CC BY
7
по критерию устойчивости при центральном сжатии
НАУЧНАЯ СТАТЬЯ / RESEARCH PAPER УДК 624.046.5
DOI: 10.22227/1997-0935.2022.12.1653-1663
Вероятностный анализ надежности деревянной стойки по критерию устойчивости при центральном сжатии
Сергей Александрович Соловьев, Юлия Александровна Инькова, Анастасия Андреевна Соловьева
Вологодский государственный университет (ВоГУ); г. Вологда, Россия
АННОТАЦИЯ
Введение. Обеспечение безопасности — приоритетная цель при проектировании, строительстве и эксплуатации строительных конструкций зданий и сооружений. Количественной оценкой безопасности может служить вероятность безотказной работы несущего элемента здания и сооружения. Выполнены исследование и анализ алгоритмов оценки надежности для деревянной стойки по критерию ее устойчивости при центральном сжатии. Материалы и методы. Классическим подходом для решения многих задач по анализу надежности в инженерно-строительной сфере является метод FOSM (First Order Second Moment). В данном подходе применяются вторые статистические моменты случайных величин (математическое ожидание и дисперсия) и метод статистической линеаризации с разложением функции в ряд Тейлора первого порядка. Однако зачастую приходится иметь дело с нелинейными функциями предельного состояния, где метод статистической линеаризации может привести к неверным результатам. В этом случае необходимо использовать другие алгоритмы анализа надежности: алгоритм Хасофера -Линда, SORM (Second Order Reliability Method) и др.
Результаты. Рассмотрен численный пример анализа надежности деревянной стойки при центральном сжатии. В качестве случайных величин приняты размеры поперечного сечения стойки и прочность древесины, а нагрузка считается детерминированной величиной. Описан алгоритм расчета надежности деревянной стойки и при случайной на- < ЦП грузке. Классический подход FOSM показал завышенный на 35 % индекс надежности по сравнению с результатами s С численного эксперимента методом Монте-Карло и аналитическим решением по алгоритму Хасофера - Линда. J н
Выводы. Применение традиционного метода FOSM для анализа надежности деревянных стоек по критерию устой- k и чивости может приводить к завышенным оценкам индекса надежности, что недопустимо с точки зрения безопасности g эксплуатации строительных конструкций. Расчет и анализ надежности деревянных стоек следует проводить на ос- О Щ нове алгоритма Хасофера - Линда, метода SORM или других методов оптимизации. U О
0 •
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: надежность, вероятность отказа, деревянная стойка, устойчивость, вероятностное проек- M 1
0 сл
тирование, индекс надежности 5 ся
1 1
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Соловьев С.А., Инькова Ю.А., Соловьева А.А. Вероятностный анализ надежности деревян- J 9 ной стойки по критерию устойчивости при центральном сжатии // Вестник МГСУ. 2022. Т. 17. Вып. 12. С. 1653-1663. о -DOI: 10.22227/1997-0935.2022.12.1653-1663 5 о
o 5
Автор, ответственный за переписку: Юлия Александровна Инькова, [email protected]. § (
о!
§I
0 s
n 2 a 0
Vologda State University (VSU); Vologda, Russian Federation С 0
- i 0
1°
Reliability analysis of compressed timber studs on the buckling criterion
Sergey A. Solovev, Yulia A. Inkova, Anastasia A. Soloveva
ABSTRACT
Introduction. Ensuring safety is a priority goal in the design, construction and operation of building and structures. A quantitative e e
assessment of safety can be the failure probability of a structural element. The article presents algorithms for reliability analysis • •
of timber studs by the buckling criterion under central compression force. ° H
Materials and methods. The FOSM (First Order Second Moment) method is a classic approach for solving many reliability U |
analyses tasks in the engineering sector. This method uses the second statistical moments of random variables (mathematical 3 1
expectation and variance) and the method of statistical linearization with the decomposition of the function into a Taylor series ® .
of the first order. However, it is often necessary to deal with nonlinear limit state functions, where the statistical linearization 7 g
method can lead to incorrect results. In this case, it is necessary to use other algorithms for reliability analysis: the Hasofer - " _ Lind method, SORM (Second Order Reliability Method), etc
г
(Л п S У
Results. The numerical example of reliability analysis for compressed timber studs on the buckling criterion is considered. g O
To illustrate the problem of the research, the dimensions of the cross-section of the studs and the strength of the wood are 1 1
taken as random variables, and the load is considered a deterministic value. In the following, an algorithm for reliability analysis , ,
is described for a timber studs under random load. The classical FOSM approach showed an overestimated reliability index 2 2
by 35 % compared to the results of the Monte Carlo numerical experiment and the analytical solution using the Hasofer - Lind 2 2 algorithm.
© С.А. Соловьев, Ю.А. Инькова, А.А. Соловьева, 2022
Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)
1653
Conclusions. The use of the traditional FOSM method for reliability analysis of wooden studs according to the buckling criterion can lead to overestimated reliability index estimates. It is unacceptable from the point of view of the structural safety. The calculation and analysis of the reliability of timber studs should be carried out on the basis of the Hasofer - Lind algorithm, the SORM method or other optimization methods.
KEYWORDS: reliability, failure probability, wooden stud, buckling, probabilistic design, reliability index
FOR CITATION: Solovev S.A., Inkova Yu.A., Soloveva A.A. Reliability analysis of compressed timber studs on the buckling criterion. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2022; 17(12):1653-1663. DOI: 10.22227/19970935.2022.12.1653-1663 (rus.).
