяющего (1), выполняется соотношение
P (U = к) =
MA(k)
ЕЕ
nr ^ ^ \ Ш Wj!
i=i ({w}) V1 Lj=1 3
n!
a=0
qa!
(4)
в остальных ячейках больше, чем по к, последняя сумма производится по перечислению всех наборов {и} уровней заполнения ячеек и = (и1,...,ип) в данном их порядке при каждой фиксации числа г ячеек с их заданным минимальным уровнем заполнения к, а ) = (д0,... ,дг) - вторая маркировка уровней заполнения ячеек, где да - число ячеек с уровнем заполнения а, а = 0, г.
Доказательство. Число исходов Ыа схемы А размещения различимых частиц по различимым ячейкам известно: Ыа = пг. Вероятность Р(и = к) для допустимых по (1) значений к будем искать в виде МА(к)/пг. Число исходов МА(к) определяется по процедуре их перечисления в следующем порядке:
1) перечисляем все допустимые по (2) и (3) значения ук ячеек, содержащих ровно по к частиц;
2) для каждого значения ук = г из 1) перечисляем все размеры превышения заданного уровня заполнения остальных (п — г) ячеек по схеме сочетаний с повторением без пустых ячеек при размещении по ним (г — пк) неразличимых частиц числом способов СП-Пк-1 в виде т = (т1,..., тп), где компоненты превышений перечисляются в порядке нумерации ячеек, и на местах выбранных в 1) г ячеек стоят нули;
3) прибавляя ко всем компонентам каждого вектора из 2) т) по к, получаем все наборы требуемых размеров уровней заполнения ячеек и) = (и -, . . . , и п);
4) для каждого и вычисляем );
5) по результатам 3) и 4) по схеме перестановок с повторением находим число размещений г различимых частиц по п различимым ячейкам во всех заданных вектором и) количествах при фиксированном значении г, обеспечивающих выполнение события (и = к) - это первый сомножитель в круглых скобках в (4), и число делений п ячеек на группы ячеек с совпадающими уровнями заполнений - это второй сомножитель в круглых скобках
в (4).
Тогда
где МА(к) - число исходов события (и = к), т. е. все варианты размещения частиц в схеме, когда в части ячеек по к частиц, а
L
MA(k) = Е Е
r!
n!
^ п
i=l ({w})11
3=1 W3 ! Пa=0 qa!
78
1
r
r
а перечисление всех наборов {и} при каждой фиксации числа г ячеек с их заданным минимальным уровнем заполнения к следует из перечисления исходов схемы сочетаний с повторением в количестве С'—'-^ в связи с перебором наборов размеров превышений уровня заполнения ячеек, описанным в п. 2) перечисления благоприятных исходов события (и = к), что приводит к формуле (4).
Отсюда получаем вероятностное распределение с. в. рк при заданном значении к с. в. и, т. е.
P(рк = i/U = k)
(l/MA(k)) £
Г!
П!
(М)
П
n 1 Wj !Пa=0 qa!'
(5)
j=
где сумма производится по перечислению всех наборов {гВ*} = [гВ)} : ^'=1I(wj — к) = п — г при I^) = 0, когда Z = 0, и I^) = 1, когда Z > 0. Тогда при 3 =0
Р (ро = 3 ) = Р (и = 0), и при 3 > 0 (6)
Р (ро = 3) = Р (ро = 3/и = 0)Р (и = 0).
Замечание 1. а) Очевидно, что ^к Мд(к) =
пг.
б) Формулы (6) верны для всех схем А - О.
Приведем числовой пример расчета вероятностных распределений приведенных характеристик.
Пример 1. Пусть п = 3, г = 3. Общее число исходов схемы Жа = 33 = 27; к = 0, [3/3] = 0,1; по (2) и (3) при к = 0 г = ¡,Ь, где I = тах(1,3 — 3) = 1, Ь = 2, а при к = 1 г = ¡,Ь, где I = тах(1, 6 — 3) = 3, Ь = 3.
Для наглядности и проверки результатов расчетов в примере приведем граф полного перечисления исходов схемы на рисунке 1.
Для к = 0, г = 1 при любой фиксации одной ячейки с уровнем заполнения 0 получаем одинаковые по составу наборы уровней заполнения г) = (0,1, 2), для которых ) = (1,1,1, 0);
для к = 0, г = 2 при любой фиксации двух ячеек с уровнем заполнения 0 получаем одинаковые по составу наборы уровней заполнения г) = (0, 0, 3), для которых ) = (2, 0, 0,1); тогда находим
Ma(0) =
3!
3!
+
3!
3!
0!1!2! 1!1!1!0! 0!0!3! 2!0!0!1!
