CC BY
28
УДК 543.429.23
ВЕКТОРНАЯ МОДЕЛЬ ОПИСАНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ЯМР
© 2006 г. Ю.Е. Черныш, Ю.М. Коробов, Э. Купце, Р. Фриман, М.С. Коробов, Г.С. Бородкин, М.В. Потькало, Д.В. Белов
The proposed model describes NMR pulse experiments on the basis of the classical behavior of magnetization vectors for an averaged spin ensemble. The vector model permits any coupled spin system response, to be traced. Experiments involving multiple-quantum coherence can not readily be couched in terms of the vector model without the more rigorous quantum mechanical computations.
Введение
За последнее время ядерный магнитный резонанс (ЯМР) претерпел новый этап возрождения. Многочисленные импульсные методики вытеснили спектроскопию непрерывного возбуждения. Способы получения данных во временной области позволили спектроскопистам освоить новые и привлекательные области их применения. ЯМР стал одним из наиболее успешных аналитических методов для чрезвычайно широкой палитры приложений, начиная с физики твердого состояния, во всех направлениях химии, молекулярной биологии и медицинской диагностики.
Точные знания структуры, динамики и реакции молекул дают ключ к пониманию их функций и свойств. С введением двумерных методов ЯМР спектроскопия пережила настоящую революцию в своем развитии и стала наиболее важным методом для решения многих задач молекулярной динамики. Существующие в настоящее время методики для их успешного применения требуют не только соответствующего оборудования, но и правильного выбора экспериментов и оптимальных параметров измерения, а также тщательной оценки спектров [1]. Спектр позволяет наиболее прямым способом представлять резонансные свойства системы и обеспечивает понимание ее квантово-механической структуры.
Хотя для объяснения поведения спиновой системы под действием импульсных последовательностей опубликовано несколько обзоров широко известных авторов [1, 2], хотелось бы в данной работе показать современное состояние вопроса с точки зрения векторного описания импульсных экспериментов ЯМР, что дает возможность легко объяснить эксперименты как качественно, так и количественно без обращения к сложным для понимания и более громоздким как квантово-механическому, так и операторному формализму [2]. На основе векторной модели можно описать поведение слабосвязанных спиновых систем (в которых различие в химических сдвигах двух ядер является значительным по сравнению с величиной константы связи между ними) под воздействием импульсных последовательностей, применяя несколько простых правил таким образом, что даже не эксперты могут использовать эти эксперименты.
Спектроскопия
Корреляционная спектроскопия. Было предложено много импульсных схем для изучения как гомоядерных, так и гетероядерных систем взаимодействующих спинов [3-6]. Прототипом всех двумерных экспериментов является гомоядерная корреляционная спектроскопия, впервые предложенная Джинером [7] и развитая Aue и др. [8]. Хотя это довольно простая импульсная последовательность (П)х - h -(П)х приём (t2), реальный механизм переноса намагниченности не очевиден. Обычно такой анализ проводится на основе теории оператора плотности или формализма произведения операторов одноквантовой и продольной намагниченно -стей. Графическое представление можно получить, рассматривая эксперимент поляризационного переноса, используя векторную модель и понятие спиновых заселенностей.
Рассмотрим слабосвязанную гомоядерную двухспиновую систему IS. Поскольку проблема симметрична относительно спинов I и S, сосредоточим свое внимание на переносе I ^ S, который обусловливает один кросс-пик, полагая, что существует еще один перенос S ^ I, генерирующий другой кросс-пик. Векторы M0 равной намагниченности соответствуют двум переходам спина I, разделенным Jß-константой. Начальный (я/2)х-импульс выстраивает оба вектора, помеченных f и s в направлении положительной оси у, затем они свободно прецессируют в течение периода эволюции t1, приобретая углы:
а( f) = (2nS1 + 7iJIS X; a(S) = (2nS1 - nJls )t1.
