Вероятностная модель боя многочисленных группировок Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

УДК 519.8

В. Ю. Ч у е в

ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ БОЯ МНОГОЧИСЛЕННЫХ ГРУППИРОВОК

Построена вероятностная модель «плохо организованного» боя, т. е. информация о том, поражены боевые единицы противника или нет, отсутствует. Получены аналитические решения при постоянных эффективных скорострельностях боевых единиц сторон. Установлено, что на ошибки метода динамики средних влияет в первую очередь соотношение сил противоборствующих группировок. Получены формулы для вычисления основных показателей боя.

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: вероятностная модель боя, марковские процессы.

Одной из важнейших характеристик систем вооружения и военной техники являются показатели их боевой эффективности, позволяющие дать количественную оценку степени их приспособленности к решению конкретных боевых задач. При проведении такой оценки необходимо учитывать различные виды противодействия противника, что наиболее полно позволяет создать модели двусторонних боевых действий.

Рассмотрим бой двух группировок. Первая группировка (х) имеет в своем составе М однотипных боевых единиц, вторая сторона (у) имеет в начале боя также N однотипных боевых единиц, не обязательно однородных с единицами первой стороны. Бой происходит следующим образом. Стороны открывают огонь по противнику одновременно и ведут бой до тех пор, пока одна из противоборствующих сторон не будет полностью уничтожена. Результаты стрельбы не наблюдаются, информация о состоянии боевых единиц противника (поражены или нет) отсутствует, поэтому перенос огня с пораженных целей не производится.

В литературе достаточно подробно описана модель динамики средних, отображающая «плохо организованный» бой и обычно называемая уравнениями Ланчестера первого рода. Динамика боя описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

X _ иху

У = *

M (1)

vxy

с начальными условиями:

^ = 0; х(^) = М; у(д = Ы,

где х(^), у(^) — текущие численности сторон, ¿(¿), у(^) — их производные по времени; V = рх1х, и = ру1у — эффективные скорострельности боевых единиц сторон х и у соответственно; рх, ру — вероятности поражения единицы противника одним выстрелом; Ах, Ху — практические скорострельности боевых единиц сторон.

При постоянных эффективных скорострельностях боевых единиц сторон решение системы (1) принимает следующий вид:

х = M-

к2 —1

к2е

yfüv (к-—)t

y = n-

1 — к

yfüv (-—K)t

к

N и

где к = —,/— — параметр соотношения сил, характеризующий сте-M\v

пень превосходства одной из сторон.

Считая, что бой ведется до полного уничтожения одной из сторон, в пределе (при ^ ^ получаем

|х, = М(1 - к2),

1 У, = о

при

к < 1

и

Хк = 0,

1 п р и к > 1.

у, = N (1 - -2) к

Эта модель боя достаточно проста, позволяет учесть влияние на исход боя большого числа факторов. Однако построение модели динамики средних основано на допущении о возможности замены случайных величин в каждый момент боя их средними значениями (математическими ожиданиями). Приемлемость этого допущения в существующей литературе не доказана. Не обоснована также область применимости моделей динамики средних, хотя рекомендуется использовать их для отображения боя многочисленных группировок опять же без строгого математического обоснования.

Рассмотрим стохастическую модель «плохо организованного» боя, построенную на основе теории марковских процессов. Протекание боя опишется следующей системой уравнений:

e

к- (о=MUF1 j о» j=1'...' N

F0(t) = ^(t), / = 1,..., N

J) = - J (Nu+Mv )Fj (t)+jUF+1 j (t)+^F+1(t),

IJU

iJv

MN

M

i+1 j'

N

ij+1 v

i = 1,...,M -1; J = 1,...,N -1, FNn(t) = --h(Nu +Mv)Fn(t) + (t), i = 1,...,M -1

M

M

FMj(t) = -N(Nu +Mv)Fmj (t) + jNVFMj+\(t), J = 1,...,N -1, FMN (t) = -( NU ^^v) FMN (t)

(2)

с начальными условиями:

¿0 = 0; FмN«0) = 1; ^ .(д = 0 при г + . < М + N

где Fj(t) — вероятность того, что в момент времени I сохранилось г единиц стороны х и. единиц стороны у (вероятность состояния г:. в момент времени ¿).

