CC BY
53FTAXP 27.01.45
«ВЕКТОР» ¥ГЫМДАРЫН МЕКТЕП КУРСЫНА ЕНГ1ЗУДЩ ЭРТYРЛI ТЭС1ЛДЕР1
А.в. Дэулетцулова 1, Г.Б. Элихан 2 1 п.г.к.,ц. профессор м.а. 2 6М010900-Математика мамандыгыныц магистранты 1,2 Каза^ улттыц цыздар педагогикалыц университетi, Алматы, Казацстан email: [email protected]
Мацалада непзп мектепте геометрияны оцыту барысында «вектор» тацырыбын оцытудыц эд1стер1 туралы баяндалады. Оцушылардыц векторлар тацырыбын мецгерудщ тшмдшпн жогарылату Yшiн, непзп мектептщ геометрия курсында «вектор» тацырыбын енгiзуiне тарихи талдау жасап, бул тацырыпты оцып бшудеп оцушыларда кездесетiн циыншылыцтарды шешу, непзп мектептiн геометрия курсында векторлар тацырыбын оцытуды цамтамасыз етуге багытталган гылыми эдiстерiн жасау мэселелерi царастырылады. «Вектор» угымыныц царастырылган эрбiр трактiсi белгш бiр эдiстемелiк цасиеттерге ие; мысалы, вектордын векторлыц кенiстiктiн элементi репнде тYсiндiрiлуi кезцарастыц ортацтыгын, басца терминдердеп интерпретациялардын бiрiн зерттеу муминдшн цамтамасыз етед^
TYÜiH свздер: вектор, векторлыщ шекс1зд1к, сегмент, тецс1зд1к, векторлыщ жэне координаттыщ
эд1с
Каз1рп замангы математикалыц угымда «Вектор» 1ргел1 угымдардыц б1р1 болып табылады, ал векторды есептеу математиканыц жэне оныц барлыц цосымшаларында да мацызды рел атцарады.
«Вектор» есептеу угымы, механика мен физиканыц цажеттшктерше байланысты цалыптасцан, онда векторлыц шамалар бойынша операцияларды тшелей (олардыц геометриялыц интерпретацияларында) салу амалдары барлыц шамаларды журпзу барысында журпзше бастады. Эткен гасырдыц соцында векторды мектеп алгебра оцулыцтарында жекелеген тацырыптар мен сурацтарды баяндау кезшде цолданылды [1, 2].
Мысалы, тригонометриялыц формулалар И.И. Макаревичтщ ютабында векторларды цолдану барысында дэлелдецщ. Вектор кешецщ сандар теориясын есептеу кез1нде де цолданылды. А.С. Сергееваныц зерттеушен кершш тургандай, физиканыц революцияга дешнп физикалыц оцулыцтарында (мысалы, А.Н. Колмогоров) скаляр жэне векторлыц шамалар туралы айтылды, вектор угымы мен цосу жэне шегеру ережелер1 енпзшд^олар эр1 царай пайдаланылды.
Бурынгы Кецес Одагы мектептершдеп 1925 ж. Ленинградта басылган математика багдарламасында векторды жуйел1 оцыту царастырылган. Алайда, 30-жылдары мектеп практикасына б1рыцгай м1ндетп багдарлама енпзу тэжiрибесiнде векторлар жогары математиканыц элементтер1 сияцты ( туынды, геометриялыц езгерютер) мектеп багдарламасына енбеген. Кешннен бул багдарлама 30-жылдардагы багдарламада заманауи гылыми практиканыц байланысыныц болмауынан сынга ушырады.
Онда аналитикалыц геометрия мен вектордыц орта мектептердеп математика курсына енпзу туралы Я.С. Дубков, А.Я. Хинчин, В.А. Гончаров, А.М. Лопшин, Н.Ф. Четверухин, П.С. Александров, А.И. Маркушевич жэне т.б. галымдар ез ойларын бшд1рд1. Олардыц цатысуымен 1947 жылы FА-да аналитикалыц геометрия элементтерше цосылган математика багдарламаларыныц жобасы эз1рлецщ.
Каз1рп танда вектор эдю1 математикада жэне оныц цосымшаларында кещнен цолданылады. Векторсыз заманауи гылымды, функция мен сандарды елестету мумкш емес. Сондыцтан да мектеп реформасы кезшде математикалыц бшм тусшшнде «вектор» багдарламага енпзшгенде елеул1 сынга ушыраса да, векторлыц алгебра элементтер1 деген угым орта мектепте цалдырылды.