Corresponding author: Yulia A. Inkova, [email protected].
N N N N О О N N
NN г г
К (V U 3 > (Л
с и U N
л?
<D <D
О ё
(Л W
.Е о
^ с
ю о
S 1
о ЕЕ
О) ^
t- ^
£
22 J > А
О И
ВВЕДЕНИЕ
В соответствии с ГОСТ 27751-2014 «Надежность строительных конструкций и оснований», надежность строительного объекта — это его способность выполнять требуемые функции в течение расчетного срока эксплуатации. Аналогичный термин приведен в Eurocode 0 «Basis of structural design» с примечанием, что «надежность обычно выражается в вероятностных терминах». Надежность строительных конструкций по действующим нормам и правилам обеспечивается за счет исполнения требований (критериев) для всех учитываемых предельных состояний при действии наиболее неблагоприятных сочетаний расчетных нагрузок.
Текущий подход к проектированию строительных конструкций позволяет проверить выполнение требований по обеспечению некоторого уровня надежности, но не дает возможность получить ее количественную оценку в вероятностных терминах. В исследовании [1] отмечается, что «несмотря на то, что можно получить очень подробные численные прогнозы при проектировании сооружений (на основе конечно-элементных моделей), эти результаты часто не достигают удовлетворительного уровня согласия с «реальностью», т.е. с действительным физическим поведением рассматриваемого континуума в эффективной эксплуатационной среде. Это несоответствие вызвано эпистемологической (сокращаемая неопределенность, вызванная недостатком знаний или данных) и алеаторной (несокращаемая неопределенность, возникающая из-за стохастической природы окружающей среды) неопределенностями модели». В работе [2] указывается, что «надежность любой конструкции является по существу конструктивным параметром, который должен вводиться в систему на этапе проектирования. При проектировании любой конструктивной системы следует иметь в виду, что ее рабочие характеристики и параметры являются вероятностными по своей природе. Очевидно, что факторы, определяющие прочность элементов и действующие на них нагрузки, также являются вероятностными. Это означает, что при оценке показателей надежности на этапе проектирования необходимо учитывать вероятностный характер параметров системы».
Гарантия безопасности — приоритетная цель при проектировании, строительстве и эксплуатации
строительных конструкции здании и сооружении. Один из главных показателей безопасности строительных конструкции — их надежность. Обеспечение надежности подтверждается путем проверки критериев предельных состояний, предусмотренных нормами для данного типа конструкций.
Разработка современных методов прогнозирования срока службы проектируемых элементов и конструкции, т.е. обеспечение надежности строительного объекта, на сегодняшний день приобретает особую важность [3]. Изучение надежности строительных конструкций связано с вычислением и прогнозированием вероятности нарушения предельного состояния для спроектированной конструктивной системы на любом этапе ее эксплуатации в течение всего срока службы [4].
В настоящий момент надежность элементов деревянных конструкций (ДК) создается за счет использования коэффициентов надежности (в российских нормативных документах) и частных коэффициентов (в европейских стандартах). Метод расчета носит название полувероятностного, так как частично физико-механические характеристики и нагрузки определяются с заданной обеспеченностью (вероятностью непревышения), но затем умножаются или делятся на коэффициенты запаса. Опыт эксплуатации показывает, что такой подход позволяет создавать безопасные деревянные конструкции, но не дает возможность получить количественную оценку уровня их безопасности. Как отмечают авторы исследования [5], «по данным В.В. Большакова, в 1929 г. впервые (не только в СССР, но и за границей) были опубликованы технические условия и нормы проектирования деревянных конструкций (ДК). Обновлялись они довольно часто — в 1931, 1938, 1940 гг., т.е. через 2-7 лет. В последние годы у нас и в технически развитых зарубежных странах новые редакции норм выходили через 8-10 лет». На данный момент в РФ актуальным нормативным документом по расчету ДК является СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции. Актуализированная редакция СНиП 11-25-80» с Изменением № 31. Профессора
СП 64.13330.2017. Деревянные конструкции. Актуализированная редакция СНиП 11-25-80 с Изменением № 3 : утв. и введен в действие приказом Министерства строительства и жилищно-коммунального хозяйства Российской Федерации от 23.12.2021 № 988/пр с 24.01.2022.
1654
И.И. Ведяков и К.П. Пятикрестовский, внесшие значительный вклад в развитие норм расчета и проектирования, в том числе деревянных конструкций, указывают на предложения о включении в нормы проектирования расчетов на надежность и живучесть, основанных на совместной работе элементов и несущих каркасов [6].
Зимой 2005-2006 гг. на крышах домов в Центральной Европе скопилось много снега, а в Германии, Австрии и Польше произошло большое количество (>50) обрушений ДК крыш [7]. Некоторые из них привели к гибели людей и привлекли внимание средств массовой информации, которые зачастую описывают такие события как стихийные непредсказуемые бедствия. Однако, как пишут авторы труда [7], истина заключается в том, что конструкции должны быть спроектированы таким образом, чтобы выдерживать и экстремальные снеговые нагрузки. Одним из предлагаемых авторами [7] решений данной проблемы является использование прямой вероятностной модели снеговой нагрузки, а не ее максимального значения за расчетный период с последующим применением коэффициента запаса. Расчетами подобного характера оперирует такая наука, как теория надежности строительных конструкций.