Получены формулы для вычисления окончательных состояний системы при постоянных эффективных скорострельностях боевых единиц сторон (при I ^

N(N +1)...(N + M - 2)(Mv)N(NU)m

Fw(~) =

10 W (M -1)!( Nu + Mv)M+N-

(to) = N(N +1)...(N + M - i -1)(Mv)N (Nu)m г 0 = (M - i)! (Nu + Mv)M+N -

M-10 ^ (Nu + Mv F (~) = (Mv)N

M 0 N

( Nu + Mv )

F ( ) = M(M + 1)...(M + N - 2)(Nu)m(Mv)N-м(ТО) = (N -1)!(nu + Mv)M+N- ,

F _ M(M +1)...(M + N - j -1)(Nu)M(Mv)N-1

Fo j _

F (~) _

1 0, N -1 V J

(N - j)!(Nu + Mv)M+N-1 M 2v ( Nu )M

0,N-1V / i\T.. , 1/„\M+1

(Nu + Mv)

(Nu)N 0 N (") _ f-KT». , Л /„\M .

FoN (~)

(Nu + Mv)л

Одними из важнейших характеристик боя являются математические ожидания относительного количества сохранившихся боевых единиц сторон к концу боя, которые находятся следующим образом:

1 M

M=M s

1 N

My = N S F j (-)•

На рис. 1-4 представлены изменения величины M в зависимости от параметра соотношения сил к для различных соотношений начальных численностей группировок и отражены также значения Mx, полученные согласно модели динамики средних.

Как видно из рис. 1-4, на ошибки метода динамики средних влияет в первую очередь величина параметра соотношения сил к, характеризующего степень превосходства одной из сторон. Так, в случае, когда одна из противоборствующих сторон имеет более чем двукратное превосходство, т. е. к > 2 или к < , при M > 2; N > 2 и

M+N > 5 ошибка А в вычислении Mx и My методом динамики средних не превосходит 0,05. При к= 1 такие же ошибки в вычислении Mx и My достигаются при рассмотрении боев значительно больших по численности группировок: M > 100; N > 100 и M + N > 300. При исследовании боев равных по силам группировок (к = 1) величина А составляет 0,056 для боя 100:100; 0,049 для боев 100:200 и 200:100; 0,062 для боев 50:250 и 250:50.

При рассмотрении модели динамики средних математические ожидания относительных количеств сохранившихся боевых единиц сторон однозначно определяются значением параметра соотношения сил к. При рассмотрении вероятностных моделей боя оказывается, что величины M и M зависят не только от значения к, но и от соотноше-

x y '

ния начальных численностей группировок.

Далее рассмотрим вопрос о сходимости вероятностных моделей к модели динамики средних. Пусть численность первой группировки

Рис. 1. Математические ожидания относительного количества сохранившихся боевых единиц первой стороны к концу боя (М ) при равных начальных численностях сторон (М=N )

Рис. 2. Математические ожидания относительного количества сохранившихся боевых единиц первой стороны к концу боя (Мх) при N = 2М (а) и при М = 2N (б)

б

Рис. 3. Математические ожидания относительного количества сохранившихся боевых единиц первой стороны к концу боя (М ) при N = 5М (а) и при М = (б)

постоянна (M = const), а численность второй группировки неограниченно растет (N^ т. е. рассматривается модель M: Эффективные скорострельности единиц второй стороны будем при этом изменять таким образом, чтобы значение параметра соотношения сил к оставалось постоянным.

Для модели M: ^ получены формулы для вычисления значений Mx и My, которые принимают следующий вид:

M = УСM - j) M,

i=0 1 f

0.5 -

0.5

á

Рис. 4. Математические ожидания относительного количества сохранившихся боевых единиц первой стороны к концу боя (M ) при N = 10M (а) и при M = 10N (á)

к2 -1 + e

-Мк

м - i)м1

к

My =

i=0

i!

