Вероятностная модель долговечности трубопроводной арматуры Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 658.58:681.518.22

М. И. Панченко, асп., (4872) 35-18-87, рапсИепко m87@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ТРУБОПРОВОДНОЙ АРМАТУРЫ

Представлена вероятностная модель долговечности трубопроводной арматуры, позволяющая найти взаимосвязи между рабочим временем, режимом эксплуатации трубопроводной арматуры, ресурсом и сроком службы.

Ключевые слова: долговечность, трубопроводная арматура, ресурс, срок службы, вероятностная модель, статистическое моделирование.

Повышение надежности машин, оборудования и приборов относится к числу приоритетных направлений развития техники и технологии на ближайшие десятилетия. Важнейшее свойство, характеризующее надежность технических объектов, в том числе и трубопроводной арматуры, -долговечность, определяемая сроком службы и ресурсом. Практическое значение проблемы ресурса и срока службы трубопроводной арматуры весьма велико. Хотя при современных темпах научно-технического прогресса моральное старение машин происходит быстрее, чем раньше, в сфере трубопроводного транспорта фактический ресурс и срок службы еще не достигли оптимальных с экономической точки зрения значений.

Разработчиком в конструкторской или эксплуатационной документации указывается нормативный (назначенный) срок службы трубопроводной арматуры. Он представляет собой не что иное, как минимально допускаемый срок эксплуатации трубопроводной арматуры, в течение которого она не должна достигать своего предельного состояния. При этом достижение трубопроводной арматурой нормативного срока не означает, что она достигла предельного состояния и должна быть снята с эксплуатации. Поэтому кроме установления нормативных сроков службы трубопроводной арматуры при изготовлении или после различных видов ремонта необходимо оценивать остаточный срок службы в период времени после нормативного срока службы. Поэтому особый интерес представляет проблема прогнозирования индивидуального ресурса и срока службы трубопроводной арматуры по результатам наблюдений за ее состоянием в процессе эксплуатации.

Для решения данной задачи разработана вероятностная модель рабочего процесса трубопроводной арматуры, позволяющая найти взаимосвязи между рабочим временем, режимом эксплуатации трубопроводной арматуры, ресурсом и сроком службы.

Согласно ГОСТ 27.002-89 [1] ресурсом называют суммарную наработку объекта от начала его эксплуатации или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние. Наработка - это продолжительность или объем работы объекта. Наработка может измеряться в различных единицах в зависимости от типа объекта и выполняемой им работы. Наработка трубопроводной арматуры измеряется числом выполненных циклов «открыто-закрыто» и временем, в течение которого через трубопроводную арматуру проходит рабочая среда. Связь между наработкой и рабочим временем в общем случае неоднозначна, поэтому были рассмотрены различные частные случаи такой связи, при представлении рабочего процесса трубопроводной арматуры альтернирующим процессом, марковским альтернирующим процессом, полумарковским процессом, циклическим полумарковским процессом, полумарковским процессом со случайными переходами. Так как в общем случае при описании рабочего процесса трубопроводной арматуры простых аналитических решений получить не удалось, для разработки вероятностной модели долговечности трубопроводной арматуры был использован метод статистического моделирования [2, 3].

Метод статистического моделирования позволяет с достаточной для практики точностью рассчитать необходимые показатели рабочего процесса практически любой сложности, не используя сложный математический аппарат. Идея метода статистического моделирования состоит в следующем. На ЭВМ многократно моделируется случайный процесс ), где ц(?)

- интенсивность эксплуатации трубопроводной арматуры в момент времени ?, то есть ц($) - это число единиц наработки за единицу рабочего времени. Для каждой 7-й реализации процесса (?) вычисляется наработка за время Т

Т

07 Т Ы (* №.