Вопросы надежности и вероятностного проектирования несущих элементов строительных конструкций из древесины — предмет исследований многих ученых. Способы определения надежности элементов ДК с учетом вероятностной интерпретации коэффициента надежности по ответственности для разных законов распределения прочности и нагрузки приведены в публикации [8]. Прочность древесины, как правило, допускается описывать нормальным распределением вероятностей [9].
В исследовании [10] выполнен вероятностный анализ надежности элементов конструкций покрытий различных зданий и сооружений с учетом фактора изменчивости размеров поперечных сечений элементов по длине. Подчеркивается, что средний коэффициент вариации размеров (для древесины с небольшими биологическими повреждениями) прямоугольного поперечного сечения составляет 5 %, круглого поперечного сечения — 15 %. Для конструкций с высокой степенью износа коэффициент вариации поперечного сечения в среднем составляет 20 %, но может доходить до 40 %.
Построены вероятностные модели прогноза долговечности деревянных элементов зданий и сооружений [11]. Приведен вероятностный анализ моделей снижения прочности древесины со временем.
Одной из проблем анализа надежности является подбор эффективного алгоритма вычисления индекса надежности или вероятности безотказной работы для конкретной задачи. В математических моделях, близких к линейным, используется метод FOSM (First Order Second Moment) [12, 13].
Сегодня в научном сообществе развиваются перспективные подходы по изучению теории надежности строительных конструкций, которым посвящен ряд работ: методы машинного обучения в анализе надежности конструкций [14]; новый метод анализа надежности, основанный на модели Кригинга [15, 16]; метод комбинированной линейной выборки для анализа надежности конструкции [17]. Актуальным направлением в развитии теории надежности строительных конструкций также служит использование ¿»-блоков [18, 19].
В данной работе предлагается рассмотреть проблему анализа надежности центрально-сжатой деревянной стойки по критерию ее устойчивости.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Математическая модель предельного состояния:
N
^расФ
< Rc
(1)
где N — продольная нагрузка на стойку; Fрас — расчетная площадь поперечного сечения; ф — коэффициент продольного изгиба элемента; Rc — прочность древесины при сжатии.
На рис. 1, а приведена расчетная схема исследуемой стойки. На рис. 1, Ь показан поперечный разрез стойки с указанием геометрических размеров поперечного сечения как случайных величин: Ь и к.
< п
tT
iH О Г
0 СО n СО
1 <
< -»
J CD
U -
r i
n °
< 3 О
oi
О n
CO CO
l\J со
0
1
CO CO о о
Рис. 1. Расчетная схема (а) и поперечный разрез (b) деревянной стойки
Fig. 1. The structural model (a) and cross-sectional plan (b) timber strut
По СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции» коэффициент продольного изгиба ф = 1 -- 0,8(1/100)2 для гибкости 1 < 70.
< ) [М
л ' -J 00
1 т
(Я У
с о
<D Ж [ [
.N.!0
о о
2 2 2 2
1655
Рассмотрим деревянную стойку квадратного поперечного сечения с шириной стороны Ь.
Тогда коэффициент продольного изгиба равен:
= 1 - 0,!
Ф = 1 - 0,: l
l
r100
\2
v0,289 • b • 100 y
= 1 -
0,00097l2
N
(b2 - 0,00097l2)outt
< 1,
(3)
N N
N N
О О
РЧ N
РЧ pi
г г
К (V
U 3 > (Л
С И
2 "7
U N
<D <D
о ё —■
о
о CJ CD >
8 « Z *
ОТ* со E
.E о
^ a
Ю о
s 1
о EE
CO ^
T- ^
CO °
■8 El
О (Я
g(b' (ult) =
N
ul" (b2 - 0,00097l2)oult
< 1
(4)
или
g (b,a ult) = 1 —~-N-2-
(b2 - 0,00097l2)(utt
> 0. (5)
Сначала рассмотрим классический подход к анализу надежности, получивший название Б08М. Статистические параметры функции (5) по Б08М можно определить по следующим формулам:
mg = 1 -
N
(mb - 0,00097l2)m(
Sg = lt Sb +
2
Kd(ult J
(6)
(7)
db (m2b - 0,00097l2)2
2N
d(ult (ml - 0,00097l2)(mc)
2
После вычисления параметров функции g можно рассчитать индекс надежности в стойки по формуле (для модели (1)):
в = mg/Sg.
(8)
Преобразуем математическую модель (1) к виду:
—2---2-< 1, при X < 70. (2)
(,Ь2 - 0,00097/2)Яс
Пусть необходимо выполнить оценку надежности стойки на детерминированную (постоянную) нагрузку N. С учетом случайных величин выражение (2) примет вид:
где сий — предельное напряжение в древесине сжатию.
Сформируем функцию предельного состояния в виде:
Рассмотрим пример. Пусть расчетная нагрузка N = 60 кН. Требуется оценить индекс надежности стойки длиной l = 2,0 м со следующими статистическими данными: mb = 0,1 м, Sb = 0,005 м, mc = = 15 • 106 МПа, Sc = 2 • 106 МПа.
Математическое ожидание функции g по формуле (6) mg = 0,346. Среднеквадратическое отклонение функции g по выражению (7) Sg = 0,138.
Тогда индекс надежности: в = 0,346/0,138 = = 2,507. Вероятность безотказной работы при таком индексе надежности составляет P = 0,9939. С точки зрения частотного определения вероятности данную надежность можно трактовать как «на 1000 стоек приходится около 6 отказов».