= 18 + 3 = 21.
Рис. 1. Граф перечисления исходов схемы A в примере 1
Fig. 1. Enumeration graph of outcomes of the scheme A in example 1
Отсюда по (4) получаем P(U = 0) = 21/27 = 7/9.
Для к = 1, i = 3 при фиксации трех ячеек с уровнем заполнения 1 получаем один набор уровней заполнения w = (1,1,1), для которого q = (0, 3, 0, 0); тогда находим
3! 3! Ma(1)=1!1!1!0!3!0!0!=6. Проверка по замечанию 1: Ma (0) + Ma(1) = 27 = 33.
В результате получено: P(U = 0) = 7/9; P(U = 1) = 2/9 - вероятностное распределение минимального уровня заполнений в схеме. Отсюда по (5) находим условные распределения для с. в. ц,к:
P (ро = 1/U = 0) = 18/21 = 6/7; P (ро = 2/U = 0) = 3/21 = 1/7; P (pi = 3/U = 1) = 6/6 = 1.
Тогда число пустых ячеек ро имеет по (6) распределение
P (ро = 0) = 6/27 = 2/9; P (ро = 1) = 18/27 = 6/9; P (ро = 2) = 3/27 = 1/9.
Все полученные результаты совпадают с расчетами по графу на рисунке 1.
2. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМЫ В
Теорема 2. Для вероятностного распределения минимального заполнения ячеек при к, удовлетворяющего (1), выполняется соотношение
1
Р(и = к) =
ЕЕ
г=1 (М)
Мв (к) Ыв
Г:
(7)
пп=1 и щ п=1 да!'
по п различимым ячейкам во всех заданных вектором и количествах при фиксированном значении г, обеспечивающих выполнение события (и = к).
Тогда в связи с неразличимостью ячеек, учитывая делением на ЛП= 1 да! неразличимость перестановок составов ячеек, совпадающих по уровням ^ 1 заполнения ячеек, получаем число исходов схемы
где число исходов Ыв схемы В размещения различимых частиц по неразличимым ячейкам, Мв (к)-число исходов события (и=к), т. е. все варианты размещения частиц в схеме, когда в части ячеек по к частиц, а в остальных ячейках больше, чем по к, а последняя сумма производится по перечислению всех наборов {и)} уровней заполнения ячеек и в порядке их возрастания при каждой фиксации числа г ячеек с их заданным минимальным уровнем заполнения к, а ) = (д1,..., дп,) - вторые маркировки уровней заполнения ячеек по всем положительным заполнениям п* ^ г.
Доказательство. Число исходов Ыв схемы В размещения различимых частиц по неразличимым ячейкам Ыв получено в [1]. Вероятность Р(и = к) для допустимых по (1) значений к будем искать в виде Мв(к)/Ыв. Число исходов Мв (к) определяется по процедуре их перечисления в следующем порядке:
1) при заданном по (1) числе к по всем допустимым по (2) и (3) значениям г ячеек с минимальным уровнем заполнения к перечисляем все размеры превышения заданного уровня заполнения остальных (п — г) ячеек по схеме деления остальных (г — пк) частиц, считая их номера от 1 до (г — пк), на (п — г) непустых частей по [2] и проводя по ним перечисление всех разных упорядоченных по возрастанию наборов размеров этих превышений по всем (п — г) ячейкам, в виде гп = (т1,..., тп), где первые г компонент = 0;
2) прибавляя ко всем компонентам каждого вектора из 1) т по к, получаем все наборы требуемых размеров уровней заполнения ячеек ип = (и1,..., ип), среди которых проводим вторые маркировки по всем положительным размерам заполнений п* ^ г вида ) = (д1,... ,дп*);
3) по результату 2) по схеме из [3] находим число размещений г различимых частиц
Мв (к) = ЕЕ
пп=1 и !П п= 1 да!
^ (М)
где первая сумма производится по значениям г, а вторая - по перечислению всех наборов {и)} при каждом значении г с их заданным минимальным уровнем заполнения к, которое следует из перечисления исходов указанной схемы из [2] в связи с перебором наборов размеров превышений уровня заполнения ячеек, описанным в п. 1) перечисления благоприятных исходов события (и = к) (значение к меняется по (1)).
Отсюда получаем вероятностное распределение с. в. ук при заданном значении к с. в. и, т. е.
Р(ук = г/и = к)
(1/Мв(к)) Е
г:
({»*})
пп=1 и: П
а=1
да:
где сумма производится по перечислению всех наборов {ип*} = {и)} '■ ^п=1I— к) = п — г при I(2) = 0, когда 2 = 0, и I(2) = 1, когда 2> 0.