Второй (я/2)д-импульс можно представить в виде каскада двух селективных (я/2)д-импульсов, причем первый приложен к спинам I, а второй -к S. Если векторы I спина располагаются по положительным осям x и у вращающейся системы отсчета, то селективный импульс, приложенный к спинам I, не действует на x-компоненты, но у-компоненты поворачивает к отрицательной оси z (рис. 1).
Z Z
Рис. 1
Вектор, расположенный вдоль отрицательной оси представляет инверсию не всей заселенности. Если ^ = 0, то а(/) = а(5) = 0 и обе инверсии заселенности являются полными. Из диаграммы энергетических уровней (рис. 2) видно, что инверсия полной заселенности обоих /-переходов не влияет на интенсивности ^-спинов.
Рис. 2
Если заселенности /-спинов подвергаются воздействию по-разному, создается различие в заселенностях спинов S. Если возмущение заселен-ностей спинов / обозначить Д12и Д34, то существующая разница в возмущении 1/2 |Д12 — Д34| оказывает влияние на спины S. Один переход спина S увеличивается по интенсивности, а другой уменьшается на ту же самую величину Используя стандартное тригонометрическое тождество 1/2Д34 — Д12) = = 1/2M0[cosa(s) — cosaf)] = M0 sin 1/2 [a(f) + a(s)] sin 1/2 [af) — a(s)] = = M0 sin (2nS1t1)sin (nJ/S t1), получим Фурье-преобразование как функцию времени эволюции t1. Последнее дает профиль в ^-измерении, являющийся антифазным дублетом (Js) с химическим сдвигом спина / S/.
Второй селективный импульс каскада действует как импульс чтения, преобразуя возмущение населенностей в наблюдаемый сигнал спина S, который затем прецессирует в течение периода обнаружения t2 согласно
M(tj, t2) = M0 sin(2nS/t/)sin(2nJ/Stx)sin(2nSSt2)sin(2nJ/St2). (1)
В ^-измерении (1) - антифазный дублет с центром в Ss и расщеплением J/S. Таким образом, кросс-пик представляет поляризацию, переносимую от / к S, с координатами (S/, SS) в центре. Он расщепляется на J/S в обоих частотных измерениях, давая характерную квадратную структуру антифазного дублета (рис. 3).
i \
6-------•
Рис. 3
Обычно фаза спектрометра настраивается так, чтобы эти резонансы находились в форме абсорбции. К тому же имеется симметрично связанный кросс-пик с координатами (Ss, S/), обусловленный переносом поляризации от S к /.
До сих пор не учитывались две другие компоненты M0 sin af) и M0 sin a(s), лежащие вдоль оси х и не возбуждающиеся вторым (п/2)х-импульсом. Эти члены представляют собой намагниченности, которые остаются на частоте спинов / в течение как t1, так и t2, давая диагональные отклики. Можно было бы ожидать, что эти два резонанса / спина сохраняют свои индивидуальности на протяжении как t1, так и t2, давая лишь два отклика с коор-
динатами (^ + 1/2J1S, ¿1 + \I2JjS) и (^ - 1/2//& ¿1 - 1/2^^), лежащие на главной диагонали. Это имеет место, если второй импульс создает небольшой угол флиппирования в << п/2 [9]. Однако, если бы второй импульс был п-импульсом, его действие на спины Б приводило бы к взаимному обмену между интенсивностями двух резонансов спина /, давая два отклика на (¿1 + ¿1 - 1^/3) и (¿1 - 1Ш1Бо ¿1 + 1!2//Б), отстоящих от главной диа-
гонали на величину J/S Гц (рис. 4).
Рис. 4
(п/2)х - импульс, действующий на спины S, обладает промежуточным эффектом, распределяя намагниченность спина I равномерно между четырьмя координатами (^ ± 1/2J, §1 ± 1/2J). Суммирование членов намагниченности M0 sin a(f) и M0 sin a(s) даёт
M0 sin[2n^1 + nJIS)t1] + M0 sin[2n^1 - nJIS)t1].
