CC BY
51
УДК 535.33:535.417:773.93
Б.Ф. Ноздреватых, C.B. Устюжанин, С.Н. Шарангович
Векторная модель дифракции света на электрически управляемых неоднородных дифракционных структурах в фотополимеризующихся жидкокристаллических композиционных материалах
Представлена векторная математическая модель для расчета дифракционных свойств пространственно неоднородной дифракционной структуры, образованной в фотополимерном жидкокристаллическом материале. Модель приведена при помощи матричной передаточной функции, компоненты которой определяются из решения уравнений связанных волн.
Сейчас всё более широкое применение находят системы связи с большой пропускной способностью. Электронные компоненты таких систем не позволяют обеспечить большие скорости передачи, поэтому возникает потребность в создании полностью оптических динамически управляемых селективных элементов. Голографические дифракционные структуры (ДС) в фотополимерных материалах (ФПМ) с жидкокристаллической (ЖК) компонентой наилучшим образом подходят в качестве основы для создания отдельных элементов высокоскоростных устройств связи, таких как мультиплексоры, демультиплексоры, переключатели, фильтры, принципом работы которых является управление дифракционными свойствами решеток приложенным внешним электрическим полем [1, 2].
В данной работе представлена векторная математическая модель для расчета дифракционных свойств пространственно неоднородной дифракционной структуры, образованной в фотополимерном жидкокристаллическом материале.
Приняты во внимание следующие особенности ФПМ-ЖК материалов: пространственная неоднородность, вызванная процессом записи решетки [3]; оптически плавная локальная неоднородность, вызванная приложенным однородным электрическим полем, и анизотропия, обусловленная наличием молекул ЖК [4].
Будем считать, что на материал толщиной d падает считывающая световая волна E°(r,t), как показано на рис 1 ,а, где г — радиус-вектор, и рассматривать будем только межмодовую дифракцию.
Е?
I ,11,III
, - Jfill ■ 1
êtmm
//2IICnV
-V
1 Etl
а б
Рис. 1. Дифракция на ДС в ФПМ-ЖК: а — пространственная геометрия считывания; б — локальные векторные диаграммы дифракции при у = 0; й и при 0<у<(1иЕс<Е
В процессе дифракции на ДС в ФПМ-ЖК, вследствие выраженной анизотропии свойств материала, произвольно поляризованный монохроматический световой пучок на границе раздела двух сред разлагается на две собственные, ортогонально поляризованные волны (рис. 1,6) — далее названные обыкновенной и необыкновенной, соответственно с амплитудными
профилями £ц(г), 2?ц(г) и волновыми векторами к£(г), к£(г) — каждая из которых в процессе распространения вдоль образца материала испытывает внутримодовую дифракцию на решетке, пространственная зависимость диэлектрической проницаемости которой запишется [5]
е(г) = ёо + 0.5[дер(г) ехр(Ж ■ г) + Де,с(г)ехр(Ж • г)] + Дёя(г) + к.с. (1)
При этом формируются дифрагированные волны с амплитудными профилями Е[ (г),
^(г) и волновыми векторами к°(г), к®(г) (рис 1,6). В выражении (1) е0 — тензор диэлектрической проницаемости образца до записи ДС с вектором решетки К;
Лер(г) = 2п - 8прГНр(г) ■ 5г>/; Д^(г) = 2п ■
— возмущения диэлектрической проницаемости, вызванные фотополимерной и ЖК решетками в процессе записи ДС; п^г) и п'с(г) — соответствующие им амплитудные профили [4]; 81 у — символ Кронекера; п — средний показатель преломления среды; АгЕ(г) — электрически индуцированное возмущение диэлектрической проницаемости ФПМ-ЖК, пространственная неоднородность которой вызвана ориентационными эффектами директора ЖК в электрическом поле.