Тогда вероятностное распределение с. в. у0 снова находится по (6). □
Замечание 2. Очевидно, что ^к Мв (к) -число исходов схемы В.
Приведем числовой пример расчета вероятностных распределений приведенных характеристик.
Пример 2. Пусть п = 3, г = 4. Общее число исходов схемы Ыв по [1] равно 14 и можно проверить по графу перечисления (см. рис. 2); к = 0\4/Ц = 0Д; по (2) и (3) при к = 0 г = 1,Ь, где I = тах(1,3 — 4) = 1, Ь = 2, а при к = 1 г = 1,Ь, где I = тах(1,6 — 4) =2, Ь = 2.
Для к = 0, г = 1 получаем все и - это ио = (0,1, 3) с ) = (1,1) и ио = (0, 2, 2) с )= (2).
80
г
п
= (1/14)(:
P (U = 0)
4! 4!
+
+
4!
)
= (1/14)
4!
1!1!2!2!1!
P (U = 1)
= 6/14 = 3/7 (Mb (1) = 6).
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМЫ С
Подобная схема исследовалась в [5].
Теорема 3. Для вероятностного распределения минимального заполнения ячеек при к, удовлетворяющего (1), выполняется соотношение
Р (и = к) = М <к>
при r = nk и
P (U = k) =
fir
cn+r—1
Mc (k)
с r
cn+r—1
Рис. 2. Граф перечисления всех исходов схемы B в примере 2
Fig. 2. Enumeration graph of all outcomes of the scheme B in example 2
Для k = 0, i = 2 получаем все w - это W = (0, 0, 4) с q = (1). Отсюда по (7) находим
r
cn+r—1 i=
Е cn с
(9)
n—i— 1 n-'r-nk-1
0!1!3!1!1! 0!2!2!2! 0!0!4!1!
= (1/14)(4+3+1) = 8/14 = 4/7 (Mb (0)=8).
Для k = 1, i = 2 получаем все W - это W = (1,1, 2) с q = (2,1). Отсюда по (7) находим
при г > пк, где Мс (к) - число исходов события (и = к), т. е. все варианты размещения частиц в схеме, когда в части ячеек по к частиц, а в остальных ячейках больше, чем по к частиц.
Доказательство. Число исходов Ыс схемы С размещения неразличимых частиц по различимым ячейкам известно: Ыс = С'+г_ 1. Вероятность Р(и = к) для допустимых по (1) значений к будем искать в виде Мс(к)/С^+г_ 1, где число Мс (к) определяется по процедуре их перечисления в следующем порядке:
перечисляем все допустимые по (2) и (3) фиксации г ячеек, содержащих ровно по к частиц числом способов С!
1)
•п .
Jni
По замечанию 2 число исходов схемы есть Мв (0) + Мв (1) = 14.
В результате получено: Р(и = 0) = 4/7; Р(и = 1) = 3/7 - вероятностное распределение минимального уровня заполнений в схеме. Отсюда по (8) находим условные распределения для с. в. рк:
Р (ро = 1/и = 0) = 7/8; Р (ро = 2/и = 0) = 1/8; Р (р1 = 1/и = 1) = 0/6 = 0; Р (р1 = 2/и = 1) = 6/6 = 1; Р (р1 = 3/и = 1) = 0/6 = 0.
Тогда число пустых ячеек ро имеет по (6) распределение
Р (ро = 0) = 6/14; Р (ро = 1) = 7/14; Р (ро = 2) = 1/14.
2) для каждой фиксации 1) перечисляем все размещения остальных (г — пк) частиц по остальным (п — г) ячейкам по схеме сочетаний с повторением без пустых ячеек числом способов С'-.пк1!: Они и определяют все возможные благоприятные событию (и = к) исходы при данной фиксации ровно г ячеек с минимальным уровнем заполнения к.
Тогда Мс (к) = 1 при г = пк и ь
Мс (к) = Е Сгп С
•n—i— 1
n C r nk 1
при r > nk, что и приводит к формуле (9).
Отсюда получаем вероятностное распределение с. в. рк при заданном значении k с. в. U, т. е. P(рк = i/U = k) = (1/MC(k)) при r = nk и
P (Pk=i/U=k) = (1/Mc (k))Cln Cnzlk1-1 (10)
при r > nk. Тогда вероятностное распределение с. в. ро снова находится по (6). □
1
Приведем числовой пример расчета вероятностных распределений приведенных характеристик.