к

Как видно из рис. 5, модель M: ^ при M = const не сходится к модели динамики средних. Причиной этого является нарушение одного из условий стохастического детерминизма, так как при значениях к, достаточно близких к единице, каждая из M единиц стороны х является доминирующей по отношению к единицам стороны у. Отметим,

г л/2

что при M $ 5 для значений к > V2 и к расхождения в вычис-

б

Рис. 5. Математические ожидания относительного количества сохранившихся боевых единиц первой стороны (а) и второй стороны (б) к концу боя для модели М: <»

лении величин Мх и Му согласно марковской модели М: ^ и методом динамики средних не превосходят 0,01.

Для вычисления наличия сходимости марковских моделей к модели динамики средних при больших численностях группировок наибольший интерес представляет случай, когда неограниченно растут начальные численности обеих сторон.

Как показали представленные на рис. 1-4 результаты моделирования боев при различных начальных численности группировок и значениях параметра соотношения сил к, наибольшие расхождения появляются при величине к, равной единице, для которой получена приближенная формула для вычисления значений относительного количества сохранившихся боевых единиц сторон к концу боя Мх и Му:

Мх = Му ^ , х у \2nMk (3)

/ N

где к = —. М

Формула (3) при к = 1 позволяет определить значения Мх и Му с высокой точностью при исследовании боя достаточно больших по численности группировок. Так, при М > 5, N > 5 и М + N > 15 данная формула позволяет вычислить при к= 1 значения Мх и Му с точностью до двух знаков после запятой, а при М > 15, N > 15 и М + N > 60 — до трех знаков после запятой.

А поскольку предельные значения Мх и Му.

к +1

lim M = lim M = lim J- = 0

' 2nMk

совпадают со значениями Mx и M которые получаются при описании боя методом динамики средних, можно заключить, что метод динамики средних может быть использован для описания боя группировок, состоящих из большого числа однотипных боевых единиц. Отметим также, что формула (3) может быть использована в качестве верхней границы ошибки метода динамики средних при вычислении значений M и M.

x y

Выводы. Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы.

1. На основе теории марковских процессов разработаны модели боя группировок при отсутствии информации о состоянии боевых единиц противника. Получены аналитические решения для любых начальных численностей группировок при постоянных эффективных скорострельностях боевых единиц сторон.

2. Установлено, что на ошибки метода динамики средних влияет в первую очередь соотношение сил противоборствующих группировок, а не их численности, как это принято считать в существующей литературе. Так, если одна из противоборствующих сторон имеет не менее чем двукратное превосходство, использование метода динамики средних для описания боя малочисленных группировок приводит к незначительным ошибкам в вычислении его основных показателей.

3. Для различных значений параметра соотношения сил к получены формулы, позволяющие вычислить предельное значение математических ожиданий относительно количества сохранившихся боевых единиц сторон Mx и My в случае, когда начальная численность одной из группировок неограниченно возрастает, а численность другой оста-

ется постоянной. Для описания боя равных по боевому могуществу группировок (к= 1) получена приближенная формула для нахождения значений величин М и М.

X у

4. Установлено, что метод динамики средних может быть использован для описания боя больших по численности группировок, что не приводит к сколь существенным ошибкам в вычислении его основных показателей. Получена верхняя оценка ошибок в вычислении величин Мх и Му при моделировании боя методом динамики средних.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В е н т ц е л ь Е. С. Исследование операций. - М.: УРСС, 2006.

2. Т к а ч е н к о П. Н. Математические модели боевых действий. - М.:Изд-во: Советское радио, 1969. - 240 с.

3. А л е к с е е в О. Г., А н и с и м о в В. Г., А н и с и м о в Е. Г. Марковские модели боя. - М.: Министерство обороны СССР, 1985 г. - 85 с.

4. Чу е в Ю. В. Исследование операций в военном деле. - М.: Воениздат, 1970.

5. Т е р е н т ь е в С. В. Система имитации крупномасштабного военного конфликта. - М.: ВЦ АН СССР, 1991.

Статья поступила в редакцию 27.10.2011.

Чуев Василий Юрьевич родился в 1953 г. Окончил механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова в 1976 г. Кандидат технических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 20 научных работ в области прикладной математики.