CC BY
87
Вероятностные методы оценки долговечности железобетонных изгибаемых элементов.
В.П.Селяев, П.В.Селяев, И.С.Петров
Методы оценки долговечности строительных конструкций должны строиться из предположений, что работа элемента конструкции представляет собой одну из возможных реализаций множества подобных элементов. Показатели качества каждого из них определяются огромным количеством факторов: однородностью свойств исходного материала, технологией изготовления, внешними воздействиями и т.д. Все они являются случайными величинами, которые характеризуются законом распределения, математическим ожиданием, дисперсией. В результате случайного изменения параметров элемента конструкции будет изменяться по случайному закону и та максимальная величина нагрузки, которая вызывает его разрушение. В реальных условиях разрушение элемента конструкции происходит под действием внешних сил (нагрузок), которые также являются случайными величинами. Определение вероятности безотказной работы элемента в общем случае затруднительно из-за множества случайных параметров, поэтому при расчете строительных конструкций часто пользуются приближенным методом ее оценки, предложенным Н.С.Стрелецким.
Суть этого метода состоит в определении вероятности одновременного появления двух событий: превышение усилий от нагрузки заданной величины и усилия, воспринимаемого сечением меньше этой величины.
Предполагая, что случайные значения усилий распределены по нормальному закону, между ними отсутствует корреляционная связь, предложено с учетом изменчивости оценивать надежность элемента по формуле:
у_ Mnes - М^
(а 2 +а (1)
\ Мпе^ Мпадг 1
где у - индекс надежности, характеризующий запас прочности по отношению к действующей нагрузке с учетом из-
менчивости; Мпадги опадг - среднее значение усилия от нагрузки и его среднеквадратическое отклонение; Мп^ и апе! -среднее значение усилия, воспринимаемого сечением, и его среднеквадратическое отклонение.
Очевидно, чем больше о, тем больше должна быть разность в числителе для обеспечения требуемой величины у.
Задача оценки долговечности элемента строительной конструкции с учетом изменчивости расчетных параметров усложняется еще тем, что с течением времени под действием внешних факторов величины средних и среднеквадратических отклонений также будут изменяться.
Рассмотрим возможность применения индекса надежности для прогнозирования долговечности элементов железобетонных конструкций.
В качестве примера рассмотрим изгибаемый элемент с прямоугольной формой поперечного сечения и одиночной арматурой (например, балочная плита ребристо монолитного перекрытия с арматурой в растянутой зоне). Предположим, что деградация бетона плиты вызвана жидкими агрессивными средами, действие которых обусловлено технологической линией, расположенной на вышележащих этажах. Тогда с учетом обобщенной модели [2] возможные расчетные схемы прочности поперечного сечения, нормального к оси изгибаемого элемента, будут иметь вид (см. рис. 1).
На расчетных схемах показано, что зона деградации (х1) находится в пределах сжатой зоны (х1<х); расчетное сопротивление, модуль деформации в пределах зоны деградации могут изменяться по различным законам.
На рис. 1 приняты обозначения: Rs, Rь - расчетные сопротивления арматуры и бетона; х - высота сжатой зоны; Н, Ьо - полная и рабочая высота сечения; Л$ - площадь поперечного сечения; Ь - ширина поперечного сечения элемента; х1 - высота зоны деградации.
м(%
1.
(?« А»
2.
Ьсо
і I
3.
4.
:—г —— * г ■ —т —1 *
-І ^
' № (?■ А* ' Рь м. - & Іїі А§ к, д.
Рис. 1. Расчетные схемы 1, 2, 3, 4 нормального сечения изгибаемого элемента
3 2009 87
Введем обозначения: X,=х/Ьо ; Ха1 = х/^; атй. = £,.(1-0,5£,.); которая после подстановки из таблицы 1 выражений атН и
k = Rb(t)/Rb; m = As /bho ; b = Rs/Rb. Тогда условие прочности можно записать в виде неравенства:
Mnagr £ Kt ~amti ) ' Rb ' Ь ' ^ (2)
Выражения для определения £. и amti , соответствующие данным расчетным схемам, приведены в таблице 1.
Анализ экспериментальных данных показывает [3], что наиболее достоверно деградация железобетона в жидких агрессивных средах описывается моделью, представленной расчетной схемой 3, рис.1.
Рассмотрим третью расчетную схему, представленную в таблице 1 и на рисунке 1.
Mnes = (amt _amt3)’ Rb ' Ь' ^ (3)
Установлено, что: x1 - координату фронта деградации бетона можно определить [3] по формуле:
Х1=k(X)4Di, (4)
где, k(X) -характеристика точности определения границы разрушения материала агрессивной средой, проникающей вглубь материала, Dk - коэффициент диффузии агрессивной среды, t - длительность действия агрессивной среды.