Пример 3. Пусть п = 3, г = 4. Общее число исходов схемы Ыа = С4 = 15; к = 0, \4/?^] = 0,1; по (2) и (3) при к = 0 г = 1,Ь, где I = тах(1,3 — 4) = 1, Ь = 2, а при к = 1 г = 1,Ь, где I = тах(1, 6 — 4) = 2, Ь = 2.
Для наглядности и проверки результатов расчетов в примере приведем граф полного перечисления исходов схемы на рисунке 3, где исходы будем задавать в виде перечня уровней заполнения ячеек в порядке их нумерации.
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМЫ Б
Теорема 4. Для вероятностного распределения минимального заполнения ячеек при к, удовлетворяющего (1), выполняется соотношение
P (U = к) =
MD (к) N*(r, n)
(11)
N *(r.
--- V N(r — nk, n — i)
(r,n) z
Рис. 3. Граф перечисления исходов схемы C в примере 3
Fig. 3. Enumeration graph of outcomes of the scheme C in example 3
По формуле (9) при к = 0 получаем Р (и = 0) = (1/15)(С- С31 + С|Сз°) = (9 + 3)/15 = 12/15 = 4/5 (Мс (0) = 12), а при к = 1
Р (и = 1) = (1/15)С32С° = 3/15 = 1/5
(Мс (1) = 3). В результате получено: Р(и = 0) = 4/5; Р(и = 1) = 1/5 - вероятностное распределение минимального уровня заполнений в схеме. Отсюда по (10) находим условные распределения для с. в. ук:
Р (у° = 1/и = 0) = 9/12 = 3/4; Р (у° = 2/и = 0) = 3/12 = 1/4; Р (у- = 2/и = 1) = 3/3 = 1. Тогда число пустых ячеек у° имеет по (6) распределение
Р (у° = 0) = 3/15 = 1/5; Р (у° = 1) = 9/15 = 3/5; Р (у° = 2) = 3/15 = 1/5. Все полученные результаты совпадают с расчетами по графу на рисунке 3.
где N*(г, п) - число исходов схемы Б размещения неразличимых частиц по неразличимым ячейкам, а число исходов в той же схеме без пустых ячеек обозначено через N (г, п), Ми (к) - число исходов события (и = к), т. е. все варианты размещения частиц в схеме, когда в части ячеек по к частиц, а в остальных ячейках больше, чем по к частиц.
Доказательство. В [4] получены число исходов схемы Б размещения неразличимых частиц по неразличимым ячейкам N*(г, п) и число исходов в той же схеме без пустых ячеек N(г,п) (в обозначениях [4]). Вероятность Р(и = к) для допустимых по (1) значений к будем искать в виде Ми(к)/Ы*(г,п), где Ми (к) - число благоприятных исходов события (и = к), т. е. все варианты размещения частиц в схеме, когда в части ячеек по к частиц, а в остальных ячейках больше, чем по к частиц. Число Ми (к) определяется по процедуре их перечисления: при заданном по (1) числе к при всех допустимых по (2) и (3) значениях г € \1,Ь], считая, что во всех п ячейках уже находится по к частиц, размещаем (г — пк) остальных частиц по любым (п — г) ячейкам без пустых известным из [4] числом N (г—пк,п — г) (в принятых там обозначениях) способами, определяющими при каждом значении г благоприятное число исходов события
и = к.
Тогда
ь
Ми (к) = Е N (г — пк,п — г),
í=l
что и приводит к формуле (11).
Отсюда получаем вероятностное распределение с. в. ук при заданном значении к с. в. и, т. е.
Р(ук=г/и=к)=(1/Ми(к))Ы(г—пк, п—г).
(12)
Тогда вероятностное распределение с. в. ¿° снова находится по (6). □
Приведем числовой пример расчета вероятностных распределений приведенных характеристик.
Пример 4. Пусть п = 3, г = 4. Общее число исходов схемы по [4] N*(г,п) = 4, к = 0, [4/3] = 071; по (2) и (з) при к = 0 г = Т^Ь, где Т = тах(1,3 — 4) = 1, Ь = 2, а при к = 1 г = Т,Ь, где Т = тах(1,6 — 4) =2, Ь = 2.
Для наглядности и проверки результатов расчетов в примере приведем граф полного перечисления исходов схемы на рисунке 4, где исходы будем задавать в виде перечня в возрастающем порядке уровней заполнения ячеек.
ЛОДЗк—(0,0,4)
0,1,3) 0,2,2)
1,1,2)
Рис. 4. Граф перечисления исходов схемы D в примере 4
Fig. 4. Enumeration graph of outcomes of the scheme D in example 4
Очевидно, при к = 0, i = 1 по уровням заполнения ячеек получаем два исхода: (0,1,3) и (0,2,2), а при к = 0, i = 2 один исход: (0,0,4), откуда по (11) при к = 0 получаем
P (U = 0) = (1/4)(2 + 1) = 3/4 (Md (0) = 3),
а при к = 1, i = 2 получаем один исход: (1,1,2), откуда по (11) получаем
P (U = 1) = 1/4 (Md (1) = 1).
