Вероятностные параметры технологического разрушения твердых тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.822.6

А.В. Королев, Ю.В. Чеботаревский ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Исследованы вероятностные параметры технологического разрушения твердых тел. Показано, что вероятность разрушения тела зависит от параметров распределения числа и величин дефектов материала и от разрушаемого объема. С увеличением объема разрушаемой части тела возрастает число участвующих в разрушении дефектов материала и, следовательно, повышается число дефектов на разрушенной поверхности тела.

A.V. Koroljov, Yu.V. Chebotarevsky FIRM BODIES’ TECHNOLOGICAL DESTRUCTION PROBABALISTIC PARAMETERS

Probabilistic parameters of technological destruction of firm bodies are researched in this article. It is shown, that the probability of destruction of a body depends on parameters of distribution of number and sizes of defects of a material and destroyed volume. With increase of volume of a destroyed part of a body the number of defects of a material participating in destruction grows and, hence, the number of defects on the destroyed surface of a body rises.

Так как дефекты материалов твердых тел возникают случайным образом и неравномерно распределены в их объеме, то следует предположить, что разрушение твердых тел носит вероятностный характер. Покажем это сначала на примере теории хрупкого разрушения Гриффитса [1], в соответствии с которой разрушение происходит под действием развития микротрещин материала.

Свяжем подводимую к заготовке энергию EV с разрушаемым объемом. Пусть растяжению с напряжением о подвергается пластина объемом V, в которой имеется множество трещин со случайными размерами l (рис. 1). Трещины образуют пуассоновское поле с плотностью рl (шт/м ). Плотность вероятностей распределения размеров трещин обозначим через f(l).

Если в произвольном объеме V имеется хотя бы одна трещина размером l>la, то пластина подвергается частичному разрушению, от нее отделяется объем Vo. Вероятность появления трещин размером l>la равна:

F(l > la) = 1 -J f(l)-dl. (1)

0

Вероятность Hm того, что в объеме V имеется m трещин (m=1,2,3,...), в соответствии с законом Пуассона равна:

н _ (р -V)- е_р;V

11 т ~ . е •

т!

На основе формулы полной вероятности вероятность осуществления события, состоящего в разрушении тела ввиду появления в его объеме величиной V трещин размером '>'о, равна:

го го (р V)т

Р(', V) _ I Нт [Р(I > 1а )]т _ 2 Ф' , ) [Р(I > 'о )]те-р' 4', (2)

т _1 т _1 т!

где вероятность Р('>'о) определяется равенством (1) и зависит от вида распределения величин трещин.

Решая уравнение (2), находим:

Р(', V) _ 1 -ехр(-рг (' > 'о)). (3)

Как видно из равенства (3), вероятность разрушения тела на величину объема V экспоненциально зависит от плотности р[ расположения трещин в теле и от вероятности Р('>'о) появления в теле трещин величиной более '>'о.

Впервые вероятностное распределение дефектов в твердом теле изучали А.П. Александров и С.Н. Журков [2]. Они получили экспоненциальный закон распределения

дефектов и связали вероятность появления дефекта с объемом, в котором они распределяются. Е.И. Гумбел [3] уточнил решение А.П. Александрова и С.Н. Журкова. В соответствии с предложенной им теорией все тело объемом

V разбивается на отдельные элементы (звенья) объемом Vз и если в одном из этих элементов возникает напряжение, большее критического, то тело разрушается. Согласно Е.И. Гумбелу [3], вероятность того, что при напряжении а тело еще не разрушится, равна:

р(а, V) _ 1 - ехр[-(а / ао )а (7 / Vз )]

где ао - наиболее вероятное значение напряжения; а -показатель неоднородности напряжений.

