Вероятностные свойства кода с суммированием в схемах функционального контроля Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 681.326.7

В. В. Сапожников, д-р техн. наук Вл. В. Сапожников, д-р техн. наук Д. В. Ефанов, канд. техн. наук

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА КОДА С СУММИРОВАНИЕМ В СХЕМАХ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО КОНТРОЛЯ

Введение

В статье приводится формула расчета вероятности появления необнаруживаемых ошибок в информационных разрядах, а также рассматриваются предельные вероятностные характеристики кода с суммированием при организации функционального контроля логических устройств данным кодом.

Код с суммированием (код Бергера [1]) является разделимым (n, m)-кодом, содержащим n разрядов, m из которых являются информационными. Контрольные разряды образуются путем суммирования единичных информационных разрядов и записью десятичного эквивалента полученной суммы в двоичном виде, число таких разрядов к =]log2(m +1)[. Указанный принцип построения позволяет организовать функциональный контроль дискретных устройств [2]. В данном случае (рис. 1) блок fx) реализует систему булевых функций f1(x), f2(x),..., fm(x). Для организации контроля схемаДх) дополняется блоком g(x), который вычисляет функции gi(x), g2(x), - .., gk(x). При таком подходе выходной вектор <f f ••• fm gi g2 ■■■gk > будет являться кодовым словом некоторого кода с суммированием. Соответствие (либо несоответствие) выходного вектора выбранному коду с суммированием фиксируется специальной контрольной схемой -тестером [3]-[6].

Рассмотрим неисправности, возникающие в блоке fx), формирующем информационные разряды. Более подробно остановимся на вероятностях возникновения необнаруживаемых ошибок различной кратности в данной структуре. В статье приведены новые вероятностные свойства кода с суммированием в этом случае.

3

>

>

Рабочие

выходы

Контрольные

выходы

Рис. 1. Схема функционального контроля

1 Вероятность появления необнаруживаемой ошибки

В результате сбоев в работе блока f(x) на его выходе возникают ошибки. Примем следующие допущения: появление всех кодовых векторов на выходе блока f(x) равновероятно; ошибки на выходах блока f(x), т. е. ошибки в информационных разрядах, есть независимые события.

Если вероятность отсутствия искажения одного информационного

разряда равна p, то вероятность Qm k появления необнаруживаемых ошибок четной кратности k у кода (n, m) вычисляется по формуле:

Qmk = Pk • С ■ P '"-t ■ (1 - pf . (1)

Суммируя величины Qm k по всем возможным k, получаем формулу

расчета вероятности возникновения необнаруживаемой ошибки у кода (n, m):

m,( m-1)

Q" = S Pk • С" • P"- • (1 - p)k . (2)

k=2 4

4

где к = 2,4,...,m, если m - четное число;

к = 2,4,..., т — 1, если m - нечетное число.

Сомножитель Р= в формулах (1) и (2) характеризует долю необнаруживаемых ошибок информационных разрядов кратности к от общего числа ошибок информационных разрядов данной кратности и является постоянной величиной (не зависит от m) [7].

Например, подсчитаем вероятность возникновения необнаруживаемых ошибок при функциональном контроле логического устройства с четырьмя информационными выходами кодом с суммированием (7,4). При этом примем величину вероятности отсутствия искажения одного информационного выхода p = 0,9. Величины Р2 и Р4 равны соответственно 0,5 и 0,375 [7].

В формулу (2) подставим исходные данные, получим:

а=р2 • с4 • p2 • (i - p)2+Р4 • с; • (1 - p)4 =

= 3 • 0,92 • (1 - 0,9)2 + 0,375 • (1 - 0,9)4 = 0,0243375.

Таким образом, для кода (7,4) при p = 0,9 имеем вероятность появления необнаруживаемой ошибки Q 0,0243.

В таблице 1 представлены данные о вероятностях возникновения необнаруживаемых ошибок для различных кодов с суммированием. Помимо этого, приведена доля необнаруживаемых ошибок четных кратностей к Q от общей вероятности появления необнаруживаемых ошибок Q .

2 Вероятностные свойства кода с суммированием

Запишем выражение, характеризующее отношение вероятностей появления необнаруживаемых ошибок фиксированной кратности к у кодов (n', m +1) и (n, m):

а

Q

m+1,=

р=+1 • cm,,+1 • р m-=+1 • (1 - p)=

С

к

m+1

m,=

Qm= P= • Cm • P• (1 - P)=

(m +1) • m • (m -1) •... • (m - к + 2)

1 • 2 •... • к m +1

m • (m -1) •... • (m - к + 2) • (m - к +1) m - = +1

1 • 2 •... • к

C

P

• P.

