ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМ РАЗМЕЩЕНИЯ ЧАСТИЦ ПО ЯЧЕЙКАМ С ФИКСИРОВАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ИХ МИНИМАЛЬНОГО ЗАПОЛНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды Карельского научного центра РАН

№6. 2021. С. 77-84

DOI: 10.17076/mat1347

УДК 519.115:519.2

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМ РАЗМЕЩЕНИЯ ЧАСТИЦ ПО ЯЧЕЙКАМ С ФИКСИРОВАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ИХ МИНИМАЛЬНОГО ЗАПОЛНЕНИЯ

Н. Ю. Энатская

Московский институт электроники и математики,

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Россия

В схемах равновероятного размещения r частиц по n ячейкам изучаются вероятностные распределения минимальных уровней заполнения ячеек, чисел ячеек с фиксированным минимальным уровнем заполнения и числа пустых ячеек. Рассматриваемые схемы отличаются разными парными качествами ячеек и частиц по их различимости.

Ключевые слова: варианты размещения частиц; число пустых ячеек; вероятностное распределение минимального заполнения ячеек.

N. Yu. Enatskaya. PROBABILITY ANALYSIS OF THE SCHEMES OF PARTICLE ALLOCATION TO CELLS WITH A FIXED MINIMUM FILLING VALUE

Schemes of equiprobable allocation of r particles to n cells are studied for the probability distributions of minimum cell fill levels, numbers of cells with a fixed minimum fill level, and the number of empty cells. The schemes have different paired qualities of cells and particles in terms of their distinguishability.

Keywords: particle allocation variants; number of empty cells; probability distribution of the minimal numbers of elements per cells.

Введение

Вероятностные распределения указанных для исследования характеристик определяются в следующих четырех схемах размещения частиц по ячейкам, характеризующихся разными парными качествами ячеек и частиц в них:

схема А - размещение различимых частиц по различимым ячейкам;

схема В - размещение различимых частиц по неразличимым ячейкам;

схема С - размещение неразличимых частиц по различимым ячейкам;

схема О - размещение неразличимых частиц по неразличимым ячейкам.

Вероятностный анализ схем проводится на основе процедур прямого перечисления благоприятных исходов схем для допустимых значений изучаемых характеристик со следующими обозначениями:

и - минимальный уровень заполнения ячеек в исходе схемы;

^к - число ячеек с минимальным уровнем заполнения и = к, где к - целое ^ 0;

^о - число пустых ячеек.

Для всех схем считаем, что г ^ пк.

Укажем диапазоны изменения возможных значений к, у к изучаемых характеристик. Очевидно, что

к = 0, [r/n], где [Z] - целая часть числа Z,

ßh = h L,

(1)

(2)

где для ук при заданном значении к величины I и Ь очевидно определяются из условий г — укк ^ (п — ук)(к + 1), т. к. ук ячеек с к частицами, а остальные (п—ук) ячеек с более чем к частицами, откуда г ^ укк + (п — ук)(к + 1), а Ь = п, когда г = пк, или Ь = п — 1, когда г > пк , что можно записать следующими формулами для значений I и Ь:

l = max(1,n(k + 1) — r),

j = 1- cn+r

—nh

L = n — J.

(3)

Число пустых ячеек равно 0 при и = к > 0.

Вероятностный анализ характеристик схем начнем с нахождения распределения случайной величины (с. в.) и с учетом разных качеств ячеек и частиц (по их различимости):

а) при различимости ячеек будем различать варианты наборов составов частиц в ячейках (для различимых частиц) или их количеств (для неразличимых частиц);

б) при различимости частиц будем различать наборы составов частиц в ячейках с учетом порядка этих наборов (для различимых ячеек) или без учета их порядка (для неразличимых ячеек).

Теперь по приведенным общим соображениям будем находить вероятностные распределения исследуемых характеристик в каждой схеме со спецификой, определяемой качествами ячеек и частиц.