Приведенная выше формула означает, что в теле нет ни одного дефекта с прочностью, меньшей а. Сравнение данного выражения и выражения (3) показывает, что нами предложена более общая и более точная зависимость для расчета вероятности разрушения тела. Более высокая точность определяется более высоким приближением к реальному состоянию твердых тел, которые не состоят из отдельных элементов, как это предполагает формула (4), а являются сплошными телами, как это учитывает формула (3). Кроме того, у хрупких тел, а именно для таких тел предложены обе формулы, как было показано выше, разрушение происходит из-за наличия в них дефектов в виде микротрещин, что формула (4) не учитывает. По формуле (4) разрушению подвергается все тело размером V, хотя это не согласуется с практикой, а в соответствии с формулой (3) от тела произвольного объема при наличии микротрещин в процессе разрушения с вероятностью Р(п>пк) отделяется лишь часть объема величиной Vo, в то время как само тело может продолжать работать. К тому же, трудно дать четкое определение и наиболее вероятному напряжению в теле ао и объему элемента тела Vз и предложить методику их определения. Это ограничивает практическую ценность формулы (4) Е.И. Гумбела.

Рис. 1. Схема действия растягивающей нагрузки Р на пластину с дефектами в виде микротрещин

Более высокая общность формулы (3) обеспечивается тем, что она не ограничена каким-либо одним законом распределения величин дефектов в теле, как в формуле (4), а предполагает наличие любого закона, например, наиболее часто встречающегося на практике нормального закона распределения размеров дефектов в виде трещин. Представленное нами выражение не противоречит и известной формуле Вейбулла, предложенной им для расчета вероятности Р(/) наработки тел до отказа:

Р(^) _ 1 -ехр(-Х-(^-а)а),

где I - время работы; а и X - постоянные коэффициенты.

Однако формула Вейбулла получена эмпирически и не раскрывает физической сущности рассматриваемого явления.

Дифференцируя выражение (3), несложно определить условную плотность распределения вероятностей разрушенного объема тела:

/(У / ') _ р'Р(' > 'о ) ехР (-р^ Р(' > 'о )) . (5)

В объеме V может находиться множество трещин с длиной, равной или большей критической, которая определяется равенством:

Ыу _ V-ргР (' > 'о ).

Тогда средний объем, в котором появится хотя бы одна трещина размером '>'о,

равен:

го го

V _|V-/ (V /')-dV _ргР (' > 'о) |V-ехр (-V - ргР (' > 'о))-dV .

Решая представленное выше интегральное уравнение, получим:

1

Vo =

(6)

Величина V имеет размерность кубических метров, так как величина р/ измеряется в шт./м3.

На основании равенств (5) и (6) выражение плотности вероятностей /(V) и вероятности Р(У) разрушения объема V можно записать в более удобном виде:

1 Г V f (V) = -^exp v

Vo

F (V) = 1 - exp

Чтобы более наглядно

проанализировать выражение (7), перейдем в этом равенстве от объема к длине:

V =

где L - длина пластины; F - площадь поперечного сечения пластины.

Тогда из равенства (7)

f (L) = 1 -

где Lo - длина пластины, на которой в среднем имеется одна трещина критической величины.

Vo V

(7)

Lo

Рис. 2. Вероятность разрушения пластины, находящейся под действием сил растяжения, в зависимости от ее относительной длины Шо

На рис. 2 показана зависимость вероятности разрушения пластины от ее длины.

Как видно из рис. 2, при малой длине пластины, значительно меньшей длины Ьо, вероятность ее разрушения мала. С увеличением длины пластины вероятность ее разрушения возрастает. Однако при длине пластины, большей (4-5)Ь/Ьо, вероятность разрушения пластины приближается к единице и уже практически не зависит от длины. Следовательно, очень короткие изделия прочнее длинных.

Как известно [4], работа внутренних сил, затраченная на разрушение пластины,

равна:

2 —2 N

^= 2 П 113, (8)

3 Е

где — - напряжение, при котором разрушается трещина длиной /; кт - безразмерный коэффициент, зависящий от вида деформированного состояния: плоскодеформированного (кт=1-д2) или плосконапряженного (кт=1); Е и д - модуль упругости и коэффициент Пуассона соответственно; N - число трещин в пластине (Ы=Уо• р/).