Возмущенная область, согласно (1), является плавно и периодически пространственно неоднородной в отношении оптических свойств. Световое поле в области взаимодействия будем искать в рамках геометрического приближения двумерной брэгговской дифракции методом медленно меняющихся амплитуд (ММА):
^ 1=01=о,е
юг-Щ. (г) ¿г
+ К.С., (2)
где .Е] (г) — медленно меняющиеся функции, которые находятся из уравнений первого приближения ММА; } ~ 0,1 — порядок дифракции; I = о, е (обыкновенная и необыкновенная волны); Ц(г) = («о/с)л](г)^-(г)— волновые векторы; л](г) — показатели преломления; е1. (г) — показатели поляризации. При этом пространственные зависимости волновых нормалей N5 (г) в оптически пространственно неоднородном слое ФПМ-ЖК находятся из уравнения Эйконала.
Показатели преломления и поляризации световых волн в (2) определяются из уравнений нулевого приближения ММА [5]:
[п*Ш - М,(г)М;(г» - во - ДеЕ(г)]е,(г) = 0, (3)
где I — единичная матрица.
Следуя методу ММА, в рассматриваемом случае брэгговской дифракции световых пучков на ДС в оптически неоднородном слое ФПМ-ЖК [3] амплитуды £](г) взаимодействующих волн определяются двумя системами уравнений связанных волн (УСВ) в частных производных:
(4)
N^4 (г) = -¡С[ (т)Е[ (г)ехр [+/ ■ ©Дг)], М^ (г) = -ОД ехр [-/ - в,(г)].
где С10 =— -^-е5Аеео , С\ = ^-едДее( — локальные коэффициенты связи:
4 с,п' 4 ссп'
<- а с 1
г
©¡(г) = | ДКг (г)¿г — интегральная фазовая расстройка; о
N^■0д , ДКг (г) = к^ (г)-к^ (г)+ К — групповые нормали и локальные фазовые расстройки для обыкновенной (I = о) и необыкновенной (I = е) волны (рис. 2); сс — скорость света.
Плавная оптическая неоднородность показателя преломления необыкновенных волн обусловливается зависимостью ориентации директора ЖК, совпадающего с оптической осью и характеризуемого углом Ф (рис. 2) от приложенного электрического поля [4] и координаты у внутри слоя ФПМ-ЖК:
-fx
nlo(r,E) = п0пе
п2е sin2 (ф(г,Е) ±в^„)
+n02cos2 (ф(г,Е)±е^0)
•1/2
, (5)
где п0, пе — обыкновенный и необыкновенный показатели преломления; зависимость ф(г,Е) определяется из уравнения Фредерик-са [4]
if + уЬ J (sin2 Фт'(г'щ ~sin* ф)
2
1/2
(¿ф
(6)
По уравнениям (5) и (6) было проведено численное моделирование угла поворота директора ЖК ф(г,Е), показателя преломления п(у, Е), фазовой расстройки АК(у,Е) и интегральной фазовой расстройки (рис 3 ,а) вдоль глубины образца. Из результатов моделирования видно, что возмущенную область ФПМ-ЖК можно разбить на N слоев с неоднородными оптическими свойствами в каждом слое и использовать параболическую аппроксимацию для интегральной фазовой расстройки уравнений (4)Э;(г):
©!(#!, Е) = ех + а1(Е)у1 + Ь1(Е)у^, при п = 1,
Рис. 2. Локальная векторная геометрия дифракции при 0 < у < d и Ес< Е
вп(уп,Е) = ©п_1 +ап(Е)(/! + Ьп(Е)у2п , при п = 2...М, и, следовательно, линейную аппроксимацию для АК^т), где а„(Е) и &Л(Е) аппроксимации; уп = 0...6п — текущая координата л-го слоя толщиной 6п, удовлетворяющей условию = Хс1п / Л2 > 10 режима дифракции Брэгга.
(7)
коэффициенты
1,80
1,78
1,76
1,74
В 1,72 с:
1,70 1,68 1,66 1,64
-Е=1,025Ес
---Е=1,1Ес
— Е=1,2Ес
0.2 0.4 0.6 y/d, отн.ед.
1.0
0,4 0.6 0,8 y/d, отн.ед.
1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100
—— Е=1,025Ес
---Е=1,1Ес
.....Е=1,2Ес
0,4 0,6 0,8 y/d, отн.ед.