1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМЫ А

Теорема 1. Для вероятностного распределения минимального заполнения ячеек при к, удовлетворяющего (1), выполняется соотношение

P (U = к) =

MA(k)

ЕЕ

nr ^ ^ \ Ш Wj!

i=i ({w}) V1 Lj=1 3

n!

a=0

qa!

(4)

в остальных ячейках больше, чем по к, последняя сумма производится по перечислению всех наборов {и} уровней заполнения ячеек и = (и1,...,ип) в данном их порядке при каждой фиксации числа г ячеек с их заданным минимальным уровнем заполнения к, а ) = (д0,... ,дг) - вторая маркировка уровней заполнения ячеек, где да - число ячеек с уровнем заполнения а, а = 0, г.

Доказательство. Число исходов Ыа схемы А размещения различимых частиц по различимым ячейкам известно: Ыа = пг. Вероятность Р(и = к) для допустимых по (1) значений к будем искать в виде МА(к)/пг. Число исходов МА(к) определяется по процедуре их перечисления в следующем порядке:

1) перечисляем все допустимые по (2) и (3) значения ук ячеек, содержащих ровно по к частиц;

2) для каждого значения ук = г из 1) перечисляем все размеры превышения заданного уровня заполнения остальных (п — г) ячеек по схеме сочетаний с повторением без пустых ячеек при размещении по ним (г — пк) неразличимых частиц числом способов СП-Пк-1 в виде т = (т1,..., тп), где компоненты превышений перечисляются в порядке нумерации ячеек, и на местах выбранных в 1) г ячеек стоят нули;

3) прибавляя ко всем компонентам каждого вектора из 2) т) по к, получаем все наборы требуемых размеров уровней заполнения ячеек и) = (и -, . . . , и п);

4) для каждого и вычисляем );

5) по результатам 3) и 4) по схеме перестановок с повторением находим число размещений г различимых частиц по п различимым ячейкам во всех заданных вектором и) количествах при фиксированном значении г, обеспечивающих выполнение события (и = к) - это первый сомножитель в круглых скобках в (4), и число делений п ячеек на группы ячеек с совпадающими уровнями заполнений - это второй сомножитель в круглых скобках

в (4).

Тогда

где МА(к) - число исходов события (и = к), т. е. все варианты размещения частиц в схеме, когда в части ячеек по к частиц, а

L

MA(k) = Е Е

r!

n!

^ п

i=l ({w})11

3=1 W3 ! Пa=0 qa!

78

1

r

r

а перечисление всех наборов {и} при каждой фиксации числа г ячеек с их заданным минимальным уровнем заполнения к следует из перечисления исходов схемы сочетаний с повторением в количестве С'—'-^ в связи с перебором наборов размеров превышений уровня заполнения ячеек, описанным в п. 2) перечисления благоприятных исходов события (и = к), что приводит к формуле (4).

Отсюда получаем вероятностное распределение с. в. рк при заданном значении к с. в. и, т. е.

P(рк = i/U = k)

(l/MA(k)) £

Г!

П!

(М)

П

n 1 Wj !Пa=0 qa!'

(5)

j=

где сумма производится по перечислению всех наборов {гВ*} = [гВ)} : ^'=1I(wj — к) = п — г при I^) = 0, когда Z = 0, и I^) = 1, когда Z > 0. Тогда при 3 =0

Р (ро = 3 ) = Р (и = 0), и при 3 > 0 (6)

Р (ро = 3) = Р (ро = 3/и = 0)Р (и = 0).

Замечание 1. а) Очевидно, что ^к Мд(к) =

пг.

б) Формулы (6) верны для всех схем А - О.

Приведем числовой пример расчета вероятностных распределений приведенных характеристик.

