CC BY
12
/90 Civil SecurityTechnology, Vol. 15, 2018, No. 1 (55) УДК 614.8
Вероятностная оценка состояния объектов с использованием математических методов в условиях чрезвычайных ситуаций и воздействия современных обычных средств поражения
ISSN 1996-8493
© Технологии гражданской безопасности, 2018
Н.К. Домницкий
Аннотация
Рассмотрены и проанализированы оценочные математические модели состояния объектов, подвергшихся воздействию поражающих факторов чрезвычайных ситуаций и обычных средств поражения. Показано, что применение таких моделей может повышать обоснованность и логику в принятии решений по защите объектов тыла в системе гражданской обороны.
Ключевые слова: вероятности разрушения объектов; однородные и неоднородные марковские цепи; матрицы переходных вероятностей состояния объектов.
Using Mathematical Methods to Assess Object State
Probabilities Under Emergency Situations
and Exposure to Modern Conventional Weapons
ISSN 1996-8493
© Civil Security Technology, 2018
N. Domnitsky
Abstract
The author describes and analyses mathematical models that are used to assess the states of objects exposed to the damaging effects of emergency situations and conventional weapons. It is shown that such models can be used to inform decision making regarding protection of logistics facilities in the system of civil defense.
Key words: the probability of object destruction; homogeneous and inhomogeneous Markov chains; matrix of transition probabilities, object states.
Статья поступила в редакцию в декабре 2017 года.
Введение
Моделирование вероятностной оценки состояния зданий (сооружений) при воздействии поражающих факторов чрезвычайных ситуаций и обычных средств поражения (далее—ударов) является одной из задач исследования операций. Такие исследовательские задачи можно решать, применяя переходные вероятности (Р. матриц систем марковских случайных процессов. В марковских случайных процессах для каждого момента времени вероятность любого состояния сооружения (системы) в будущем зависит от того, в каком состоянии оно было перед очередным ударом, и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние. Это свойство применимо и для оценки состояния объектов при последовательных ударах обычных средств поражения.
Рассмотрено аналитическое моделирование оценки вероятностей состояния объектов при воздействии поражающих факторов чрезвычайных ситуаций (далее — ЧС) и обычных средств поражения (далее — СП) по схеме марковских случайных процессов. То есть оценочные математические модели строятся на основе применения однородных и неоднородных марковских цепей переходных вероятностей (Р..) разрушения объектов, происходящих от шага к шагу последовательных ударов. Такой оценочный метод поражения объектов при совместном использовании метода марковских цепей и методики расчетов ГОСТ Р 42.2.01-2014 «Гражданская оборона» позволяет прогнозировать варианты разрушения объектов тыла при многократных последовательных ударах СП.
1. Определение вероятностей состояния объектов при воздействии поражающих факторов ЧС и обычных средств поражения
Моделирование вероятностной оценки исхода воздействия поражающих факторов ЧС и фугасного воздействия СП на здания (сооружения) основывается на свойствах закономерности проявлений случайных величин при последовательных ударах, образующих цепи Маркова.
Математические модели, образующие марковские цепи от шага к шагу последовательных ударов, позволяют давать прогнозную оценку вероятностей состояния объектов, поражаемых факторами ЧС и современными СП. Это следует пояснить. На рис. 1 представлена схема объекта, подвергнутого воздействию воздушной ударной волны (ЦВ) при ЧС (взрыве) или УВ СП (АРф), где в зависимости от расстояний и прочности его элементов возникли разные типы разрушений: 8о — слабое, Бс — среднее, Бв — сильное, Бд — полное. При любом к-шаге воздействий (ударов) типы разрушений Бо, Бс, Бв, 8Д образуют полную группу событий и являются несовместимыми. При этом состояния объектов оцениваются соответственно вероятностями разрушений Р Р Р Р которые в сумме Р1 + Р2 + Р3 + Р4 = 1, что означает как достоверное событие. Для таких расчетов вероятностей разработан ГОСТ Р 42.2.01-2014, утвержденный Приказом агентства по техническому регулированию и метрологии от 22 августа 2014 г. № 964-ст [2].