о

В результате получаем выборку возможных значений наработки 0{Т), то есть Gl,02,...,Ом, где М - число реализаций процесса ). Статистическая обработка полученной выборки позволяет оценить все необходимые показатели наработки 0{Т) как случайной величины по следующим зависимостям:

_ 1 м

0{Т ) = — ^ О 7 - средняя наработка;

М 7=1

% (Т )=^ X О 2 - (О (т ))2 - дисперсия наработки;

М 7=1

^ Т ) = л/ Do {Т ) - среднее квадратичное отклонение наработки;

(т ^

Ko = —} , - коэффициент вариации наработки.

0 (Т)

Гамма-процентная наработка Оу определяется следующим образом. Если О®,0(2),...,0М) - упорядоченная по возрастанию выборка реализаций с(т ), ТО

где к =

У

100

1

Gy * G (к),

• M, округленное до целого значения.

(1)

В качестве плотности распределения наработки в этом случае может использоваться гистограмма, построенная по выборке после группирования реализаций выборки по интервалам с использованием стандартной методики математической статистики, например [4].

Если время Т до достижения заданной наработки О имеет показательное распределение, то есть

fi (t )= =

^exp Ti

Ti

то формула для генерации имеет вид

Ti = -Ti \n( random), где random - функция, выдающая при каждом обращении случайное число, равномерно распределенное в интервале от 0 до 1. В различных алгоритмических языках обычно имеется соответствующая встроенная функция для генерации случайных чисел. В Фортране это randu, в Паскаль это random. В дальнейшем будем ориентироваться на алгоритмический язык Турбо Паскаль [5].

В случае, если Ti распределено по закону Вейбулла [6, 7], то есть

fi (t):

а

Р

exp

где а и р - параметры распределения, то

Ti = р •[- \n (random )]^а.

Если Ti подчиняется гамма-рапределению, то есть

fi (t):

а-1

рГ(а)

• exp

t

Р

где а и р - параметры распределения, то для моделирования используется алгоритм Йонка [2].

1

Моделирование переходов между состояниями выполняется следующим образом. Если процесс находится в состоянии I, то очередное состояние 7 наступит после окончания времени пребывания Т с вероятностью Ру. Для этого разыгрывается дискретная случайная величина 7, которая принимает это значение с вероятностью Рц.

Случайная величина 7 - индекс следующего состояния, принимает значения 0, 1, 2,..., N с вероятностями р^, Рц,..., рN. Причем выполняется условие нормировки вероятностей, то есть

Ро + Рй +... + РiN =1.

При моделировании дискретной случайной величины исходят из стандартной случайной величины у=гапйот, равномерно распределенной в интервале 0.1,0.

Алгоритм преобразования стандартного непрерывно распределенного псевдослучайного числа в дискретно распределенное число 7 состоит из следующих шагов:

1) генерируется стандартное число у;

2) определяется номер поддиапазона7, в который попадает число у;

3) это число и есть следующее состояние процесса.

Номер поддиапазона определяется в цикле. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 1.

Невозможность перехода из i в i обеспечивается тем, что рц = 0 . То же самое относится и к тем состояниям 7, для которых Р7 = 0.

Особенность статистического моделирования состоит в том, что при этом моделируется действие фактора случайности в рабочем процессе трубопроводной арматуры. Например, в полумарковском процессе случайны времена пребывания процесса в своих состояниях и случайны переходы между состояниями.

Чтобы моделировать время пребывания в некотором состоянии Т нужно знать закон распределения этого времени. Например, если Т распределено равномерно в интервале от ^ до 12, то есть

0, при Т < ^

1

/і (*):

, при ґх < Ті < Ї2,

і2 - Ч

0, при Ті > Ґ2

то

Ті = + (і2 - )• гап^ш .

Рис. 1. Блок-схема подпрограммы-функции, генерирующей при каждом обращении номер следующего состояния у

Полная блок-схема алгоритма расчета наработки за заданное время представлена на рис. 2.