Рис. 3. Результаты численного моделирования при Е=1,025ЕС; 1,1 Ес\ 1,2Ес: а — зависимости ф(г/,Е) от у; б — зависимости п(у,Е) от у; в — зависимости АК(у,Е) от у,
г — зависимости и 0(г/,Е) от у
Учитывая, что среда в каждом слое является слабо неоднородной, пространственную зависимость кц(г), к^(г) в каждом слое можно представить линейной зависимостью в виде разложения в ряд Тейлора:
dM
dr
r=0
¿"1
dr
• г
r=0
clv;
dr
r=0
где к, N'', п'* взяты при г = 0.
Используя (8), аналогично [6], найдем АК1 (г) в (4):
дкдг) = дк,д0 = (дк,.' + ^у)г/0, где у0 — орт; АКу — ¿/-составляющая вектора ДК ;
(у0 • те0)(те0 • V4) (у0 -У^ )(т* -Уп{)
(^о'Уо) (^Уо)
% = К Г(уо • NS )(у0 • Н )~ (Уо ' Ni)(y°" ) -
(8)
(9)
гп® — базисный орт годографа, описываемого кондом вектора Ц- [6].
Тогда в уравнениях (4) интегральную фазовую расстройку ©¡(г) в каждом слое с учетом (9) можно представить в аналитическом виде
f ДК (г) dr = J (Д^у0) d (у0у) = J" ЛKydy = ДК'у + ^ у2
(Ю)
Далее воспользуемся ступенчатой аппроксимацией для амплитудного и параболической для фазового профилей в каждом слое ДС. В этом случае решения уравнений (4) в каждом слое могут быть найдены в аналитическом виде методом Римана аналогично [6] и представлены в виде рекуррентных соотношений, с помощью которых последовательно можно описать процесс образования пространственных профилей Е0е "(о) и Е*[п (л) необыкновенных волн на выходе каждого п-го слоя через распределения и £®п_1(г|) на его входе:
Щ п (л) = Е[
п-1
Ч VU
С d +1
i J exp [8m(l - у) + 62л(1 - yf ];
Ф
— ,1;а52 —(1-у2)
El
е п-1
5(1-у) л
хФ
— +1,2; а82 — (1 - у2)
Е\
г€ П-1
о vi; '5(1 -у) л
СЛ 2vn
(1 + У)х
dy ,
(11)
где Ф(а, Ь; с)
п = 1 1 = 0, 1 = £и(£). Остальные обозначения приведены в [5].
вырожденная гипергеометрическая функция первого рода; для
Для обыкновенных волн решения уравнений (4) имеют вид
/ I-\
К (л) = f expfiOjdO- -y)]J0 2o8 I— (1-y2)
2v
l -l
К
5(1 -У) П
Vn V
dy,
(12)
iy
где Л0(х) — функция Бесселя первого рода; А = — толщина ФПМ-ЖК слоя.
Для описания процессов преобразования пространственных профилей пучков необыкновенных волн Е'(г) при изменении параметров среды от слоя к слою решение (11) удобно представить в виде матричного рекуррентного соотношения. Тогда, обозначая интегральные преобразования в (11) через интегральный оператор перепишем эти же выражения в виде матричных рекуррентных соотношений:
Е" = Т" ® Е'
е п-1
£е п 0
Е1П
rpTl грв П
100 МО
rpn rpe п
/01 Х11
£е п-1 0
в 71 — 1
щ
(13)
где Т" — парциальная матричная передаточная функция, описывающая процесс образования " , на выходе п-то слоя через значения значения п и Е{п на входе (рис 4). Компоненты матрицы Тп определяются из (11).
