Вероятностное описание потоков однородных событий для оценки надежности систем энергосберегающего управления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

- классическим;

специальный; begin

8'h77) begin

end numlock = 1 numlock = 0 if(numlock) if(CODEWORD KBD = CODEWORD; end end

В случае выбора классического режима - в шину записывается сканкод, ранее занесенный в регистр CODEWORD.

if(!numlock) begin if(CODEWORD == 8'h45) begin kbd_reg[0] <= ~kbd_reg[0]; KBD[0] =

~kbd_reg[0]; end

В случае выбора специального режима, в работу подключается дешифратор, который выводит единичный код, зависимый от сканкода клавиш цифровой клавиатуры.

Соединим PS/2 модуль с одним из результатов выполненной работы, с модулем 4-разрядного АЛУ. Изначально определим выводы, которые в следствии будут привязаны к физическим портам устройства: module wrapper( input CLK, input PS2_CLK, input PS2_DATA, input [7:0] sw,

input [3:0] btn, output [7:0] ld); wire [9:0]KBD; Таким образом, все входные сигналы будут подключены к PS/2 модулю, выходная шина ld к модулю, а виртуальный провод KBD будет связующим звеном между модулями:

Keyboard Keyboard(.CLK(CLK),

•PS2_CLK(PS2_CLK),

■PS2_DATA(PS2_DATA),

• KBD(KBD));

K155IP3 impl(.A0(sw[0]),

• A2(sw[2]), ,A3(sw[3]),

• B0(sw[4]),

• B3(sw[7]),

.S0(btn[0]),

• S3(btn[3]),

•M(KBD[2]),

• F1(ld[1]),

• B1(sw[5]),

• S1(btn[1]),

• A1(sw[1] ■ B2(sw[6] . S2(btn[2]

• Cn(KBD[1]), .F0(ld[0]),

• F3(ld[3]),

• G(ld[4]),

• Cn4(ld[7]));

еndmodule

,AB(ld[5]),

• F2(ld[2] • P(ld[6]

В данном 4-разрядном АЛУ для формирования входных операндов использованы переключатели sw (Ао - э-[0], А1 - sw[1], А2 - Аз - э-[3],

Во - э-[4], В1 - э-[5], В2 - э-[6], Вз - э-[3]), выбор режима работы осуществляется тактовыми кнопками Ь"Ьп (Бо- btn [0], Б1- btn [1], Б2- ЬЬп [2], Бз- btn [3]), результат выполнения операции, а также вспомогательные выходы АЛУ отображаются на светодиодах 1Ь (Е0-1Ь[0], Е1-1Ь[1], Е2-1Ь[2], Е3-1Ь[3], Сп4-1Ь[7] ит.д.). Подключаемая клавиатура предназначена для установки сигнала переноса (Сп - кЬЬ[1], Сп=0 - с переносом, Сп=1 - без переноса) и переключения типа выполняемых операций (М - кЬЬ[2], М=0 - арифметические операции, М=1 - логические операции).

wrapper

Рисунок 8 - Структура основного модуля программы управления ПЛИС для 4-разрядного арифметико-логического устройства

Заключение. В итоге получена программа управления отладочной платой с реализованным блоком арифметико-логического устройства. На базе ПЛИС реализован подход логической эмуляции при проектировании цифровых устройств. Применение ПЛИС дает возможность получения легко изменяемых систем для работы с реальными сигналами и частотами их изменения, что дает широкий спектр возможности отладки устройства, дополняет результаты программного моделирования. Полученный прототип цифрового устройства имеет возможность управления, как востренными инструментами платы, так и подключаемой клавиатурой, что в свою очередь увеличивает количество потенциально возможных задаваемых входных сигналов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Угрюмов, Е.П. Цифровая схемотехника: учеб. пособие / Е.П. Угрюмов. - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб. : БХВ-Петербург, 2004. - 800 с.

2. Пирогов А.А. Проектирование интегральных схем и их функциональных узлов: учеб. пособие: учеб. пособие / А.А. Пирогов. - Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014. - 84 с.

3. Солонина, А.И. Основы цифровой обработки сигналов: учеб. пособие / А.И. Солонина, Д.А. Ухла-дович, С.М. Арбузов, Е.Б. Соловьева. - СПб. : БХВ-Петербург, 2005. - 768 с.

4. Волошин Е. В. Анализ времени считывания измерительной информации с теплосчетчиков по технологиям CSD и GPRS/EDGE сотовой сети GSM.: Сборник трудов ежегодного симпозиума «Надежность и качество 2017» г.Пенза, 2017.

