CC BY
26
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 66.02:519.711.3
Ф. Г. Ахмадиев, Р. Ф. Гиззятов, И. Т. Назипов
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ КИНЕТИКИ РАЗДЕЛЕНИЯ ЗЕРНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ НА СИТОВЫХ КЛАССИФИКАТОРАХ
Ключевые слова: Кинетическая модель, разделение, зернистый материал, вероятность просеивания.
Рассматривается кинетическая модель разделения зернистых материалов на многоярусном ситовом классификаторе на основе теории случайных процессов и проводится оценка эффективности разделения на ситах. Для построения кинетических соотношений определяется геометрическая вероятность просеивания в зависимости от формы и размеров отверстия сита и частицы разделяемого материала с учетом ее ориентации, вызванную вибрацией.
Keywords: Kinetic model, separation, granular material, the probability of screening.
A kinetic model for the separation of granular materials for multi-tiered sieve classifier based on the theory of random processes and assessed the effectiveness of its division into sieves. For construction kinetic relations defined geometric probability of screening depending on the shape and size of the screen openings and particles shared material with regard to its orientation induced vibration.
Процессы разделения зернистых материалов по различным признакам составляют основу многих технологических производств, например, производства строительных материалов, обогащения полезных ископаемых, сортирования зерна в сельском хозяйстве и т.д., и по своей природе являются стохастическими. Для разделения зернистых материалов на отдельные фракции по размерам часто используют ситовые классификаторы. Процесс разделения на ситах является стохастическим, как в силу вероятностных свойств разделяемых материалов, так и самого процесса разделения в целом. Поэтому расчет подобных процессов без учета случайных факторов будет не полным и в некоторых случаях даже невозможным. Качество разделения и его эффективность зависят от многих факторов. Это ограничивает возможность обобщения результатов исследования конкретного процесса и распространения на общий случай. В связи с этим для описания кинетики процессов разделения зернистых материалов предлагается использовать стохастические методы, в частности, математический аппарат теории марковских процессов [1-5].
Предлагается стохастическая кинетическая модель разделения зернистых материалов по размерам на ситовых классификаторах. Наиболее важным этапом при данном подходе является построение кинетических уравнений. Для этого необходимо установить зависимости между вероятностными характеристиками просеивания частиц в ячейки сита и коэффициентами кинетических уравнений. На основании кинетических уравнений для описания плотности вероятности процесса могут быть построены уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка (К.-Ф.-П.) [1, 3].
Целью работы являются определение вероятности просеивания частицы в ячейку сита в зависимости от геометрических размеров и формы ячейки сита и частиц разделяемого материала, относительной скорости движения частицы по вибрирую-
щей поверхности сита и оценка эффективности разделения на ситах классификатора.
Система кинетических уравнений, описывающая процесс тонкослойной классификации, для разделения зернистого материала от крупного к мелкому, может быть представлена в виде: dn¡ / dt = а1_1 ■ ы1_1 _ а1 ■ N + ■ ^ ^), а0 = 0, i = 1, п, (1) где Ы1 = N (х,^ dj) _ концентрация частиц ] _ ой фракции на единицу длины i - го сита в момент времени t на участке х, аi - вероятностная характеристика просеивания выбранной фракции через i _ е сито в единицу времени, ^ ^) _ дельта - коррелированные во времени случайные функции с нулевым математическим ожиданием, п - количество сит классификатора.
Случайный процесс N рассматривается как диффузионный марковский процесс, и плотность его распределения W¡(Ы^...,N,х,t) удовлетворяет системе уравнений (К. - Ф. - П.) [1,3]:
^=--т)-У—т)+
Qt Я»^ ¡' ^ ^ът у^ ¡>
дх
i+1 i + 1
д2
+1XX-
2 k-1 j-1 дхкдх<
dNk
(BkW), i - ~n
j=1 ~Л■kWЛ■j
где хц = Ык, к = 1,г, х+1 = х, Вц _ коэффициенты диффузии, Vi - средняя скорость вибрационного перемещения материалов вдоль сит.
Коэффициенты кинетических уравнений а1 определяются по зависимости [1]:
а¡ = Ц ■ Р/2а, (2)
где Р - вероятность просеивания частиц в ячейку сита, 2а _ шаг i _ го сита.