Вероятности различной степени разрушения зданий (сооружений) Р Р Р Р4 зависят от величины обобщенного показателя устойчивости £ [2]. Показатель
§ = 1,25-^
ДРф,д
отношение давления во фронте воздушной ударной волны к степени разрушения составных частей объекта. Здесь АРф — давление фронта ударной волны на расстоянии, которое можно рассчитать, например, по методике, разработанной МГТУ им. Н. Э. Баумана [4] (расчеты — в табл. 2), АРфзд — динамическая нагрузка, вызывающая сильное или полное разрушение объектов, определяется по табл. 4.2 (ГОСТ Р 42.2.01-2014). По величине показателя устойчивости (£) на графике рис. 2 ГОСТ Р 42.2.01-2014 определяются вероятности степени разрушения (Р1, Р2, Р3, Р4) зданий (сооружений).
Вероятности Р1, Р2, Р3, Р4 (рис. 2) обозначают соответственно: слабую (не разрушение), среднюю, сильную и полную степени разрушения объектов. Полное разрушение характеризуется разрушением и обрушением от 50 до 100% объема зданий, сильное — разрушением от 30% до 50% объема зданий, среднее — до 30%, часть помещений здания пригодна для использования. Слабое здание (оконных, дверных
Рис. 1. Вероятности состояний типов поражений (разрушений) объектов
Рис. 2. Вероятность различной степени разрушения здания (сооружения) в зависимости от величины показателя
устойчивости, § (ГОСТ Р 42.2.01-2014)
заполнений и перегородок), при этом здание после небольшого ремонта, может быть использовано. Вероятность выхода из строя здания (сооружения) (Р) рассчитывается [2] как сумма вероятностей получения степени разрушения, при которой прекращается функционирование здания. Так, вероятность выхода из строя здания (сооружения) составляет: Р = Р3 + Р где Р3, Р4 — вероятности получения сильной и полной степени разрушения или повреждения. Вероятности степени разрушения зданий (Р1, Р2, Р3, Р4), найденные с помощью графика рис. 2, для удобства сведены в табл. 1, далее будут использованы для составления матриц переходных вероятностей (Р..).
Рассчитанные значения избыточного давления АРф (взрывчатого вещества тротила) по методике [4] представлены в табл. 2.
Представленные в табл. 2 значения избыточного давления во фронте воздушной ударной волны (АРф) могут несколько отличаться при расчетах по другим методикам в зависимости от условий взрывов. Однако они дают представление о порядке величин ударной волны в заданных условиях [4].
2. Допущения, методика моделирования
и последовательность подготовки исходных данных для расчетов разрушений объектов
Основой допущения при моделировании разрушений объектов по схеме марковского процесса, протекающего в физической системе, определяется тем,
что в любой момент времени вероятность состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в текущий момент и не зависит от того, каким образом процесс развивался в прошлом.
Здесь основой математического моделирования степени разрушения зданий (сооружений) является определение переходных вероятностей (Р ) матриц по схеме марковских случайных процессов при последовательных воздействиях от шага к шагу ударных воздействий на объекты. Порядок последовательности моделирования по схеме марковских процессов (марковских цепей) для решения поставленной задачи следует выполнять следующим образом:
1. Установить исследуемое свойство объектов при воздействии на них поражающих факторов ЧС или СП.
Здесь «свойство» это — состояния объектов, определяемых в виде степени их разрушения. Исчерпывающей характеристикой свойства системы будет совокупность найденных состояний вероятностей Р Р Р Р4 разрушения объектов (рис. 2).
2. Установить начальное состояние объекта.
Начальное состояние объекта — это степени разрушения (не разрушения) составных частей объекта, которые зависят от значения избыточного давления (АРф) во фронте воздушной ударной волны взрыва СП и характеристик прочности конструкций объекта. Степени разрушения объектов при этом оцениваются значениями вероятностей Р Р Р Р4 (ГОСТ Р 42.2.012014).
3. Определить конечное число возможных состояний системы и правомерности моделирования по схеме дискретных марковских процессов.
Таблица 1
Вероятности различной степени разрушения здания (сооружения) в зависимости от величины показателя
устойчивости, % (из рис. 2)
е 1 ДРф О (слабое) С (среднее) В (сильное) А (полное) Сумма вероятн.
