CC BY
12
УДК 004.021
В. Л. Колесников, А. И. Бракович
Белорусский государственный технологический университет
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ С ПОДВИЖНЫМИ АСИМПТОТАМИ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ
СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ
В статье описывается разработанная методика получения и использования стохастических логистических моделей с подвижными нижней и верхней асимптотами, позволяющих генерировать и количественно оценивать в динамике работу размалывающих машин, включаемых последовательно-параллельно, когда результат размола в одной машине является началом процесса в последующей. По комбинаторному плану вычислительного эксперимента методом Монте-Карло решена задача минимизации удельных расходов энергии для получения заданного качества размолотой массы. Минимальные удельные расходы энергии увеличиваются при получении волокнистой массы с длинными волокнами и высокой степенью помола. Для получения и визуализации стохастических моделей использовались авторские программные средства: Complex, Model Builder v3, а также математический пакет MathCAD.
Ключевые слова: стохастические логистические модели, методика, программное средство, вычислительный эксперимент, метод Монте-Карло.
V. L. Kolesnikov, A. I. Brakovich
Belarusian State Technological University
PROBABILISTIC MODELS WITH MOBILE ASYMPTOTES FOR OPTIMIZATION OF SYSTEMS WITH SERIES-PARALLEL SYSTEMS CONNECTION OF THE ELEMENTS
The article describes the developed technique for obtaining and using stochastic logistic models with moving lower and upper asymptotes that allow to generate and to quantify in dynamics the operation of grinding machines that are switched on in series-parallel, when the result of grinding in one machine is the beginning of the process in the following machine. According to the combinatorial plan of the computational experiment, the Monte Carlo method solves the problem of minimizing the specific energy expenditure for obtaining a given quality of the ground mass. The minimum specific energy consumption increases with the production of pulp with long fibers and a high degree of grinding. To obtain and visualize stochastic models, the author's software tools were used: Complex, Model Builder v3, and the mathematical package MathCAD.
Key words: stochastic logistic models, methodology, software, computing experiment, Monte Carlo method.
Введение. При организации производства на современных предприятиях со сложной структурой материальных потоков, например на бумажных фабриках, процесс размола осуществляется на последовательно-параллельно соединенных размалывающих машинах. Причем нагрузки на двигатели мельниц, как правило, устанавливают «вслепую», руководствуясь накопленным опытом и интуицией. Поэтому между оптимальными и реальными затратами электроэнергии на размол существует значительный интервал, который возможно сократить путем оптимизации условий проведения процесса.
Основная часть. Если бы размол осуществлялся в одну ступень, то для достижения конечных результатов на данном размалывающем оборудовании его продолжительность определялась бы установкой соответствующей нагрузки на двигатель и дросселированием массы на выходе.
При последовательном соединении нескольких машин заданные показатели качества размолотой массы будут складываться из времени пребывания суспензии в зоне размола на каждой мельнице. Поскольку от дросселирования зависит производительность потока, то количество машин, объединяемых в батарею, определяется заданным объемом производства конечной продукции.
Схема потоков и текущие изменения параметров размалываемой массы представлены на рис. 1.
Для математического описания процессов, происходящих в батарее машин, необходимо разработать информационную сеть для проведения эксперимента на одной машине так, чтобы на ней воспроизводились условия работы всей системы. Своеобразие такого эксперимента заключается в том, что в него необходимо одновременно включать однотипные параметры условий и результатов.
Длина волокна
\
Ч.
ч.
Степень помола
/
У
Г
Размалывающая Размалывающая Размалывающая
машина
машина
машина
Рис. 1. Характерные изменения параметров качества волокнистой суспензии при последовательном соединении размалывающих машин
Обычно качество размолотой массы оценивается двумя функциями степени помола (РО) и длины волокна (РЬ) в зависимости от времени размола (Т) и нагрузки на двигатель машины (W). В этом эксперименте функции и аргументы связаны с начальными и конечными условиями, протекающими во времени в одной машине при различных нагрузках на двигатель. Ортогональная таблица плана эксперимента получена для пяти факторов с пятью уровнями варьирования. Таблично заданные функции, полученные по результатам эксперимента, представлены на рис. 2.