Для оценки корректности решения проверим его с помощью метода Монте-Карло путем моделирования псевдослучайных чисел в программе PTC MathCAD. Закон распределения примем нормальным, а статистические параметры случайных величин зададим из вышеуказанного примера. Сгенерированные пары значений сий - b представлены в осях на рис. 2. Также на рис. 2 приведен график функции предельного состояния:
- (А) N
( uit (b) = -^2-2Г-
(b - 0,00097l2)
Из 1000 сгенерированных пар значений за линией функции предельного состояния отложились 39 значений. Таким образом, с частотной точки зрения вероятности, надежность стойки при данных статистических параметрах равна (1000 - 39)/1000 = = 0,9610. Индекс надежности при такой вероятности безотказной работы в ~ 1,77. Как видно из результатов расчета, для данной задачи оценка надежности по методу FOSM является завышенной.
Аналогичная проблема возникает и при анализе надежности по критерию устойчивости стоек круглого поперечного сечения со следующей математической моделью:
где тЬ и тс — математические ожидания ширины поперечного сечения стойки и прочности древесины стойки, соответственно; 8Ь и — среднеквадратиче-ские отклонения ширины поперечного сечения стойки и прочности древесины стойки, соответственно.
В выражении (7) частные производные вычисляются так:
де 2 —Ь
1 -
4N
(п-2 - 0,00128l2)(ult
> 0,
где d — диаметр сечения стойки.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Данная проблема связана с тем, что с помощью метода FOSM (также называемого MVFOSM — Mean Value FOSM) исходная сложная вероятностная задача преобразуется в простую. Благодаря методу FOSM устанавливается прямая взаимосвязь индекса надежности с основными параметрами (средним значением и стандартным отклонением) случайных величин
2
1656
с помощью уравнения (8). В этом методе существует два серьезных недостатка.
1. Анализ надежности линеаризацией функции предельного состояния g с учетом только средних значений порождает ошибочные оценки для функций предельного состояния высокой степени нелинейности или в случае больших коэффициентов вариации. Это наглядно можно наблюдать при вычислении среднего значения функции g, полагая, что усечение разложения в ряд Тейлора для случая только одной случайной величины в первых трех членах равно:
Ш(X) « ш(Их) + (X - |хх) х хУш(Их) + (Х 7х )2 Уш2 (|х), (9)
где цх — среднее значение случайной величины X
Приближенное среднее значение функции предельного состояния будет выглядеть так:
Иш = Е [ш(|х)] + Е [(X - |х)Уш(|х)] +
"(X -И х )2
Откуда:
E[(X - fe)Vg(fe)] = E[XVg(te)] + E[teVg(fe)] = = Vg(px)E(X) - teVg(fe) = 0;
(X -их) ^
Vg 2(и X)
Vg 2(Их )E [(X -их )2 ]= (10)
+E
-Vg2 (и х)
где E — математическое ожидание; Vg — градиент функции g.
2 ■ 10' 1,9 • 107 1,8 ■ 107 1,7 ■ 107 1,6 ■ 107 1,5 • 107 1,4 • 107 1,3 • 107 1,2 • 107 1,1 • 107 1 ■ 107 9 ■ 106
= 2 Vg 2 (и х )Var (X),
где Уаг (X) — дисперсия случайной величины Х.
Из выражения (10) понятно, что третий член в правой части уравнения (9) связан с дисперсией и градиентами второго порядка функции предельного состояния g(X). Соответственно, если дисперсия g(X) близка к нулю или функция предельного состояния стремится к линейной, то третий член уравнения (9) можно игнорировать, а среднее значение функции g(X) считать: цд ~ £[д(Их)] = g(Дx). Такие предположения в иных случаях приведут к недостоверным результатам расчета, как показано в примере выше.
8 • 10"
4 * * • , * • 4
: * * ♦ ♦ . * (Mi 11 ■; hi * . i! .
\ * \ * i ♦ • £ ■ III ► * i 4
•V ► \ : • 1! ■ i 1 с ■ 1 * г » • ih M: I' 1
\ 1 : г V * - !« * HI ! • • ._
• 4 • д* * V * * ! 111 >>! : ► • »
:\i # N » # < !! "I * • • !{♦ *: * ill} * % * * t •, H * * < ■ > - : ►
* ♦ * iS * * * * t »•
Щ * •V • \ • * 1 t !
J 4 ( * * * * * »
V * * ■
•
0,08 0,084 0,088 0,092 0,096 0,1 0,104 0,108 0,112 0,116 0,12
Ь, м/т
- qllt(b), МПа ' МРа •<• \1р МПа / МРа
Рис. 2. Исследование надежности деревянной стойки методом Монте-Карло Fig. 2. The reliability research timber strut Monte-Carlo method
< П
tT
iH
О Г s 2
o CO n S
< -» J CD
U -
r i
n °
< 3 o
oi
n)
<I> '
о
CO CO
< 3
< 6 r 6
о о
о
< )
|!
® .
л *
■4 DO
I т
s □
s У с о <D Ж
1 I
,,
2 2 О О 2 2 2 2
1657
2. Метод FOSM не может быть инвариантным Для преодоления этих недостатков необходимо
при различных математически эквивалентных фор- использовать более продвинутые методы анализа на-
мулировках одной и той же задачи. Эта проблема дежности, например FORM или алгоритм Хасофе-
появляется как для некоторых линейных зависимо- ра - Линда [20].