£ = 1,25- ДРФ.ЗД Р, Р2 Рз Р4 Р + Р + Р + Р4
0,5 0,32/0,22 0,3 0,16 0,0 0,78+ 0,22 = 1,0
0,75 0,3 0,38 0,22 0,1 1,0
1,0 0,06 0,46 0,23 0,25 1,0
1,25 0,0 0,34 0,25 0,41 1,0
1,5 0,0 0,18 0,27 0,55 1,0
Таблица 2
Значения избыточного давления во фронте воздушной ударной волны (ЛPф)
Вес ВВ Удаление от центра прогнозируемого взрыва R (м)
(тротил), кг 5 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90
50 835 161 70 42 22 14 11
100 1520 274 112 63 31 20 14 АР. в кПа ф
135 1985 342 137 76 37 23 17
220 3071 509 197 107 49 30 21 16
250 3450 563 216 116 53 32 23 17
320 4327 691 260 137 61 36 25 19
360 4827 763 285 150 66 39 27 21
450 5918 923 339 177 76 45 31 23
500 6553 1009 368 190 81 47 32 24
750 9557 1435 513 258 107 61 41 30 24
900 11330 1685 594 297 121 68 45 33 26 21
1000 12503 1848 648 322 130 73 48 35 27 22 19
Возможные четыре состояния вероятностей (степени разрушения) объекта: слабые (не разрушение) — Р1, средние — Р2, сильные — Р3 и полные — Р4. Здесь схема дискретных марковских процессов устанавливает, что если в ходе процесса действует на объект последовательность множества независимых друг от друга величин случайных факторов, то одной результирующей закономерностью будет в целом появление последовательностей зависимых от них случайных величин, образующих цепи Маркова, что и означает правомерность такого моделирования.
4. Составить граф состояний (8) объекта при последовательных воздействиях поражающих факторов ЧС и СП.
Граф состояний поражения (разрушений) объекта составляется для формирования матрицы переходных вероятностей марковских цепей (представлен на рис. 3) [1].
5. Составить матрицу переходных вероятностей состояний объекта (Ру) с помощью графа состояний объекта (рис. 3, П. 3).
Матрицей [1] задаются вероятности перехода состояния объекта за один шаг последовательных поражающих воздействий (ударов). Здесь под шагом понимается нанесение последовательно (1, 2, 3...п) поражающих воздействий (ударов) по зданию (сооружению) факторов ЧС или СП с определением при этом вероятностей степени разрушения Р Р Р Р Полученная матрица переходных вероятностей (Р ) образует последовательность цепи Маркова и полную группу из четырех несовместных событий согласно графу (рис. 3, П. 3).
6. По рекуррентной зависимости определить искомые вероятности, используя матрицы переходных вероятностей состояний объекта [3].
Вероятности состояний, в которых окажется объект после к-го шага ударов, определяются по рекуррентным формулам вероятности [3]:
для однородных марковских цепей:
где Р. (к - 1) — вероятность состояния объекта после (к - 1) — го шага (удара);
для неоднородных марковских цепей:
Р® = Е >1 р(к - 1) Р®
(2)
Р(к) = Е^Р (к - 1) Рр
(1)
где РР1,—условная вероятность перехода объекта из состояния Б. в состояние Б. на к-м шаге. То есть, в расчетах матрицы вероятностей перехода Р.к), состояний объектов меняются от удара к удару (подробно в примере 2).
Кроме того, для расчетов по математической модели оценки степени разрушения объектов необходимо вначале сформировать исходные данные:
обобщенный показатель устойчивости £ объекта (П. 1);
вероятности степени разрушения объекта Р1, Р2, Р3, Р4. Определение величин показателей (£) и (Р1, Р2, Р3, Р4), зависящих от ударной волны (АРф) СП, показаны в П. 1. Некоторые значения (АРф) представлены в табл. 2. Поражающее действие ударной волны АРф (кПа) на объекты зависит от массы заряда ВВ в тротиловом эквиваленте, условий взрыва и расстояния Я от центра взрыва до объекта (элемента). Это можно вычислить, например, по методике расчета, разработанной МГТУ им. Н. Э. Баумана [4]. Степени разрушения составных частей зданий (сооружений) при различных значениях избыточного давления АРфзд (кПа) представлены для типовых объектов в табл. 4.2 ГОСТ Р 42.2.01-201. Найденные вероятности Р1, Р2, Р3, Р4 (согласно П. 1) используются для составления графа модели разрушения объекта.
3. Определение вероятностей состояния объектов по схеме марковских матриц переходных состояний при воздействии поражающих факторов обычных средств поражения
Для оценки поражений зданий (сооружений) при последовательных ударах необходимо составить граф перехода четырех состояний, которые представлены на
рис. 3 [1], где SО — слабое (не пораженно), SС — среднее, SB — сильное, SA — полное. Причем переходные вероятности марковской цепи здесь РА, Рв, Рс означают достоверное разрушение объекта хотя бы по одному типу. На рис. 3 объект S, который функционировал (БО) и соответственным образом подвергся удару обычного средства поражения, что привело его в некоторое состояние, характеризующееся определенными степенями разрушения.