5. Мишанов Р. О. Исследование признаков, видов, причин и механизмов отказов микросхем, выполненных по КМОП-технологии.: Сборник трудов ежегодного симпозиума «Надежность и качество 2017» г.Пенза, 2017.

УДК 519.248

Зьрянов Ю.Т., Муромцев Д.Ю., Грибков А.Н.

ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет», Тамбов, Россия

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ ПОТОКОВ ОДНОРОДНЫХ СОБЫТИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрены теоретические и практические аспекты вероятностного описания потоков однородных событий, применяемых в задачах оценки надежности систем энергосберегающего управления технологическими объектами, работающих в реальном масштабе времени. Показаны дифференциальные уравнения для потоков событий и приведено их решение. Выполнена модификация вероятностного описания простейшего пуассоновского потока событий, на основе которой получены еще два распределения вероятностей для потоков событий, обладающих свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия. Получены выражения для законов распределения времени появления к-го события и их основных числовых характеристик. Показано, что полученные распределения для потоков событий можно различать по значениям математического ожидания и дисперсии, а также по величине коэффициента, представляющим собой отношение третьего центрального момента к дисперсии.

Введение. Системы энергосберегающего управления (СЭУ) технологическими объектами находят широкое применение во многих отраслях современной промышленности [1]. В СЭУ реального времени [2,3] наблюдаются различные потоки событий. Потоком событий принято называть последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени /0, ^,

/2,..., /д.,..., где к = 0,1, 2,... . Например, в задачах оценки надежности СЭУ рассматривается поток отказов (сбоев) технических средств, входящих в состав системы и объекта управления (микроконтроллеров, исполнительных механизмов, датчиков и т.д.). Поток событий, обладающий тремя свойствами: стационарности, ординарности и независимости приращений, принято называть простейшим [4-10].

Свойство стационарности означает, что вероятность появления того или иного числа событий в интервале (г, г + Дг) зависит от длины промежутка

ДХ , но не зависит от времени t .

Свойство ординарности означает, что события появляются поодиночке, а не группами. При этом вероятность появления одного события в интервале длительностью Д t равна ЯД t + о(Д Х) , где Я> 0 -интенсивность потока, а вероятность появления двух и более событий равна о(Д?) .

Свойство независимости приращений означает независимость появления того или иного числа событий на непересекающихся интервалах времени. Иногда, вместо независимости приращений, говорят об отсутствии последействия, отождествляя эти два термина [5].

В настоящее время в теории систем массового обслуживания обычно используется простейший пуассоновский поток событий либо его различные обобщения, связанные с модификацией свойств ординарности, стационарности и независимости приращений или с отказом от этих свойств [5,7,8].

Основная цель работы - произвести модификацию вероятностного описания потоков событий, обладающих свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия.

1. Дифференциальные уравнения для потоков событий и их модификация

Вначале получим дифференциальные уравнения для этих потоков событий. Обозначим через Р(Х) вероятность того, что в течение интервала времени (0, Х) появилось к событий. Для вероятностей Р(Х) простейшего пуассоновского потока событий справедливы дифференциальные уравнения [5]

аРк(^)1Л = -ЯРк(^) + ЯРк_1(^у, к = 0,1,2,... . (1)

В уравнении (1), соответствующем к = 0,нужно

положить Р_1(0 = 0. Дифференциальные уравнения

(1) решаются при физически очевидных начальных условиях

Р0(0) = 1, Рк (0) = 0, к = 1, 2, 3, — (2)

Модификация уравнений (1) заключается в следующем. Во-первых, интенсивность потока Я в уравнениях (1) заменяется на линейную функцию интенсивности Л(к) , зависящую в общем случае от к событий. Во-вторых, предполагается, что общее число событий принимает счетное множество значений либо конечное множество, равное N. При этом уравнения (1) принимают вид

ЛР0 ( t)/Л = -Л(0) р ( t); к = 0, (3) ЛРк (г)/Лг = —Л (к) Рк (г )+Л(к-1) Рк-1 (г);

Если общее число событий является конечным, то при к = N вместо уравнения (4) следует использовать уравнение

Р( г)/Л = Л^- 1)Р^1 (г); к = N. (5)

(4)

Необходимо отметить, что для любого Ь (в том числе t=0) при конечном числе событий должно выполняться нормировочное условие

N

Е Рк (t )=1 •

к = 0

(6)

2. Решение дифференциальных уравнений для потоков событий

Решением уравнения (3) с учетом начального условия (2) является

Р0 (t) = ехр(—Л(0) t); к = 0 . (7)

Решение уравнения (4) можно найти методом вариации произвольной постоянной в виде рекуррентной формулы [6]

t

Рк (г ) = ехр (—Л(к) г) |л(к — 1) Рк—1 (т) ехр (л(к )т) Лт;

о

• (8)

С учетом условия нормировки (6) решением уравнения (5) при N < Ю является

N—1

Рм ( Х) = 1 — Е Р ( Х ), к = N.