Математиканыц жетшд1ршген багдарламасында [3] векторды жазыцтыц пен кещспкте оцыту аныцталды. Алайда, эл1 кунге дешн векторды орта мектеп курсында оцытуга цатысты
бiрьщFай пЫр жок. Бул тургыдан алганда, жетiлдiрiлген багдарлама окулык авторларына мYмкiндiк бередi.Алайда,векторды орта мектепте окыту курсы туралы ортак ой жок.
Вектор угымы оку эдiстемелiк эдебиеттердщ эртYрлi бвлiгiнде (параллель ретiнде квшiру, векторлык балама кесiндiлерге багытталган класс, векторга багытталган Yзiндi, ретке койылган вектор, Yштiк, ... п рет саны) шын мэнiнде вектор тYсiнiгi мен векторлык элементтердщ шексiздiгi болып табылады.
Естерщзге сала кетешн, векторлык шексiздiк деп квптеген кез келген табиги элементтерден туратын аталады, (вектор деп аталатын) косу жэне квбейту элементтерi аныкталган сандарга арналган канагаттандырылган шарттары:
х+у = у+х (ауыстырымдылык зацы) (1)
(х+у) +z = х + (y+z) (терiмдiлiк зацы); (2)
нвлдш векторы бар 0 (немесе нвл вектор), канагаттандырылган шарттар
х+0=х кез келген векторга х; (3)
кез келген векторга х оган карама карсы векторы бар у сондай, бул х+у=0; (4)
1*х =х; (5)
2 (Рх) = (2Р) х (терiмдiлiк); (6)
(а+Р) х = ах + Рх (сандык квбейтюштердщ Yлестiрiмдiлiгi ); (7) 2 (х+у) = 2х + 2у (векторга катысты сандык квбейтюштердщ Yлестiрiмдiлiгi) (8).
Осылайша, жогарыда аталган тэсшдердщ барлыгын жYзеге асыру аталган (1-8) векторлык элементтi шексiздiк сиякты ашуды талап етедi. Осылайша, жогарыда аталган барлык тYсiндiрулер бiр бiрiне жакын, ал арасындагы тэсiлдер математикалык тэсш емес, эдiстемелiк тэсiлдер аркылы юке асырылады. «Вектор» угымын карастыру барысында эртYрлi баяндаулар жYзеге асырылып, олардыц эдiстемелiк сапасы: кврнекiлiгi, колжет1мдшп, мYмкiндiлiгi, колданылуы косымшаларда колдануы карастырылды.
Вектор тYсiнiгiн эртYрлi тэсiлдер аркылы енпзе отырып, мектеп окулыктары мен геометрияныц оку эдiстемелiк куралдарын карастыру квзделедь Мектепте векторды векторлык кещспк элемент ретiнде карау идеясы вте колжетiмдi болып табылады. Колмогоровтыц айтуынша, вектор шекиздш угымын тужырымдама ретiнде орта мектеп багдарламасында оныц касиеттерi мен жацашылдыгын ескере отырып, аксиома тYрiнде енгiзу Yлкен мацызга ие болар едь Склярлык мэндер жYЙесiн бiр влшемдi векторлык шексiздiк ретiнде карастыру, ал екi влшемдi тегiстiк практикалык жэне интуитивтi квзкарас тургысынан, непзшен, орта мектептщ жогары сынып окушысына колжеимд^ ал баршага мiндеттi мундай окыту жалпы бiлiм беруге оц эсерiн тигiзер едi.
И.А.Лурье мен С.Т.Тхамфокованыц зерттеуi бойынша, вектор угымы векторлык шексiздiк элементi теориялык жэне эксперименталды турде дэлелдендi, эрi казiрдщ взiнде негiзiнен жетiншi сынып окушысына колжетiмдi болып тур. Жогарыда аталган авторлардыц векторлык ецбегiн оку курамына енгiзу, окушыларга векторлык алгебраны барлык окытуда косымша мYмкiндiктерге ие болады.
Сонымен катар, оку курамыныц материалы бiр интерпретация тургысынан векторлык кещспктщ баска интерпретация терминiнiц бiрiн зерттеуге мYмкiндiк бередi (мысалы, козгалыс жылдамдыгын параллельдi тасымалдау координат формасында багыттау).