А В с О Е 1 С
С концентрация Ь начальная С начальная Т время ¥ нагрузка У1 Степень помола Y2 Длина волокна
3 350 15 2 50 18 345
3 200 25 5 150 ЗВ 1В0
3 300 35 8 12 5 42 250
3 150 20 10 100 3 5 106
3 250 30 15 75 45 210
7 300 20 2 75 25 2 В 5
7 150 30 5 50 35 140
7 250 15 В 150 29 203
7 350 25 10 12 5 34 269
7 200 35 15 100 4В 164
10 250 25 2 100 27 205
10 350 35 5 75 42 335
10 200 20 В 50 26 195
10 300 30 10 150 39 214
10 150 15 15 12 5 22 95
15 200 30 2 12 5 33 1В5
15 300 15 5 100 24 236
15 150 25 В 75 29 140
15 250 35 10 50 43 231
15 350 20 15 150 38 212
20 150 35 2 150 40 123
20 250 20 5 12 5 29 200
20 350 30 8 100 37 305
20 200 15 10 75 22 132
20 300 25 15 50 33 2В2
Рис. 2. Таблично заданные функции по результатам эксперимента
Эксперимент проводился в производственных условиях Сегежского ЦБК. Аналитический вид нелинейных вероятностных полиномиальных моделей получен путем формирования вектор-столбцов псевдофакторов Хц из независимых переменных рис. 2. Для оценки взаимного влияния параметров, линеаризации подвергались их парные произведения, а для анализа нелинейности главных управляющих воздействий (времени и нагрузки на двигатели) в модель введены квад-ратические зависимости. На рис. 3 показана конструкция модели степени помола с рассчитанными значениями коэффициентов полинома.
Подобные результаты были получены для модели длины волокна.
Общий вид моделей, линеаризованных с помощью преобразующих соответствий (1) и (2), показан на рис. 4:
УО = ^О(С, Ь, О, Т, Ж);
УЬ = ЩС, Ь, О, Т, Ж).
(1) (2)
Условия работы одной машины в батарее определяются закрепленным набором значений концентрации массы С, начальных значений степени помола О и начальных значений длины волокна Ь, а эффект размола определяется значениями установленной нагрузки Ж на двигатель описываемой машины и времени нахождения массы в зоне размола, которые для этой мельницы можно оперативно менять. При передаче размолотой массы из одной мельницы в другую необходимо осуществлять переприсвоение Ь = УЬ, О = УС.
Известно, что изменение степени помола происходит по логистическим кривым [1-3]. Для их получения использована линеаризация (3), предложенная в работе [4]:
(
УС, = 1п
|У - АзОп, \AsGv - У\
|\
( 3)
где 1 - порядковый номер машины в батарее; значения У] в таблично заданной функции, полученной по результатам эксперимента, заменяются рассчитанными по (3) значениями УО; АзОу - неподвижная верхняя асимптота, представляющая собой максимальное достижимое значение параметра О.
Степень помола описывается полиномиальной логистической моделью с подвижной нижней асимптотой [4]:
УО+1 = АзОп,
((АзОу - АзОпг) • ехр(УО)) 1 + ехр(УО)
(4)
Визуализация изменений степени помола в батарее трех последовательно соединенных машин приведена на рис. 4.
м 1 1 Роль: псевдафактор v Коэф. -2,290635
[v| ■1 С концентрация Роль: скрытый X V КоэФ. -9,220406
м z2 L начальная Роль: скрытый X v Коэф. 0,011274
[vj хЗ G начальная Роль: скрытый X V КоэФ. 0,37515S
м *4 Т время Роль: по оси абсцисс Коэф. -4.2B34S2
[vj *5 W нагрузка Роль: по оси ординат v КоэФ. 9, 655953
м У Y1 Степень помола Роль: показатель Коэф. 0
[vj Deocnp Y2 Длина волокна Роль: скрытый Y v Коэф.