Вероятность просеивания частицы в ячейку Р является основным параметром, определяющим процесс разделения, и ее определение представляет
собой весьма трудную задачу. Она зависит от большого количества различных факторов, например, геометрических размеров и формы ячейки сита и частиц разделяемого материала, скорости движения частицы по поверхности сита, неравномерности подачи зернистого материала на поверхность сита, условий стесненности и т.д. В научной литературе, в основном, рассмотрены вычисления вероятности просеивания для частиц круглой формы, для которых удается рассчитать критическую скорость перемещения зернистого материала вдоль сита. Критическая скорость используется для вычисления
критерия Фруда (Я/* = д-г11/2), для определения условий гарантированного провала частицы в ячейку, где г - радиус, v - относительная скорость частицы. Для частиц неправильной формы трудно рассчитать критическое значение угла встречи, с которым связана критическая скорость.
В первом приближении вероятность просеивания можно представить в виде произведения вероятностей двух независимых событий [6]:
Р = Р -Р
I I Г I у ,
где Pг - геометрическая вероятность, зависящая от геометрических размеров и формы ячейки сита и частиц разделяемого материала и Pv - вероятность, зависящая от скорости движения частицы по вибрирующей поверхности сита.
Для определения геометрической вероятности просеивания в зависимости от размеров и формы частицы и ячейки сита, рассмотрим следующую задачу. В ячейку прямоугольной формы размерами 2a х 2Ь , внутри которого помещен круг диаметра D, наудачу попадает прямоугольник размерами l х d, где l и d - наибольшие значения, соответственно, поперечного и продольного размеров частицы, Б < 2a и Б < 2Ь . Необходимо определить вероятность того, что при параллельном переносе прямоугольника в направлении некоторого вектора
V, его половина могла бы оказаться внутри круга. Тогда под действием собственного веса частица провалится в отверстие ячейки. Схема расположения фигур приводится на рис.1.
Рис. 1 - Схема ячейки сита
Обозначим в угол наклона одной из сторон «наудачу упавшего» прямоугольника к направлению оси, совмещенной с направлением параллельного переноса, а р - отклонение центра прямоугольника от оси. Пусть условия опыта таковы, что случайная величина в равномерно распределена на отрезке [0, я], а случайная величина р - на отрезке [-Ь,Ь], причем в и р независимы. Очевидно, геометрические размеры связаны условием к < 1, где
к =у1 /2 / 4 + с/2 IО . Параллельный перенос прямоугольника можно учитывать некоторым параметром т , т е[-з,з]. Тогда координаты вершин интересующей нас половины частицы, которая на рис.1 обозначена прямоугольником А1А2АА4, можно записать следующим образом (табл.1):
Таблица 1 - Координаты вершин прямоугольника а1а2 а3 а4
Вершины Координаты X и У
А1 Х = т + d - 8шв/2
у1 = р-d - С0Бв/2
А2 Х2 = т-d -Бтв/2
у2 = р + d - С08в/2
Аз Х3 = т - d - 8тв/2 -1 - С0Бв/2
уз = р + d -С08в/2 -1 -Бтв/2
А4 Х4 = т + d - 8шв/2 -1 - С0Бв/2
у4 = р- d - С08в/2 -1 - Бтв/2
Для того чтобы установить вероятность попадания половины прямоугольника в круг, необходимо определить некоторое его оптимальное расположение по отношению к кругу, которое позволит установить возможность попадания интересующей нас части прямоугольника внутрь круга. Сформулируем эту задачу в следующем виде: Др(в) = тах Др(в,т),
т
при условиях: 0 < в < я, х2 + у2 < Б2/4,1 = 1~4 , где Др(в, т) = р(в,т) - Р2 (в, т); р(в,т), р2(в,т) -максимальное и минимальное значения параметра р для фиксированного значения в с учетом попадания половины прямоугольника с координатами вершин из табл.1 внутрь круга.
С учетом симметрии значение в можно рассматривать в диапазоне [о, я/2]. Тогда интересующую нас вероятность можно вычислить по формуле:
я/2
Рг = |Др(в^в/(я- Ь) (3)
о
Решение задачи оптимизации приводит к тому, что с учетом табл.1 оптимальное значение параметра т = I -С0Бв/4. Таким образом, оптимальное расположение половинки достигается, когда ее центр (точка пересечения диагоналей) оказывается на вертикальной оси, проходящей через центр круга.