Необходимо определить, в каком состоянии будет находиться объект, в случае повторения нескольких различных ударов СП. Для решения этой задачи по заданному графу состояний объекта (рис. 3) составляется матрица переходов. Матрицы переходных состояний объекта могут строиться для однородных и неоднородных марковских цепей переходных вероятностей (Р;.). В однородной марковской цепи переходные вероятности задаются одной матрицей, которая от шага (удара) к шагу не меняется (при однотипных ударах). В неоднородных марковских цепях на каждый к-шаг последовательных разнотипных ударов составляется отдельная матрица вероятностей перехода Р.. Рассматривается объект, который находился в исходном состоянии (рис. 3) и после нанесения удара (ЛРф) получил четыре типа разрушения (считая разрушение (БО) — слабое). Требуется определить матрицу переходных вероятностей (Р..) состояний объекта однородной марковской цепи в случае последовательных ударов.
Порядок составления матрицы рассмотрен на примере данных, представленных в табл. 3. Матрица
вероятностей перехода (Р..) состояний объекта строится как матрица четвертого [1] порядка, поэтому соответственно, система имеет четыре возможных состояния. Матрица составляется на основе найденных величин вероятностей степени разрушений объектов Р Р Р Р
1' 2' 3' 4
Приводится порядок составления матрицы: 1. По графику рис. 2 для отношения обобщенного показателя устойчивости, £ (зависит от отношений
АРф/АРфзд) определяются вероятности степени разрушений зданий (сооружений) Р1, Р2, Р3, Р4 [2]. Например, принимается, что
$ = 1,25
ДР
ДР.
^ = 0,75.
ф.ЗД
(Далее на этом примере проведены расчеты.);
2. Вписываются в первую строку матрицы в табл. 3 значения вероятностей (Р Р Р Р4 — согласно табл. 1) при £ = 0,75 соответственно: Р1 это будет Р = 03; Р2 — на позиции Р12 = 0,38; далее Р3 на — Р13 = 0,22; Р. на — Р,л = 0,1.
4 14
Для каждого состояния объекта сумма вероятностей всех переходов (исходящих стрелок) из него в другие состояния должна быть равна 1.
3. С помощью графа модели рис. 3 поражения объекта при последовательных ударах СП заполняются строки матрицы в табл. 3 установленным образом:
проводится условно линия из строки БС вдоль строки Р21 и пересекается со столбцом Р11 линии БО. На пересечении ставится ноль (Р21 = 0), так как по рис. 3
В еро ят н ос т и н е раз ру ше н и я объекта Объект
Рис. 3. Модель разрушения объекта при последовательных ударах СП
Таблица 3
Формирование матрицы вероятностей перехода сооружения в различные степени разрушения
ДРф Типы поражения объекта при $ = 1,25 ф = 0,75 Сумма вероятностей
перехода
В ^ (сл) В (ср) В 8в(сил) В ЯА(пол)
Из Б 0 Р,, Р12 Р.3 Р14 Р11 = 1- 0,38 - 0,22 - 0,1 = 0,3
0,3 0,38 У 0,22 0,1 0,3 + 0,38 + 0,22 + 0,1 = 1
Из Бс Р22 Р,3 > г Р V 24 Р22 = 1- 0 - 0,22 - 0,1 = 0,68
0 * 0,68 0,22 021 ^ 0 + 0,68 + 0,22 + 0,1 = 1
Из Бв Р V 32 Р33 Р у 34 Р33 = 1 - 0 - 0 - 0,1 = 0,9
0 * 0,9 0,1 0 + 0 + 0,9 + 0,1 = 1
Из Р у 42 Р43 0 Р44 Р = 1 - 0 - 0 - 0 = 1 44
0 * 0 ^ 0 * 1,0 0 + 0 + 0 + 1 = 1
система не может переходить обратно из БС в Б0 (против направления стрелки);
далее пропускается позиция Р22 (также далее и позиции Р11, Р33, Р44), и на пересечении линий Бс и Бв проставляется Р23 = 0,22, на пересечении линий Бс и Ба проставляется Р24 = 0,1, так как по рис. 3 стрелки совпадают с направлением перехода (если обратно — 0). Таким способом заполняются строки Бв, Ба. Последняя строка матрицы заполняется нулями (система не может переходить обратно) кроме последней позиции, равной Р44 = 1.