Пример 1. Пусть п = 3, г = 3. Общее число исходов схемы Жа = 33 = 27; к = 0, [3/3] = 0,1; по (2) и (3) при к = 0 г = ¡,Ь, где I = тах(1,3 — 3) = 1, Ь = 2, а при к = 1 г = ¡,Ь, где I = тах(1, 6 — 3) = 3, Ь = 3.

Для наглядности и проверки результатов расчетов в примере приведем граф полного перечисления исходов схемы на рисунке 1.

Для к = 0, г = 1 при любой фиксации одной ячейки с уровнем заполнения 0 получаем одинаковые по составу наборы уровней заполнения г) = (0,1, 2), для которых ) = (1,1,1, 0);

для к = 0, г = 2 при любой фиксации двух ячеек с уровнем заполнения 0 получаем одинаковые по составу наборы уровней заполнения г) = (0, 0, 3), для которых ) = (2, 0, 0,1); тогда находим

Ma(0) =

3!

3!

+

3!

3!

0!1!2! 1!1!1!0! 0!0!3! 2!0!0!1!

= 18 + 3 = 21.

Рис. 1. Граф перечисления исходов схемы A в примере 1

Fig. 1. Enumeration graph of outcomes of the scheme A in example 1

Отсюда по (4) получаем P(U = 0) = 21/27 = 7/9.

Для к = 1, i = 3 при фиксации трех ячеек с уровнем заполнения 1 получаем один набор уровней заполнения w = (1,1,1), для которого q = (0, 3, 0, 0); тогда находим

3! 3! Ma(1)=1!1!1!0!3!0!0!=6. Проверка по замечанию 1: Ma (0) + Ma(1) = 27 = 33.

В результате получено: P(U = 0) = 7/9; P(U = 1) = 2/9 - вероятностное распределение минимального уровня заполнений в схеме. Отсюда по (5) находим условные распределения для с. в. ц,к:

P (ро = 1/U = 0) = 18/21 = 6/7; P (ро = 2/U = 0) = 3/21 = 1/7; P (pi = 3/U = 1) = 6/6 = 1.

Тогда число пустых ячеек ро имеет по (6) распределение

P (ро = 0) = 6/27 = 2/9; P (ро = 1) = 18/27 = 6/9; P (ро = 2) = 3/27 = 1/9.

Все полученные результаты совпадают с расчетами по графу на рисунке 1.

2. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМЫ В

Теорема 2. Для вероятностного распределения минимального заполнения ячеек при к, удовлетворяющего (1), выполняется соотношение

1

Р(и = к) =

ЕЕ

г=1 (М)

Мв (к) Ыв

Г:

(7)

пп=1 и щ п=1 да!'

по п различимым ячейкам во всех заданных вектором и количествах при фиксированном значении г, обеспечивающих выполнение события (и = к).

Тогда в связи с неразличимостью ячеек, учитывая делением на ЛП= 1 да! неразличимость перестановок составов ячеек, совпадающих по уровням ^ 1 заполнения ячеек, получаем число исходов схемы

где число исходов Ыв схемы В размещения различимых частиц по неразличимым ячейкам, Мв (к)-число исходов события (и=к), т. е. все варианты размещения частиц в схеме, когда в части ячеек по к частиц, а в остальных ячейках больше, чем по к, а последняя сумма производится по перечислению всех наборов {и)} уровней заполнения ячеек и в порядке их возрастания при каждой фиксации числа г ячеек с их заданным минимальным уровнем заполнения к, а ) = (д1,..., дп,) - вторые маркировки уровней заполнения ячеек по всем положительным заполнениям п* ^ г.