(4)

5

Таблица 1

ст>

Значения Qm для кодов Бергера при значениях р = 0,9

Код (п,т) Вероятность появления необнаруживаемых ошибок кода (п, т) 6. Вероятности появления необнаруживаемых ошибок кратностей к Доля вероятностей ошибок кратности к от вероятностей общего числа необнаруживаемых ошибок

Qm,2 Qmfi Qm, 6 0,2% а, 6% а.,%

4,2 0,005 0,005 - - - 100 - - -

5,3 0,0135 0,0135 - - - 100 - - -

7,4 0,0243375 0,0243 0,0000375 - - 99,8459168 0,1540832 - -

8,5 0,0366188 0,03645 0,0001688 - - 99,5391705 0,4608295 - -

9,6 0,0496634 0,0492075 0,0004556 0,0000003 99,0819463 0,9174254 0,0006282 -

10,7 0,0629602 0,0620015 0,0009568 0,000002 98,4771641 1,5197085 0,0031274 -

12,8 0,0761311 0,0744017 0,0017223 0,0000071 0,0000001 97,728455 2,2622321 0,0093089 0,0000039

13,9 0,0889027 0,0860934 0,0027901 0,0000191 0,0000001 96,8401139 3,1383367 0,0215247 0,0000247

14,10 0,1010834 0,0968551 0,0041851 0,0000431 0,0000001 95,817062 4,1402436 0,0425955 0,0000989

24,19 0,1747362 0,1425899 0,0299263 0,0021552 0,0000649 81,602947 17,1265443 1,2333928 0,037116

25,20 0,1791252 0,1425899 0,0336671 0,002771 0,0000973 79,6034867 18,7952679 1,5469353 0,0543101

26,21 0,1829021 0,1418394 0,03743 0,0034914 0,0001414 77,5493665 20,4644164 1,9088894 0,0773277

34,29 0,1964251 0,118044 0,0639405 0,0131565 0,0012842 60,0961708 32,5520927 6,6979616 0,6537749

35,30 0,1966049 0,1138281 0,0663997 0,0148014 0,001576 57,8968794 33,7731797 7,5283149 0,8016259

36,31 0,1965533 0,1095105 0,0686131 0,016518 0,0019118 55,715416 34,9081155 8,4038057 0,9726629

Продолжение табл. 1

Код (п, m) Вероятность появления необнаруживаемых ошибок кода (п,т) Q. Вероятности появления необнаруживаемых ошибок кратностей к Доля вероятностей ошибок кратности к от вероятностей общего числа необнаруживаемых ошибок

Qm, 2 Qm, 4 Qm,6 Qm, 8 О, 2% 4% Qm,s%

37,32 0,1962945 0,1051301 0,0705734 0,0182968 0,0022942 53,557326 35,9528343 9,32110535 1,1687344

45,39 0,1902548 0,0751209 0,0772076 0,0315079 0,0064183 39,4843929 40,5811816 16,5609073 3,3735183

46,40 0,1889567 0,0711672 0,0772076 0,0333613 0,0072206 37,6632301 40,8599548 17,6555358 3,8212793

47,41 0,1875804 0,0673351 0,076999 0,0351724 0,0080739 35,8966825 41,0485214 18,7505592 4,304237

56,50 0,1725441 0,0389714 0,0678392 0,0481574 0,017576 22,58637396 39,3170218 27,9102313 10,1863729

65,59 0,1540544 0,0210884 0,0519399 0,0529018 0,0281245 13,6889096 33,7152771 34,3396344 18,256179

66,60 0,1518268 0,019634 0,0500849 0,0529017 0,0292062 12,9318435 32,9881753 34,8434778 19,2365035

67,61 0,149568 0,0182696 0,0482397 0,0528055 0,0302532 12,2149176 32,2526602 35,3053811 20,2270411

77,70 0,1280595 0,0093407 0,0328365 0,0483088 0,0375735 7,2940067 25,641584 37,7237301 29,3406792

86,79 0,1053685 0,0046167 0,0208466 0,0396771 0,0402282 4,3815126 19,7844223 37,655536 38,178529

87,80 0,1028438 0,0042616 0,0197494 0,0386047 0,0402282 4,1437589 19,2032552 37,5372265 39,1157594

88,81 0,1003272 0,0039325 0,0186978 0,0375238 0,040173 3,9197174 18,6368046 37,401434 40,0420441

