CC BY
19МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОТКРЫТЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ДЕСТРУКТИВНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ. ЧАСТЬ 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
О.Ф. Дворникова. И.М. Татарникова.
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М.А. Бонч-Бруевича.
С.С. Дворников, кандидат технических наук;
А.Е. Смелов.
Военная академия связи им. Маршала Советского Союза С.М. Буденного
Рассмотрен подход к количественной оценке эффективности открытых информационных систем. Исследованы особенности его реализации для практических приложений. Представлена аналитическая вероятностная модель оценки разработанного подхода. Приведены примеры проведения численных расчетов. Определены перспективы дальнейшего развития подхода.
Ключевые слова: вероятностная модель, открытая система, вероятностная оценка, деструктивное воздействие
PROBABILISTIC MODEL FOR EVALUATING THE EFFICIENCY OF OPEN-SYSTEMS UNDER CONDITIONS OF DESTRUCTIVE INFLUENCES. PART 1. ANALYTICAL MODELING
O.F. Dvornikova; I.M. Tatarnikova.
Saint-Petersburg state university of telecommunications prof. M.A. Bonch-Bruevich. S.S. Dvornikov; A.E. Smelov.
Military academy of communications of Marshal of Soviet Union S.M. Budennogo
The approach to quantifying the effectiveness of open systems of a non-technical nature is considered. The features of its implementation are investigated. An analytical probabilistic model for evaluating the developed approach is presented. Examples of numerical calculations are given. Formulated suggestions for the application of the results. The prospects for further development of the approach are determined.
Keywords: probabilistic model, open system, probabilistic assessment, destructive impac
Вопросами исследования открытых систем, методы которых достаточно хорошо изучены и активно применяются на практике, занимаются специалисты теории управления [1]. В общем случае к открытым системам относят системы, которые взаимодействуют со средой. При этом одним из наиболее важных аспектов теории открытых
систем является установление функциональных взаимосвязей с внешней средой [2]. Ключевым моментом данной концепции является поиск условий, при которых обеспечивается сохранение равновесия открытой системы в условиях различного рода сторонних воздействий, в том числе и деструктивного характера [3]. Поскольку процесс установления равновесия имеет динамический характер, то решение такой задачи имеет далеко не тривиальный характер, и, как правило, сводится к решению сложной системы дифференциальных уравнений [4, 5].
В настоящее время методы теории систем находят широкое применение в различных областях науки, поэтому практический интерес имеют обобщенные модели, применение которых, с одной стороны, достаточно точно характеризовало бы описываемые процессы, а, с другой - позволяли бы достаточно просто проводить расчеты и получать оценочные характеристики.
В связи с указанными обстоятельствами в настоящей статье предложен подход к оценке эффективности открытых информационных систем (ОИС) в условиях деструктивных воздействий, базирующийся на методах системного анализа и теории операций [6].
Постановка задачи по оценке эффективности ОИС
Для формализации процессов взаимодействия ОИС с внешней средой целесообразным видится использование аналитического аппарата теории надежности, как, например, это сделано в работах [7-9]. Обобщенная структура указанного взаимодействия представлена на рис. 1.
Рис. 1. Обобщенная структура взаимодействия ОИС
Так, на рис. 1 схематично представлены исследуемая ОИС А, радиотехническая система В, оказывающая деструктивное воздействие на ОИС А, и внешняя среда С, также воздействующая на исследуемую системы А.
Эффективность открытых систем принято оценивать комплексным показателем [10], однако на практике применение такого подхода не всегда оправдано, поскольку сложно детерминировать каждый из его составляющих. Поэтому, как правило, акцент делают на тех, которые для решения конкретных задач имеют приоритетное значение [8]. Учитывая данное обстоятельство, сформулируем задачу исследования в следующей редакции.
Допустим, что под негативным воздействием Увн условий внешней среды С происходит естественная деградация (износ, старение и т.д.) ОИС А и она теряет свою эффективность , которая выражается, например, в снижении производительности, возрастании отказов и т.д.