Доказательство. Число исходов Ыв схемы В размещения различимых частиц по неразличимым ячейкам Ыв получено в [1]. Вероятность Р(и = к) для допустимых по (1) значений к будем искать в виде Мв(к)/Ыв. Число исходов Мв (к) определяется по процедуре их перечисления в следующем порядке:

1) при заданном по (1) числе к по всем допустимым по (2) и (3) значениям г ячеек с минимальным уровнем заполнения к перечисляем все размеры превышения заданного уровня заполнения остальных (п — г) ячеек по схеме деления остальных (г — пк) частиц, считая их номера от 1 до (г — пк), на (п — г) непустых частей по [2] и проводя по ним перечисление всех разных упорядоченных по возрастанию наборов размеров этих превышений по всем (п — г) ячейкам, в виде гп = (т1,..., тп), где первые г компонент = 0;

2) прибавляя ко всем компонентам каждого вектора из 1) т по к, получаем все наборы требуемых размеров уровней заполнения ячеек ип = (и1,..., ип), среди которых проводим вторые маркировки по всем положительным размерам заполнений п* ^ г вида ) = (д1,... ,дп*);

3) по результату 2) по схеме из [3] находим число размещений г различимых частиц

Мв (к) = ЕЕ

пп=1 и !П п= 1 да!

^ (М)

где первая сумма производится по значениям г, а вторая - по перечислению всех наборов {и)} при каждом значении г с их заданным минимальным уровнем заполнения к, которое следует из перечисления исходов указанной схемы из [2] в связи с перебором наборов размеров превышений уровня заполнения ячеек, описанным в п. 1) перечисления благоприятных исходов события (и = к) (значение к меняется по (1)).

Отсюда получаем вероятностное распределение с. в. ук при заданном значении к с. в. и, т. е.

Р(ук = г/и = к)

(1/Мв(к)) Е

г:

({»*})

пп=1 и: П

а=1

да:

где сумма производится по перечислению всех наборов {ип*} = {и)} '■ ^п=1I— к) = п — г при I(2) = 0, когда 2 = 0, и I(2) = 1, когда 2> 0.

Тогда вероятностное распределение с. в. у0 снова находится по (6). □

Замечание 2. Очевидно, что ^к Мв (к) -число исходов схемы В.

Приведем числовой пример расчета вероятностных распределений приведенных характеристик.

Пример 2. Пусть п = 3, г = 4. Общее число исходов схемы Ыв по [1] равно 14 и можно проверить по графу перечисления (см. рис. 2); к = 0\4/Ц = 0Д; по (2) и (3) при к = 0 г = 1,Ь, где I = тах(1,3 — 4) = 1, Ь = 2, а при к = 1 г = 1,Ь, где I = тах(1,6 — 4) =2, Ь = 2.

Для к = 0, г = 1 получаем все и - это ио = (0,1, 3) с ) = (1,1) и ио = (0, 2, 2) с )= (2).

80

г

п

= (1/14)(:

P (U = 0)

4! 4!

+

+

4!

)

= (1/14)

4!

1!1!2!2!1!

P (U = 1)

= 6/14 = 3/7 (Mb (1) = 6).

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМЫ С

Подобная схема исследовалась в [5].

Теорема 3. Для вероятностного распределения минимального заполнения ячеек при к, удовлетворяющего (1), выполняется соотношение

Р (и = к) = М <к>

при r = nk и

P (U = k) =

fir

cn+r—1

Mc (k)

с r

cn+r—1

Рис. 2. Граф перечисления всех исходов схемы B в примере 2

Fig. 2. Enumeration graph of all outcomes of the scheme B in example 2

Для k = 0, i = 2 получаем все w - это W = (0, 0, 4) с q = (1). Отсюда по (7) находим

r

cn+r—1 i=

Е cn с

(9)

n—i— 1 n-'r-nk-1

0!1!3!1!1! 0!2!2!2! 0!0!4!1!

= (1/14)(4+3+1) = 8/14 = 4/7 (Mb (0)=8).

Для k = 1, i = 2 получаем все W - это W = (1,1, 2) с q = (2,1). Отсюда по (7) находим

при г > пк, где Мс (к) - число исходов события (и = к), т. е. все варианты размещения частиц в схеме, когда в части ячеек по к частиц, а в остальных ячейках больше, чем по к частиц.