Бiр вектордыц шексiздiктен екiншi бiр векторлык шексiздiкке ауыстыру окушыныц утымды бiлiм алуына мYмкiндiк бередi. Алайда, мундай презентациялар коллинарлык векторларды ескерместен, ею сызыксыз векторлардыц ыдырауы жэне скалярлык вектор жумыстары квп уакыт алады. Сонымен катар, шамадан тыс векторды аныктау когамдастыгы авторларга алгебраны бвлек параллелдi тасымалдау тYрiнде карастырып, ал вектордыц параллелдi тасымалдау болып есептелшетшдш тек корытынды бвлiмiнде аныкталады. Векторды булай жаппай мектепте енпзу киындыкка экеп соктырады.
Векторды параллельдi тасымалдау трактовкасы А.Н.Колмогоров пен З.А.Скопецтщ редакторлыгымен геометрия курсында кабылданды. Мундай тэсшдщ артыкшылыгы бiркатар ережелер мен аныктамалардыц шынайылыгында болып табылады: векторды косу Yшiн Yшбурыш
ережелер^ векторды аныктау, карама карсы бер^^ векторларды осы тэсшмен тецеснру - бул бiрден бiр параллельдi тасымалдау болып саналады [4].
Вектор TY^Hin жэне векторлык алгебра элементтерi кврсетiлген окулыктарда геометрияны жэне оныц касиеттерш бiрталай геометриялык есептердi жэне перпендикулярлы шексiздiктердi карастыру колданылады. Вектордыц бул интерпретациясы айкындык пен окшауландырудыц болмауынан сынга ушырады. Шындыгында, векторды аударма реннде карастырып, авторлар вз нускалары мен иллюстрацияларына багытталган кесiндiлердi колдана отырып пайдаланады.
«Вектор» угымыныц карастырылган эрбiр трактiсi белгiлi бiр эдiстемелiк касиеттерге ие; мысалы, вектордыц векторлык кещспктщ элементi ретiнде тYсiндiрiлyi квзкарастыц ортактыгын, баска терминдердегi интерпретациялардыц бiрiн зерттеу мYмкiндiгiн камтамасыз етед^ вектордыц параллель тасымал ретiнде тYсiндiрiлyi бiркатар аныктамалардыц табигилыгын, баяндау кезвде геометриялык материалды колдануды жэне баскаларды бiлдiредi. Эрбiр iске асырудыц жалпы кемшiлiктерi: векторлык алгебраныц кейбiр теориялык фактшерш баяндаудыц кYPделiлiгi векторды санга квбейту зацдарыныц дэлелдемесi, векторлар мен процестердщ скалярлык туындысы Yшiн дистрибутив^ зац (физикада векторлык теццiк жазылганнан кейiн тiкелей координаттарга квшу жYзеге асырылады), физика курсымен кейбiр алшактык геометрияда жэне физикада есептердi векторлык шешудщ ажыратылган эдiстерi есебiнен (физикада векторлык тецщк жазылганнан кейiн) нкелей координаттарга квшу жYзеге асырылады. Вектор угымыныц кейбiр тYсiндiрмелерi жеткiлiксiз кврнекшкке ие (вектор эквиваленттi багытталган кесшдшер класы ретiнде, вектор, векторлык кещспктщ элементi ретiнде, вектор параллельдi тасымал ретшде). Осылайша, векторды параллельдi ауыстыру ретiнде енгiзy киынга тYседi, бул жагдайда вектордыц тYсiндiрiлyiн багытталган сегмент ретшде колдану керек.
Алайда, векторлык сегменттердщ баламалы багыттарыныц класы ретшде карастырылуы реттелетiн сегменттер жиынтыгында эквивалентпк катынасын енгiзгенде (бiрдей узындыктары бар багыттар жэне бiрдей багыттар тец немесе тец деп саналады) барлык багыттагы сегменттер жиынтыгы эквиваленттiк кластарга бвлiнедi. Эквиваленттiк кластардыц эркайсысы вектор деп аталады. Вектордыц тужырымдамасын енпзуге осы квзкарасты iске асыру окулыкта тэжрибе ретiнде жYзеге асырылады. Мундай квзкарас студенттерге осындай дерексiздiктi мецгеруд кажет етедi, сондыктан окушыларга эквивалентпк класс тYсiнiгi киын. Тэжiрибе кврсеткендей, стyденттердiц жас ерекшелiктерiне жэне олардыц математикалык абстракцияларын кабылдауга дайын болмагандыктан, олар вектордыц эквиваленттiк классын кабылдауы киын. Г.П. Бензаныц байкауына сэйкес, студенттер кейде келесiлердi дэлелдейдi: «Егер вектор бiрдей узындык пен бiр багытта барлык багытталатын сегменттер жиынтыгы болса, онда бул жиынтык барлык жазыктыкты камтиды, сондыктан векторлар жазыктыкты жабады». Мундай квзкараста теориялык материалдарды, атап айтканда, вектордыц скаляр внiмi Yшiн бвлу зацын дэлелдеу кезшде киындыктарды болдырмау мYмкiн емес.