м t*2*K4) L начальная * Т время Роль: псевдофактор v Коэф. 0,014431
[vj &с2*к5> L начальная * W нагрузка Роль: псевдофактор Коэф. -D, 001405
м G начальная " Т время Роль: псевдофактор v Коэф. 0,063242
м G начальная *W нагрузка Роль: псевдофактор Коэф. -9.90523
м Т время " W нагрузка Роль: псевдофактор v КоэФ. 0,013391
[v| sqr|x4) Квадрат Т время Роль: псевдофактор Коэф. -9,091662
fw| sq tU5) Квадрат W нагрузка Роль: псевдофактор v КоэФ. -0,0013
Рис. 3. Конструкция модели степени помола в программном средстве Model Builder v3
Рис. 4. Графики поверхности отклика функции степени помола с подвижной нижней асимптотой в математическом пакете МаШСАБ
Уменьшение длины волокна в процессе размола на последовательно соединенных машинах описывается с помощью включения в модель подвижных верхних асимптот. Прием линеаризации модели УЬ, полученной по результатам эксперимента, осуществляется путем замены значений У, рассчитанных по формуле (5), значениями УЬ. Величина Л^ъЬу, выполняет функцию подвижной верхней асимптоты:
(
YL = ln
\AsLv1 - Y |Y - AsLn\
\
(5)
где УЬ - значения линеаризованной таблично заданной функции; - подвижная верхняя
асимптота, равная УGг■+1 предыдущей мельницы; Уг- - значения свойства в таблично заданной функции; ЛsLn - значение исходной длины волокна неразмолотой массы.
Логистическая модель длины волокна с подвижной верхней асимптотой для батареи последовательно соединенных машин имеет вид
YGi+1 = AsLv, -
((AsLvt - AsLn ) • exp(YL))
1 + exp(YL)
(6)
Визуализация изменений длины волокна в батарее трех последовательно соединенных машин приведена на рис. 5.
Рис. 5. Графики поверхности отклика функции длины волокна с подвижной верхней асимптотой в математическом пакете МаШСЛО
Результат1 оптимизации
R= 14394.63 SUD= 41.963 НМ= 40 С^уг Ч.м Натру Кощ Ст.лом Дп.воп
1 4 354.75 10
2 4 454.42 10
3 4 410.65 10
4 4 355.31 10
5 4 334.91 10
6 4 327.21 10
7 4 21i.ll 10 5 4 366.75 10 9 4 335.65 10
10 4 350.21 10 Результат оптимизации R= 5923.12 SUD=
15.1 17.0 15.5
20.2 21.5 22.5 23.7 25.2 26.5 27.7
233.2
211.4
135.5 153.5 173.5 163.5 156.5 145.0
135.3
125.4
33.576 НМ= 24
Стул Ч.м Нагру Кощ Ст.лом Дп.воп
1 2 467.09 5.0 16.0 191.0
2 2 365.13 5.0 17.5 165.3
3 2 272.54 5.0 15.4 156.3
4 2 257.00 5.0 19.5 144.5
5 2 325.57 5.0 20.5 131.2
6 2 252.20 5.0 21.6 122.9
7 2 306.07 5.0 22.7 112.7
5 2 357.95 5.0 24.2 100.7
9 2 254.95 5.0 25.1 93.1
10 2 562.36 5.0 25.4 70.1
11 2 459.55 5.0 30.0 55.9
12 2 514.76 5.0 31.7 45.4
Результат оптимизации R= 11990.51 SUD= 54.943 ЫМ= 26
Цл. БОЛ
191.6 164.5 142.5 121.3 97.2
70.1
56.4 45.0
42.2
35.5 34.5
Стул Ч.м Нагру Кощ Ст.лом
1 2 405.10 3.5 15.6
2 2 357.45 3.5 17.0
3 2 362.97 3.5 15.6
4 2 395.65 3.5 20.5
5 2 467.74 3.5 23.3
6 2 564.42 3.5 27.0
7 2 455.31 3.5 29.0
5 2 444.34 3.5 30.3
9 2 435.57 3.5 31.4
10 2 352.51 3.5 32.1
11 2 520.57 3.5 33.4
Результат оптимизации
R= 21994.56 SDD= 29.196 НМ= 60 Стул Ч.м Натру Кощ Ст.лом Дп.воп
364.36 319.72 465.23 395.54 337.60 311.02
5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0
15.2 16.2 15.9 20.9
22.3
23.4
212.1 190.3 154.2 133.9 120.6 109.9
