CC BY
62
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Верификация модели взаимодействия ультразвуковой колебательной
системы с тканями пародонта
# 01, январь 2014
Б01: 10.7463/0114.0640462
Карпухин В.А., Вишнева Н.В.
УДК 617-7
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана vak@mx.bmstu.ru wjlatan@ya.ru
Введение
Лечение воспалительных заболеваний пародонта остается одной из актуальных проблем современной стоматологии. По данным ВОЗ, распространенность болезней пародонта в возрасте 35-40 лет составляет 90-95%, а у детей 30-80%. Особенность заболеваний пародонта состоит в том, что они, как правило, протекают практически бессимптомно, поэтому пациенты обращаются за помощью на поздней стадии заболевания, когда из-за длительного наличия гнойно-воспалительного очага в организме обостряются хронические заболевания, либо развиваются такие заболевания как ревматоидный артрит, атеросклероз, инфекционный эндокардит и гастрит.
Эффективность ультразвука при лечении различных заболеваний пародонта подтверждена многочисленными клиническими исследованиями [1-5]:
- нормализация индекса кровоточивости, папиллярно-маргинально-альвеолярного индекса, уровней провоспалительного цитокина ИЛ-8 и ИЛ-4, показателей локального иммунитета происходит в среднем на 3-5 дней быстрее, чем при использовании традиционных методов лечения;
- формируются типичные контакты между эпителиальными клетками, как это имеет место в норме, структура органоидов митохондрий, лизосом не нарушается;
- устраняется такой симптом, как гиперестезия твердых тканей зуба, который часто сопровождает пародонтит.
Несмотря на то, что клиническое использование ультразвуковых методов расширилось: теперь их применяют для прохождения каналов, удаления обструкций, установки опорных
штифтов, - широкое внедрение данных методов в медицинскую практику сдерживается в связи с отсутствием современной высокоэффективной аппаратуры.
Эффективность лечебного ультразвукового воздействия определяется, прежде всего, акустической мощностью, поглощаемой обрабатываемыми биологическими тканями (БТ), которая, в свою очередь, зависит от амплитуды механических колебаний рабочей части ультразвуковой колебательной системы (УЗКС) и акустического импеданса БТ.
В работах [6-7] была показана взаимосвязь акустической мощности, потребляемой пьезоэлектрическим электроакустическим преобразователем (ПЭАП), с электрическим адмиттансом системы УЗКС ПАЭП - БТ. Методика расчета значений электрического адмиттанса для модели в среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ с учетом геометрии и акустических характеристик УЗКС и БТ была рассмотрена в работе [8].
Целью данной работы является верификация модели взаимодействия УЗКС ПЭАП с БТ в среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ и УЗКС, взятой за основу для моделирования, вблизи частоты механического резонанса системы.
Материалы и методы
Согласно методике [8] в среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ была разработана модель взаимодействия УЗКС с БТ. В качестве модели для исследования была принята низкочастотная УЗКС, созданная Квашниным С.Е. (МГТУ им. Н.Э. Баумана) в рамках разработки многофункционального ультразвукового аппарата для стоматологии.
В основе модели, исследуемой в среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ, лежит представление УЗКС как геометрически простых элементов - цилиндров и конусов. Габаритные размеры элементов были определены расчетом параметров с учетом сохранения длин и объемов каждого из элементов моделируемой УЗКС. Габаритные размеры системы составляют: длина 203 мм, диаметр - 14 мм; ПЭАП - два цилиндра высотой 3 мм и диаметром 14 мм каждый; элемент УЗКС до ПЭАП -цилиндр высотой 25 мм и диаметром 14 мм; элемент УЗКС после ПЭАП - цилиндр высотой 55 мм и диаметром 14 мм; волновод-инструмент - конус высотой 113 мм, диаметром основания 14 мм и уклоном 3°.
Габаритные размеры БТ были определены исходя из средних размеров нижней челюсти человека, и так же приведены к цилиндру высотой 55 мм и диаметром 95 мм.