В результате получено: Р(и = 0) = 3/4; Р(и = 1) = 1/4 - вероятностное распределение минимального уровня заполнений в схеме. Отсюда по (12) находим условные распределения для с. в. рк:
Р(ро = 1/и = 0) = 2/3; Р(ро = 2/и = 0) = 1/3; Р(р1 = 2/и = 1) = 1.
Тогда число пустых ячеек ро имеет по (6) распределение Р(ро = 0) = 1/4; Р(ро = 1) = 1/2; Р(ро = 2) = 1/4.
Все полученные результаты совпадают с расчетами по графу на рисунке 4.
Литература
1. Энатская Н. Ю. Комбинаторное представление схемы размещения различимых частиц по неразличимым ячейкам // Дискретная математика. 2017. Т. 29, № 1. С. 86-93.
10.4213/ат1410
2. Энатская Н. Ю. Комбинаторный анализ подстановок с фиксированным числом циклов // Труды КарНЦ РАН. 2020. № 7. С. 110-119. ао1: 10.17076/таШ71
3. Энатская Н. Ю. Комбинаторный анализ схемы деления совокупности различимых элементов на части заданных размеров без учета их порядка // Труды КарНЦ РАН. 2019. № 7. С. 63-69. аок 10.17076/та1972
4. Энатская Н. Ю., Хакимуллин Е. Р., Кол-чин А. В. Анализ схемы размещения неразличимых частиц по неразличимым ячейкам // Труды КарНЦ РАН. 2014. № 4. С. 80-86.
5. Энатская Н. Ю. Комбинаторный анализ схемы домино и случай фиксированной минимальной цифры на фишке домино // Труды КарНЦ РАН. 2017. № 8. С. 86-93. ао1: 10.17076/та1562
Поступила в редакцию 09.12.2020
References
1. Enatskaya N. Yu. Kombinatornoe predstavlenie skhemy razmeshchenia razlichimykh chastits po nerazlichimym yacheikam [Combinatorial representation of the scheme of distiguishable particles arrangement to indistinguishable cells]. Diskretnaya matematika [Discrete Mathematics]. 2017. Vol. 29, no. 1. P. 126-135. doi: 10.4213/dm1410
2. Enatskaya N. Yu. Kombinatornyi analiz podstanovok s fiksirovannym chislom tsiklov [Combinatorial analysis of the permutations with
a fixed number of cycles]. Trudy KarNTs RAN [Trans. KarRC RAS]. 2020. No. 7. P. 110-119. doi: 10.17076/mat1171
3. Enatskaya N. Yu. Kombinatornyi analiz skhemy deleniya sovokupnosti razlichimykh elementov na chasti zadannykh razmerov bez ucheta ikh poryadka [Combinatorial analysis of the scheme of division of a population of distinguishable elements into parts of given sizes irrespective of their order]. Trudy KarNTs RAN [Trans. KarRC RAS]. 2019. No. 7. P. 63-69. doi: 10.17076/mat972
(83)
4. Enatskaya N. Yu., Khakimullin E. R., Kolchin A. V. Analiz skhemy razmeshcheniya nerazlichimykh chastits po nerazlichimym yacheikam [Analisis of a scheme of allocating indistinguishable particles to indistinguishable cells]. Trudy KarNTs RAN [Trans. KarRC RAS]. 2014. No. 4. P. 143-154.
5. Enatskaya N. Yu. Kombinatornyi analiz skhemy domino i sluchai fiksirovannoi minimal'noi tsifry na fishke domino [Combinatorial analysis of the scheme of domino and case of fixed minimal figure on board of domino]. Trudy KarNTs RAN [Trans. KarRC RAS]. 2017. No. 8. P. 86-93. doi: 10.17076/mat562
Received December 09, 2020
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
Энатская Наталия Юрьевна
доцент Департамента прикладной математики, к. ф.-м. н.
Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики», Московский институт
электроники и математики
ул. Таллинская, 34, Москва, Россия, 123458
эл. почта: nat1943@mail.ru
тел.: +79037411345
CONTRIBUTOR:
Enatskaya, Natalia
National Research University Higher School of Economics,
Moscow Institute of Electronics and Mathematics 34 Tallinskaya St., 123458 Moscow, Russia e-mail: nat1943@mail.ru tel.: +79037411345