97,90 0,0784067 0,0018833 0,0111253 0,0278895 0,0375087 2,4019274 14,1891663 35,5702345 47,8386718

107,100 0,0567799 0,0008116 0,005953 0,0186183 0,0313969 1,4293769 10,4843065 32,7904259 55,2958907

Рис. 2. График зависимости величины QmOT т при р =0,9 и семейство кривых Qm,k при тех же данных

Найдем предел величины ат k при m ^да:

lim а

m^-<x>

m,k

= lim

m^-<x>

т +1 т — k +1

p = lim

1 + — m

m^x> _ k + 1

1

• P = P-

m

(5)

Свойство 1. Отношение вероятности появления необнаруживаемых ошибок информационных разрядов кратности к у кода (пm +1) к вероятности появления необнаруживаемых ошибок той же кратности у кода (п, m) в пределе стремится к вероятности отсутствия искажения одного информационного разряда для любого к.

Так как p < 1, то из (4) и (5) следует, что при некотором m имеет место равенство

а , =

m ,k

Q

Qm

m+1, k

m,k

m +1 m - k +1

p =1.

(6)

В этом случае имеем Qm+1 k = Qm k = max и при дальнейшем увеличении m величина Qm к начинает уменьшаться (см. табл. 1).

Для к = 2 а19,2 = 1 Q19,2 = Q20,2 = 0,14259; Q2\2 = 0,141839 < Q20,2-

Для к = 4: а394 = 1; Q39,4 = Q40,4 = 0,077^(^J^;

Q414 = 0,076999 < Q^.

В общем случае из соотношения (6) можно найти значение m для данного к, при котором Qm k достигает максимума и начинает уменьшаться (см. табл. 1 ).

Из (6) получим для p = 0,9:

а

m,k

Qm+1,k Qm ,k

m + 1

m — k +1

• 0,9 = 1;

k — 0,1

m =--------

0,1

(7)

Значения m для первых кодов Бергера представлены в таблице 2. Таким образом, каждое слагаемое суммы

Q = Q 9+ Q 4+... + Q ,+... + Q (8)

-s-m z~sm,2 z^m,4 i-m,k i-m,m \ У

при некотором m начинает уменьшаться.

9

Таблица 2

Точки максимума m

к m

2 19

4 39

6 59

8 79

10 99

На рисунке 2 приведены графики изменения величин Qm, Qm,2, Qm,4, Qm,6, Qm,8 в зависимости от числа m при фиксированном p = 0,9.

Для первых m значение Qm увеличивается, достигая максимума у кода (35,30). При этом Q30 = 0,196 6 05, что в 39,32 раза больше, чем Q2. Затем величина Qm уменьшается и для кода (107,100), например, равна 0,05678, что составляет 28,8% от величины Q30.

Как это объяснить? Для первых m увеличение Q происходит за счет увеличения вероятностей ошибок кратности 2 и 4 (Qm,2 и Qm, 4), которые составляют основную долю суммы Qm. В таблице 3.1 указана доля (в процентах) вероятностей Qm,2 и Qm,4, которую они составляют от величины Qm. Например, для кода (25,20) вероятность появления необнаруживаемых ошибок кратности 2 и 4 составляет 98,398% от общей вероятности появления необнаруживаемых ошибок.

Но при m = 21 начинает уменьшаться величина Qm,2, а при m = 41 начинает уменьшаться величина Qm, 4. Эти две тенденции приводят к тому, что общее значение Qm начинает уменьшаться при m = 31. При дальнейшем увеличении m доля вероятностей Qm,2 и Qm,4 уменьшается, и при больших m эти вероятности составляют малую часть общей величины Qm. Поэтому последняя продолжает уменьшаться при увеличении m.

В таблице 3 приведено процентное отношение вероятностей необнаруживаемых ошибок кратности 2-20 для кода (107,100). Из таблицы видно, что с увеличением m происходит смещение доли вероятности необнаруживаемых ошибок в сторону увеличения кратности. Так для кода (107,100) основную долю составляют ошибки кратности 6-14 (91,5%). Доля ошибок кратности 2-20 составляет 99,9361%. Таким образом, доля остальных ошибок кратности 21-100 составляет лишь 0,0639%.

10

Таблица 3

Доля вероятности необнаруживаемых ошибок в зависимости от кратности

Кратность ошибки к Доля вероятности необнаруживаемых ошибок, %

2 0,64

4 4,7

6 14,76

8 24,88

10 25,7

12 17,66

14 8,5

16 3

18 0,0798

20 0,0163

21-100 0,0639

В итоге можно сделать следующий вывод: с увеличением m вклад в величину Qm ошибок меньшей кратности (2, 4, ... и т. д.) уменьшается, а вклад ошибок большей кратности увеличивается. Последние имеют меньшую вероятность. Поэтому общая сумма Qm уменьшается.