Для материалов УЗКС и БТ было принято допущение изотропии и линейной упругости материалов: каждому элементу разработанной системы взаимодействия был присвоен материал из библиотеки среды, значения параметров которого максимально советуют параметрам материала
моделируемой УЗКС и БТ. В качестве параметров, значения которых сравнивались, были приняты параметры, входящие в расчетные соотношения - уравнения колебаний, уравнения квазиэлектростатики и пьезоэффекта (плотность, модуль Юнга, коэффициент Пуассона, относительная диэлектрическая проницаемость, матрица эластичности, матрица вязкости): ПЭАП - ЦТБС-8 (PZT-8); элемент УЗКС до ПЭАП - сталь 40ХН2МА (AISI 4340); элемент УЗКС после ПЭАП - алюминий Д16Т; волновод-инструмент - титан ВТ-5. В качестве материалов модели БТ были рассмотрены материалы аналогичные по указанным параметрам мягким тканям ротовой полости - глицерин, и костным тканям - титан.
Так же были установлены начальные и граничные условия: торцы элементов - Free (усилие равно нулю) или Continuity (перемещение торца последующего элемента равно перемещению свободного торца предыдущего); цилиндрические поверхности - Symmetry (симметричность движения относительно осей симметрии); на внешних торцах ПЭАП -ElectricPotential (электрический потенциал) значением 15 В; на внутренних торцах ПЭАП - Ground (заземление).
Для верификации разработанной в среде COMSOL Multiphysics модели были проведены вычислительный и практический эксперименты.
Для УЗКС, взятой за основу для моделирования, был проведен практический эксперимент в ненагруженной и нагруженном состояниях. Полученные значения собственных резонансных частот продольных колебаний и рассчитанные значения электрического адмиттанса были сравнены со значениями, полученными в среде COMSOL Multiphysics для обоих состояний УЗКС. В качестве модели БТ в среде был рассмотрен однородный изотропный линейно-упругий эквивалент мягкой ткани - глицерин. В качестве нагрузки для УЗКС, взятой за основу для моделирования, был принят глицерин, габаритные размеры которого соответствовали модели БТ, реализованной в среде (цилиндр высотой 55 мм и диаметром 95 мм).
Для УЗКС, принятой за основу для моделирования, также были проведены практические исследования влияния толщины нагрузки (глицерина) на значения собственных резонансных частот продольных колебаний и электрического адмиттанса системы. Полученные значения были сравнены со значениями, полученными в среде COMSOL Multiphysics. В вычислительном и практическом экспериментах толщина нагрузки в виде цилиндра диаметром 95 мм изменялась в диапазоне от 10 до 95 мм, с шагом 5 мм.
Также была проведена оценка влияния шага сетки, используемой при расчете в среде COMSOL Multiphysics, на полученные результаты.
Схема экспериментального стенда приведена на рисунке (рисунок 1).
Рисунок 1 - Схема экспериментального стенда
В ходе практического эксперимента цифровым осциллографом фирмы RIGOL марки DS1102CD регистрировались значения частоты и амплитуды сигнала напряжения, подаваемого на ПЭАП УЗКС, напряжения, падающего на резистор-измеритель марки 5W10RJ (погрешность измерения частоты не более 1 %, погрешность измерения амплитуды напряжения не более 5 %). Расчет модуля электрического адмиттанса системы был произведен по формуле
Аи2
I Y I =
I * эксп 1
Кизм • Ащ
где |7ЭКСП| - модуль электрического адмиттанса системы взаимодействия УЗКС, взятой за основу для моделирования, и нагрузки в виде глицерина, габаритные размеры которой соответствуют размерам моделируемой БТ; Аи1 - амплитуда сигнала напряжения Ш, подаваемого на ПЭАП (Ащ=15 В ± 5 %, частота сигнала напряжения/и1 изменялась в диапазоне от 16 до 32 кГц, форма сигнала синусоидальная); Аи2 - амплитуда сигнала напряжения Ц2, падающего на резистор-измеритель марки 5W10RJ; Яизм - резистор-измеритель марки 5W10RJ (номинальное значение Яизм 10 Ом ± 5 %).
Относительная погрешность экспериментальных значений электрического адмиттанса системы была определена по формуле
8у = 5щ + 8и2 ,
где ёу - относительная погрешность рассчитанного экспериментального значения электрического адмиттанса системы; ёщ, ¿т - относительная погрешность измерения амплитуды сигналов
напряжения (инструментальная погрешность осциллографа).