Доказательство. Число исходов Ыс схемы С размещения неразличимых частиц по различимым ячейкам известно: Ыс = С'+г_ 1. Вероятность Р(и = к) для допустимых по (1) значений к будем искать в виде Мс(к)/С^+г_ 1, где число Мс (к) определяется по процедуре их перечисления в следующем порядке:

перечисляем все допустимые по (2) и (3) фиксации г ячеек, содержащих ровно по к частиц числом способов С!

1)

•п .

Jni

По замечанию 2 число исходов схемы есть Мв (0) + Мв (1) = 14.

В результате получено: Р(и = 0) = 4/7; Р(и = 1) = 3/7 - вероятностное распределение минимального уровня заполнений в схеме. Отсюда по (8) находим условные распределения для с. в. рк:

Р (ро = 1/и = 0) = 7/8; Р (ро = 2/и = 0) = 1/8; Р (р1 = 1/и = 1) = 0/6 = 0; Р (р1 = 2/и = 1) = 6/6 = 1; Р (р1 = 3/и = 1) = 0/6 = 0.

Тогда число пустых ячеек ро имеет по (6) распределение

Р (ро = 0) = 6/14; Р (ро = 1) = 7/14; Р (ро = 2) = 1/14.

2) для каждой фиксации 1) перечисляем все размещения остальных (г — пк) частиц по остальным (п — г) ячейкам по схеме сочетаний с повторением без пустых ячеек числом способов С'-.пк1!: Они и определяют все возможные благоприятные событию (и = к) исходы при данной фиксации ровно г ячеек с минимальным уровнем заполнения к.

Тогда Мс (к) = 1 при г = пк и ь

Мс (к) = Е Сгп С

•n—i— 1

n C r nk 1

при r > nk, что и приводит к формуле (9).

Отсюда получаем вероятностное распределение с. в. рк при заданном значении k с. в. U, т. е. P(рк = i/U = k) = (1/MC(k)) при r = nk и

P (Pk=i/U=k) = (1/Mc (k))Cln Cnzlk1-1 (10)

при r > nk. Тогда вероятностное распределение с. в. ро снова находится по (6). □

1

Приведем числовой пример расчета вероятностных распределений приведенных характеристик.

Пример 3. Пусть п = 3, г = 4. Общее число исходов схемы Ыа = С4 = 15; к = 0, \4/?^] = 0,1; по (2) и (3) при к = 0 г = 1,Ь, где I = тах(1,3 — 4) = 1, Ь = 2, а при к = 1 г = 1,Ь, где I = тах(1, 6 — 4) = 2, Ь = 2.

Для наглядности и проверки результатов расчетов в примере приведем граф полного перечисления исходов схемы на рисунке 3, где исходы будем задавать в виде перечня уровней заполнения ячеек в порядке их нумерации.

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМЫ Б

Теорема 4. Для вероятностного распределения минимального заполнения ячеек при к, удовлетворяющего (1), выполняется соотношение

P (U = к) =

MD (к) N*(r, n)

(11)

N *(r.

--- V N(r — nk, n — i)

(r,n) z

Рис. 3. Граф перечисления исходов схемы C в примере 3

Fig. 3. Enumeration graph of outcomes of the scheme C in example 3

По формуле (9) при к = 0 получаем Р (и = 0) = (1/15)(С- С31 + С|Сз°) = (9 + 3)/15 = 12/15 = 4/5 (Мс (0) = 12), а при к = 1

Р (и = 1) = (1/15)С32С° = 3/15 = 1/5

(Мс (1) = 3). В результате получено: Р(и = 0) = 4/5; Р(и = 1) = 1/5 - вероятностное распределение минимального уровня заполнений в схеме. Отсюда по (10) находим условные распределения для с. в. ук:

Р (у° = 1/и = 0) = 9/12 = 3/4; Р (у° = 2/и = 0) = 3/12 = 1/4; Р (у- = 2/и = 1) = 3/3 = 1. Тогда число пустых ячеек у° имеет по (6) распределение

Р (у° = 0) = 3/15 = 1/5; Р (у° = 1) = 9/15 = 3/5; Р (у° = 2) = 3/15 = 1/5. Все полученные результаты совпадают с расчетами по графу на рисунке 3.