стей, так и для нелинейных функций предельных Введем обозначения b = X1, dult = X2. Вычислим
состояний g(X). векторы:
3xj
5
0,107
а, = —
f/'Ti i \\ \2 /Va i \\ ^ 0,138
dg (тх, тХ2) ) (( dg (тх, тХ2 )
= — 0,775;
\V
Эх,
5
у
\\
дх2
5
У У
дх2
JX2
а2 = —
Эх,
w
2
5
у У
(г
W
dg (mx1^mx2 )
дх2
2
5
У У
0,087 0,138
= -0,630.
N N N N О О N N
СЧ СЧ г г
¡г (V U 3 > (Л С И 2
ВО N
Hi
ф а
Вычисляется новая расчетная точка X2 из x* =
^ + Kps0^ i = 1 2, .„, и:
х1,2 = mx1 + РА«1 =
= 0,1 + 2,507 • 0,005(-0,775) = 0,090;
x2,2 = mx2 + P2Sx2«2 =
= 15 • 106 + 2,507 • 2 • 106(-0,630) = 11,84 • 106; _ Х,2 - mx, 0,090 - 0,100
1,2
0,005
= -2,00;
x2,2 - mx,2 13,87 - 15,00 u22 =-=-= -1,58.
2,0
Итерация 2: вычисляется функция предельного состояния и ее градиент при X2:
g(х1^ х2,2) = 1 ■
N
(х22 - 0,00097/2)х22
= - 0,201,
Эх1
5Х = 0,256 •
X2
дх2
SX = 0,203.
X,
Вычисляется в, используя метод среднего значения, и его косинус направления а,:
О %
---' "t^
о
о CJ со >
"о
от*
от Е
.Е о
^ с
ю о
сэ ЕЕ
£ °
а> ^
т- ^
Е
от °
g ( x2) -X
2 ^g^ ^
в2 =
i=1
W dxi У
5xi ui,2
V
=1
dg ( X2)
w dxi у у
-0,201 - 0,256(-2,00) - 0,203(-1,58) -y/(0,256)2 + (0,203)2
= 1,934.
Определяются новые направляющие векторы:
dxj
Jx
а1 =
/fdg(mX1LmX2)
vl dx1
2
У
(r
\s
dg (mx1^mx2)
dx2
2
5
У
0,256 0,327
= -0,783,
■8 I
El
О (Я
jg dx2
5
X2
а2 =
"fdg(mxi,mx2)
vl dx1
2
5
У
(f
\s
dg (mxtLmx2)
dx2
2
5
У
0,203 0,327
= -0,621.
m
X
m
X
х
2
x
1658
Рассчитывается новая расчетная точка Х3:
x1,3 = mxj + =
= 0,1 + 1,934 • 0,005(-0,783) = 0,092,
x2,2 = mx2 + в А*«2 = 15 • 106 + 1,934 • 2 • 106(-0,621) = 12,60 • 106;
x2,2 - mx,2 12,60 - 15,00 u2,2 = --- = -—- = -1,2-
2,0
Вычисляется функция предельного состояния и ее градиент при X2:
g(x1,3, x2,3 ) = 1 -
N
(x23 - 0,00097/2)x2 3
= - 0,039;
1,2
*1,3 - mx} = 0,092 - 0,100 Я " 0,005
= -1,6,
3xj
SX = 0,208 •
X,
dx2
SX = 0,165.
X,
Вычисляется в, используя метод среднего значения, и его косинус направления а,:
2 /
ё ( ^2) -X
2
2 dg(X2) | S «
в2 =
i=1
W
dxi
\
=1
W
dg(X2)
dxi
-0,039 - 0,208(-1,60) - 0,165(-1,20) 7(0,208)2 + (0,165)2
= 1,852.
i
Производится проверка сходимости индекса надежности:
е = = 1,934 - 1,852 = 0,044.
в
1,852
Дальнейшие вычисления сведем в табличную форму (табл.).
При индексе надежности в = 1,849 вероятность безотказной работы составляет 0,9678.
На рис. 3 показана сходимость индекса надеж-
Поскольку условие сходимости не выполняется ности в к значению, близкому к экспериментальному
е = 0,061 > ег = 0,005, то итерации продолжаются. вмс при n = 5 итерациях.
Результаты итераций индекса надежности Results of iterations of the reliability index
Итерация 1 2 3 4 5 6 7
Iteration
g(Xk) 0,346 -0,201 -0,039 0,009 -0,008 0,005 0,007
в 2,507 1,934 1,852 1,849 1,850 1,849 1,849
е - 0,296 0,044 0,016 0,0005 0,0005 0
< П
tT
iH О Г
0 СЯ § (Л
1 <
< -»
J CD
U -
r 1
n 0
< 3 o
oi
СЛ '
u s § 2
< 6
r 6 t (
< )
|!
® . л '
■ч n
1 т
s □
s У с о <D X
NN
2 2 о о 2 2 2 2
2,6
2.5 2,4 2,3 2,2 2Д
2 1,9 1,8 1,7
1.6
1,77
12 3 4
Рис. 3. Сходимость индекса надежности в к значению, близкому к экспериментальному вмс Fig. 3. Convergency of the reliability index в to amount near to experimental вмс
x
2
1659
С практической точки зрения необходимо рассмотреть расчетную ситуацию, когда нагрузка также является случайной величиной. Рассмотрим общий случай стойки с прямоугольным поперечным сечением:
1 --
NN
bh
1 - 0,00096
/2
< 0.