В табл.2 приводятся координаты вершин половинки при оптимальном ее расположении:
Таблица 2 - Координаты вершин прямоугольника А1А2А3А4 при его оптимальном расположении
Вершины Координаты X и У
А1 х1 = 1 ■ соБвМ + ё ■ Бтв/2
у1 = р-ё ■ соБв/2
А2 х2 = 1 ■ соБв/4 - ё ■ Бтв/2
у2 = р + ё ■ соБв/2
А3 х3 = -1 ■ соБв/4 - ё ■ Бтв/2
у3 = р + ё ■ соБв/2 -1 ■ Бтв/2
А4 х4 =-1 ■ соБв/4 + ё ■ Бтв/2
у4 = р-ё ■ соБв/2 -1 ■ Бтв/2
Нетрудно убедиться, площадь прямоугольника А1А2А3А4равна £ = I х ё/2, т.е. половине площади наудачу брошенного прямоугольника. Следует отметить, что такой же результат можно получить, если оптимальное значение параметра т определить 4
из условия: ^ х, = 0 . Это также означает, что сумма
1=1
квадратов отклонений вершин половинки от центра круга является минимальной.
Тогда определение геометрической вероятности по формуле (3) с учетом оптимального значения т сводится к вычислению эллиптического интеграла:
0
где tgф = I / 2ё .
На рис.2 приводится график зависимости величины Ар от параметра в.
АР, мм 9, рад
1 ^^оГб 1 1,5 2 2.5 3
Рис. 2 - Зависимость Ар от параметра в: 1 -верхняя, 2 - нижняя границы изменения значений при Б = 3 мм, I х ё = 3,6 х 1 мм
В зависимости от размеров и формы частиц случайные величины р ив могут подчиняться различным законам распределения, которые могут быть найдены выравниванием по результатам наблюдений. Границы изменения угла в в < в < в2) зависят от многих факторов, в частности, значения в1 и в2 зависят от геометрических размеров и формы частиц, учитывают ориентацию частиц на плоскости, вызванную вибрацией. Под ориентацией час-
тицы на плоскости понимается ее положение по отношению к направлению движения в зависимости от ее размеров и формы, а также и от других факторов, которые заставляют частицу принимать такое положение.
Результаты расчетов вероятностей, когда половина прямоугольника размерами I х ё может оказаться внутри круга диаметра Б , приводятся на рис.3. Вероятности определяются в зависимости от параметра Б /1 и коэффициента формы частицы к/ = ё /1 (0 < к/ < 1). Вычисления проводились для случая, когда параметры р и в имеют равномерное распределение в заданных интерва-
Рис. 3 - Зависимость вероятности Р0 попадания половины прямоугольника размерами I х ё в круг диаметра Б от параметра Б /1 и коэффициента формы к/: 1 - к/ = 0.3 ; 2 - к/ = 0.5 ; 3 -
к/ = 0.7
Таким образом, зная геометрические размеры и форму ячейки сита, также коэффициент формы частицы, можно определить геометрическую вероятность просеивания частицы в ячейку 2а х 2Ь по формуле: Рг = Р0 ■ Б /2Ь , где Р0 - вероятность попадания половины прямоугольника размерами I х ё в круг диаметра Б . Результатами расчетов, представленными на рис.3, следует пользоваться следующим образом. Например, выбрана ячейка сита размерами 3,2 х 3,2 мм с круглым отверстием диаметра Б = 2 мм. Экспериментально установлено значение коэффициента формы, например, к/ = ё /1 = 0,5. Тогда для частицы с линейным размером I = 2,2 мм по горизонтальной оси рис.3 определяется значение Б /1 = 0,909 и по вертикальной оси - значение Р0 = 0,241. Значение геометрической вероятности равно Рг (2,2) = 0,150 .
Относительная скорость частицы в момент отрыва от кромки отверстия ячейки сита рассматривается как нормально распределенная случайная величина и вероятность того, что она может принимать значения от нуля до некоторого значения У1, равна:
Р{0 <¥ < ¥1}=ФЩ-Ук)/а) + Ф(^ /а), где Ук ,а- параметры нормального закона, Ф(х) - функция Лапласа:
1 х
Ф(х) = -= Г ехр(-2 /2ё
Тогда вероятность просеивания частицы в ячейку в зависимости от относительной скорости движения с учетом условия Р^, = 0,5 при Va = Vk можно определять следующим образом: Pv = 0,5 -Ф((уа - Vk)/а), где Va - амплитуда скорости частицы относительно сита.