Значения на позициях Р11, Р22, Р33, Р44 (вероятности по диагонали матрицы, выделены, синим цветом) получаются путем дополнения, чтобы суммы в строках были равны единице. Такие вычисления приведены в табл. 3.
Следует заметить, что вероятности задаются так, что их сумма перехода из некоторого состояния в остальные всегда равна единице. Составленные таким образом матрицы вероятностей переходов состояний объектов могут применяться для расчетов разрушений при последовательных ударах СП. Подробно расчеты моделей поражения объектов рассмотрены далее на примерах.
4. Примеры расчетов вероятностей состояния объектов по модели марковских цепей переходных состояний при воздействии обычных средств поражения
Оценочная математическая модель поражения (разрушения) объектов основывается на применении переходных матриц вероятностей (Р..) состояний объектов в форме однородных и неоднородных марковских цепей последовательных ударов СП. Здесь необходимо рассмотреть два случая решения примеров для однородных и неоднородных марковских цепей.
4.1. Случай решения модели для однородной марковской цепи
Пример 1. Производится по условному зданию три однотипных удара.
Каждый из ударов создает давление волны АРф = 48 кПа, воздействуя на здание, обладающее типовой прочностью от поражения — «полное» [2] Арфзд = 80 кПа. При этом величина обобщенного показателя устойчивости £ = 0,75. Здание может переходить в четыре состояния S0, Sс, Sв, SA. До первого удара объект не поврежден и вероятность его равна Р1(0) = 1. После первого удара при величине обобщенного показателя устойчивости £ = 0,75 вероятности состояний здания будут равны значениям в табл. 1 (или рис. 2). Решить поставленную задачу: зная переходные вероятности Р(1 = 1), найти вероятности Р^ = 3) перехода системы из состояния (1) в состояние (О за 3 шага последовательных ударов СП.
Решение. Здесь исходные данные позволяют сразу составить матрицу вероятностей (Р..) перехода здания (сооружения) в различные степени разрушения при
нанесении последовательных поражающих факторов СП.
Из табл. 1 при £ = 0,75 для первого удара получим вероятности Р1 = 0,3; Р2 = 0,38; Р3 = 0,22; Р4 = 0,1, которые будут составлять первую строку матрицы.
Матрица составляется по графу модели поражения при последовательном воздействии СП (рис. 3 или 3а). Здесь граф для четырех состояний объекта будет всегда однообразным (П. 3). Для удобства граф событий последовательных ударов можно представить в виде рис. 3а (аналогичен рис. 3 П. 3).
На рис. 3 а показаны вероятности разрушения объекта после первого удара, которые берутся из первой строки матрицы. Для вторых, третьих и т. д. последовательных ударов вероятности рассчитываются по формулам (1, 2).
Матрица переходов
Рис. 3а. Граф модели поражения объекта
Матрица составлена по табл. 3.
Так как до первого удара здание не поражено, то вероятность его равна Р^0) = 1.
После первого удара вероятности состояний здания будут равны значениям в соответствии с первой строкой матрицы.
Р1(1) = 0,3; Р2(1) = 0,38; Р3(1) = 0,22; Р4(1) = 0,1 (после 1-го удара).
Используя рекуррентную формулу (1), можно найти вероятности состояний элементов здания после второго удара Р(2):
Р1(2) = Р1(1) Р11 = 0,3x0,3= 0,09;
Р2(2) = Р1(1) Р12 + Р2 (1) Р22 =0,3 х 0,38 + 0,38 х 0,68 = = 0,3724 ~ 0,37;
Р3(2) = Р,(1) Р,3 + Р2 (1) Р23 + Р3 (1) Р33 = 0,3x0,22 + + 0,38x0,22 + 0,22x0,9 = 0,3476 ~ 0,35;
Р4(2) = Р« Р14 + Р2(1) Р24 + Р3(1) Р34 + Р4 Ш Р44 =
0,3 х 0,1 + 0,38 х 0,1 + 0,22x0,1 + 0,1 х 1= 0,19;
Р1(2)+ Р2(2) + Р3(2) + Р4(2) = 0,09 + 0,3724 + 0,3476 + + 0,19 = 1;
Р1(2) = 0,09; Р2(2) = 0,3724; Р3(2) = 0,3476; Р4(2) = = 0,19 (после 2-го удара).