(11)
'ult
При условном обозначении случайных величин х, можно записать функцию предельного состояния (при ,= 1, 2, .., 4):
g (х) = 1 -■
Г /21
х2 х3 1 - 0,00096— х4
_ х2 _
< 0. (12)
Далее задача определения индекса надежности решается аналогично приведенному выше примеру. В общем виде, в соответствии с алгоритмом Хасо-фера - Линда для анализа надежности коэффициенты чувствительности могут быть вычислены как:
N N N N О О N N
NN г г
К (V U 3 > (Л
с и
HQ N ||
Л?
<D <D
О % ---' "t^
0
СЭ CJ CD >
8 «
si 13
со E — -b^
^ (Л
1 §
^ с ю о
сэ EE
fe ° a> ^
T- ^
£
со °
■8 I
El
О (Я
Эх,- Xi
а = —
2
дх.
i =1 i
1/2 '
(13)
где а — среднеквадратическое отклонение случайной величины х,.
Затем вычисляются х и и координаты для функции предельного состояния g(x1):
xi = E[x*] + POx*«*. х* - Е[хi ]
(14)
(15)
где Е[х] — математическое ожидание случайной величины х
После чего строится новая функция предельного состояния g(Xг) и определяется ее производная
^(х*)
Эх*
Новый индекс надежности в* можно определить в виде:
в* =
( *) у dg(х*)
g(х ) - X дх
i=1
i * л2 dg(х ) с
V дх '
1/2
(16)
Если индекс надежности, рассчитанный по формуле (16), близок к индексу надежности (выражение (8)), то его принимают за итоговый результат. Если разница велика, алгоритм расчета повторяют по формулам (13)-(16) (начиная с координат x* и получая в дальнейшем координаты x ) до требуемой сходимости индекса надежности, как рассмотрено в примере выше.
Для принятия решения об уровне безопасности эксплуатации деревянной стойки необходимо выполнить оценку надежности по всем критериям предельных состояний и рассматривать стойку как последовательную механическую систему, элементами которой являются вероятности безотказной работы по каждому критерию предельного состояния. Целесообразно сформировать две системы — для предельных состояний первой и второй групп.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ
Количественным показателем безопасности эксплуатации несущих элементов строительных конструкций может быть принята их надежность, мерой которой служит вероятность безотказной работы. Значения вероятности безотказной работы различных проектных решений возможно использовать при их сравнительном анализе и дальнейшем анализе риска.
Метод FOSM (или MVFOSM), получивший большое распространение в инженерной практике вследствие своей простоты, может приводить к неверным результатам анализа надежности при нелинейных математических моделях предельных состояний или в задачах с большой изменчивостью случайных величин. Числовой пример показывает, что метод FOSM завышает индекс надежности деревянной стойки на 35 % по сравнению с действительным значением и на 40 % по сравнению с экспериментальными исследованиями методом Монте-Карло. Для решения задач анализа надежности с нелинейными функциями предельного состояния корректнее использовать другие методы и алгоритмы, например метод FORM или алгоритм Хасофера - Линда.
С целью принятия решения об уровне безопасности эксплуатации деревянной стойки следует выполнить оценку надежности по всем критериям предельных состояний и рассматривать стойку как последовательную механическую систему, элементами которой являются вероятности безотказной работы по каждому критерию предельного состояния. Целесообразно сформировать две системы — для предельных состояний первой и второй групп.
о
х
1660
по критерию устойчивости при центральном сжатии
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Faes M.G.R., Daub M., Marelli S., Patelli E., Beer M. Engineering analysis with probability boxes: a review on computational methods // Structural Safety. 2021. Vol. 93. P. 102092. DOI: 10.1016/j.strusafe. 2021.102092
2. ЧемодуровВ. Т., СеитжелиловМ.С. Оптимизация и надежность строительных систем // Строительство и техногенная безопасность. 2017. № 9 (61). С. 83-86.
3. Левченко В.Н., Левин В.М., Кириченко В.Ф. Долговечность и надежность строительных конструкций и анализ методов их обеспечения в зданиях и сооружениях // Вестник Донбасской национальной академии строительства и архитектуры. 2018. № 6 (134). С. 90-99.
4. MelchersR.E., BeckA.T. Structural reliability analysis and prediction. John Wiley & Sons, 2018. 528 p. DOI: 10.1002/9781119266105
5. Серов Е.Н., Черных А.Г., Серов А.Е., Солома-ха А.Ю., Храмов К.С. Строительные нормы проектирования деревянных конструкций. Состояние, проблемы и перспективы // Вестник гражданских инженеров. 2012. № 3 (32). С. 107-114.
6. Ведяков И.И., Погорельцев А.А., Пятикре-стовский К. П. Перспективы совершенствования норм проектирования деревянных конструкций // Промышленное и гражданское строительство. 2015. № 4. С. 28-32.
7. FruhwaldE., Serrano E., Toratti T., Emilsson A., Thelandersson S. Design of safe timber structures — How can we learn from structural failures in concrete, steel and timber? // Report TVBK-3053. Division of Structural Engineering, Lund University. 2007. 270 p.
8. Громацкий В.А., Турковский С.Б., Филимонов М.А. Об оценке надежности элементов деревянных конструкций // Строительная механика и расчет сооружений. 2011. № 6 (239). С. 66-73.
9. Xiao Y., Wu Y., Li J., YangR.Z. An experimental study on shear strength of glubam // Construction and Building Materials. 2017. Vol. 150. Pp. 490-500. DOI: 10.1016/j.conbuildmat.2017.06.005
10. Lourengo P.B., Sousa H.S., Brites R.D., Neves L.C. In situ measured cross section geometry of old timber structures and its influence on structural
Поступила в редакцию 27 сентября 2022 г. Принята в доработанном виде 24 ноября 2022 г. Одобрена для публикации 24 ноября 2022 г.