R
b(t)
величина, характеризующая изменение прочност-
ных свойств бетона во времени под воздействием агрессивной среды, определяется [3] по формуле:
Rbt) = Rbe-gt,
- (5)
Несущая способность железобетонной балки с учетом воздействия агрессивной среды определяется по формуле 3,
a
= Х3(1-0,5Х3), Rb(t) и Х1, примет вид:
.. _ . , R2 • Л2 R • A
М = R • Л • h —
R,
2-Rb-I
-(1 - Rf)2
Rb
x (1 - Ra) -
Rb
-(1 - Rf ).
(6)
Х (1 «ь 1 ' 6 Х " « '
Для определения индекса надежности по формуле (1) необходимо знать изменчивость расчетных параметров и среднеквадратические отклонения.
В формуле 6 выражение в скобках (1-«ед /«ь) = (1-0„) = П является оценкой деградации механических свойств бетона, которую можно выразить через деградационную функцию или функцию поврежденности П.
Индекс надежности будем определять методами линеаризации и Монте-Карло. В последнем случае количество испытаний назначим 100000 и будем определять среднее значение несущей способности и среднеквадратические отклонения.
Расчет будем производить с использованием нормативных значений статистических характеристик, приведенных в таблице 2.
При расчете методом линеаризации несущую способность вычисляем по формуле (6), а стандартное отклонение по формуле (7).
,сСМпе5,2 2
°М
=(( ^ )2 -°Rs2 +(^ )2'
dR
dA
dh
Ж,
Ж,
dMe
2x0.5
+( niL)2-о 2 + ( niL)2-о 2 + (_________________— )2-о 2)(
+( ) °b + ( JD ) °Rb + ( Jn ) °Dk )
(у)
db
dRb
dDk
Таблица 1
Номер расчетной схемы, і Параметры
<4,1 4,
0 0 sn=P'JJ 1
1 ti.-0-0.55.1) 1 — 1-O.Ho
2 О-ДтКи-О-ОН,,) V 4ii-<l-k) , Ь,(1-*)
3 So+ 4„-0,5-(l-k) 1-0,5^
і - g,+ 0,5-( 5,,- £,) 1 SnO-*) L-<W^
Таблица 2
Расчетный параметр t/*eT R,, МПа А:,смг Ь, см lv СИ Rs, МПа Dk, мм'/с И„г кЬ н
Среднее значение G 390 19,0 <0,0 79 22 0,510 ’ ■400
Стандарт й 19,5 0,6 0,24 0.3 2,97 0,5-10* 40
Среднее 1начение 50 № 18 38 75 R*: 0,510' 400
Стандарт 50 39 1,5 0,5 1,0 2,0 0,5' 10’ 40
dMn.
dRs
dAr
44 _ 1,
Rь • Ь 2 s
= Rs■ho _
А>^; Яь-Ь dM„,
_ 2-Rs
dhn
- = Я А,
йМ„
СІЬ 2-ЯЬ
А2 -Я2 Я
*г(1 _^),
_^-Х2-(1 _:Ж )2 +
Я
ь у2 Л1
(і _Яр),
dM„.
dRь
АІ 'Я? 2-^ Ь
Ь-х2 Ь-е^-,
+ —-+-
Ь-е ^-,
24
12
dM„.
dD^
х (1 _
Я;-А5-т-Л (1 _ Ям 4- 4^ ЯЬ
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
)_
Яь 'Ь-к(Х)2-Г
УЬ-к(Х)2-^ (1 _Яъ«)
6 ( Я
(13)
Рассчитываем индекс надежности методом Монте-Карло, численные значения характеристик, входящих в формулу 6, определялись методом статистического моделирования. Результаты моделирования, представленные на рисунке 2, свидетельствуют о том, что несущая способность имеет нормальный закон распределения. Статистические характеристики и значения индекса надежности, определенные различными методами, представлены в таблице 3.
Сопоставление полученных результатов свидетельствует о том, что при определении индекса надежности двумя методами - Монте-Карло и линеаризации - расхождения в результатах расчета не значительны (см. таблицу 3). Проанализировав работу программы, можно сделать следующие выводы: при использовании метода Монте-Карло значительно проще адаптировать расчетные формулы для использования в программировании;увеличив количество испытаний, можно добиться оптимальной точности.
