Вероятностно-статистические характеристики режима неравномерного потребления тепла для жилых зданий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 697.94

Н.Я. МАМЕДОВ, канд. техн. наук, доцент,

Nurmamed.mamedov@mites.az ААСУ, Баку

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕЖИМА НЕРАВНОМЕРНОГО ПОТРЕБЛЕНИЯ ТЕПЛА ДЛЯ ЖИЛЫХ ЗДАНИЙ

В статье анализируются возможности применения вероятностно-статистических методов для изучения режима теплопотребления «интеллектуальных» зданий и предлагается модель, которая дает возможность судить о характере изменения режима потребления тепла по отношению ко всей совокупности воздействий, что весьма существенно при проектировании и эксплуатации данных зданий.

Ключевые слова: тепловой режим здания, режим потребления тепла, вероятностно-статистические методы, интеллектуальные здания.

Задача обеспечения в помещениях «интеллектуального» здания оптимального теплового режима представляет собой организацию взаимодействующих и взаимосвязанных тепловых потоков в сложной архитектурноконструктивной системе с многообразием составляющих ее элементов ограждающих конструкций и инженерного оборудования. Принципиальной особенностью этой системы является то обстоятельство, что здание как единая энергетическая система представляет не простое суммирование этих элементов, а особое их соединение, придающее всему зданию в целом новые качества, отсутствующие у каждого из элементов.

Здание представляет собой сложную архитектурно-конструктивную систему с многообразием составляющих ее элементов ограждающих конструкций и инженерного оборудования, в которых протекают различные по физической сущности процессы поглощения, превращения и переноса теплоты [1].

Вместе с тем важнейшей особенностью систем обеспечения микроклимата является наличие у них достаточно жесткой технологической связи: окружающая среда - наружные ограждающие конструкции - параметры воздуха в помещении - человек. Эта связь приводит к тому, что систему обеспечения микроклимата можно принимать как органическое неразрывное единство наружных климатических параметров, наружных конструкций и людей, функционирующих в рамках единства и условий управления микроклиматом. Вследствие этого при изменении одного из основных параметров системы меняются и параметры других элементов. Например, изменение температуры наружного воздуха или скорости ветра сильно влияет на всю систему [2].

Среди созданных в последние годы методик анализа режимов потребления тепла наиболее полно исследована методика их расчета и оптимизации при стационарных режимах работы [1, 3, 4]. Однако, как показали исследования, из-за значительных суточных колебаний климатических параметров окружающей среды потребление тепла происходит в неустановившемся режиме.

© Н.Я. Мамедов, 2009

Так как неравномерность потребления тепла обусловливается большим числом факторов, до настоящего времени нет точных аналитических формул, которые позволили бы рассчитать ее с учетом всех факторов, влияющих на нее. Поэтому проблема разработки модели нестационарных режимов потребления тепла до настоящего времени остается нерешенной.

Учитывая это, нами предлагается следующий метод построения модели неравномерного потребления тепла на основе вероятностно-статистических характеристик данного процесса.

Как известно, в статистическом методе изучения случайных процессов ставится задача изучения не каждой динамической функции, характеризующей этот процесс, а свойств всего множества в целом при помощи усреднения свойств входящих в него функций [5]. Таким образом, применяя вероятностно-статистические методы к моделированию процесса потребления тепла, получаем возможность судить о его поведении не по отношению к какому-либо определенно направленному воздействию, представляющему заданную динамическую функцию их поведения, а по отношению к целой совокупности воздействий. Очевидно, что это может быть весьма существенно, так как при проектировании «интеллектуальных» зданий для удовлетворения требований жильцов или посетителей необходимо учитывать, что все элементы здания должны работать достаточно эффективно при воздействиях, изменяющихся по самым различным законам. Кроме того, при применении вероятностностатистических методов моделирования процесса потребления тепла учитывается, что в настоящее время широкое распространение получили специальные вычислительные приборы (корреляторы), приспособленные для автоматического или полуавтоматического вычисления корреляционной функции и спектральной плотности по реализациям или текущим значениям исследуемого параметра.

На наш взгляд, несмотря на случайность изменения основных параметров потребления тепла, их можно описывать периодическими функциями, что значительно упрощает решение поставленной задачи.