В качестве исходных данных используются: Т - плановый период,

- матрица вероятностей переходов, N +1 - число состояний, д^ - интенсивности наработки для всех состояний, Т\ - средние времена пребывания, КI - коэффициенты вариации, у - гамма-процент, М - число реализаций процесса. Ввод исходных данных выполняется в блоке 1.

В блоке 2 обнуляются собираемые за время наблюдения статистики: О - суммарная наработка за время М • Т, ? - текущее время реализации. 02 - сумма квадратов наработок по реализациям. - суммарная на-

работка за время пребывания процесса в I -м состоянии. Т^| - суммарное

время пребывания в I -м состоянии, I - номер текущего состояния, At -превышение времени пребывания в текущем состоянии при окончании реализации.

В начале первой реализации At = 0, а в конце реализаций рассчитывается в блоке 12. Соответственно моделирование начинается с состояния

I = 0.

Что бы сгладить влияние начального состояния на результаты расчета, каждая новая реализация начинается с последнего состояния предыдущей реализации.

С

Narabotka

♦

Т, Ру, N. qi, К„ д, М

т.

г 2-----

G=0, t=0, G2=0, Gi=0, Т3і=0, і=О...Ш

г3-

Т

С

і=0, Ек=0, і=0 4 І

і=1..ж

г5-

G=0, t=0

гб-

Т

с=с+а%, а, а, Ек*с[і

Накопление

статистик!

ие

НК

Г 11----------

G=G+T*qI, Gi=Gi+T*qi, Тз, Т3, Т, (1, (1, Т,*а,

13—і---------

в, /Л, (]д. 1>„ Ра

14-

с

О, /)((їд, Ръ Роь (':■./ 1-М ~Г~

End

)

7___р

J |даъ

_______І06

Пета

ІНа>

|сос

Ввод исходных данных

Обнуление

статистик

П 7 1 р i=Gensost(i, N Pij)

8 ♦

Ti=VrePreb(Ti, К)

о Ф

t=t+Ti

Начальное

состояние

Цикл по реализациям

Начальные значения для текущей реализации

Учёт остатков от

предыдущей

реализации

Генерация нового состояния

Время пребывания в новом состоянии

Текущее время реализации

Ррс

Треа,

Проверка на конец реализации

г^12 1

Оі 1-Т, ПК] (Т,-Оі)*с],,

а а ск], с,, с,, схі.

а, а, схі, а2 с,2 а/,

Із, Із, ТГСН

Учёт неполного пребывания в состоянии

|Расчёт итоговых | показателей

- \Вывод результатов

Рис. 2. Блок-схема алгоритма расчёта наработки и других показателей

рабочего процесса

1

В блоке 4 организуется цикл по реализациям процесса. В блоке 5 обнуляется статистика по наработке в начале текущей реализации процесса и текущее время.

В блоке 6 учитывается остаточная наработка в последнем состоянии текущей реализации после достижения планового времени ? = T, которая переходит в следующую реализацию.

В блоке 7 генерируется номер нового состояния процесса в соответствии с вероятностями перехода Ру, а в блоке 8 генерируется время пребывания в новом состоянии в соответствии с плотностью распределения в этом состоянии.

В блоке 9 текущее время реализации ? увеличивается на время пребывания в текущем состоянии.

Если это время оказывается больше планового Т, то учитывается наработка за время пребывания в последнем состоянии до момента Т (блок 12). Остаточная наработка в этом состоянии переходит уже в следующую реализацию.

Проверка на завершение текущей реализации проводится в блоке 10, а в блоке 12 дополнительно наращивается статистика О2, которая затем используется для оценки дисперсии наработки за время Т. В конце текущей реализации текущее время ? устанавливается на 0 для следующей реализации.

Если ? < Т, то есть конец текущей реализации не достигнут, то в блоке 11 наращиваются соответствующие статистики на время и наработку в текущем состоянии и выполняется переход к блоку 7 для генерации номера следующего состояния.