При достаточно большом N от суммирования в равенстве (8) можно перейти к интегрированию. Для этого разобьем весь возможный интервал размеров трещин на элементарные интервалы Ш и определим число трещин N1 длиной / в этом интервале:

N. = N■f(/)• М . (9)

С учетом равенства (9) выражение (8) примет вид:

2 -2 2 ^2

Е0 = - п ^ •кт ■£ N,-/1 = - п 5- •кт^^ f (/) -/3 а/ , (10)

3 Е 1 3 Е 1

где С - число интервалов, равное

1 О - 1шш

С =

а/

При а/^0 величина С^го. Тогда выражение (10) примет вид:

2 5 2 /о

Е« = ТП'ТТ' кт ' N\f(!) /3•а . (11)

3 Е 0

Подставляя в равенство (11) значение N из выражения (8), найдем:

2 —2 1°

Е0 = Т 'кт -Р/'У0- /f(/)• /3- а/ . (12)

3 Е 0

Решая уравнение (12) относительно разрушенного объема V, определим:

7 = Е0 1 ■ (13)

1В

3Е

2-2 • кт р/ - /У(/)/3 -а/ Как следует из равенства (13), величина

1о

2 • 2 • кт -РГ |У (/)'/3 •&

Е0 =--------------------0------------ (14)

0 3Е

представляет собой работу, необходимую для разрушения единицы объема материала. Следовательно, она является внутренней энергией насыщения единицы объема материала. Равенство (14) показывает, что внутренняя энергия насыщения материала является вероятностной величиной, так как зависит от плотности вероятностей У/) распределения размеров трещин.

Если при деформации тела объемом V затрачена работа Еу, то в соответствии с равенством (14):

Е

V = ^ . (15)

Е0

Следовательно, в соответствии с выражением (15) при разрушении тела, имеющего дефекты в виде трещин, объем разрушенного тела прямо пропорционален работе внешних сил и обратно пропорционален удельной внутренней энергии насыщения тела.

Физика разрушения твердых тел рассматривается и во многих других работах [5-7 и др.]. Но представленные нами исследования на основе теории Гриффитса с энергетических позиций с учетом стохастического характера разрушения открывают новые возможности для совершенствования технологических процессов.

Теория Гриффитса и все полученные на основе ее решения справедливы для хрупких тел. С поправками В.И. Владимирова [4] г/>>г0 эта теория может быть использована и для упругопластичных тел.

Примерно к такому же выводу можно прийти при рассмотрении дислокационной природы разрушения твердых тел [8 и др.]. По всей вероятности, трещины зарождаются в местах больших скоплений дислокаций. Поэтому общепринятый детерминированный подход к построению моделей зарождения дислокационных трещин и разрушению материалов не дает положительного результата.

Число дислокаций - в скоплениях дислокаций является случайной величиной и распределено по закону Пуассона:

пп

Рп = -0-е-п» , (16)

п!

где -0 - математическое ожидание числа дислокаций в скоплении.

Тогда с учетом равенства (16) вероятность того, что в материале имеется скопление с критическим значением -=-к, при котором зарождается дислокационная трещина, равна:

-к-0 -=0 -!

Р(- > -к ) = 1 -£—е~-0 . (17)

Среднее число скоплений дислокаций в единице объема материала обозначим через N0. Тогда в объеме материала V в среднем имеется N0• V скоплений. На самом деле число скоплений в объеме материала V является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона. Рассматриваемое событие состоит в том, что материал объемом V разрушится, если в этом объеме имеется N число скоплений с критическим числом дислокаций -к, вызывающим появление устойчивых дислокационных трещин. Вероятность этого события равна:

Р -, N) = 1(1 - (1 - Р(- > -к))) (^I)" е-■>' . (18)

N=1 N

Решая равенство (18), найдем:

Р (-к, Nk ) = 1 - е^ (->-к) , (19)

где Р(->-к) определяется равенством (17).

В выражении (19) -к=т/тк, откуда с использованием выражения (17) несложно определить значение Р(->-к). Значение N0• V зависит от требуемого качества изделия. В наиболее ответственных случаях достаточно и одной трещины, чтобы изделие признать негодным. В других случаях можно допустить наличие нескольких трещин или даже их скопления. Но на практике обычно приходится решать обратную задачу, а именно по заданной надежности изделия, иначе по заданному значению Р(-к,Щ), определять критическое число трещин. Эта задача решается путем логарифмирования выражения (19):

N0 • V • Р(- > -к ) = 1п(1 - Р(-к, N. )) . (20)

Из выражения (20)

у = 1п(1 - р (пк, Ык )) (21)

N0 (п > щ) '

Как видно из равенства (21), расчетное значение разрушенного объема материала существенно зависит от заданной надежности вычислений. Чем более необходима высокая надежность вычислений, тем более высокий должен допускаться разрушенный объем материала. В связи с этим рассмотрим процесс развития дислокационных трещин с вероятностных позиций.