Так же для экспериментальных данных было рассчитано значение стандартного отклонения:
1 п
—1 — хф)2 • ¿=1
Здесь ^ - стандартное отклонение, хгр - значение параметра, полученное в ходе практического эксперимента, ~ХгР - среднее арифметическое значение выборки экспериментальных значений, п -объем выборки.
В качестве численной оценки соответствия значений собственной резонансной частоты продольных колебаний и электрического адмиттанса разработанной в среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ модели и УЗКС, взятой за основу для моделирования, была использована относительная погрешность, которая рассчитывалась по формуле
п
^ _ 1 V — Щр
ср X; '
¿ = 1 '
где ¿ср - средняя относительная погрешность, хг - значение параметра для модели в среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ, Хр - значение параметра, полученное в ходе вычислительного или практического эксперимента, п - объем выборки.
В качестве критерия оценки влияния шага сетки на погрешность расчета значений собственных резонансных частот продольных колебаний и электрического адмиттанса было принято отношение шага сетки к минимальной площади поперечного сечения модели, реализованной в среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ: площади пятна контакта УЗКС с БТ.
к _ р
^тт
где к - критерий, р - шаг сетки в среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ, 8тгп - минимальная площадь поперечного сечения модели в среде.
Результаты
Для оценки адекватности разработанной модели были проведены практические эксперименты: для УЗКС, взятой за основу для моделирования, в нагруженном и ненагруженном состояниях были построены графики зависимости электрического адмиттанса от частоты сигнала напряжения, приложенного к ПЭАП. В среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ были построены зависимости электрического адмиттанса системы от частоты для аналогичных моделей при расчете на вынужденные колебания. Анализ полученных результатов представлен на рисунке 2, рисунке 3 и в таблице 1.
http://technomag.bmstu.ru/doc/640462.html 74
Таблица 1 - Результаты практического эксперимента и расчета в среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ
Первая мода резонансной частоты продольных колебаний, кГц
УЗКС, принятая в качестве модели Стандартное отклонение частоты Модели УЗКС в среде COMSOL Multiphysics (шаг сетки Finer) Средняя относительная погрешность, %
В ненагруженном состоянии 26,63 0,03 26,58 0,36
В нагруженном состоянии 26,50 0,03 26,52 0,23
Модуль электрического адмиттанса системы, мСм
УЗКС, принятая в качестве модели Стандартное отклонение частоты Модели УЗКС в среде COMSOL Multiphysics (шаг сетки Finer) Средняя относительная погрешность, %
В ненагруженном состоянии 0,81 0,04 0,86 1,42
В нагруженном состоянии 0,62 0,02 0,62 2,47
В нагруженных состояниях данные приведены для слоя гиценина толщиной 55 мм, диаметром 95 мм
Для УЗКС, принятой в качестве модели, и модели УЗКС в среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ были получены зависимости значений собственной резонансной частоты продольных колебаний и электрического адмиттанса системы от толщины нагрузки (диапазон изменения от 10 до 95 мм),
представленной глицерином в форме цилиндра диаметром 95 мм (рисунок 3, 5). Расчет в среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ был произведен с использование различных шагов сетки (таблица 2).