Теперь предположим, что на ОИС А осуществляется дополнительное деструктивное воздействие Кдв со стороны сторонней радиотехнической системы В, в результате которого
происходит дополнительное снижение эффективности РА. В свою очередь, на ОИС А принимаются меры, которые можно представить в виде некоторых процессов , направленных на снижение последствий негативного воздействия V. При этом требуется получить оценочные зависимости показателя эффективности ^ по истечению заданного времени.
Решение задачи в такой постановке целесообразно рассматривать с позиций теории надежности [11, 12]. При этом основная трудность связана с формализацией процессов воздействия на систему {V }„еЛГ и ее реакций {ит }отеМ. Здесь N - общее число
воздействий, а М - общее число реакций, причем допустимо, что М Ф N.
В рамках методов теории надежности [12] вероятность эффективности функционирования ОИС А в течение времени будет определяться как:
Рэф С) = 1 - Рсв С) ,
где Рсв (г) - совокупная вероятность снижения эффективности в результате воздействий со стороны внешней среды С и системы В.
В свою очередь, величину Рсв (г) можно рассматривать с позиций полной
вероятности событий, определяемых воздействиями Vн и V :
Рсв (0 = Рвн (0 + Рдв (0 - Рвн (ОРдв (0 ,
где Рвн (г) - вероятность нанесения урона ОИС А в результате воздействия Увв; Рдв ) - вероятность нанесения урона по результатам воздействия Удв . Тогда результирующее значение РЭф (г) будет рассчитано как:
Рэф Ц) = 1 - Рвн С) - Рдв Ц) + Рвн С)Рдв Ц) . (1)
Или, в соответствии с подходом, предложенным в работе [10]:
Рэф(г) = (1 - Рвн (0X1 - РДв (г)). (2)
Следует отметить, что результирующее выражение не учитывает последствия реакций ит }тш. Это связано с тем, что они направлены на компенсацию последствий Удв,
а поскольку выражения (1) и (2) являются обобщающими, то предлагается на данном этапе учет осуществлять на уровне функциональной зависимости:
Рэф (гЛв) = (1 - Рвн (г))(1 - Рдв (г, ^)). (3)
Полученное выражение (3) можно рассматривать как формализованную модель оценки эффективности ОИС, функционирующих в условиях негативных воздействий со стороны естественной окружающей среды и деструктивных воздействий преднамеренного характера со стороны внешних радиотехнических систем.
Очевидно, что такая модель позволит получить количественные оценки только при условии знаний детерминированных значений Рвн (г) и Р в (г, V в ).
Аналитический аппарат расчета вероятности для открытых систем
С позиций теории надежности [12] вероятность эффективности системы Рэф (t) можно рассматривать как вероятность ее безотказной работы Рб (t), то есть вероятности
того, что некая случайная величина будет не меньше заданного временного значения t, то есть вероятность того, что система к моменту времени t будет все еще работоспособна.
Для получения количественных оценок Рб (t) время наблюдения разбивают
на интервалы и оценивают число исправно работающих составных частей (элементов) изделия (системы).
Тогда вероятность безотказной работы можно рассчитать согласно следующему выражению:
N0 — У M[t 1 "к]щ Рбр (t) = lim 0 У к=--,
бр No ^ N
Ык ^0 0
где Nк, Nk_x - число исправно работающих элементов изделия, соответственно, на момент к и к — 1; щ = N-j — N - число отказавших элементов изделия на интервале Atk = [к, к — 1]; ММ - среднее значение; N0 - общее число элементов изделия. Соответственно, вероятность отказов:
I M[t/Мк ]
M[t
ебр (t)*=1
nk
No
В свою очередь, величина Q (t) определяется интенсивностью отказа:
(t)~ Пк
(t)
где пк / Atk - число элементов, отказывающих в единицу времени; N(t) = 0,5[N^ + N ] -число элементов, продолжающих исправно работать на интервале Atk = [k, k — 1].
Практический интерес параметра Хор (t) в том, что для периода нормальной эксплуатации изделия значение Хор (t) = const, поэтому при предельном переходе
интегрирование интенсивности отказов по времени позволяет получить следующее выражение [11]:
t
¡х ор (x)d x=in [ Рбр (t);
0
откуда выходим на обобщенный закон надежности:
Рбр (t) = exp j^-f X ор (x)d; Для периода нормальной эксплуатации изделия ( Хор (t) = const):
Л
[x
J
Рбр (г) = ехр (-^оРг). (4)
Заметим, что для дискретных моделей расчет вероятностей осуществляют на основе аппроксимации биноминального распределения, позволяющего число т исправных элементов системы, состоящей из п элементов, если вероятность безотказной работы каждого элемента равна р, успешно использовать распределение Пуассона с параметром
Х = пр и ошибкой аппроксимации порядка п [11]:
Рбр (т) = ^^ ехр (-V).