Рассмотрим предел функции Qm k при фиксированном значении к.

, С„ _ m!

Зная, что Ст _

к!•(т - к)!

и используя формулу Стирлинга, являющуюся

обобщением факториала на случай вещественных чисел

1

I- —х х+—

x!~v2% • e • X 2, предел выражения (1) можно записать следующим образом:

lim Qm, _ lim Pk • pm-k (1 - P)

m!

\k

к!• (m - к)!

_ lim-^^ • pk • (1 p)---

yj 2% p k+-

i

m+—

„m ___ 2 -m

p • m 2 • e

•42

%

kk+2 • e~k • V2% • (m - к)m-k+2 • e~m+k •42

_ ii_L .Pk

m^x42% p - к+-

i

m+— m

p • m 2

к 2 •( m - к)

m-k +— 2

11

1

V2rc • k 1

k+■

- -p<

k

— 1

l P )

lim

m—да

1

m-—

pm • m 2

( m - k )

m-k+■

V2~n • k

k +— 2

1

k

— 1

l P )

• lim

m—да

1

m+— m

p • m 2

1

1 / \m-k +—

m-k+—( k i 2

m

V2rc • k

k -— 2

1

k

- -1

l P )

1 - — l m

m k

(9)

lim pm • m

m—да

lim

m —да

k

lim

m —да

f

FT ik+ y/2% • k

T •&

- -1

l P )

1

l m)

k

k lim m k

m—да

^_k} - k+2

l m ek • lim pm • mk.

В преобразованиях в выражении (9) мы воспользовались замечатель-

Г ал"

1 + -

l ш)

ным пределом lim

ш—да

при ш — да.

Обозначим величину

= ва [8] и тем фактом, что величина-— 0

m

1

k+■

1 -р<

k

—1

l p )

V2rc •k 2

выражение, характеризующее величину lim Q k :

С и запишем

ш——да

ш

lim Qmk = Ck ' lim p"‘ ' m •

ш—да

ш—да

(10)

m

1

2

Предел выражения limpm • шк = 0, поскольку 0 < p < 1 и ш — да.

ш—да

Таким образом, мы получили доказательство следующего свойства кода с суммированием.

Свойство 2. Вероятность появления необнаруживаемой ошибки четной кратности к при увеличении числа информационных разрядов кода с суммированием m стремится к нулю:

lim Qm,k = 0- (11)

ш—да

12

Из свойства 2, формулы (8) и теоремы о конечных пределах [8] вытекает следующее свойство кода с суммированием.

Свойство 3. Вероятность появления необнаруживаемой ошибки при увеличении числа информационных разрядов кода с суммированием m стремится к нулю:

lim Qm = 0.

(12)

Заключение

Полученные в данной статье вероятностные свойства кода с суммированием позволяют определить критерии применимости указанного кода при разработке схем функционального контроля, а также возможности построения контролепригодных схем.

Библиографический список

1. А note on error detecting codes for asymmetric channels/ J. M. Berger // Information and Control. - 1961. - 4, №3. - P. 68-73.

2. Самопроверяемые дискретные устройства / В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников. - СПб. : Энергоатомиздат, 1992. - 224 с. - ISBN 5-283-04605-2.

3. Salf-checking and Fault-tolerant Digital Design / K. Lala Parag. - University of Arkansas, 2001. - 216 с. - ISBN 0124343708.

4. Синтез быстродействующих тестеров для кодов с суммированием / М. К. Бимуканов, В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Проблемы передачи информации. - 1989. - Т. XXV. - Вып. 2. - C. 105-112.

5. New Self-Checking Circuits by Use of Berger-codes/ A. Morozov, V. V. Saposhnikov, Vl. V. Saposhnkov, M. Gossel // 3-5 july 2000, Palma de mallorca, Spain. - PP. 141-146.

6. Синтез самопроверяющихся тестеров для кодов с суммированием / А. Г. Мельников, В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Проблемы передачи информации. - 1986. - Т. XXII. Вып. 2. - c. 85-97.

7. О свойствах кода с суммированием в схемах функционального контроля / Д. В. Ефанов, В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. - 2010. № 5. - С. 18-23.

8. Математический анализ. Ч. 1 / М. : МЦНМО, 2007. - 664 с. - ISBN 594057-056-9.

13