где N*(г, п) - число исходов схемы Б размещения неразличимых частиц по неразличимым ячейкам, а число исходов в той же схеме без пустых ячеек обозначено через N (г, п), Ми (к) - число исходов события (и = к), т. е. все варианты размещения частиц в схеме, когда в части ячеек по к частиц, а в остальных ячейках больше, чем по к частиц.

Доказательство. В [4] получены число исходов схемы Б размещения неразличимых частиц по неразличимым ячейкам N*(г, п) и число исходов в той же схеме без пустых ячеек N(г,п) (в обозначениях [4]). Вероятность Р(и = к) для допустимых по (1) значений к будем искать в виде Ми(к)/Ы*(г,п), где Ми (к) - число благоприятных исходов события (и = к), т. е. все варианты размещения частиц в схеме, когда в части ячеек по к частиц, а в остальных ячейках больше, чем по к частиц. Число Ми (к) определяется по процедуре их перечисления: при заданном по (1) числе к при всех допустимых по (2) и (3) значениях г € \1,Ь], считая, что во всех п ячейках уже находится по к частиц, размещаем (г — пк) остальных частиц по любым (п — г) ячейкам без пустых известным из [4] числом N (г—пк,п — г) (в принятых там обозначениях) способами, определяющими при каждом значении г благоприятное число исходов события

и = к.

Тогда

ь

Ми (к) = Е N (г — пк,п — г),

í=l

что и приводит к формуле (11).

Отсюда получаем вероятностное распределение с. в. ук при заданном значении к с. в. и, т. е.

Р(ук=г/и=к)=(1/Ми(к))Ы(г—пк, п—г).

(12)

Тогда вероятностное распределение с. в. ¿° снова находится по (6). □

Приведем числовой пример расчета вероятностных распределений приведенных характеристик.

Пример 4. Пусть п = 3, г = 4. Общее число исходов схемы по [4] N*(г,п) = 4, к = 0, [4/3] = 071; по (2) и (з) при к = 0 г = Т^Ь, где Т = тах(1,3 — 4) = 1, Ь = 2, а при к = 1 г = Т,Ь, где Т = тах(1,6 — 4) =2, Ь = 2.

Для наглядности и проверки результатов расчетов в примере приведем граф полного перечисления исходов схемы на рисунке 4, где исходы будем задавать в виде перечня в возрастающем порядке уровней заполнения ячеек.

ЛОДЗк—(0,0,4)

0,1,3) 0,2,2)

1,1,2)

Рис. 4. Граф перечисления исходов схемы D в примере 4

Fig. 4. Enumeration graph of outcomes of the scheme D in example 4

Очевидно, при к = 0, i = 1 по уровням заполнения ячеек получаем два исхода: (0,1,3) и (0,2,2), а при к = 0, i = 2 один исход: (0,0,4), откуда по (11) при к = 0 получаем

P (U = 0) = (1/4)(2 + 1) = 3/4 (Md (0) = 3),

а при к = 1, i = 2 получаем один исход: (1,1,2), откуда по (11) получаем

P (U = 1) = 1/4 (Md (1) = 1).

В результате получено: Р(и = 0) = 3/4; Р(и = 1) = 1/4 - вероятностное распределение минимального уровня заполнений в схеме. Отсюда по (12) находим условные распределения для с. в. рк:

Р(ро = 1/и = 0) = 2/3; Р(ро = 2/и = 0) = 1/3; Р(р1 = 2/и = 1) = 1.