Так по формуле (2) определяются коэффициенты кинетических уравнений (1). Параметры Vkопределяются в процессе идентификации построенных моделей. Решение системы кинетических уравнений (1) приводится в работе [1]. Используя непросеянные остатки с сит, сравниваются экспериментальные значения коэффициентов извлечения или эффективности разделения с расчетными.
Извлечение у - ой фракции с ' - го сита определяется по формуле:
Г = ехр(-а/ -Ц/Vi), ' = 1,п, у = /',/' +1, где у =' - крупная (сходовая) фракция, у = ' +1 -
следующая по крупности (проходовая) фракция с учетом разделения зернистого материала от крупного к мелкому.
Эффективность разделения на ' - м сите определяется по зависимости:
Ег = г' (1 - /+1) х 100%,' = Щ где гГ+1 - сходовая доля мелкой фракции в крупной, которая для ' - й фракции рассматривается как доля примесей в целевом продукте.
Результаты расчетов коэффициентов извлечения и эффективности разделения, представленные на рис.4 и на рис.5, показывают, что для выбранных значений геометрических параметров, зная требования на конечные продукты разделения, можно подобрать параметры скоростного режима, т.е. значения параметров а,ю,а,р, при которых эффективность будет принимать максимальное значение.
1 - 0.8 -o.e. - 0.4 - 0.2 - f
0,3 ii t),.'
Рис. 5 - Зависимость эффективности разделения от относительной скорости при Ь = 1,44 м ; Б = 2 мм ; 2а х 2Ь = 3,2 х 3,2 мм ; 1 — I = 3,5 мм; d = 1,5 мм ; 2 — I = 3,0 мм; d = 1,5 мм
Таким образом, для установления оптимальных параметров классификатора можно поставить задачу оптимизации в многокритериальной постановке, а в качестве одного из критериев можно рассмотреть эффективность разделения.
Литература
1. Ахмадиев Ф.Г., Гиззятов Р.Ф., Киямов Х.Г. Математическое моделирование процесса тонкослойного разделения зернистых материалов по размерам на ситовых клас-сификаторах//Теоретические основы хим. технологии, 2013, Т.47, №3, С.309-317.
2. Непомнящий Е.А. Кинетика некоторых процессов переработки дисперсных материалов// Теоретические основы хим. технологии, 1973, Т.7, №5, С.754-763.
3. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения. Т.2. Когерентные явления в стохастических динамических системах. - М.: Физматлит, 2008. - 344 с.
4. Иванова Г.И., Николаев А.Н., Нуртдинов Н.М., Вахитов М.Р. Сепарация частиц высушенного продукта в рабочей зоне вихревой сушилки-мельницы // Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 2014, Т.17, №21, С. 278-281.
5. Старшов И.М. , Старшов М.И. , Харлампиди Х.Э. Двухпоточный гравитационный пневматический классификатор сыпучих смесей // Вестник Казан. технол. ун-та, 2009, №5, С. 239-243.
6. Гортинский В.В., Демский А.Б., Борискин М.А. Процессы сепарирования на зерноперерабатывающих предприятиях. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Колос, 1980. - 304 с.
Рис. 4 - Зависимость коэффициента извлечения от относительной скорости при Ь = 1,44 м ;
Б = 2 мм ; 2а х 2Ь = 3,2 х 3,2 мм ; 1 -
I = 3,5 мм; d = 1,5 мм ; 2 - I = 3,0 мм; d = 1,5 мм
© Ф. Г. Ахмадиев - д.т.н., проф., зав. каф. прикладной математики Института транспортных сооружений КГАСУ, akhmadiev@ksaba.ru; Р. Ф. Гиззятов - к.т.н., доцент той же кафедры, renatgrf@mail.ru; И. Т. Назипов - старший преподаватель той же кафедры, nilshat@inbox.ru.
© F. G. Akhmadiev - Doctor of Technical Sciences, Professor, head of the Department of Applied mathematics Institute of transport facilities, Kazan State University of Architecture and Engineering, akhmadiev@ksaba.ru; R. F. Gizzyatov - Candidate of Technical Sciences, associate professor of the Department of Applied mathematics Institute of transport facilities, Kazan State University of Architecture and Engineering, renatgrf@mail.ru; I. T. Nazipov - Senior Lecturer of the Department of Applied Mathematics Institute of transport facilities, Kazan State University of Architecture and Engineering, nilshat@inbox.ru.
