Вероятностная неопределенность в стохастических технических системах управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

Вероятностная неопределенность в стохастических технических системах управления

© К.А. Пупков МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Показана возможность применения обобщенного полиномиального хаоса для исследования устойчивости стохастических динамических систем с вероятностной неопределенностью. Определены виды неопределенностей. Даны и оценены различные виды неопределенностей, показаны направления их учета при исследовании стохастических динамических систем. Рассмотрено множество ортогональных полиномов, дан анализ их свойств. Для различных функций плотности вероятности неопределенности получены их разложения в виде ортогональных полиномов. Приведен пример практического применения обобщенного полиномиального хаоса для построения модели стохастической системы, позволяющий представить исходную систему в виде детерминированной, но более высокой размерности. В качестве возможного варианта исследования стохастических систем с неопределенностью рассмотрена функция плотности распределения Коши.

Ключевые слова: неопределенность, стохастические системы, полиномиальный хаос, Монте-Карло.

На определенном этапе развития теории управления синтез законов управления осуществлялся на основе того, что мы априори точно знаем модели объекта управления, модели воздействий на систему управления и ее структуру. Такое представление приводило к тому, что синтезированное управление оказывалось не в полной мере адекватным всей динамике реальной системы и воздействий на нее.

Такая неадекватность сопряжена с тем, что мы принципиально не можем отобразить точно в моделях свойства реальных систем, т. е. действительно существует некая неопределенность, имеющая в системах следующие виды:

• параметрический;

• по начальным условиям;

• по воздействиям окружающей среды;

• по структуре системы.

Одним из направлений преодоления неопределенности является построение адаптивных систем. Однако построение в системе контуров адаптации приводит к значительному усложнению системы и, в общем случае, снижению ее надежности. Кроме того, алгоритмы адаптации плохо работают при плохо определенных моделях. Не отвергая такого направления преодоления неопределенностей, теория управления нача-

ла развиваться по пути синтеза робастного управления, т. е. такого управления, при котором обеспечивается устойчивость и допустимая точность ее работы, конечно, при известных диапазонах неопределенностей. Предполагалось также, что робастность управления достигается при граничных значениях неопределенностей и тем самым обеспечивается гарантия желаемого функционирования. Однако робастное управление, построенное по граничным значениям неопределенности, могло существенно ухудшать динамические свойства системы, например, сужать полосу частот пропускания, а следовательно, отрицательно влиять на динамическую точность. Это связано с тем, что на самом деле в интервале неопределенности некоторое конкретное ее значение является значением случайной величины и во многих практических системах распределение ее не является равномерным. Поэтому возникла и стала развиваться задача синтеза робастного управления при предположении, что функция плотности вероятности неопределенности имеет другие типы, например, гауссова, Коши и др.

Здесь определилась проблема: каким образом при синтезе управления учесть вероятностный характер неопределенностей.

При этом необходимо решать две задачи:

• устойчивости;

• оптимизации управления.

Конечно, при исследовании устойчивости и точности работы неопределенных систем управления можно применить метод Монте-Карло, т. е. метод статистических испытаний. Для этого надо иметь цифровую модель системы, накопить при моделировании множество реализаций процессов управления и по ним оценить эффективность работы системы. Следует заметить, что достаточно объемный способ оценки — это, по сути, вычислительный эксперимент. Альтернативой ему является аппроксимация стохастических динамических систем функциональными рядами.

Здесь мы рассмотрим аналитический метод исследования устойчивости и синтеза робастного управления в неопределенных системах, где неопределенность — вероятностная с априори известной функцией распределения.

Для решения этой задачи обратимся к теории полиномиального стохастического хаоса.

Сначала изучим свойства ортогональных полиномов.

Рассмотрим множество полиномов

{0„(х), пеЫ},

где <2„(х) — полином степени п и N = {0, 1, 2, ...}, если ряд бесконечен. Для конечного ряда N есть конечные неотрицательные целые числа.

Система полиномов ортогональна по отношению к действительной положительной мере у(х), если

\0п Шт (х)4у (х) = Ай25п

Б

Для п, ш^Ы, где Б — область меры у(х) и Н„ — положительные константы; Ъ„т — функция Кронекера, такая, что при п Ф ш Ъ„т = 0, а при п = ш Ъ„т = 1.

Если И„ = 1, то ряд ортонормированный.

В общем, у(х) может быть непрерывной весовой функцией ^м(х) и тождественной плотности вероятности.

Ортогональные полиномы можно получить путем непрерывного оператора Родригеса

1 г!п

а = ^ ^ (п«),

а"(х) — полином степени п.

Здесь мы будем считать, что w(x) — функция плотности вероятности.

Теперь рассмотрим и определим, что такое однородный хаос (ОХ).