Тогда число пустых ячеек ро имеет по (6) распределение Р(ро = 0) = 1/4; Р(ро = 1) = 1/2; Р(ро = 2) = 1/4.

Все полученные результаты совпадают с расчетами по графу на рисунке 4.

Литература

1. Энатская Н. Ю. Комбинаторное представление схемы размещения различимых частиц по неразличимым ячейкам // Дискретная математика. 2017. Т. 29, № 1. С. 86-93.

10.4213/ат1410

2. Энатская Н. Ю. Комбинаторный анализ подстановок с фиксированным числом циклов // Труды КарНЦ РАН. 2020. № 7. С. 110-119. ао1: 10.17076/таШ71

3. Энатская Н. Ю. Комбинаторный анализ схемы деления совокупности различимых элементов на части заданных размеров без учета их порядка // Труды КарНЦ РАН. 2019. № 7. С. 63-69. аок 10.17076/та1972

4. Энатская Н. Ю., Хакимуллин Е. Р., Кол-чин А. В. Анализ схемы размещения неразличимых частиц по неразличимым ячейкам // Труды КарНЦ РАН. 2014. № 4. С. 80-86.

5. Энатская Н. Ю. Комбинаторный анализ схемы домино и случай фиксированной минимальной цифры на фишке домино // Труды КарНЦ РАН. 2017. № 8. С. 86-93. ао1: 10.17076/та1562

Поступила в редакцию 09.12.2020

References

1. Enatskaya N. Yu. Kombinatornoe predstavlenie skhemy razmeshchenia razlichimykh chastits po nerazlichimym yacheikam [Combinatorial representation of the scheme of distiguishable particles arrangement to indistinguishable cells]. Diskretnaya matematika [Discrete Mathematics]. 2017. Vol. 29, no. 1. P. 126-135. doi: 10.4213/dm1410

2. Enatskaya N. Yu. Kombinatornyi analiz podstanovok s fiksirovannym chislom tsiklov [Combinatorial analysis of the permutations with

a fixed number of cycles]. Trudy KarNTs RAN [Trans. KarRC RAS]. 2020. No. 7. P. 110-119. doi: 10.17076/mat1171

3. Enatskaya N. Yu. Kombinatornyi analiz skhemy deleniya sovokupnosti razlichimykh elementov na chasti zadannykh razmerov bez ucheta ikh poryadka [Combinatorial analysis of the scheme of division of a population of distinguishable elements into parts of given sizes irrespective of their order]. Trudy KarNTs RAN [Trans. KarRC RAS]. 2019. No. 7. P. 63-69. doi: 10.17076/mat972

(83)

4. Enatskaya N. Yu., Khakimullin E. R., Kolchin A. V. Analiz skhemy razmeshcheniya nerazlichimykh chastits po nerazlichimym yacheikam [Analisis of a scheme of allocating indistinguishable particles to indistinguishable cells]. Trudy KarNTs RAN [Trans. KarRC RAS]. 2014. No. 4. P. 143-154.

5. Enatskaya N. Yu. Kombinatornyi analiz skhemy domino i sluchai fiksirovannoi minimal'noi tsifry na fishke domino [Combinatorial analysis of the scheme of domino and case of fixed minimal figure on board of domino]. Trudy KarNTs RAN [Trans. KarRC RAS]. 2017. No. 8. P. 86-93. doi: 10.17076/mat562

Received December 09, 2020

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

Энатская Наталия Юрьевна

доцент Департамента прикладной математики, к. ф.-м. н.

Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики», Московский институт

электроники и математики

ул. Таллинская, 34, Москва, Россия, 123458

эл. почта: nat1943@mail.ru

тел.: +79037411345

CONTRIBUTOR:

Enatskaya, Natalia

National Research University Higher School of Economics,

Moscow Institute of Electronics and Mathematics 34 Tallinskaya St., 123458 Moscow, Russia e-mail: nat1943@mail.ru tel.: +79037411345