(9)

Так как Л(к) является линейной функцией интенсивности, то решение уравнения (4) с учетом (3) для потока событий можно представить также в явном виде. При этом можно выделить три случая: 1. Так, если Л(к) = Я, то получим закон Пуассона [1-5]

/ ч )к , ч

= р(-Я*), ¿ = 0,1,2,.... (10)

В качестве основных числовых характеристик законов распределения будем рассматривать математическое ожидание т(Х) , дисперсию В(Х) и коэффициент К(Х) = М3(г)/В(Х), где М3(г) - третий центральный момент. Для закона Пуассона (10) они определяются выражением

т(г ) = В (г) = Яг; К (г ) = 1 . (11)

В работе [5] показано, что закон распределения времени появления к - го события подчинен распределению Эрланга

Рк (t) = JЯy(Яt)k—1exp(-Яt) , 0 < г <Ю (12)

с числовыми характеристиками

к гч к , ^ 2к

т = —; В = —г-; М3 .

Я Я2' Я3

(13)

Плотность распределения вероятностей (ПРВ) временных интервалов между соседними событиями является экспоненциальной с параметром масштаба Я [4-10]

р(т) = Яехр(—Ят); 0<т<ю . (14) Числовые характеристики ПРВ (14) равны

т = -1; В = -Ъ М3 =. (15)

Я Я2 3 Я3

Из сравнения выражений (13) и (15) следует, что числовые характеристики ПРВ (12) в к раз больше числовых характеристик ПРВ (14). Такой результат является закономерным, так как к

Хк = £т, (16)

[=1

где т.- независимые и одинаково распределенные

случайные величины. В работе [9] показано, что если для потока событий справедливы соотношения (14) и (16), то такой поток обладает свойством отсутствия последействия.

Поток событий является стационарным и ординарным, если выполняется условие [10]

Л = ^ ЕР (г) = "т-1 £кР (г),

г^" 'к=0 гг" '/с = 1

к = 0

т (г) = а(ехр (Яг) — 1); В (г) = т (г) ехр (Яг); К (г) = 2 ехр (Яг) — 1; К (г) > 1

ПРВ времени появления к - го события опреде

где Л = const - интенсивность потока. Подставив в (17) выражение (10), находим, что для пуассо-новского потока Л = Л . Для него также выполняется свойство независимости приращений, определяемое с помощью соотношения

k

Pk (t + Аt) = £P (t)Pk-i (At) . (18)

i = 0

2. Если Л(к) = X(N — k), то из (8) с учетом (7) и (9) следует биномиальный закон

\N — k

Pk W=(FN^ti i1"exp '))*exp

(19)

(20)

(21)

X"

h N +1-г

0=h

Г

M = Z:

IX"

(22)

m =

X(N - k)

В -

M,

X(N - k)3

(24)

(25)

ляется аналогично распределению Эрланга (12)

Рк (Х) ^ Я (1 — ехр (—Я Х))к—1ехр (—«Я Х) , (27)

0<г<<» .

Его основные числовые характеристики с учетом [10] равны

k

В = h

X"

Мз = h

2X~

(28)

0 < к < N

Для него числовые характеристики равны

т (г ) = N (1 — ехр (—Яг)); В (г ) = т (г) ехр (—Яг);

К (г ) = 2ехр(—Яг) —1; 0 < К (г)< 1. '

При этом закон распределения времени появления к - го события можно определить с помощью [8] аналогично распределению Эрланга (12)

Рк ( Х) = (N - ^ -1)! (1 — ехр(—Я Х))к^ ехр(—Я Х)N—к+1

0<г<Ю .