Классификация ОХ впервые введена Н. Винером (1938) и стала продолжением работы Вольтерра по обобщению ряда Тейлора для функционалов [1]. ОХ использует ортогональные полиномы Эрмита для приближения гауссовых случайных переменных. Камерон и Мартин использовали функционалы Эрмита для создания ортогонального базиса нелинейных функционалов и показали, что с помощью функционалов можно аппроксимировать любые функционалы с конечным вторым моментом в Ь2 и что эти функционалы действительно сходятся в смысле Ь2.

Таким образом, можно использовать Эрмит-хаос для описания любых процессов второго порядка и чтобы этот процесс имел конечный момент второго порядка в терминах ортогональных полиномов.

Тем не менее большинство физических процессов в действительности соответствует этому требованию и поэтому оно практически приемлемо.

Введем понятие ОХ.

Определим множество всех интегрируемых с квадратом случайных переменных 0.

Пусть {(б)}. будет множеством ортогональных гауссовых случайных переменных и пусть Г будет пространством всех множеств в {^(0)}^, меньшим и равным р. Кроме того, Гр будет пред-

ставлять множество всех полиномов, которые ортогональны множеству Гр_г. Пространство, замещенное Гр , обозначим Гр.

Это пространство является подпространством 9 (Гр сб) и называется ^-й однородный хаос. Гр — полиномиальный хаос (ПХ) р-порядка.

Теперь можем записать любой общий второго порядка случайный процесс как

(0) = I I I Г(е),...,^О))

р>0 п +...пг = р ррг

или как линейную комбинацию всех полиномиальных хаосов порядка р > 0.

Полиномы в этом уравнении включают в себя г отдельных случайных переменных на , с к-й случайной переменной, содержащей многообразие пк, и конечное значение включенных случайных переменных равно порядку ПХ — р.

Если предположить, что ПХ — симметричный, то приведенное выше уравнение можно упростить, а именно:

да I1

(в) = а0Г0 + Ха Гх (^ (в)) + X Ёа12 Г (^ (6) *

¡=1 ¡1=1 ¡2 = 2

да ¡1 ¡2 , ,

(в)) + Ё Ё Ё . Гз (^ (в) ^2 (в) ^ (в)) + • • - ,

¡1 =1 ¡2 =2 ¡з =3

где Гр (•) — ПХ ^-порядка.

Для случая однородного хаоса с гауссовыми переменными с нулевым средним значением и единичной дисперсией эти полиномы являются полиномами Эрмита, и мы их будем выражать как

Гр = Нр (член $ = ($.,^ ,...,^ )).

Эти полиномы имеют вид

/ \ -15Т5(-1)п Лп -~5Т5

н в - ^)=е 2 55

Для удобства Х(0) можно записать следующим образом:

да

х (в) = Ха ^

г=0

Здесь однозначное соответствие между и Нр ,...,^ ), а также между коэффициентами аг- и

Чтобы представить форму суммирования в уравнении (1) для Х(0) и соотношение с Нп в уравнении (2), рассмотрим разложение для двух случайных переменных:

х(е) = а0Н0 + а1Н1 + а2Нх (%2) + апН2 (%1, % ) + аХ1 Н2 (%2 ') +

+а22Н2 (%2' %2 ) + а111Н3 (%1' %1,%1)+ а121Н3 (%2' %1' %1) + а211Н3 (%2 21%1) + +а222Нз (%2' %2' %2 ) + •••

Члены этого разложения связаны с членами в уравнении (2) таким образом:

ао

¥ о = а0 Я0; а^ = а^ (^); = а2 Я! (^) и т. д.

Полиномы ОХ формируют ортогональный базис, что означает среднее

* ^ У = У'

где 8у — функция Кронекера; (• •) — среднее взвешенное произведение.

При этом оператор в некоторых случаях можно описать

численно:

(ху) = X у» , где х = [x:], У = М;

матрично

(ху) = уТ Мх, где М — матрица Эрмита; в случайной форме

(ху) = Е(ху) и

квадратной матрицей

(Л, В = ( Вт Лт ).

Для Эрмитова хаоса произведение (•, •) на гильбертовом пространстве определяется на основе гауссовых переменных

(/(4) § (4)) = 1 / (4)§ (4)" (4) < 4,

где весовая функция w(^) равна

1 ,4а

0 "¿Г'

2"

Переменная п имеет размерность вектора случайной переменной

Весовая функция w(^) эквивалентна функции плотности вероятности для независимых п-мерных гауссовых распределений. Таким образом, базис полиномов Эрмитова хаоса ортогонален относительно гауссова распределения, и переменные в разложении являются гауссовыми случайными переменными.

Таким образом, ОХ (ЭХ) можно использовать в ситуации, когда стохастическая неопределенность в системе известна как гауссова.

Теперь рассмотрим, каким образом можно построить множество ортогональных полиномов. Суть состоит в том, что функция веса w(x) в реальных случаях не обязательно является нормальной. Например, это может быть распределение Коши:

/ (х)= К

п[ К 2 + (х -ц)2

где -да < х < да,; К и ц — вещественные константы и К> 0.