Вероятности состояний после третьего удара по формуле(1) будут:
Р1(3) = Р1(2) Р11 = 0,09x0,3= 0,027 ~ 0,03;
Р^3) = Р1(2) Р12 + Р2(2) Р22 = 0,09 х 0,38 + 0,3724 х х 0,68 = 0,287432 ~ 0,29;
Р3(3) = Р,(2) Р,3 + Р2(2) Р23 + Р3(2) Р33 = 0,09x0,22 + + 0,3724x0,22 + 0,3476 х 0,9 = 0,414568 ~ 0,41;
Р4(3) = Р,(2) Р14 + Р2(2) Р24 + Р3(2) Р34 + Р4(2) Р44 = = 0,09 х 0,1 + 0,3724x0,1 + 0,3476 х 0,1 + 0,19 х 1 = = 0,271 ~ 0,27;
Р1(3) + Р2(3) + Р3(3) + Р4(3) = 0,027 + 0,287432 + + 0,414568 + 0,271 = 1;
Р1(3) = 0,027; Р2(3) = 0,287432; Р3(3) = 0,414568; Р4(3) = 0,271 (после 3-го удара).
После трех ударов получены вероятности исходов состояний здания:
не повреждено (слабое) Р1(3) ~ 0,03; среднее повреждение Р2(3) ~ 0,29; сильное повреждение Р3(3) ~ 0,41; полное повреждение Р4(3) ~ 0,27; Сумма вероятностей Р3(3) + Р4(3) = 0,41+ 0,27 = = 0,68 — объект поражен.
Результаты расчетов исходов вероятностей состояний (Р.) объектов для величин обобщенных показателей устойчивости £ = 0,5; 0,75; 1,0; 1,25 при трех однотипных ударах представлены в табл. 4.
Р1(2) = Р1(1) Р121 = 0,3 х 0,06= 0,018 ~ 01;
Р2(2) = Р1(1) Р2 + Р2(1) Р222= 0,3 х 0,46 + 0,38 х 0,52 = = 0,3356 ~ 0,34;
Р3(2) = Р1(1) Р,23 + Р2 (1) Р223 + Р3(1) Р323 = 0,3 х 0,23 + + 0,38 х 0,23 + 0,22 х 0,75 = 0,3214 ~ 0,32;
Р4(2) = Р,(1) Р2 + Р2(1) Р24 + Р3(1) Р34 + Р4(1) Р424= 0,3 х х 0,25 + 0,38 х 0,25 + 0,22 х 0,25 + 0,1 х 1= 0,325 = 0,33;
Р1(2) + Р2(2) + Р3(2) + Р4(2) = 0,018 + 0,3356 + 0,3214 + + 0,325 = 1 (сумма вероятн.).
Для третьего удара по формуле (2) и матрицы Р3 получим вероятности:
Р1(2) = 0,018; Р2(2) = 0,3356; Р3(2) = 0,3214; Р4(2) = = 0,325 (после 2-го удара);
Р1(3) = Р1(2) Р3 = 0,018 х 0,0 = 0,0;
Р2(3) = Р1(2) Р^2+ Р2(2) Р232= 0,018х0,34 + 0,3356 х х 0,34 = 0,120224 ~ 0,12;
Таблица 4
Тип поражения 1 = 0,5 1 = 0,75 ,0 II 1 = 1,25
Р(1) Р(2) Р(3) Р(1) Р(2) Р(3) Р(1) Р(2) Р(3) Р(1) Р(2) Р(3)
Сл. 80 Р1 0,54 0,29 0,Ф16 0,3 0,09 0,03 0,06 0,00 000 0,00 0,00 0,00
сР. ^ Р2 0,3 0,41 0,44 0,38 0,37 0,29 0,46 0,27 0,27 0,34 0,12 0,04
С «в Р3 0,16 0,3 0,4 0,22 0,35 0,41 0,23 0,29 0,29 0,25 0,24 0,18
П «А Р4 0 0 0 0,1 0,19 0,27 0,25 0,44 0,58 0,41 0,64 0,78
Примечание. Сл. — слабые (не поражен); Ср. — средние; С — сильные; П — полные.