Используя стандартное тригонометрическое тождество, получим выражение 2M0 sin(2n^1t1) cos(nJIS t1), которое представляет собой фазовый дублет с химическим сдвигом §1I в измерении F1. Эта намагниченность продолжает прецессировать на частоте д1 ± 1/2J в течение периода t2, давая фазовую квадратную структуру в COSY (Correlation Spectroscopy) спектре. Если фаза спектрометра настроена для получения кросс-пиков чистой абсорбции, диагональные пики будут представлены в виде дисперсии в обоих частотных измерениях.
Векторная картина COSY эксперимента дает те же самые выражения, что и операторная трактовка, по-видимому, с более лучшим восприятием механизма переноса намагниченности [7]. Следует отметить, что это описание избегает понятия переноса когерентности и смешивающих импульсов, так как оно основано на перегруппировке спиновых заселенностей энергетических уровней. Те же самые аргументы можно использовать для объяснения гетероядерной корреляционной спектроскопии.
Фазовые циклы. Большинство современных импульсных последовательностей [10] конструируется с целью разделения необходимых спектральных характеристик и нежелательных ответов, естественных или инструментальных. Этот процесс можно осуществить, используя когерентности разных порядков, модуляцию спин-эха, относительную величину констант связи или просто разницу фаз абсорбции или дисперсии. На протяжении многих лет различные фазовые циклы создавались с целью достижения конечных целей, и обычно использовалась векторная картина, чтобы объяснить их работу. Фазовый цикл состоит из генерирования сигналов с N различными фазами, равномерно распределенными по циклу.
Если N = 2, то это - просто разностная спектроскопия (фазы 0 и п). До недавнего времени спектрометры высокого разрешения имели управление сдвигом фазы приемника на п/2 и п, поэтому большинство фазовых циклов использовали N = 4. Но в общем случае N может быть любым целым числом. Ниже представлена последовательность векторов с их относительными фазами в ху плоскости (рис. 5).
Фаза приемника программируется так, чтобы она соответствовала фазе желаемого отклика, но не фазе подавляемого сигнала, устраняемого за время полного цикла. Фазовые циклы могут размещаться внутри других циклов, но общее число сканирований может быть довольно большим, а экспериментальное время слишком долгим. Следует отметить, что фазовое циклирование постепенно заменяется применением импульсных полевых градиентов [11].
Эффекты установившегося состояния. Коварным явлением, которое может ухудшать качество спектров высокого разрешения, является установление режима «steady-state», когда условия значительно отличаются от равновесного состояния. Это может происходить во время фазового цикла, если спектроскопист повторяет сканирования без учета адекватных задержек для спин-спиновых или спин-решеточных релаксаций. Наиболее банальный из двух «steady-state» эффектов возникает, когда имеется частичное насыщение вследствие неполной спин-решеточной релаксации. Рассмотрим простой пример разностной спектроскопии, используя только два сканирования (сложение и вычитание). Первое сканирование имеет Больцмановское распределение спиновых заселенностей и, следовательно, полную намагниченность М0, но второе сканирование стартует до того, как спины целиком восстановили свое равновесие продольной намагниченности. Тогда вычитание нежелательных сигнальных компонент становится несовершенным, оставляя артефакты в спектре. Подобные рассуждения касаются также четырежды перекрываемых фазовых циклов. Средство избежать этого заключается в том, чтобы предварительно выполнить несколько холостых сканирований перед каждым реальным экспериментом. Это позволяет установить режим установившегося состояния, при котором возмущения остаются примерно одинаковыми для каждого шага фазового цикла. Логическое планирование упорядочивания шагов в фазовом цикле может, по-видимому, стать важной мерой предосторожности в такой ситуации.