Пусть временной ряд потребления тепла выражается в виде гармонических изменений:

где ^0 - постоянная составляющая; Лд - амплитуда колебаний; ю0 - частота

колебаний; ф - начальная фаза.

Обычно в практике имеем дело со средними значениями параметров, так как, зная среднее значение и возможные отклонения, можно оценить состояние системы в каждой конкретной ситуации. Учитывая это, в качестве д0 принимаем среднеинтегральное значение потребления тепла в рассматриваемом интервале:

(1)

і 0

где ^ - текущий момент времени.

Тогда вместо (1) можно рассматривать ряд реализаций потребления тепла с нулевым математическим ожиданием. В этом случае выражение (1) представляется в виде

q (t ) = Aq cos ( o0t + ф ). (3)

Из (3) определяем автокорреляционную функцию

A2

Rqq (At ) = -q cos (o^At) (4)

или

Я,, ( Дt)= М [, (t + At) ( Дt)] , (5)

где Я,, (т) - автокорреляционная функция расхода потребления тепла; М -

математическое ожидание стохастической функции; Ат - временной лаг.

Как видно из (4), автокорреляционная функция расхода потребления тепла не содержит сведений о сдвигах фаз.

При Ат = 0 из (4) получаем:

Л2

(0 }=-у ■ (6)

откуда

А, =72 (0). (7)

Как известно, начальное значение автокорреляционной функции вычисляется через дисперсию (Б,,) или среднеквадратическое отклонение (о,,) следующей формулой:

Б = Я (0) = о2 . (8)

Тогда из (7) получим:

Л,, = Л о,,. (9)

Кроме того, гармоническая стационарная случайная функция

, () = ,0 + А СОБ (ю7 + ф) является эргодической по отношению к математи-

ческому ожиданию. При этом условии эргодичность в широком и узком смысле случайной гармонической функции ,()

Ит1"- — Я (Дt)d(Д^ = 0 (10)

Ч 0 V Ч У

выполняется.

Кроме того, на практике мы имеем реализацию изменения случайной функции на некотором конечном интервале [0, Д)И ] , где Дtm - время корреляции.

Тогда для спектральной плотности

АС

^ (Ю) = _ | Кт (Аґ)С0Б(юАґУ(Аґ)

ТГ »

получим:

Ас

ЗдЧ (ю) = ~ { СОБ(ю0Аґ)соб(юАґ)(Аґ).

2п 0

Используя таблицы интегралов из (12), получим:

Л2

(“) = т

біп (ю - ю0 )АГт + БІП ( ю + ю0) Аіт

ю - ю0

ю + ю0

(11)

(12)

(13)

Эта функция имеет максимум в точке ю = ю0 и равна:

тах£ад (ю) = 8т (ю0 ) = -2-

Аґт +

БІП (2ю0 Аґт )

2ю0

(14)

Последнее позволяет определить значение частоты колебаний, если известен график изменения спектральной плотности исследуемой случайной функции на некотором конечном интервале.

Заметим, что спектральная плотность, как это следует из формулы (13), не содержит, так же как и автокорреляционная функция, никаких сведений о сдвигах фаз. Для определения фазовых сдвигов предлагаем следующую методику:

- Разделим общий ряд реализации расхода потребления тепла на два непересекающихся временных ряда: ,1 (t) и ,2 (7) . Из условия построения

временных рядов (), / = 1,2, они имеют одинаковые частоты колебаний

и разные начальные фазы с постоянными разностями и в данном случае представляют собой тест для выделения фазы гармоники ) . Учитывая это, аналогично (2) для каждого ряда можно написать:

, () = у[2од1 СОБ (о7 + ф1)

>

,2 (t)=>/2°,2С°5 ( + ф2 )

- Учитывая это, аналогично (3) вычислим взаимокорреляционную функцию Я, ,2 (Д ) .

Так как временные ряды ,1 () и ,2 (t) являются частью общего ряда реализации можно написать:

(15)

У (ґ)}={?1 (ґ)^ Ч2 (ґ)}.

(16)

Если {,()} - множество значений общей реализации временного ряда то их взаимокорреляционные функции должны иметь одинаковые фазо-

2

вые сдвиги. Кроме того, из выражения (16) выходит, что этот постоянный фазовый сдвиг равен разности фазовых сдвигов тестируемого ряда:

Ф = Ф 2 - Ф1. (17)

- Вычислим взаимокорреляционные функции по следующим выражениям:

Яад2 (А/) = с?1 о^ [ю0А/ +(ф2 - Ф1 )] = о?1 од2С08 (ю0А/ + Ф) '!