4.2. Случай решения модели для неоднородной марковской цепи
Пример 2. Производится три разных по мощности удара по объекту. При этом обобщенные показатели устойчивости объекта для трех ударов £ = 0,75; 1,0; 1,25. Элементы объекта находятся в четырех состояниях SO, SC, SB, SA, при этом вероятности перехода для трех последовательных ударов различны и заданы последовательно тремя матрицами Р1, Р2, Р3:
Р3(3) = Р1(2) Р133 + Р2(2) Р^+ Р3(2) Р333 = 0,018 х 0,26 + + 0,3356 х 0,2(5 + 0,32 3 4 х 0,6 = 0,284776 ^ ~ 0,28;
Р4(3) = Р,(2) Р34+ Р2(2) Р234 + Р3(2) Р34+ Р4(2) РД = = 0,018 х 0,4 + 0,3356 х 0,4 + 0,3214 х 0,4 + 0,325 х 1 = = 0,595 ~ 0,6.
Итак, вероятности состояний объекта после трех ударов будут:
Р1(3) + Р2(3) + Р3(3) + Р4(3) = 0,0 + 0,120224 + + 0,284776 + 0,595 = 1(сумма вероятн.);
Р
Р1 =
ч
£1 = 1,25^- = 0,75
Р
ф.зд
0,38 0,22 0,1
0,68 0,22 0.1
0,3
О
0 О
О 0
0,9 0
0,1 1
£2 = 1,25
Р
Р2 =
ч
ф = 1,0
ф.зд
0,06 0,46 0,23 0,25 О 0,52 0,23 0,25
0,75 0,25 0 1
£3 = 1,25
Р
Р3 =
а
Р
ф = 1,25
ф.зд
0,34 0,26 0,34 0,26
0,6 0
0,4
0,4
0,4 1
В начальный момент элементы объекта находятся в состоянии SO, SC, SB, SA в соответствии с данными матрицы Р.1. Найти вероятности состояний объекта после трех ударов Р(3).
Решение. Матрицы составлены по исходным данным согласно методике П. 3. Так как до первого удара здание не поражено, то вероятность его равна Р1(0) = 1.
Вероятности состояний после первого удара будут из первой строки матрицы Р.11:
Р1(1) = 0,3; Р2(1) = 0,38; Р3(1) = 0,22; Р4(1) = 0,1(после 1-го удара).
Используя рекуррентную формулу (2), находим вероятности состояний элементов здания после второго удара Р(2), используя данные строк матрицы Р2.
Р1(3) = 0; Р2(3) = 0,120224; Р3(3) = 0,284776; Р4(3) = = 0,595 (после 3-го удара).
После трех ударов получили вероятности исходов состояний здания:
не повреждено (слабое) Р1(3) ~ 0,0; среднее повреждение Р2(3) ~ 0,12; сильное повреждение Р3(3)~ 0,28; полное повреждение Р4(3) ~ 0,6; Сумма вероятностей Р3(3) + Р4(3) = 0,28+ 0,6 = = 0,88 — объект поражен.
Результаты расчетов исходов вероятностей состояний (Р.) объектов для величин показателей устойчивости £ = 0,5; 0,75; 1,0; 1,25 (взяты произвольно) и трех разнотипных комбинированных ударов представлены в табл. 5, 6.
Таблица 5
Тип поражения 1 = 0,5 - 0,75 - 1 1 = 0,75 - 1 - 0,5 1 = 1 - 0,5 - 0,75 1 = 1 - 0,75 - 0,5
P(l) P(2) P(3) P(l) P(2) P(3) P(l) P(2) P(3) P(l) P(2) P(3)
Сл. So P! 0,54 0,16 0,01 0,3 0,02 0,01 0,06 0,03 0,01 0,06 0,02 0,01
СР. Sc P2 0,3 0,41 0,28 0,38 0,34 0,28 0,46 0,41 0,28 0,46 0,34 0,28
С SB P3 0,16 0,33 0,38 0,22 0,32 0,38 0,23 0,31 0,38 0,23 0,32 0,38
П SA P4 0 0,1 0,33 0,1 0,32 0,33 0,25 0,25 0,33 0,25 0,32 0,33
Примечание. Сл. — слабые (не поражен); Ср. — средние; С — сильные; П — полные.
Таблица 6
Тип поражения 1 = 0,5 - 0,75 - 1 1 = 0,75 - 1 - 0,5 1 = 1 - 0,5 - 0,75 1 = 1 - 0,75 - 0,5
P(l) P(2) P(3) P(l) P(2) P(3) P(l) P(2) P(3) P(l) P(2) P(3)
Сл. So P! 0,3 0,01 0,00 0,06 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00 0,0 0,0 0,00
СР. Sc P2 0,38 0,34 0,12 0,46 0,18 0,12 0,34 0,23 0,12 0,34 0,18 0,12
С SB P3 0,22 0.32 0,28 0,23 0,27 0,28 0,25 0,31 0,28 0,25 0,27 0,28
П SA P4 0,1 0,33 0,6 0,25 0,55 0,6 0,41 0,46 0,6 0,41 0,55 0,6
Примечание. Сл. — слабые (не поражен); Ср. — средние; С — сильные; П — полные.