Эффекты установления конкретного состояния с переносом намагниченности происходят тогда, когда интервал между импульсами сравним со временем спин-спиновой релаксации Т2. Они имеют менее серьезные результаты, чем эффекты установившегося состояния, связанные с продольной релаксацией, но более скрытые и коварные, так как результирующие артефакты вносят изменения в спектральную ширину от цикла к циклу. Векторная картина снова является ключом к пониманию этого эффекта [12]. Если в многоимпульсных экспериментах наблюдается остаточная поперечная намагниченность в конце импульсного интервала т, то влияние следующего импульса изменяется таким образом, что новый режим установившегося состояния ухудшает фазу ответных сигналов ЯМР и их относительных интенсивностей. Проследим судьбу двух линий А и В при различных сдвигах ДБа и ДБь от частоты передатчика. В интервалах между импульсами их векторы поперечной намагниченности прецессируют с различными углами (2пп + а) = уАБат и (2пп + в) = уЛБьт. Если мы сделаем эскиз движения двух векторов намагниченности в проекции на плоскость ху (рис. 6), то «жёсткий» радиочастотный импульс относительно оси х не может изменить х-компоненту намагниченности, однако изменяет компоненты у или 2. Следовательно, режимы установившихся состояний для А и В достаточно различны. Длина каждого из векторов и его ориентация в пространстве согласуется с его движением во время импульса и свободной прецессии в течение т. Так как углы прецессии а и в различны, две резонансные линии (А и В) различаются сдвигом по фазе и величине интенсивности. Эти возмущения являются циклической функцией оффсета. Эффекты установившегося состояния поперечных компонент могут быть велики для образцов с большим временем спин-спиновой релаксации в спектрометрах с высокой частотно-полевой стабильностью.
Существует еще одна представляющая интерес последовательность, переводящая поперечную намагниченность в новое состояние. Дисперсия изохромных векторов, возникающая благодаря пространственной неоднородности В0 в течение интервала прецессии т, по-видимому, рефокусиру-
х
X
Рис. 6
ется в конце этого интервала. Если времена спин-спиновой релаксации становятся долгими по сравнению с т, возникает эхо-эффект установившегося состояния; огибающая сигнала между импульсами показывает распад (благодаря Т2), за которым всегда следует почти симметричное восстановление сигнала (рис. 7).
Это выглядит так, как если бы обычное спин-эхо разделить на две равные половины, которые бы затем чередовались. Фурье-преобразование такого сигнала вносит исчезающий вклад дисперсии благодаря этой симметрии. На первый взгляд это кажется парадоксом - как расходящиеся изохроматы сходятся вновь, достигая фокусирования без влияния импульса? Векторы сходятся благодаря эффектам нескольких предыдущих импульсов. Например, группа из трех последовательных импульсов будет возбуждать частичные эха (рис. 8).
Рис. 7. Симметричное восстановление сигнала Рис. 8. Группа из трех импульсов
Эти сигналы складываются между собой и создают огибающую установившегося эхо-состояния. Взаимодействия, охватывающие большее число импульсов, довольно сложны, так как цепочка нескольких эхо наблюдается, если импульсная последовательность неожиданно прерывается. К счастью, это один из редких случаев, когда несовершенства спектрометра фактически улучшают положение, так как нестабильность поля или частоты может интерферировать с установлением режима «steady-state» путем отбора точных значений резонансных отклонений от одного сканирования к другому. Подобный результат может быть получен путем введения искусственного возбуждения при расчете времени межимпульсного интервала т [12]. Альтернативно импульсные полевые градиенты можно применять для того, чтобы погасить поперечную намагниченность в конце распада сигнала свободной индукции [13]. Эти градиенты должны быть достаточно интенсивными, чтобы дать возможность диспергировать поперечной намагниченности, или - рандомизованы во времени или по интенсивности для предотвращения рефокусировки.