Его основные числовые характеристики с учетом [10] равны

,.=1 г-1 + а .=1 [¿-1 + «|2 3 — [¿-1 + «|3

ПРВ временных интервалов между соседними событиями является экспоненциальной с параметром масштаба Л(к) = Л(а + к)

р(г) = Я(а + к)ехр(-Я(а + к)т); 0<т<ю . (29) Числовые характеристики ПРВ (2 9) равны 1 1 2

В =

М =-

х(« + k)' (X(« + k)) 2' 3 X(a + k)

(30)

7~i (N + 1 -i)2 Tri (N + 1 -ij

ПРВ временных интервалов между соседними событиями является экспоненциальной с параметром масштаба Л(к) = X(N - к)

p(z) = X(N-k)exp(—X(N-k)r); 0<г<да . (23) Числовые характеристики ПРВ (23) равны

1 ^ 1 w 2

(Я( N — к))'

Так как для потока событий справедливы соотношения (23) и (16) с учетом (22) и (24), то такой поток обладает свойством отсутствия последействия. Подставив в (17) выражение (19), находим, что для биномиального потока Л = NЛ . Таким образом, для него также справедливы свойства стационарности и ординарности, однако свойство независимости приращений, определяемое с помощью соотношения (18), не выполняется.

3. Если Л(к) = Я(а + к), то из (8) с учетом (7) следует отрицательный биномиальный закон

Рк ( 0 = (1 — ехр(-Я ')) ехр (~аЯ Х) ;

0 < X < N -1 ,

где Г(г) - гамма-функция.

Для распределения вероятностей (25) числовые характеристики равны

Так как для потока событий справедливы соотношения (29) и (16) с учетом (28) и (30), то такой поток также обладает свойством отсутствия последействия. Подставив в (17) выражение (25), находим, что для отрицательного биномиального потока Л = аЯ . Следовательно, для него справедливы свойства стационарности и ординарности, однако свойство независимости приращений, определяемое с помощью соотношения (18), не выполняется.

Заключение

Таким образом, в результате модификации вероятностного описания простейшего пуассонов-ского потока событий получены еще два распределения вероятностей для потоков событий, обладающих свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия. Показано, что полученные распределения для потоков событий можно различать по величине коэффициента К (Х) либо по значениям математического ожидания и дисперсии. Для пуассоновского потока событий величина математического ожидания совпадает с дисперсией и К (г) = 1 , для биномиального потока т(г) > В(Х) и К (г) < 1 , а для отрицательного биномиального потока т(г) < В(г) и К (г) > 1 . Получены также выражения для законов распределения времени появления к - го события и их основных числовых характеристик. Одним из наиболее перспективных практических применений полученных результатов являются задачи, связанные с оценкой надежности технических систем [11] и, в частности, систем энергосберегающего управления.

Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований, проект №17-08-00457-а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Муромцев, Д. Ю. Информационные технологии проектирования систем энергосберегающего управления / Д. Ю. Муромцев // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2007. -Т. 13, № 3. - С. 735 - 740.

2. Грибков, А.Н. Информационно-управляющие системы многомерными технологическими объектами: теория и практика: монография / А.Н. Грибков, Д.Ю. Муромцев. - Тамбов: Изд-во ФГБОУ ВО «ТГТУ», 2016. - 164 с.

3. Муромцев, Д.Ю. Методологические аспекты построения программно-аналитического комплекса проектирования систем энергосберегающего управления / Д.Ю. Муромцев, А.Н. Грибков, А.А. Чуриков, И.И. Пасечников // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2015. - Т.21, №4. - С. 542-547.

4. Седякин Н.М. Элементы теории случайных импульсных потоков. - М.: Сов. радио, 1965.- 264 с.

5. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.

6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1991.- 383 с.

7. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. - М.: Радио и связь, 2000. - 584 с.

8. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. - М. : КомКнига, 2005,- 400 с.

9. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Физматлит, 2001.- 576 с.

m =

k

k

k

10. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М.: Наука, 1984. - 800 с.

11. Муромцев Д. Ю., Зырянов Ю. Т., Рязанов И. Г. Формирование моделей одномерных дискретных законов распределения для последовательности независимых испытаний надежности радиоэлектронных средств. - Пенза.: Надежность и качество сложных систем, №3(11). - 2015. - С. 80-86.

а2(г)+Ь1и(г), 2 е[2о,21). г е[го> г1);

2 е[21,22),г е[г1, г2);

г = ■ (1)

ап2(г) + Ь„и(г)- 2 е [2п> 2к],г е [гп> гк];

УДК 681.5.013

Грибков А.Н., Муромцев Д.Ю., Шамкин В.Н., Калашников Д.В.

ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет», Тамбов, Россия МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМА СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ПОМЕХОУСТОЙЧИВЫХ ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

Рассмотрена методика оценки эффективности алгоритма синтеза оптимальных управляющих воздействий, обеспечивающая для заданных исходных данных гарантированное решение задачи оптимального управления при наличии параметрических возмущений. Методика основана на совместном применении методов статистического моделирования и полного анализа задач оптимального управления. Рассматривается задача оптимального энергосберегающего управления с закрепленными концами траектории вектора фазовых координат, функционалом вида затрат энергии, при наличии ограничений на управляющие воздействия, временной интервал управления и допустимый лимит энергии. Оценка эффективности алгоритма синтеза оптимального управления осуществляется при помощи количественного показателя, характеризующего вероятность достижения цели управления при наличии случайных параметрических возмущений. Расчет показателя эффективности производится на основе результатов полного анализа задачи оптимального управления для набора массивов исходных данных с заранее определенными значениями параметров модели, сформированных по результатам статистического моделирования. Гарантированное достижение цели управления достигается путем изменения нестрогих ограничений задачи, в частности, за счет увеличения временного интервала управления. Рассмотренная методика нашла практическое применение при разработке алгоритмического обеспечения информационно-управляющих систем сложными теплотехнологическими аппаратами

Ключевые слова:

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ, ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ, ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩАЯ СИСТЕМА, ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ

Задачи разработки информационно-управляющих систем (ИУС) технологическими объектами в настоящее время являются весьма актуальными, поскольку практическое применение таких систем позволяет не только существенно снизить затраты энергетических ресурсов, но и повысить качество выпускаемой продукции и производительность технологических установок. Практически ни одна отрасль промышленности не обходится без ИУС, которые позволяют решать задачи оптимального управления сложными технологическими объектами.

В большинстве случаев, разработка алгоритмического обеспечения ИУС представляет собой сложное научно-техническое исследование, требующее большого объема математических вычислений. Это связано с тем, что для эффективного функционирования ИУС должна удовлетворять требованиям надежности, точности, быстродействия, помехоустойчивости, робастности и т.д.

Следует отметить, что существенное влияние на работу ИУС оказывают случайные возмущения. От влияния возмущений во многом зависит вероятность и возможность достижения цели управления, поэтому значительное внимание исследователей уделяется вопросам разработки помехоустойчивых алгоритмов управления и оценке эффективности функционирования ИУС при наличии случайных возмущений и помех. Одними из наиболее распространенных являются параметрические возмущения, действие которых приводит к отклонениям параметров модели динамики объекта управления от истинных значений, что, в свою очередь, существенно осложняет этапы анализа задачи оптимального управления (ЗОУ) и синтеза оптимальных управляющих воздействий. В ряде случаев, влияние параметрических возмущений не позволяет получить решение ЗОУ для заданных исходных данных, в связи с чем, приходится вносить изменения в массив реквизитов ЗОУ или отказываться от выполнения некоторых ограничений для обеспечения гарантированного решения ЗОУ.

В данной работе рассматривается методика оценки эффективности алгоритма синтеза оптимального управления, обеспечивающая гарантированное решение ЗОУ при наличии параметрических возмущений.

Математическую постановку ЗОУ динамическими режимами технологического объекта можно сформулировать следующим образом.

Заданы:

- «многостадийная» модель динамики объекта в виде системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью

- условия изменения вектора фазовых координат

2 (*0 ) = 20 ^ 2 (/к ) = 2к ; (2)

- ограничения на временной интервал управления

ге[*о,4]; (3)

- ограничения, накладываемые на компоненты вектора управляющих воздействий в каждый момент времени

и (г)е[ин, ив ] ; (4)

- минимизируемый функционал

3

■■ | и2 (г) Л

(5)

ограничение, на допустимый лимит энергии

и

доп

(6)

В задаче (1)-(6) используются следующие обозначения: а.,Ь- , I = 1,п - векторы параметров математической модели для 1-й стадии; 2(г) - вектор фазовых координат; и (г) - вектор управляющих воздействий; 2 - граничные значения вектора фазовых координат для 1-й стадии; г. - граничные значения временного интервала управления для 1-

й стадии;

20 =2к

начальное и конечное значения

вектора фазовых координат; [?„, г ] - временной интервал управления; ин,и"- ограничения на управляющие воздействия; 3 - минимизируемый функционал (затрат энергии).

Объект, описываемый моделью (1), необходимо перевести из начального состояния в конечное (2) за фиксированный интервал времени (3) при наличии ограничений на управляющие воздействия (4) с минимумом функционала (5) и с учетом ограничений на допустимый лимит энергии (6). Для решения ЗОУ (1)-(6) необходимо для заданных исходных данных определить оптимальное управление

и(.) = (и * (г), г е[го, гк])

.'0> 1к1

Массив исходных данных (реквизитов) ЗОУ представляет собой вектор массивов содержащих исходные данные для каждой стадии модели