Результат оптимизации К= 26941.53 КиО= 39.275 НН= 54
Цл. БОЛ 219.2 156.1
169.4
152.5 127.4
117.6 99.3
57.0 77.5
69.1 63.5 59.3
НН= 60
Стул Ч.м Натру Кощ Ст.лом Дп.воп
1 10 711.20 20.0 16.5 236.9
2 10 705.20 20.0 19.7 222.5
3 10 743.57 20.0 23.5 203.4
4 10 455.52 20.0 25.7 197.3
5 10 692.64 20.0 29.4 175.1
6 10 663.25 20.0 32.2 159.5 Результат оптимизации
К= 30701.56 ШВ= 22.573 N11= 55 Стул Ч.м Натру Кощ Ст.лом Дп.воп
Стул Ч.м Нагру Кощ Ст.лом
1 7 263.27 3.5 14.6
2 7 344.04 3.5 15.9
3 7 263.60 3.5 16.7
4 7 295.54 3.5 17.7
5 7 416.16 3.5 19.9
6 7 259.09 3.5 20.7
7 7 413.92 3.5 22.5
5 7 363.79 3.5 24.3
9 7 331.71 3.5 25.4
10 7 350.23 3.5 26.5
11 7 255.02 3.5 27.2
12 7 256.11 3.5 27.7
Результат оптимизации R= 40073.77 SDD= 57.969
456.79 535.99 530.16 611.32 653.79 625.05
3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5
16.0 19.5 23.2 27.5 31.0 31.0
179.5 125.3 96.3 65.7 45.3 45.5
Результат оптимизации
R= 144131.54 RÜD= 126.572 Ш= 250
Стул Ч.м Натру Кощ Ст.лом Дп.воп
1 20 333.05 20.0 14.5 245.3
2 20 455.61 20.0 15.5 244.1
3 20 479.64 20.0 17.1 239.9
4 20 452.44 20.0 15.6 235.1
5 20 ЗЭ5.10 20.0 19.7 231.9
6 20 423.97 20.0 21.0 227.5
7 20 541.34 20.0 23.3 219.4 5 20 599.36 20.0 26.3 206.7 9 20 536.50 20.0 25.5 1Э6.2
10 20 544.16 20.0 30.5 154.3
11 20 622.25 20.0 32.5 166.2
12 20 557.25 20.0 34.4 151.4
13 20 623.37 20.0 35.9 135.0 Результат оптимизации
R= 5543.11 RÜD= 36.445 Ш= 24
Стул Ч.м Натру Кощ Ст.лом Дп.воп
1 4 492.37 3.5 16.3 169.5
2 4 395.16 3.5 15.2 143.9
3 4 291.51 3.5 19.2 131.1
4 4 256.59 3.5 20.0 121.4
5 4 324.70 3.5 21.3 109.2
6 4 450.14 3.5 23.7 90.0 Результат оптимизации
R= 16054 . 90 RÜD= 59.295 Ш= 42
Стул Ч.м Натру Кощ Ст.лом Дп.воп
1 3 336.71 15.0 14.7 245.1
2 3 426.03 15.0 15.9 237.2
3 3 325.51 15.0 16.7 232.3
4 3 490.36 15.0 15.7 220.7
5 3 522.50 15.0 21.4 206.1
6 3 506.73 15.0 24.0 191.7
7 3 425.44 15.0 25.9 151.3 5 3 325.75 15.0 26.9 175.0 9 3 336.05 15.0 27.9 165.2
10 3 373.23 15.0 29.1 160.0
11 3 254.75 15.0 29.6 155.6
12 3 327.25 15.0 30.4 149.3
13 3 396.36 15.0 31.4 140.4
14 3 305.25 15.0 32.0 135.0
Рис. 6. Вычислительный эксперимент для оптимизации распределения нагрузок на двигатели машин
Оптимизация распределения нагрузок на двигатели машин осуществлялась путем формирования разнообразных вариантов. Генерирование вариантов осуществлялось по методу Монте-Карло.
Исходными данными служили заданные значения производительности потока и качества размолотой массы по степени помола и длине волокна. Результаты оценивались по величине удельного расхода энергии на размол тонны волокна на один градус Шоппер-Ригглера. При проведении вычислительного эксперимента было сформировано и проанализировано 1500 вариантов распределения нагрузок на двигатели машин при различных требуемых значениях показателей качества размолотой массы. Фрагмент результатов вычислительного эксперимента представлен на рис. 6. Последовательность и параллельность включения машин в батарею определялась необходимостью изменения концентрации массы.
Визуализация изменений длины волокна в батарее трех последовательно соединенных машин приведена на рис. 5.