Более позитивный подход заключается в том, чтобы применять «steady-state» с целью улучшения отношения сигнал/шум. Конечные отклонения можно подавлять, выполняя четыре эксперимента с различными частотами облучения, отличающимися на 1/4т. Эта методика [14] была использована для изучения медленно релаксирующих нечувствительных ядер, таких как 57Fe. Подобного результата можно достичь, используя соответствующий фазовый цикл.
Смыл Фурье-преобразования. Векторную модель можно использовать для вывода хорошо известного соотношения Фурье-преобразования между прямоугольным колебанием и функцией sin c = sin x/x, не обращаясь к общему представлению в явном виде. Предположим, что мы имеем ЯМР образец, заключенный в цилиндр, расположенный в направлении оси z с четко определенными концами при —a и +a. Если приложить линейный
полевой градиент G = ——, то функция спинового распределения в z-нап-dz
равлении описывалась бы прямоугольным профилем в частотной области (рис. 9).
— Са 0 +Са
Рис. 9. Поле, определяемое полевым градиентом
Если эту функцию рассматривать на основе спиновых изохроматов, то они имели бы вид тонких круглых дисков, состыкованных вместе по г-из-мерению (рис. 10), и их можно было бы представить в виде N векторов намагниченности, каждый из которых имеет слегка различающуюся характеристическую частоту прецессии. Время эволюции принимаемого сигнала ЯМР можно выразить, исходя из основных принципов. После возбуждения в момент ^ = 0 все векторы выстраиваются вдоль оси +у, индуктируя сильный сигнал положительной абсорбции (рис. 11а), который можно принять за единицу по амплитуде. Затем изохроматы расходятся в плоскости ху благодаря воздействию приложенного градиента, результирующий сигнал уменьшается (рис. 11Ь). Такое распределение, одинаковое во времени, отражает линейность градиента.
Рис. 10. Представление функции спинового распределения в виде спиновых изохроматов
Прежде всего подберем временную задержку ^ так, чтобы наиболее быстрые векторы (от концов образца) разошлись на ±п радиан и точно достигли отрицательной оси у. В этот момент все векторы одинаково распределены по кругу, наводя нулевой результирующий сигнал ЯМР (рис. 11 с).
Когда самые быстрые векторы достигают отрицательной оси у, сигнал становится отрицательным, приобретая экстремальное значение при максимальном угле прецессии, равном ±3п/2 радиан. Поскольку можно не учитывать 2/3 векторов, которые равномерно распределены относительно
первых 2п радиан, требуется оценить результат лишь оставшейся 1/3, распределенной по полуциклу, где координата y - отрицательная (рис. 11d). Стандартный интеграл показывает, что этот результат есть -2/3 п. Далее сигнал со временем возрастает, проходя через 0 за время максимальной прецессии ±2п радиан, где векторы снова распределяются равномерно по кругу. Если эволюцию продолжить, записывая амплитуду сигнала ЯМР как функцию времени, она будет соответствовать функции sine (рис. 11), которая хорошо известна как фурье-преобразование. Она выведена здесь как прямое следствие векторной модели, хотя может быть получена из интеграла Фурье.
Рис. 11. Неявное Фурье-преобразование. Свободная прецессия ядер в образце ограниченной длины, размещенном в линейном полевом градиенте, дающем чистый сигнал
Ограничения векторной модели Многоквантовая когерентность. Эксперименты с многоквантовой когерентностью не могут быть легко сформулированы на основе векторной модели без некоторых, скорее произвольных, предположений и громоздких конструкций. Формализм произведения операторов [15] намного лучше подходит для объяснения таких экспериментов. Рассмотрим случай двухспиновой системы Ш под воздействием последовательности
с Т =
X J
так что два вектора спина £ (а и в) выстраиваются вдоль оси
±x, что является классическим приготовлением для возбуждения двух-квантовой когерентности. Хотя в этот момент времени векторы спина S не дают никакого сигнала ЯМР, любая последующая свободная прецессия наводила амплитудно-модулированный сигнал M0 sin (nJIS), так как векторы а и в различаются по частоте на J¡S. Это не является вопросом недетек-тируемости ответа; это - просто фиксация сигнала в нулевой точке.