\д, (А/)= ^д,д2 (-А/) = 0д, 0д2С08 К А/ +(Ф2 - Ф1 )] = 0д, о%С08 [Ю0А/ - Ф]

(18)

- В рассматриваемом конечном интервале [0, А/т] вычисляем коспектр - С(ю):

С

дд

(ю) = 1| Кдд (А/( А/) со8(юА/)(А/)

и квадратурный спектр - К(ю):

К

дд

(ю )= ^ Кд1д2 (А/) Кд!д2 ( А/) §1п (ЮА/) й (А/) .

Учтем (18) в (19) и (20):

Стг (ю) = С08 (Ф)

2п

о о

д1 д2

К« (“ > = 2п

Бт (ф )

б1п (ю - ю0) А/т + б1п (ю + ю0) А/т ю - ю0 ю + ю0

б1п (ю - ю0 ) А/т Бт ( ю + ю0 ) А/т

ю - ю0

ю + ю0

При ю = ю0 получим:

КдАг (Ю0 ) Сдд (ю0 ) = ^ (ф)

Сд1д2 (Ю0 ) 2А1А/т - (Ю0 ) С™ (ф)

откуда

Ф = агС£

Кщ2 (Ю0 ) Ядд (ю0 )

Сд1д2 (Ю0 ) 2Ад ' А/т ~ ^дд (ю0 )

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Итак, после определения неизвестных параметров д0, Ад, ю0 и ф, входящих в выражение (1), проводится исследование ряда составленной разности между теоретическими значениями и эксплуатационными данными объема потребления тепла с целью уменьшения ошибки моделирования. При этом используются любые непараметрические критерии по выявлению аддитивности и случайности ряда ошибок (например, методом медиан или корреляционным методом). Если ряд ошибок содержит неслучайный компонент, тогда вышеуказанная методика повторяется.

Обобщая вышеуказанное, предлагаем алгоритм построения модели нестационарного изменения объема потребления тепла вероятностностатистическим методом:

Шаг 1. Снимаются экспериментальные данные и составляется временной ряд q(t). Проводится предварительная обработка временного ряда: исключаются из ряда выбросы, нормализируются значения реализации, вычисляются математическое ожидание q0, дисперсия выборки oqq и значения параметра Aq.

Шаг 2. На основе экспериментальных данных вычисляются автокорреляционные функции и спектральная плотность. Определяется время корреляции.

Шаг 3. Из вычисленных значений спектральной плотности определяются максимум его значения maxSqq (ю) и аргумент ю0.

Шаг 4. Ряд реализации объема потребления тепла разделяется одинаково по мощности на два ряда и вычисляются коспектр и квадратурный спектр по формулам (19) и (20). При этом можно использовать любую методику численного интегрирования, например метод Ньютона [6].

Шаг 5. По определяемым значениям параметров вычисляются значения фазовых сдвигов по формуле (24).

Шаг 6. На основе определенных значений параметров q0, Aq, ю0 и ф

вычисляется среднеквадратическое отклонение экспериментальных значений объема теплопотребления от значений функции q(t), рассчитанных по формуле (1), и сравнивается со значениями дисперсии наблюдений Dqq. Если вычисленные среднеквадратические отклонения окажутся меньше дисперсии наблюдений, то принимается адекватность модели, иначе увеличивается число реализаций случайной функции расхода потребления тепла, и процесс повторяется с шага 1.

Отметим, что при привлечении дублирующих данных объема потребления тепла для проверки равноточности измерений применяется критерий Кохрена, согласно которому вычисляется величина G:

2

О

G = ^2^, (25)

О

общ.

где о - максимальные значения построчных дисперсий; о - построчная

max общ.

сумма дисперсий по всей серии наблюдений.

Вычисленные значения проверяются с табличным значением критерия Кохрена G , который определяется для выбранной значимости g, значений

у-1 (у - число параллельных измерений) и числа наблюдений N. Если G > G ,

то привлеченные измерения принимаются равноточными.