Таблица 2 - Результаты расчета в среде СОМБОЬ МиШрЬувюБ на различных сетках
Шаг сетки Extra Fine Шаг сетки Finer Шаг сетки Fine шаг сетки Normal
Критерий к, мм"1 0,14 0,30 0,76 1,72
Размер элемента сетки, мм 0,38 0,81 2,03 4,59
Погрешность расчета значенеий, % 0,30 0,40 0,50 0,60
Значение собственной резонансной частоты продольных колебаний УЗКС в ненагруженном состоянии, кГц 26,54 26,58 26,66 26,69
Значение собственной резонансной частоты продольных колебаний УЗКС в нагруженном состоянии БТ диаметром 95 мм, толщиной 55 мм, кГц 26,35 26,52 26,57 26,44
Средняя относительная погрешность значений собственной резонансной частоты продольных колебаний, % 0,57 0,13 0,33 0,34
Значение электрического адмиттанса УЗКС в ненагруженном состоянии, кГц 0,79 0,86 0,91 0,84
Значение электрического адмиттанса УЗКС в нагруженном состоянии БТ диаметром 95 мм, толщиной 55 мм, кГц 0,52 0,62 0,63 0,53
Средняя относительная погрешность значений электрического адмиттанса, % 11,47 4,04 7,75 8,61
1 - УЗКС, принятая за основу для моделирования (среднее арифметическое значение выборки, n = 6); 2 - диапазон относительной погрешности для экспериментальных значений адмиттанса УЗКС; 3 - модель УЗКС в среде COMSOL Multiphysics (шаг сетки Finer) Рисунок 2 - Зависимость электрического адмиттанса УЗКС в ненагруженном состоянии от частоты
Л
0,7"
S 2
(П О
о 2 ■_
0 г-" и <
1 1= В-о
ф СП
ц >
о
л
5.
о
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
i
1\ 3 т 1 ■
Ту г 1 ■
а 1
26,50 а/ 26,52
24,0 25,0 26,0 27,0 28,0
Частота сигнала напряжения, приложенного к ПЭАП, кГц
29,0
1 - УЗКС, принятая за основу для моделирования (среднее арифметическое значение выборки, n = 4); 2 - диапазон относительной погрешности для экспериментальных значений адмиттанса УЗКС; 3 - модель УЗКС в среде COMSOL Multiphysics (шаг сетки Finer) Рисунок 3 - Зависимость электрического адмиттанса УЗКС в нагруженном состоянии от частоты
1 - УЗКС, принятая за основу для моделирования, в нагруженном состоянии (среднее арифметическое значение выборки, n = 4); 2 - диапазон относительной погрешности для экспериментальных значений адмиттанса системы; 3 - аппроксимация экспериментальных данных полиномом четвертой степени; 4 - модель УЗКС в среде COMSOL Multiphysics (шаг сетки Extra Fine); 5 - модель УЗКС в среде COMSOL Multiphysics (шаг сетки Finer); 6 - модель УЗКС в среде COMSOL Multiphysics (шаг сетки Fine); 7 - модель УЗКС в среде COMSOL Multiphysics (шаг
сетки Normal)
Рисунок 4 - Зависимость резонансной частоты продольных колебаний от толщины нагрузки
d я
В
1,00 0,90 0,80
Р О
о 2 0,70
о,бо
Ё s
ф о
5 0,50
0,40
0,30
м
\ v \ \ Т V 6 Л
¡4 - - V, 51
N г---.— \ ч X 3
/ 2 У 7 7" Г — • N \ > V ч N
4 w
> . ^ % -к . ->
0,00 15,00 25,00 35,00 45,00 55,00 65,00 75,00
Толщина БТ - нагрузки УЗКС, мм
85,00
95,00
1 - УЗКС, принятая за основу для моделирования, в нагруженном состоянии (среднее арифметическое значение выборки, n = 4); 2 - диапазон относительной погрешности для экспериментальных значений адмиттанса системы; 3 - аппроксимация экспериментальных данных полиномом шестой степени; 4 - модель УЗКС в среде COMSOL Multiphysics (шаг сетки Extra
Fine); 5 - модель УЗКС в среде COMSOL Multiphysics (шаг сетки Finer); 6 - модель УЗКС в среде COMSOL Multiphysics (шаг сетки Fine); 7 - модель УЗКС в среде COMSOL Multiphysics (шаг
сетки Normal)
Рисунок 5 - Зависимость модуля электрического адмиттанса от толщины нагрузки
Анализ полученных данных показывает, что качественно и количественно практическим результатам наиболее соответствуют результаты расчетов в среде COMSOL Multiphysics, полученные на шаге сетки Finer, что объясняется наиболее удачным соотношением требуемой и фактической мощностью вычислительной станции (расчет производился на персональном компьютере с операционная система семейства Windows NT, версия 7, оперативной памятью 4 ГБ). Средняя относительная погрешность полученных расчетных результатов в сравнении с экспериментальными не превышает 4,0 %, что позволяет считать данную модель адекватной УЗКС, принятой за основу для моделирования.