Второй (п/2)х можно рассматривать в виде каскада двух селективных (п/2)х-импульсов, один из них приложен к спинам S и не оказывает дейст-
вия на векторы спина Б, так как они лежат вдоль поля Вь а другой к спинам I. Поскольку п-импульс, возбуждающий спины I, взаимно изменяет а и в отметки, можно предположить, что (п/2)х имеет промежуточный эффект, т.е. половина спинов Б претерпевает изменение отметки, а другая половина остается неизменной (рис. 12).
X
Рис. 12. Эволюция двухквантовой когерентности
Если имеет место свободная прецессия, никакого сигнала не детектируется, так как векторы замкнуты в антифазные пары, даже если пара (а -а) прецессирует со скоростью, отличающейся от пары (в - в). Такое расширение векторной картины не строго удовлетворительно, но все же оно позволяет дать объяснение отсутствию сигнала ЯМР после действия импульса и продолжающейся прецессии некоторого невидимого объекта. При этом одноквантовые когерентности исчезают путем превращения их в двухквантовую. На языке произведения операторов:
21А -—-21уБх
21хБг —-21хБг.
Используя этот формализм, возвращаемся к алгебре и теряем ощущение геометрической картины. По-видимому, не существует простой векторной модели, которая адекватно описывает эволюцию многоквантовой когерентности и её последующую реконверсию в детектируемый сигнал без учета эффектов фазовых сдвигов радиочастоты или применяемых градиентов магнитного поля. До сих пор попытка расширить векторную модель дальше в этом направлении оказывалась непродуктивной.
Заключение
Хотя явление ЯМР можно описать несколькими элегантными математическими методами, химик-практик, вероятно, предпочитает наблюдать поведение спиновых систем наглядным образом. В этом заключается сила и мощь векторной модели.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 03-03-32296, № 04-03-96807 и № 04-03-81028).
Литература
1. Freeman R. Spin Choreography. Oxford, 1998.
2. Ernst R., Bodenhausen G., Wokaun A. Principles of Nuclear Magnetic Resonance in One and Two Dimensions. Oxford, 1987.
3. Aue W.P., Karhan J., ErnstR.R. // Chem. Phys. 1976. Vol. 64. Р. 4226.
4. Bodenhausen G. et al. // Magn. Reson. 1976. Vol. 24. P. 291.
5. BaxA., Mehlkopf A.F., Smidt J. // Magn. Reson. 1979. Vol. 35. P. 167.
6. Freeman R., KempsellS.P., LevittM.H. // Magn. Reson. 1979. Vol. 34. P. 663.
7. Jeener J. Ampere International Summer School. Basko Polje, Yugoslavia, 1971; In Honour of Anatole Abragam / Eds. M. Goldman, M. Porneuf. Les Editions de Physique. France, 1994.
8. Aue W.P., Bartholdi E., Ernst R.R. // Chem. Phys. 1976. Vol. 64. P. 2229.
9. Bax A., Freeman R. // Magn. Reson. 1981. Vol. 44. P. 542.
10. Prestegard J.H., Scarsdale J.N. // Magn. Reson. 1985. Vol. 62. P. 136.
11. HurdR.E. // Magn. Reson. 1990. Vol. 87. P. 422.
12. Freeman R., HillH.D. // Magn. Reson. 1971. Vol. 4. P. 366.
13. Kaiser R., Bartholdi E., Ernst R.R. // Chem. Phys. 1974. Vol. 60. P. 2966.
14. SchwenkA. // Magn. Reson. 1971. Vol. 17. P. 69.
15. Piantini U, UgurbilK. // Magn. Reson. 1985. Vol. 65. P. 207.
НИИ физической и органической химии РГУ 6 ноября 2005 г.