На основе вышеуказанного алгоритма рассмотрим временной ряд расхода потребления тепла для жилого здания в г. Баку за 2007 г. по месяцам. Определяем автокорреляционную функцию расхода тепла Rqq (т) и соответственно математическое ожидание M и дисперсию Dq данного временного ряда:

М, = = 21167, й, = Кщ (0) = 50579622.

По формуле (7) определяем А= 100058. По автокорреляционной функции Я,, (т) определяем время корреляции:

ад

т» = | Я« (т )^

0

и оно принимается как конечное значение времени исследования.

По формуле (13) вычисляется спектральная плотность £ (ю), а по

(14) - угловая частота ю0 = 0,488693 .

Для определения фазовых сдвигов разделим временной ряд на две одинаковые по мощности части: первая - от января до июня, вторая - от июля до декабря и определим значение коспектра и квадратурного спектра при ю = ю0. По формуле (24) определим значение фазового сдвига:

ф = ф2 - ф1 = -0,51142.

Обобщая вышеуказанное, в качестве первого приближения модели временного ряда потребления тепла для данного здания можно принять следующее:

= 21167 + 100058ео8 ( 0,4886963 - 0,51142).

Результаты расчетов приведены на рисунке.

Отметим, что при этом среднеотносительная ошибка моделирования составляет 7,29 %, а по годовым расходам тепла относительная ошибка между теоретическими и фактическими данными составляет 3,8 %.

Следует отметить, что вышеуказанная процедура позволяет использовать входные данные при выявлении статистически неверных наблюдений без предварительной обработки. Вычисления можно существенно облегчить в реальных условиях эксплуатации, если использовать специальные вычислительные приборы-корреляторы, приспособленные для вычисления корреляционной функции и спектральной плотности.

Изменение расхода потребления тепла для жилого дома в г. Баку за 2007 г.

Предложенная процедура разработки модели временного ряда потребления тепла на основе корреляционного и спектрального исследований позволяет применить эту методику для разработки АСУ данных систем. При этом по мере поступления новых наблюдений можно автоматически обновить процедуру, что существенно повысит гибкость и адаптируемость полученных результатов к реальным условиям.

Выводы

1. Учитывая сложность учета всех факторов, влияющих на режим потребления тепла, и недостаточное число теоретически обоснованных и хорошо согласующихся с реальными данными вычислительных моделей, предлагается применение вероятностно-статистических методов для моделирования режима потребления тепла в жилых зданиях.

2. Предлагается модель режима потребления тепла, разработанная на основе вероятностно-статистических методов, которая позволяет судить о характере его изменения по отношению ко всей совокупности воздействий, что весьма существенно при проектировании и эксплуатации «интеллектуальных» зданий. Сущность предлагаемого метода позволяет непосредственно использовать специальные вычислительные приборы-корреляторы в реальных условиях эксплуатации, что существенно расширяет круг применения результатов не только при разработке информационно-технологических систем управления «интеллектуальных» зданий, но и при разработке различных сложных автоматизированных технических и экономических систем управления.

Библиографический список

1. Табунщиков, Ю.А. Математическое моделирование и оптимизация тепловой эффективности зданий / Ю.А. Табунщиков, М.М. Бродач. - М. : АВОК-ПРЕСС, 2002. - 194 с.

2. Мамедов, Н.Я. Применение современных информационных технологий для управления микроклиматом зданий / Н.Я. Мамедов // Экология и водное хозяйство. - Баку. - 2008. -№ 1. - С. 39-43.

3. Богословский, В.Н. Строительная теплофизика / В.Н. Богословский. - М. : Стройиздат. -1982. - 415 с.

4. Табунщиков, Ю.А. Энергоэффективные здания / Ю.А. Табунщиков, М.М. Бродач, Н.В. Шилкин. - М. : АВОК-ПРЕСС, 2003. - 200 с.

5. Бендат, Дж. Измерение и анализ случайных процессов / Дж. Бендат, А. Персон. - М. : Мир, 1974. - 250 с.

6. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1984. - 831 с.

N.Y. MAMEDOV

PROBABLE-STATISTICAL CHARACTERISTICS OF THE MODE OF NON-UNIFORM CONSUMPTION OF HEAT IN RESIDENTIAL BUILDINGS

The possibility of application of the probable-statistical methods for investigation of a heat consuming regime of the buildings is considered in the article and a concrete mathematical model is offered. This model allows to receive the information about change of heat consuming regime. It is very important for designing and exploitation of such buildings.