т! 4 7
Или нормальным распределением:
/
бр
m
n
Р
>е
1 - 2Ф
n
V
p(1 - p)
где £ - ошибка аппроксимации.
Важным показателем, характеризующим функционирование открытых систем, является частота отказов, представляющая собой отношение:
(,) ^ пк _ N.-1 - Nk _ N+д/ - Рбр(г + Аг) - Рбр(г)
Мк No Atk No
MkNo
At
где n(t) = Nt - Nt+Ai, N+м = NoРбр (t + At), а Nt = N0Рбр (t).
Переход к пределу при At^ ^ 0 позволяет получить выражение для расчета плотности распределения вероятности времени безотказной работы:
lim ^ = f (t).
t^o AtN0
Физический смысл частоты отказов - это функция плотности распределения вероятности времени исправной работы [11, 12]:
t
F (t) = J f ( x)dx.
Функция распределения представляет собой величину, дополняющую вероятностный показатель надежности до единицы:
Р«) = 1 - Рбр (г).
На рис. 2 показаны графики Р(^) и Рб (г) при ^ = 1.
o
1
0.9 0.80.70.6 0.50.4 0.30.20.1
р (/)
/ (()
/
/
/ 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Рис. 2. Графики зависимости вероятности частотно-временного совпадения
При этом среднее время безотказной работы будет определяться как:
то то то
Тср = tPбр ^ )dt = -tPбр ^ )| то +1 Рбр (t )dt = | Рбр (t ^.
Аналитическое моделирование при оценке вероятностных показателей открытых
информационных систем
Представленный аналитический аппарат позволяет проводить расчеты вероятностных показателей, характеризующих условия функционирования открытых систем, вместе с тем применение его в ОИС связано с определенными трудностями, обусловленными сложностью формализации параметра X.
Для отдельных изделий время наработки на отказ или значение интенсивности отказов представлено в техническом описании [13]. Однако большинство ОИС представляют собой сложные организационно-технические системы, для которых сложно априори определить указанные значения. В тоже время проведенные в работе [14] исследования показывают, что большинство процессов, протекающих в инфокоммуникационных системах, могут быть описаны распределениями экспоненциального типа.
На рис. 3 представлены функции экспоненциальных распределений на основе выражения (4) при различных значениях X .
Зависимости, представленные на рис. 3, известны и в достаточной степени изучены в рамках теории систем [1], управления [5] и вероятностей [11]. Широкое практическое применение рассмотренного подхода в технике обусловлено тем, что экспоненциальному закону распределения подчиняется [12]:
- наработка на отказ ремонтируемых и неремонтируемых объектов при рассмотрении внезапных отказов;
- время безотказной работы сложных систем, прошедших период приработки и состоящих из элементов с различной интенсивностью отказов;
- длительность восстановления ремонтируемых объектов.
Однако наиболее значимым является вопрос практического приложения теоретических результатов.
В частности, предлагается использовать метод аналогий [14]. Для этого рассмотрим экспоненциальный закон в условных единицах затухания, выраженных в % (рис. 4).
0
0
0
Рбр С)
1 1
0.9 ^ ^ > о о О о р р р р II II II 1 - 1 1
0.8 / 0,5 1 1 1 0,25
V
0.6 V.-
V V У = 0,1
0.4 V V
0.3
0.2
0.1 г
0.01
0.1
10
100
Рис. 3. Графики зависимости вероятности частотно-временного совпадения
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5' 0.40.3' 0.2 0.1
|рбр (г) 1 1 60% 0% 00%
\ 20 % 40( % /о /о 1
\
С
п
В
1 _.. т А
1
Т
Т.