После окончания цикла по реализациям в блоке 13 выполняются итоговые расчеты с использованием собранных статистик по формулам:

__ О

О =------средняя наработка за время Т;

М

о2 — 2

Эо =~^ ~ О - дисперсия наработки за время Т;

Ту 1

Г = М Т - веРоятность I "г0 состояния как доля времени пребывания в I -м состоянии;

РО1 = О - доля наработки, полученной в I -м состоянии.

О

Гамма-процентная наработка рассчитывается по формуле (1) с использованием выборки наработок О у, которая предварительно упорядочивается по возрастанию.

В блоке 14 выполняется вывод итоговых показателей, рассчитанных в предыдущем блоке, и выводится выборка реализаций наработок О у, I = 1,..., М.

Аналогичная статистическая модель разработана для расчета затрат времени на заданную наработку. Ее особенность состоит в том, что в качестве исходных данных здесь задается плановая наработка О и соответственно каждая реализация процесса осуществляется до этой наработки. Соответственно и ведется статистика по общим затратам времени Т и по суммарному времени пребывания процесса в своих состояниях Т^;.

В каждой реализации рассчитываются затраты времени Ту, которые образуют выборку размера М , аналогичную выборке О у.

Итоговые показатели рассчитываются с использованием собранных статистик по следующим формулам:

- Т 1

Т = — = —У Ту - средние затраты времени на наработку О;

М М у -1

п Т2 -2

От = ^ - 1 - дисперсия затрат времени, где 12 -статистика квад-

ратов затрат времени по реализациям;

р ТЕI ■

р --------вероятность I -го состояния;

РО1 = ^ - доля наработки, полученной в I -м состоянии.

Затраты времени, фактическое значение которых с вероятностью Р не превышают величины Тр, рассчитываются по упорядоченной выборке

- тО)

реализации 1^ ’, то есть

Т - т )

1 р 1 Э

где к = Р • М - округленное до целого число.

Оценку точности расчетов с использованием разработанной статистической модели произведем для случая определения средней наработки О (?). В качестве меры ошибки используем квадратичное отклонение

оценки О (і) - а =

°О(г)

М

В качестве меры относительной ошибки расчета примем коэффици-

я а 1 лРо(0 ент вариации оценки О (і) - о = ■=— = ,— -^-=--------------.

о (і) 4ы о (г)

Из этой формулы видно, что чтобы уменьшить ошибку расчета в

2 раза, число реализаций процесса М следует увеличить в 4 раза. Соответственно, чтобы уменьшить ошибку расчета в 10 раз (на порядок), число реализаций следует увеличить в 100 раз (на 2 порядка).

Такая медленная сходимость характерна для метода статистического моделирования, в чем заключается его недостаток. Однако указанный недостаток компенсируется все возрастающим быстродействием современных ЭВМ.

Представленная вероятностная модель долговечности трубопроводной арматуры используется в ОАО «Тяжпромарматура» для решения следующих оптимизационных задач: назначение экономически обоснованных плановых ресурсов трубопроводной арматуры, установление нормативного (назначенного) срока службы трубопроводной арматуры, оптимизация режима профилактического обслуживания и восстановления трубопроводной арматуры и др.

Список литературы

1. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения. М.: Госстандарт СССР: Изд-во стандартов, 1990. 29 с.

2. Соболь И. М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1985. 80 с.

3. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1975.

312 с.

4. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1955. 512 с.

5. Фаронов В. В. Турбо Паскаль 7.0. М.: «Нолидж», 2001. 576 с.

6. Иноземцев А. Н., Пасько Н. И. Надежность станков и станочных систем: учеб. пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2002. 181 с.

7. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности М.: Наука, 1987. 336 с.

M. Panchenko

PROBABILISTIC MODEL OF VALVE'S DURABILITY

The probabilistic model of the valve's durability is presented, which allows finding interrelations between operating time, valve's operative conditions, resource and lifetime.

Key words: durability, valve, resource, lifetime, probabilistic model, statistical modeling.

Получено 12.10.10