При увеличении толщины нагрузки в диапазоне от 0 до 95 мм наблюдается уменьшение расчетных значений собственной резонансной частоты продольных колебаний и электрического адмиттанса от 26,58 до 26,35 кГц и от 0,86 до 0,44 мСм соответственно (шаг сетки Finer), что соответствует экспериментальным результатам и теории.
Заключение
Проведена верификация модели взаимодействия УЗКС ПЭАП с БТ, разработанной в среде COMSOL Multiphysics. Показано, что средняя относительная погрешность значений собственных резонансных частот продольных колебаний и электрического адмиттанса системы не превышает 4,0 % при условии k < 0,3 мм (шаг сетки Finer).
Исследовано влияния геометрических параметров - толщины нагрузки - на электрический адмиттанс системы взаимодействия УЗКС ПЭАП с БТ. Показано, что при увеличении толщины нагрузки в диапазоне от 0 до 95 мм наблюдается уменьшение расчетных значений собственной резонансной частоты продольных колебаний и электрического адмиттанса от 26,58 до 26,35 кГц и от 0,86 до 0,44 мСм соответственно при условии k < 0,3 мм-1 (шаг сетки Finer).
Список литературы
1. Володарская С.И. Валеологические аспекты стоматологии // Российская научно-техническая конференция «Медико-технические технологии на страже здоровья» (Москва, 26 сентября - 2 октября 1999): сб. трудов. Ч. 1. 1999. С. 86-88.
2. Грудянов А.И. ,Стариков, Н.А. Лекарственные средства, применяемые при заболеваниях пародонта // Пародонтология. 1998. № 2. С. 6-10.
3. Лепилин А.В., Райгородский Ю.М., Островская Л.Ю., Ерокина Н.Л., Коннов В.В. , Чадина Т.В. , Ефремов А.Я., Татаренко Д.А. Применение стоматологического комплекса КАП-«ПАРОДОНТОЛОГ» при лечении заболеваний пародонта. Предварительные результаты // Медицинский бизнес: сайт. Режим доступа: http://www.medbusiness.ru/447.php (дата обращения 17.04.2013).
4. Шумский А.В. Современные ультразвуковые технологии в лечении заболеваний пародонта // Medicus: сайт. Режим доступа: http://www.medicus.ru/stomatology/specialist/sovremennye-ultrazvukovye-tehnologii-v-lechenii-zabolevanii-parodonta-32611.phtml (дата обращения 01.11.2013).
5. Олесова В.Н., Ванцян А.В., Чкония Г.Д. Использование ультразвука при лечении заболеваний пародонта // Сайт Белорусского Гос. Мед. ун-та. Режим доступа: http://www.bsmu.by/index.php?option=com_content& view=article&id=80:-&catid=35:s-42007&Itemid=52 (дата обращения 17.04.2013).
6. Карпухин В.А., Петренко О.В. Метод определения механических характеристик биологических тканей при ультразвуковом воздействии // Акустический журнал. 1995. Т. 41, № 3. С. 511-512.
7. Карпухин В.А., Вишнева Н.В., Косоруков А.Е. Алгоритм многочастотного анализа электрической мощности пьезопреобразователя при ультразвуковой обработке биологических тканей // Биомедицинская радиоэлектроника. 2011. № 10. С. 15-20.
8. Карпухин В.А., Вишнева Н.В. Методика расчета электрического адмиттанса ультразвуковой колебательной системы при взаимодействии с биотканями в COMSOL Multiphysics // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 5. БО1: 10.7463/0513.0566872
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MS TU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Verification of an interaction model of an ultrasonic oscillatory system
with periodontal tissues
# 01, Januare 2014
DOI: 10.7463/0114.0640462
Karpuhin V.A., Vishneva N.V.