х t | I II TTI
E: Tu2 E,2 Г,,3 EX3
ToJ, \T,o2
S Too' To^/N Eo
Eol fi 100 ¿'o* Tqo Eo3
У
Рис. 4. Диаграмма взаимодействия необыкновенных волн в слоях ФПМ-ЖК материала
Так, при разбитии образца материала на три слоя (рис. 4) выражение (13) для амплитуды дифракционного поля необыкновенной волны Е{ на выходе ДР при внутримодовых взаимодействиях в первом порядке можно представить в виде
Е{ = (Tqj1 <g> Tu2 ® Тп3 + Tqo1 ® Т012 <8> Тп3 + T01l ® Tw2 ® Г013 + Т^1 ® Tœ2 ® Г013) ® Е°. (14)
Поскольку для обыкновенных волн среда является оптически однородной (рис. 1,6, рис. 2), то амплитуда дифракционного поля обыкновенной волны Е°, с использованием ®, запишется
Е° =7i°<8>£°, (15)
где Т° определяется из (12).
Учитывая, что на входной (у=О) и выходной (y=d) плоскостях поляризации собственных волн, участвующих во взаимодействии, совпадают, суммарное векторное световое поле в 1-м дифракционном порядке на выходе ФПМ-ЖК слоя определяется
d d Щ (л, Е) = e^Î (л, Е) exp[-iJ к? (£) • dr] + е{Е{ (ц, Е) exp[-iJ kf (г, Е) ■ dr]. ( х 6)
о о
Представленная математическая модель описывает дифракционные свойства ДС с пространственно неоднородными амплитудно-фазовыми профилями, голографически сформированных в ФПМ-ЖК материалах, с учетом внутримодовых взаимодействий, и является математической основой для дальнейшего исследования и оптимизации их дифракционных характеристик.
Работа выполнена в рамках проекта РНП 2.1.1.2097 программы «Развитие научного потенциала высшей школы на 2006-2008 гг.»
Литература
1. Study of the inhibition period prior to the holographie grating formation in liquid crystal photopolymerizable materials / A.V. Galstyan, R.S. Hakobyan, S. Harbour, T. Galstian // Electronic-Liquid Crystal Communications. - 2004, May. - P. 1-15.
2. Фотополимерно-жидкокристаллический композит с пространственно-периодической структурой / Г.М. Жаркова [и др.] // Автометрия. - 2004. - №1. - С. 89-95.
3. Шарангович С.Н. Трехмерная дифракция света на ультразвуке в оптически неоднородных кристаллах / С.Н. Шарангович // Радиотехника и электроника. - 1996. - Т. 41, № 8. - С. 1-12.
4. Сонин А.С. Введение в физику жидких кристаллов / А.С. Сонин. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 320 с.
5. Дифракция света на электрически-управляемых неоднородных дифракционных структурах в фотополимеризующихся жидко-кристаллических композитных материалах / С.Н. Шарангович, Е.А. Довольное, C.B. Устюжанин, Б.Ф. Ноздреватых // Электронные
средства и системы управления : докл. Междунар. науч.-практ. конф. В двух частях. Ч.Х.Томск : Изд-во Ин-та оптики атмосферы СО РАН, 2005. - С. 230-234.
б. Кушнарев И.Н. Сильное акустооптическое взаимодействие пучков в оптически неоднородных кристаллах / И.Н. Кушнарев, С.Н. Шарангович // ЖТФ. - 1993. - Т. 63, № 2. -С. 24-42.
Ноздреватых Борис Федорович
Аспирант каф. сверхвысочастотной и квантовой радиотехники, доцент ТУСУРа
Тел.: (3822) 41 36 43
Эл. почта: [email protected]
Устюжанин Сергей Владимирович
Аспирант каф. сверхвысочастотной и квантовой радиотехники, доцент" ТУСУРа Тел.: (3822) 41 36 43
Эл. почта: [email protected] Шарангович Сергей Николаевич
Канд. физ.-мат. наук, зав. каф. сверхвысочастотной и квантовой радиотехники, доцент ТУСУРа
Тел.: (3822) 41 36 43
Эл. почта: [email protected]
B.F. NozdrevatyKh, S.V. Ustyuzhanin, S.N. Sharangovich
The vector model of the diffraction light based on non-uniform electrical controled diffraction structures in photopolymer composite materials
The vector model for calculation of the diffraction properties of the spatially non-uniform diffraction structure is presented in this paper. The structure is recorded in a photopolymer composite material. The model is shown with in matrix transfer function. The components of this matrix are the solutions of the boundary modes equations.