Анализ данных обследований железобетонных конструкций, работающих в условиях действий агрессивных сред, показывает, что статистические характеристики изделий со временем изменяются [3]. В таблице 2 приведены их значения после 50 лет эксплуатации конструкции. Тогда расчеты
Таблица 3
Срок эксплуатации, лет Метод М онте- Ка рло Метод линеаризации
М..гкН-и кН-м Индекс надежности у М.,.ГкН.и гКН-М Индекс надежности у
1 2 3 4 5 Б 7
0 553,20 31,22 3,02 554,19 31,29 3.04
20 516,20 29,06 2.35 517,21 28,96 2,37
40 503,67 га, іг 2,12 504,59 28,07 2,14
60 495,07 27,54 1.96 495,99 27,44 1,98
ао 4В8.45 27,12 1,33 489,47 26,95 1,85
100 4В3.49 26,69 1.Л 4В4.27 26,56 1.75
25
20
15
10
и // I у/ П ' 1 V/ VI \
/ / / / і г \ ( т
/ . / / і ► \ \ ч
■- / У
300 350 400 460 500 560
Несущая способность М„.„ кН-м
ки
650
♦ П ♦ -эр —*—1СО —50 С ЮМ.
Рис. 2. Плотность распределения несущей способности при различных сроках эксплуатации
Ь
Ь
индекса надежности методом Монте-Карло показали: после длительной эксплуатации сохраняется закон нормального распределения несущей способности.
Так как долговечность и ресурс конструкции зависят от среднеквадратических отклонений аМпе! и ам/ то определенный интерес представляет исследование влияния изменчивости параметров, входящих в формулу 6, на индекс надежности. Применяя статистическое моделирование, будем определять индекс надежности, последовательно увеличивая коэффициент вариации каждого параметра ф0, Я, Мтд, А) в пять раз, при сроке эксплуатации 10 лет.
График на рисунке 3 дает полную характеристику влияния изменчивости расчетно-конструктивных параметров на
индекс надежности. Наибольшее влияние на ресурс конструкции оказывает изменчивость момента от внешней нагрузки M , наименьшее - рабочая высота сечения hn.
nagr' ~ 0
В следующем эксперименте изучалось влияние изменчивости коэффициента диффузии Dk на индекс надежности. Экспериментальные данные свидетельствуют, что этот параметр может изменяться в значительных пределах. Поэтому далее последовательно будем увеличивать коэффициент диффузии от 0,5-10-7мм2/с до 3-10-7мм2/с с шагом 0,5-10-7мм2/с. Результаты расчета представлены в графическом виде (рис. 4).
Анализ результатов статистического моделирования показал: индекс надежности, определенный методами линеаризации и Монте-Карло, дает возможность оценить долговечность (ресурс) изделия, работающего в условиях действий агрессивных сред; для повышения точности статистического моделирования необходимо повысить доверительную вероятность определения расчетных параметров; следует провести специальные опыты по определению закономерностей изменения статистических характеристик расчетных параметров; необходимо выделить основные показатели, определяемые инструментально, для идентификации модели деградации.
Литература
1. Стрелецкий Н.С. К вопросу развития методики расчета по предельным состояниям. В кн. «Развитие методики расчета по предельным состояниям». М., «Стройиздат», 1971, с. 5-37.
2. Селяев В.П., Низина Т.А., Уткина В.Н. Химическое сопоротивление и долговечность строительных материалов, изделий, конструкций. Саранск, Изд-во Мордов. ун-та, 2003.
3. Соломатов В.И., Селяев В.П., Соколова Ю.А. Химическое сопротивление материалов. М., РААСН, 2001.
Probable Methods of Evaluation of Lasting Ferro-concrete Curved Elements.
By V.P.Selyaev, P.V.Selyaev, I.S.Petrov
The given scientific work describes a method of evaluation of curved ferro-concrete's work with combined effect of powerful factors and aggressive environment. That's why the parameter-index of safety is put into operation which is determined by two methods of linearization and Monte-Karlo. The element's work is supposed to be one possible realization of a great number of similar elements. The quality indexes are determined by lost of factors: the property of homogeneous initial material, the making's technology, outward influence.
2.5
і
0.5
їм J 2Ь2 Ї.61 2 49 І4Т
|І22 —t ь і
kj 91 |J 3 uL61
1 & 1.4? /ЫЕ 1.16 її?11 DBS
fi та с.аг
1.5
2.5
■Э.5
+.5
Стандартное спжшавчнне *5
Ли ■
-Мґиф
Рис. 3. Влияние изменчивости расчетно-конструктивных параметров на индекс надежности
КіріффііILHCin ЛІ1і|іфуїНН A, 'OP"*™
Рис. 4. Влияние коэффициента Dk на индекс надежности