Кроме того, область определения полиномов Эрмита бесконечна. На практике часто необходимо генерировать множество ортогональных полиномов с желаемой областью определения. Это можно сделать несколькими способами, в том числе с помощью процесса Грамма — Шмидта, который включает в себя множество ортогональных функций {фг (х)}. из множества линейных независимых

функций {и (х)}°=0 с весовой функцией w(x). Для начала зададим

Фо (х) = ио (.

Следующая функция фг(х) может быть определена из фо(х) путем вычитания из нее проекции мг(х) в ф0(х):

где

, / ч (ц (х) Ф0 (Х)) , / ч

ф1 = и1(х)л , ф0(х), \ф0(х) /

(/(х) я (х)) = | / (х) я (х) ж (х) йх.

Чтобы теперь проверить, что ф1(х) ортогональна к фо(х), рассмотрим скалярное произведение

(Фо (х)ф (х)) = (ф0 (хЦ (х) - Ь ^^ х

\Фо(х) )

х (фо (х)фо (х)> = (фо (х)и1 (х) - (фо (х)и1 (х) = 0 В общем виде имеем

, ( \ V (и (х) (Х)) , ( Ч

ф1 = и1 (Х) - Ь / , ,2\ Фк (Х) . =0 \фк (Х) )

Пример. Рассмотрим генерацию множества ортогональных полиномов по отношению к весовой функции

ш(х) = £ 2 х е(-да,да).

Примем мг-(х) = хг- для г = 0, 1, ..., да. Первый полином

ф0 (х) = ио (х) = 1 ,

чтобы найти

ф1 (х) =х -^у.

Теперь

(1-1 = £-х2йх = 42% и (х -1> = хГХйх = 0.

Так что

ф1 (х) = х--= X .

2п

Находим

, , 2 (*2> М Ф2 (Х) = Х2 V "Й,

где ^х2 ^ = 2п и ^х3 ^ = 0. Получим

2 3

ф2(х) = х - 1, ф3(х) = х - 3х и т. д. Это и есть полиномы Эрмита.

Применение идеи ПХ приводит к преобразованию стохастической динамической линейной системы с xgR"; ueRm c ^-м порядком ПХ приводит к детерминированной линейной системе с более высокой размерностью n(p + 1).

Пример. Рассмотрим систему

X(t, А) = а(А) x(t, А),

где а (А) = а0 + а2 А2, А е[-1,1], т. е. случайная величина с равномерным распределением и ai, i = 0,2 известна.

Поскольку А — равномерно распределенная случайная величина, будем использовать полиномы Лежандра для моделирования каждого из процессов.

В примере будем использовать полиномы до 3-го порядка. Разложение х здесь

3

x (, д) = X a Ф i (А)

i=0

и разложение для а(А) —

»(а ) = X a Ф i (А ).

i=0

Полиномы Лежандра (первые три):

Фо =1> ф1 = А,

Ф 3 А 2 1 ф2 = ТА "Т>

ф3 = —А3 —А. Y3 2 2

Ясно, что по формуле для а(А) разложение будет

г(А) = ^а0 + 3фо + 3аф2.

Тогда уравнение движения

XX

j=о

xjФ j =

з Л^ з Л зз

X akф X ф,- = XX akx-Фkф,- .

V k=о JV i=о J i=о k=о

Если спроектировать обе части в ф7- и разделить на (ф2^, получим

*/Е о ЕI=о( ф* Ф/Ф у)=

= ^Е а Ф/Ф^ (ф*Ф/Ф^ (ФкФ/Ф^ (ФкФ/Фэ 3 х

Т

где X = [хо, Х1, Х2, хз] .

Структура может быть легко идентифицирована как у-строка матрицы вида

^ k =

i 0k 0 i 0k1 '" i 0 kp

i 0k1 i1k1

i 0 kp i1 kp

'0 k1

i

pkp

Теперь, поскольку только два ненулевых коэффициента в разложении а(Д), уравнение движения может быть записано так:

X = (( + a2 W 2) Х = a0 + -

42 |Wo + 3a2W2 |X •

Таким образом, можно описать динамику линейной стохастической системы. Эту процедуру можно повторить для полиномов более высокого порядка с целью лучшего приближения.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Winer N. The Homogenous chaos. J. of Mathematics, 1938, pp. 897-936.

[2] M. Schetzen. The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems. Melbourne, FL: Krieger Publishing Company, 2006.

[3] Xiu D., Karniadakis G.E. «The winer-askey polynomial chaoc for stochastic differential equations», SIAM J. Sci. Comput., 2002, vol. 24, pp. 619-644.

[4] Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. Москва, Наука, 1976.

Статья поступила в редакцию 28.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Пупков К.А. Вероятностная неопределенность в стохастических технических системах управления. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 10. URL: http://engjournal.ru/catalog/it/nav/1096.html

Константин Александрович Пупков родился в 1930 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1954г. Д-р техн. наук, профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана, заведующий кафедрой Кибернетики и мехатроники РУДН. Автор более 30 монографий, учебников и учебных пособий в области теории управления и интеллектуальных систем. e-mail: [email protected]