Bauman Moscow State Technical University, 105005, Moscow, Russian Federation
vak@mx.bmstu.ru wjlatan@ya.ru
Verification of an interaction model of an ultrasonic oscillatory system with biological tissues which was developed in COMSOL Multiphysics was carried out. It was shown that calculation results in COMSOL Multiphysics obtained using the "Finer" grid (the ratio of the grid step to a minimum transversal section area of the model < 0.3 mm-1) best of all qualitatively and quantitatively corresponded to practical results. The average relative error of the obtained results in comparison with the experimental ones did not exceed 4.0%. Influence of geometrical parameters (thickness of load) on electrical admittance of the ultrasonic oscillatory system interacting with biological tissues was investigated. It was shown that increase in thickness of load within the range from 0 to 95 mm led to decrease in calculated values of natural resonance frequency of longitudinal fluctuations and electrical admittance from 26,58 to 26,35 kHz and from 0,86 to 0,44 mS.
Publications with keywords: ultrasound, oscillating system, biological tissues, electric admittance Publications with words: ultrasound, oscillating system, biological tissues, electric admittance
References
1. Volodarskaia S.I. Valeologicheskie aspekty stomatologii [Valeological aspects of dentistry]. Rossiiskaia nauchno-tekhnicheskaia konferentsiia "Mediko-tekhnicheskie tekhnologii na strazhe zdorov'ia": sb. trudov [Russian scientific and technical conference "Medical-technical technologies on the guard of health": collect. of papers]. Moscow, 26 September - 2 October, pt. 1, 1999, pp. 86-88.
2. Grudianov A.I., Starikov N.A. Lekarstvennye sredstva, primeniaemye pri zabolevaniiakh parodonta [Medicines used in diseases of parodentium]. Parodontologiia, 1998, no. 2, pp. 6-10.
3. Lepilin A.V., Raygorodskiy Yu.M., Ostrovskaya L.Yu., Erokina N.L., Konnov V.V. , Chadina T.V. , Efremov A.Ya., Tatarenko D.A. Primenenie stomatologicheskogo kompleksa KAP-"PARODONTOLOG" pri lechenii zabolevaniy parodonta. Predvaritel'nye rezul'taty [The use of dental complex CAP "Periodontist" in the treatment of periodontal disease. Preliminary results]. Meditsinskiy biznes: website. Available at: http://www.medbusiness.ru/447.php , accessed 17.04.2013.
4. Shumskiy A.V. Sovremennye ul'trazvukovye tekhnologii v lechenii zabolevaniy parodonta [Modern ultrasound technology in the treatment of periodontal disease]. Medicus: website. Available at: http://www.medicus.ru/stomatology/specialist/sovremennye-ultrazvukovye-tehnologii-v-lechenii-zabolevanij-parodonta-32611.phtml , accessed 01.11.2013.
5. Olesova V.N., Vantsyan A.V., Chkoniya G.D. Ispol'zovanie ul'trazvuka pri lechenii zabolevaniy parodonta [The use of ultrasound in the treatment of periodontal diseases]. Website of Belarusian State Medical University. Available at: http://www.bsmu.by/index.php?option=com content& view=article&id=80:-&catid=35:s-42007&Itemid=52 , accessed 17.04.2013.
6. Karpukhin V.A., Petrenko O.V. Metod opredeleniia mekhanicheskikh kharakteristik biologicheskikh tkanei pri ul'trazvukovom vozdeistvii [Method of determination of mechanical characteristics of biological tissues at ultrasonic influence]. Akusticheskii zhurnal, 1995, vol. 41, no. 3, pp. 511-512.
7. Karpukhin V.A., Vishneva N.V., Kosorukov A.E. Algoritm mnogochastotnogo analiza elektricheskoi moshchnosti p'ezopreobrazovatelia pri ul'trazvukovoi obrabotke biologicheskikh tkanei [Multifrequency analysis algorithm of piesotransducer electric power at ultrasonic processing of biological tissues]. Biomeditsinskaia radioelektronika, 2011, no. 10, pp. 15-20.
8. Karpukhin V.A., Vishneva N.V. Metodika rascheta elektricheskogo admittansa ul'trazvukovoy kolebatel'noy sistemy pri vzaimodeystvii s biotkanyami v COMSOL Multiphysics [Method of calculation of electrical admittance of an ultrasonic oscillatory system with biological tissues in COMSOL Multiphysics]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2013, no. 5. DOI: 10.7463/0513.0566872