Об авторах : Сергей Александрович Соловьев — кандидат технических наук, доцент кафедры промышленного и гражданского строительства; Вологодский государственный университет (ВоГУ); 160000, г. Вологда, ул. Ленина, д. 15; SPIN-код: 4738-8927, Scopus: 57191529586, ResearcherID: AAJ-1708-2020; solovevsa@ vogu35.ru;
safety // Materials and Structures. 2013. Vol. 46. Issue 7. Pp. 1193-1208. DOI: 10.1617/S11527-012-9964-5
11. Qin S., Yang N. Strength degradation and service life prediction of timber in ancient Tibetan building // European Journal of Wood and Wood Products. 2018. Vol. 76. Issue 2. Pp. 731-747. DOI: 10.1007/s00107-017-1211-x
12. Мкртычев О.В., Райзер В.Д. Теория надежности в проектировании строительных конструкций. М. : Изд-во АСВ, 2016. 906 с.
13. Cederbaum G., Elishakoff I., Librescu L. Reliability of laminated plates via the first-order second-moment method // Composite Structures. 1990. Vol. 15. Issue 2. Pp. 161-167. DOI: 10.1016/0263-8223(90)90005-y
14. Afshari S.S., Enayatollahi F., Xu X., LiangX. Machine learning-based methods in structural reliability analysis: A review // Reliability Engineering & System Safety. 2022. Vol. 219. P. 108223. DOI: 10.1016/ j.ress.2021.108223
15. Sun Z., Wang J., Li R., Tong C. LIF: A new Kriging based learning function and its application to structural reliability analysis // Reliability Engineering & System Safety. 2017. Vol. 157. Pp. 152-165. DOI: 10.1016/j.ress.2016.09.003
16. Zhang L., Lu Z., Wang P. Efficient structural reliability analysis method based on advanced Kriging model // Applied Mathematical Modelling. 2015. Vol. 39. Issue 2. Pp. 781-793. DOI: 10.1016/j.apm.2014.07.008
17. Papaioannou I., Straub D. Combination line sampling for structural reliability analysis // Structural Safety. 2021. Vol. 88. P. 102025. DOI: 10.1016/ j.strusafe.2020.102025
18. Соловьева А.А., Соловьев С.А. Метод оценки надежности элементов плоских ферм на основе р-блоков // Вестник МГСУ. 2021. Т. 16. № 2. С. 153-167. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.2.153-167
19. Solovev S., Soloveva A. Structural reliability analysis using evidence theory and fuzzy probability distributions // Magazine of Civil Engineering. 2021. Vol. 107. Issue 7. P. 10704. DOI: 10.34910/MCE.107.4
20. Hasofer A.M., Lind N.C. Exact and invariant second-moment code format // Journal of the Engineering Mechanics Division. 1974. Vol. 100. Issue 1. Pp. 111-121. DOI: 10.1061/JMCEA3.0001848
< П
tT
iH
О Г s 2
o
§ CO
l <
< -»
J to
u -
r i
n °
< 3 o
n
CO CO
l\J CO
0
1
CO CO о о
< )
f?
л ' -J 00 I T
s у с о <D X
f f
!!
22 о о 10 10 10 10
1661
Юлия Александровна Инькова — аспирант, ассистент кафедры промышленного и гражданского строительства; Вологодский государственный университет (ВоГУ); 160000, г. Вологда, ул. Ленина, д. 15; ResearcherlD: AGO-6725-2022; [email protected];
Анастасия Андреевна Соловьева — аспирант, преподаватель кафедры промышленного и гражданского строительства; Вологодский государственный университет (ВоГУ); 160000, г. Вологда, ул. Ленина, д. 15; SPIN-код: 5162-9279, Scopus: 86157789317, ResearcherlD: ABG-1982-2021; [email protected].
Вклад авторов:
Соловьев С.А. — научное руководство, концепция исследования, развитие методологии, составление исходного текста, анализ полученных результатов, формулирование итоговых выводов.
Инькова Ю.А. — сбор материала, проведение расчетов, анализ полученных результатов, доработка текста, формулирование итоговых выводов.
Соловьева А.А. — сбор материала, проведение расчетов, анализ полученных результатов, составление исходного текста и итоговых выводов.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
REFERENCES
1. Faes M.G.R., Daub M., Marelli S., Patelli E., Beer M. Engineering analysis with probability boxes: a review on computational methods. Structural Safety. 2021; 93:102092. DOI: 10.1016/j.strusafe.2021.102092
2. Chemodurov V.T., Seitjanov M.S. Optimiza-g g tion and reliability of building systems. Construction N * and Technogenic Safety. 2017; 9(61):83-86. (rus.).
£ £ 3. Levchenko V., Levin V., Kirichenko V. Durabi-
g ® lity and reliability of building structures and analysis of
jî $ methods of their provision in buildings and structures.
3 Proceeding of the Donbas National Academy of Civil En-tQ
■ gineering and Architecture. 2018; 6(134):90-99. (rus.).
g 4. Melchers R.E., Beck A.T. Structural reliability
§ JE analysis and prediction. John Wiley & Sons, 2018; 528.