Т
Рис. 4. График экспоненциального закона в условных единицах затухания, выраженных в %
Так, в соответствии с постановлением от 7 июля 2016 г. № 640 [15], внесшим изменения в «Классификатор основных средств», срок амортизации компьютера может устанавливаться от 2 лет 1 мес. до 3 лет (25-36 мес.). Именно такая продолжительность периода эксплуатации ЭВМ соответствует 2 амортизационной группе, в которую входят «Машины офисные прочие» с кодом 330.28.23.23, то есть к этому сроку ЭВМ может быть списана.
В тоже время средний срок работы ЭВМ составляет пять лет. Казалось бы парадокс. Однако, если на графике рис. 4 определить пять лет как 100 %, то уровню в 2,5 года (точка А, а по шкале времени точка Т1) соответствует величина Рбр (?) « 0,08 %, которая в данном
случае выступает показателем эффективности.
Важно отметить, что указанные нормативы учитывают не только надежность ОИС, но и их технико-экономическую привлекательность. В частности, согласно работе [16] средний срок службы смартфонов составляет четыре года (у флагманских моделей до шести лет). Притом, что срок владения всего лишь два года. Обращаясь к графикам, видим, что
1
г
первому случаю соответствует точка А, а второму точка В. Очевидно, что к указанному сроку их эффективность не превысит 23 %. Это к вопросу покупки б/у гаджетов, стоят ли они тех денег, которые за них платит покупатель.
Представленные расчеты наглядно подтверждают правомерность предложенного подхода. Вместе с тем нетривиальность проблематики в том, что в статье рассмотрены достаточно очевидные примеры, в то время как в качестве ОИС могут выступать гораздо более сложные системы.
Представленные графики на рис. 3, 4 только качественно отражают зависимость эффективности ОИС от времени. Получение более точных значений возможно только при знании параметра X . Однако приблизительные расчеты можно проводить по результатам
сравнения соотношений по оси абсцисс и ординат. Для рассматриваемых примеров: Т / Т2, Т2 / Т3, которые эквиваленты соотношениям А / В, В / С .
Представленный подход к оценке эффективности ОИС не претендует на истину в последней инстанции. Вместе с тем разработанный аналитический аппарат позволяет получать количественные оценки, что само по себе является результатом. Авторы надеются, что предложенный подход будет развиваться и уточнятся, что позволит выйти на более точные количественные показатели и оценки.
В настоящей статье представлена только первая часть работы, в которой учитывались преимущественно условия естественной деградации ОИС. Дальнейшие исследования авторы связывают с формализацией деструктивных воздействий и мер по постановлению утраченного потенциала.
Литература
1. Повзнер Л.Д. Теория систем управления: учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во МГГУ, 2002. 472 с.
2. Katz D., Kahn R.L. The social psychology of organizations. N.Y.: Wiley, 1978. 838 p.
3. Дворников С.В., Крячко А.Ф., Пшеничников А.В. Моделирование радиотехнических систем в конфликтных ситуациях когнитивного характера // Волновая электроника и инфокоммуникационные системы: сб. статей XXII Междунар. науч. конф. СПб., 2019. С. 84-89.
4. Дворников С.В., Пшеничников А.В., Аванесов М.Ю. Модель деструктивного воздействия когнитивного характера // Информация и космос. 2018. № 2. С. 22-29.
5. Ротач В.Я. Теория автоматического управления. М.: Изд-во МЭИ, 2004. 400 с.
6. Петухов Г.Б., Якунин В.И. Методологические основы внешнего проектирования целенаправленных процессов и целеустремленных систем. М.: АСТ, 2006. 502 с.
7. Дворников С.В., Пшеничников А.В., Русин А.А. Обобщенная функциональная модель радиолинии с управлением её частотным ресурсом // Вопросы радиоэлектроники. Сер.: Техника телевидения. 2016. № 3. С. 49-56.
8. Русанов И.П., Буравлев А.И. Модель оценки эффективности боевых систем // Военная мысль. 2009. № 8. С. 39-43.
9. Гусев М.Н., Смирнов В.А., Дегтярев В.М. Компьютерная статистическая модель русского языка // Труды учебных заведений связи. 2006. № 174. С. 129-135.
10. Левкин И.М. Комплексная оценка эффективности робототехнических систем добывания и обработки информации // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2017. Т. 60. № 2. С. 110-116.
11. Венцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576 с.
12. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьёв А.Д. Математические методы в теории надёжности. М.: Наука, 1965. 524 с.
13. Базовая станция CBS-400. Руководство по эксплуатации. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/8758406/?page (дата обращения: 09.12.2019).
14. Лоу А.М., Кельтон Д.В. Имитационное моделирование. СПб.: Питер, 2004. 848 с.
15. О внесении изменений в постановление Правительства Российской Федерации от 1 января 2002 г. № 1: постановление Правительства Рос. Федерации от 7 июля 2016 г. № 640. URL: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_201523/ (дата обращения: 09.12.2019).
16. Аналитики назвали средний срок службы современных смартфонов // Digital Word. URL: https://www.dgl.ru/news/analitiki-nazvali-sredniy-srok-slujby-sovremennyh-smartfonov_ 16138.html. (дата обращения: 09.12.2019).
References
1. Povzner L.D. Teoriya sistem upravleniya: ucheb. posobie dlya vuzov. M.: Izd-vo MGGU, 2002. 472 s.
2. Katz D., Kahn R.L. The social psychology of organizations. N.Y.: Wiley, 1978. 838 p.
3. Dvornikov S.V., Kryachko A.F., Pshenichnikov A.V. Modelirovanie radiotekhnicheskih sistem v konfliktnyh situaciyah kognitivnogo haraktera // Volnovaya elektronika i infokommunikacionnye sistemy: sb. statej XXII Mezhdunar. nauch. konf. SPb., 2019. S. 84-89.
4. Dvornikov S.V., Pshenichnikov A.V., Avanesov M.Yu. Model' destruktivnogo vozdejstviya kognitivnogo haraktera // Informaciya i kosmos. 2018. № 2. S. 22-29.
5. Rotach V.Ya. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. M.: Izd-vo MEI, 2004. 400 s.
6. Petuhov G.B., YAkunin V.I. Metodologicheskie osnovy vneshnego proektirovaniya celenapravlennyh processov i celeustremlennyh sistem. M.: AST, 2006. 502 s.
7. Dvornikov S.V., Pshenichnikov A.V., Rusin A.A. Obobshchennaya funkcional'naya model' radiolinii s upravleniem eyo chastotnym resursom // Voprosy radioelektroniki. Ser.: Tekhnika televideniya. 2016. № 3. S. 49-56.
8. Rusanov I.P., Buravlev A.I. Model' ocenki effektivnosti boevyh sistem // Voennaya mysl'. 2009. № 8. S. 39-43.
9. Gusev M.N., Smirnov V.A., Degtyarev V.M. Komp'yuternaya statisticheskaya model' russkogo yazyka // Trudy uchebnyh zavedenij svyazi. 2006. № 174. S. 129-135.
10. Levkin I.M. Kompleksnaya ocenka effektivnosti robototekhnicheskih sistem dobyvaniya i obrabotki informacii // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Priborostroenie. 2017. T. 60. № 2. S. 110-116.
11. Vencel' E.S. Teoriya veroyatnostej. M.: Nauka, 1969. 576 s.
12. Gnedenko B.V., Belyaev Yu.K., Solov'yov A.D. Matematicheskie metody v teorii nadyozhnosti. M.: Nauka, 1965. 524 s.
13. Bazovaya stanciya CBS-400. Rukovodstvo po ekspluatacii. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/8758406/?page (data obrashcheniya: 09.12.2019).
14. Lou A.M., Kel'ton D.V. Imitacionnoe modelirovanie. SPb.: Piter, 2004. 848 s.
15. O vnesenii izmenenij v postanovlenie Pravitel'stva Rossijskoj Federacii ot 1 yanvarya 2002 g. № 1: postanovlenie Pravitel'stva Ros. Federacii ot 7 iyulya 2016 g. № 640. URL: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_201523/ (data obrashcheniya: 09.12.2019).
16. Analitiki nazvali srednij srok sluzhby sovremennyh smartfonov // Digital Word. URL: https://www.dgl.ru/news/analitiki-nazvali-sredniy-srok-slujby-sovremennyh-smartfonov_16138.html. (data obrashcheniya: 09.12.2019).