Свяжем дефектный объем материала V с приращением внутренней энергии. Известно [4], что для создания N трещин требуется энергия, равная:

Еу =

7п а2 Т Nk „

П-Е+т.Єіі. ь-1:/2. (22)

V 8 Е ) і=1

Применяя к равенству (22) процедуру, используемую для выражений (9)-(12), получим:

Еу =

7п а2 Т “

|.£. + т.6/|.|/}-ф(/).Л/, (23)

8 Е ) о

где ф(/) - плотность вероятностей распределения размера трещин. Подставляя в выражение (13) значение Nk=VN0, найдем:

Еу =

7п а2

го

7- + Т-6/ I-L-V.NoI/? 'Ф(/).Л/. (24)

V8 Е ) о

Из равенства (24) получим:

У = 77^5----------------------------------------. (25)

п а

—+ т-6г I-Ь-Л0I/2-ф(/)-Л/

V8 Е ) о

Так как работа внешних сил равна энергии образования дислокаций, в результате которых возникают трещины, то из сравнения знаменателя выражения (25) с равенством (13) можно сделать вывод, что знаменатель представляет собой энергию насыщения единицы объема материала:

Е0 =

ґп а2 Т

7-^т + т-6, I-L-.NoI/?-ф/)-Л/. (26)

V8 Е ) 0

На основании равенства (26) выражение (25) примет вид:

V = —. (27)

Е

Выражение (27), как и выражение (15), показывает, что разрушенный объем заготовки пропорционален работе внутренних сил и обратно пропорционален удельной внутренней энергии насыщения единицы объема материала заготовки, при которой происходят разрушения.

Следовательно, в соответствии с выражениями (15) и (27) при разрушении тела, имеющего дефекты в виде трещин или скопления дислокаций, объем разрушенного тела прямо пропорционален работе внешних сил и обратно пропорционален удельной внутренней энергии насыщения тела. Это означает, что если, например при механической обработке деталей, деформации и разрушению подвергается большой объем, то в процесс разрушения вовлекается большое количество дефектов и на обработанной поверхности появятся следы значительных разрушений, возникнут большие дефекты. И наоборот, если

к телу прикладывается небольшая локально направленная технологическая энергия, то вероятность появления значительных дефектов на поверхности разрушения маловероятна.

Таким образом, качество механической обработки можно характеризовать затратами подводимой при обработке энергии. Причем эта связь носит случайный характер, так как внутренняя энергия насыщения материала твердых тел является случайной величиной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Griffith A.A. The Phenomena of Rupture and Flow in Solids / A.A. Griffith // Physical Transaction. 1921. № 221. Р. 163-198.

2. Александров А.П. Явление хрупкого разрыва / А.П. Александров, С.Н. Журков. М.-Л.: Техиздат, 1993. 151 с.

3. Gumbel E.I. Statisticks of extremes / E.I. Gumbel. New Jork: Columbia University Press, 1958. 375 р.

4. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов / В.И. Владимиров. М.: Металлургия, 1984. 280 с.

5. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел / А. Надаи. Т. 1. М.: Изд-во иностр. литер., 1954. 647 с. Т. 2. М.: Мир, 1969. 863 с.

6. Потак Я.М. Хрупкое разрушение стали и стальных деталей / Я.М. Потак. М.: Оборонгиз, 1955. 347 с.

7. Финкель В.М. Физика разрушения / В.М. Финкель. М.: Металлургия, 1970. 376 с.

8. Старков В.К. Дислокационные представления о резании металлов / В.К. Старков. М.: Машиностроение, 1979. 160 с.

Королев Альберт Викторович -

доктор технических наук, профессор,

заведующий кафедрой «Технология машиностроения»

Саратовского государственного технического университета

Чеботаревский Юрий Викторович -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая механика»

Саратовского государственного технического университета