Анализ рис. 6 позволяет сделать некоторые важные обобщения. Прирост степени помола быстрее и дешевле достигается при высоких концентрациях массы. Наоборот, сокращение длины волокна легче осуществляется при низкой концентрации. Отсюда возникает естественный вывод о том, что процесс размола следует организовывать в несколько ступеней, причем сначала нужно обращать внимание на разработку поверхности волокон при высокой концентрации, а затем, на последующих ступенях, добиваться снижения длины волокна на разбавленной массе.
Таким образом, если сокращение времени размола в мельнице путем дросселирования на выходе не позволяет достичь требуемого качества размолотой массы, то приходится в батарею добавлять последовательно несколько дополнительных единиц размалывающего оборудования. Если батарея не обеспечивает требуемой производительности, то в нее следует добавить несколько машин, включив их параллельно.
При опытно-промышленном испытании разработанной методики оказалось, что, заменив органолептическое управление, использующее опыт, квалификацию и интуицию персонала, на оптимизированное распределение нагрузок между двигателями машин, из 118 работающих машин 30 могут быть отключены.
Заключение. Разработана методика получения и использования стохастических логистических моделей с подвижными нижней и верхней асимптотами, позволяющих генерировать и количественно оценивать в динамике работу размалывающих машин, включаемых последовательно-параллельно, когда результат размола в одной машине является началом процесса в последующей. По комбинаторному плану вычислительного эксперимента методом Монте-Карло решена задача минимизации удельных расходов энергии для получения заданного качества размолотой массы. Минимальные удельные расходы энергии увеличиваются при получении волокнистой массы с длинными волокнами и высокой степенью помола. Для получения и визуализации стохастических моделей использовались авторские программные средства: Complex, Model Builder v3, а также математический пакет MathCAD.
Литература
1. Колесников В. Л. Математические основы компьютерного моделирования химико-технологических систем. Минск: БГТУ, 2003. 312 с.
2. Kolesnikov V., Urbanovich P., Brakovich A. Modeling and software implementation of fibrous waste disposal processes // New Electrical and Electronic Technologies and their Industrial Implementation - NEET' 2015: proc. of the 9-th Intern. conf. Lublin, 2015. P. 37.
3. Колесников В. Л., Жарский И. М., Урбанович П. П. Компьютерное моделирование и оптимизация химико-технологических систем. Минск: БГТУ, 2004. 532 с.
4. Колесников В. Л. Системный анализ производственных процессов в полиграфии. Минск: БГТУ, 2011. 360 с.
References
1. Kolesnikov V. L. Matematicheskie osnovy komp'yuternogo modelirovaniya khimiko-tekhnologi-cheskikh sistem [Mathematical fundamentals of computer modeling of chemical-technological systems]. Minsk, BGTU Publ., 2003. 312 p.
2. Kolesnikov V., Urbanovich P., Brakovich A. Modeling and software implementation of fibrous waste disposal processes. New Electrical and Electronic Technologies and their Industrial Implementation -NEET'2015: proc. of the 9-th Intern. conf. Lublin, 2015, p. 37.
3. Kolesnikov V. L., Zharskiy I. M., Urbanovich P. P. Komp'yuternoe modelirovanie i optimizatsiya khimiko-tekhnologicheskikh sistem [Computer simulation and optimization of chemical processes: manual for universities]. Minsk, BGTU Publ., 2004. 532 p.
4. Kolesnikov V. L. Sistemnyy analizproizvodstvennykh protsessov vpoligrafii [System analisys of industrial processes in polygraphy]. Minsk, BGTU Publ., 2011. 360 p.
Информация об авторах
Колесников Виталий Леонидович - доктор технических наук, профессор, профессор кафедры информационных систем и технологий. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: vitalykolesnikov@mail.ru
Бракович Андрей Игоревич - кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры информационных систем и технологий. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: brakovich@yandex.ru
Information about the authors
Kolesnikov Vitaliy Leonidovich - DSc (Engineering), Professor, Professor, the Department of Information Systems and Technologies. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: vitalykolesnikov@mail.ru
Brakovich Andrey Igorevich - PhD (Engineering), Associate Professor, Assistant Professor, the Department of Information Systems and Technologies. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: brakovich@yandex.ru
Поступила 15.05.2018