5. Выводы
Рассмотрено моделирование оценки вероятностей состояния объектов при последовательных воздействиях поражающих факторов ЧС и обычных средств поражения по схеме марковских случайных процессов. Причем оценочные математические модели строились совместно с учетом методики расчетов ГОСТ Р 42.2.01=2014 «Гражданская оборона», по которым в начале формировались исходные вероятности состояния объектов (Р Р Р Р4), как определяющие степени разрушения составных частей объекта, а затем по ним составлялись матрицы переходных вероятностей (Р;р состояния объектов, необходимых для оценки результатов последовательных ударов СП. На основе полученных решений математического моделирования (табл. 4, 5, 6) можно отметить следующие особенности (свойства) полученных результатов:
1. Расчетные вероятности состояния объектов (Р^ для величин обобщенных показателей их устойчивости £ = 0,5; 0,75; 1,0; 1,25 (могут быть и др. значения) при последовательных однотипных нарастающих АРф ударах СП показали закономерность повышения Р(3) вероятностей разрушения объектов (табл. 4). Причем перераспределение вероятностей состояния наблюдается в сторону повышения величин Р(3) вероятностей полного разрушения (Р4) от 0 до 0,78 и снижения вероятностей Р(3) остальных типов разрушений (Р1 = 0,16 - 0,0; Р2 = 0,44 - 0,04; Р3 = 0,4 - 0,18, табл. 4).
2. Результаты расчетов (в неоднородных цепях) исходов вероятностей состояний объектов для величин показателей устойчивости £ = 0,5; 0,75; 1,0 при трех их комбинациях последовательных ударов, представленных в табл. 5, показали, что одинаковые результаты величин вероятностей Р(3) поражения (Р1 = 0,01; Р2 = 0,28; Р3 = 0,38; Р4 = 0,33) повторяются. Также закономерности результатов неизменяемых величин вероятностей дали расчеты при показателях устойчивости £ = 0,75; 1,0; 1,25, полученные в табл. 6 значения при Р(3) (Р1 = 0,01; Р2 = 0,12; Р3 = 0,28; Р4 = 0,6). Таким образом, при применении
комбинирования последовательности разных по мощности ударов по объектам в итоге вероятности разрушения Р(3) по величине повторяются. То есть, комбинации между собой последовательности ударов при одних показателях устойчивости £ на конечный результат вероятностей не влияют (табл. 5, 6).
3. Моделирование оценки поражения объектов при последовательных ударах по схеме марковских случайных процессов позволяет определять вероятности разрушения объектов с точностью данных метода расчетов ГОСТ Р 42.2.01-2014 «Гражданская оборона». Применение данного подхода и такого моделирования расчетов может повышать обоснованность и логику в принятии решений по защите объектов тыла в системе гражданской обороны.
Литература
1. Буравлев А. И. Брезгин В. С. Методика оценки ущерба при имитационном моделировании огневого поражения объектов // Вооружение и экономика. 2012. № 5 (21). С. 13-21 (электрон. науч. ж-л).
2. ГОСТ Р 42.2.01-2014 Гражданская оборона. Оценка состояния потенциально опасных объектов, объектов обороны и безопасности в условиях воздействия поражающих факторов обычных средств поражения. Методы расчета. С. 26.
3. Абчук В. А., Матвейчук Ф.А., Томашевский Л. П. Справочник по исследованию операций. М.: Воениздат, 1979. С 297-303.
4. Оценка последствий взрыва. АРЛИ спецтехника (формулы ВВ) // Материалы факультета военного обучения МГТУ им. Н. Э. Баумана. http://arli-st.ru/article/article_11.html
Сведения об авторе
Домницкий Николай Константинович: ООО «Общество анализа рисков».
344012, Ростов-на-Дону, ул. Станиславского, 50. е-таИ: yufvniigochs@mail.ru SPIN-код — 6886-6588.
Information about author
Domnitsky Nicholas K.: Society for Risk Analysis. 50 Stanislavsky, Rostov-on-Don, 344012, Russia. e-mail: yufvniigochs@mail.ru SPIN-scientific — 6886-6588.