"7 £ DOI: 10.1002/9781119266105
aT à 5. Serov Ye.N., Chernykh A.G., Serov A.Ye., Solo-
H makha A.Yu., Khramov K.S. Building design standards
2- .-2 of wooden structures. State, problems and prospects.
g | Bulletin of Civil Engineers. 2012; 3(32):107-114. (rus.).
® 6. Vedyakov I.I., Pogoreltsev A.A., Pyatikrestovs-
° <5 kiy K.P. Prospects for improving design standards of
C\J ^
z ji wooden structures. Industrial and Civil Engineering.
$ J 2015; 4:28-32. (rus.).
i? c 7. Fruhwald E., Serrano E., Toratti T., Emilsson A.,
E o
£ o Thelandersson S. Design of safe timber structures — g o How can we learn from structural failures in concrete, g | steel and timber? Report TVBK-3053. Division of Struc-fj o tural Engineering, Lund University. 2007; 270. ? Z 8. Gromatskij V.A., Turkovskij S.B., Fili-monov M.A. Elements reliability estimation of wooden — 2 structures. Structural Mechanics and Analysis of Con* ^ structions. 2011; 6(239):66-73. (rus.). i? g 9. Xiao Y., Wu Y., Li J., Yang R.Z. An experimen-S tal study on shear strength of glubam. Construction and | sÈ Building Materials. 2017; 150:490-500. DOI: 10.1016/ 13 | j.conbuildmat.2017.06.005
£ £ 10. Lourenço P.B., Sousa H.S., Brites R.D., Neves L.C. In situ measured cross section geometry
1662
of old timber structures and its influence on structural safety. Materials and Structures. 2013; 46(7):1193-1208. DOI: 10.1617/S11527-012-9964-5
11. Qin S., Yang N. Strength degradation and service life prediction of timber in ancient Tibetan building. European Journal of Wood and Wood Products. 2018; 76(2):731-747. DOI: 10.1007/s00107-017-1211-x
12. Mkrtychev O.V., Reiser V.D. Reliability theory on structural design. Moscow, ASV Publishing House, 2016; 906. (rus.).
13. Cederbaum G., Elishakoff I., Librescu L. Reliability of laminated plates via the first-order second-moment method. Composite Structures. 1990; 15(2): 161-167. DOI: 10.1016/0263-8223(90)90005-y
14. Afshari S.S., Enayatollahi F., Xu X., Liang X. Machine learning-based methods in structural reliability analysis: A review. Reliability Engineering & System Safety. 2022; 219:108223. DOI: 10.1016/j.ress. 2021.108223
15. Sun Z., Wang J., Li R., Tong C. LIF: A new Kriging based learning function and its application to structural reliability analysis. Reliability Engineering & System Safety. 2017; 157:152-165. DOI: 10.1016/ j.ress.2016.09.003
16. Zhang L., Lu Z., Wang P. Efficient structural reliability analysis method based on advanced Kri-ging model. Applied Mathematical Modelling. 2015; 39(2):781-793. DOI: 10.1016/j.apm.2014.07.008
17. Papaioannou I., Straub D. Combination line sampling for structural reliability analysis. Structural Safety. 2021; 88:102025. DOI: 10.1016/j.stru-safe.2020.102025
18. Soloveva A.A., Solovev S.A. Reliability analysis of planar steel trusses based on p-box models. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2021; 16(2):153-167. DOI: 10.22227/19970935.2021.2.153-167 (rus.).
по критерию устойчивости при центральном сжатии
19. Solovev S., Soloveva A. Structural reliability 20. Hasofer A.M., Lind N.C. Exact and invari-
analysis using evidence theory and fuzzy probability ant second-moment code format. Journal of the Engi-
distributions. Magazine of Civil Engineering. 2021; neering Mechanics Division. 1974; 100(1):111-121.
107(7):10704. DOI: 10.34910/MCE.107.4 DOI: 10.1061/JMCEA3.0001848
Received September 27, 2022.
Adopted in revised form on November 24, 2022.
Approved for publication on November 24, 2022.
Bionotes: Sergey A. Solovev — Candidate of Technical Science, Associate Professor of the Department of Industrial and Civil Engineering; Vologda State University (VSU); 15 Lenin st., Vologda, 160000, Russian Federation; SPINcode: 4738-8927, Scopus: 57191529586, ResearcherlD: AAJ-1708-2020; [email protected];
Yulia A. Inkova — postgraduate, assistant of the Department of Industrial and Civil Engineering; Vologda State University (VSU); 15 Lenin st., Vologda, 160000, Russian Federation; ResearcherlD: AG0-6725-2022; gubinaiua@ vogu35.ru;
Anastasia A. Soloveva — postgraduate, lecturer of the Department of Industrial and Civil Engineering; Vologda State University (VSU); 15 Lenin st., Vologda, 160000, Russian Federation; SPIN-code: 5162-9279, Scopus: 86157789317, ResearcherlD: ABG-1982-2021; [email protected].
Contribution of the authors:
Sergey A. Solovev — scientific guidance, research concept, development of methodology, editing of the source text, analysis of the results obtained, drawing up final conclusions.
Yulia A. Inkova — material assembly, calculations, analysis of the results, text rework, compilation of final conclusions. Anastasia A. Soloveva — material assembly, calculations, analysis of the results, compilation of the source text and final conclusions.
< П
ф е
The authors declare that there is no conflict of interests. n h
M
O r
0 S § w
1 < <
J to
U -
r i
n °
< 3 o
oi § 2
a 0
< 6
r 6 t (
Ui
a = r ^
< )
® .
1 T
s □
s y
1 1
NN
2 2
1663