Белгшенген сегменттердiц эквиваленттiк сыныптары бойынша операциялар осы сыныптардыц вкiлдерi мен (ретп сегменттер бойынша) операцияларды пайдалана отырып аныкталады.
Осылайша, осы квзкараспен вектор векторлардагы операцияларды аныктау Yшiн жэне векторларды колдану Yшiн багыттык сегмент реннде тYсiндiрiледi.
Осылайша, вектордыц эквиваленттi багытталган сегменттер класы ретшде накты аныктамасы - бул жазыктыктыц (кецiстiктiц) кез келген нYктесiне параллель болатын, ягни кез келген баска эквиваленттiк ^рдей) багыттык сегменттiц квмегiмен ауыстырылып, багыт секциясы ретiнде векторды тYсiндiредi. Мундай директива дурыс емес, сондыктан кейде теориялык тургыдан квп сынга ушырайды [4]. Алайда, егер баска позициядан карасак, онда багытталатын сегмент векторды кабылдау Yшiн эбден занды болып табылады, вйткеш векторды накты санмен квбейту жэне квбейту операцияларыныц эдеттеп аныктамалары бар, ол векторлык кещспктщ элементi болып табылады (1-8.о.13 аксиомаларды карацыз).
Вектордыц багыттык сегмент реннде тYсiндiрiлyi математика курстары сиякты мектепте де, университетте де (математикалык мамандыктар Yшiн) дэстYрлi емес, айкын жэне колданбалы болып келедi.
Физикадагы мектеп курсы Yшiн вектордыц багытталган сегмент ретшде TYCiH^pwyi де ьщгайлы. Э.Е. Евенчик жэне Л.П. Урначев атап айтцандай. «Вектор ретiнде багытталган сегменттщ угымы физикалыц векторлыц кeлемдердi енгiзуге мYмкiндiк бередЬ> [5].
Дегенмен, егер векторлар багытталган сегменттер репнде тYсiндiрiлсе, вектордыц координаттарын (мысалы, мектеп физикасы курсында жасалады) дереу байланыстыратын болса, онда бул тужырымдаманыц ею математикалыц интерпретациясы кец цолданудыц мYмкiндiктерiмен бiрге енгiзiлгенiн бiлдiредi (арифметикалыц вектор) .
Бул сурацтыц паллиативтi шешiмi алгебрадан кейiн векторлыц координаттардыц багытталатын сегменттерiн жэне координациялыц нысан бойынша векторларга цатысты эрекеттердi царастырады. Бул жагдайда вектор геометриялыц болып саналады, ал координаттары оган «бешмделедЬ>. Мундай кезцарас зерттеу уацытыныц едэуiр жогалуына экелмеген жагдайда, цандай да бiр царсылыцтар тудырмас едi. Тусаукесердiц осындай жYЙелiлiгiмен геометриялыц жэне координаттыц нысандардагы векторлардагы операциялардыц цасиеттерiн дэлелдеу керек, теориялыц материалды усыну кезiнде циындыцтардан аулац болуга болмайды. (бурында керсетшген, векторлардыц скалярлыц кeбейтiндiсi туралы зац жэне т.б.).
Сонымен цатар, координат тYрiнде берiлген векторлардагы операциялардыц цасиетт^ ете оцай дэлелдендi. Сондыцтан, векторларды зерттеудi жетiлдiрудегi мацызды цадам геометриялыц жэне координаттыц нысандардагы векторларды параллель зерттеу болып табылады.
Буны юке асырудыц негiзгi кемшiлiгi - векторлыц аппаратты цолдану оныц енгiзiлуiне тура келмейдь
Осылайша, «вектор» угымы царастырылган дэстYрлi iске асырулардыц бiрде-бiрi мектеп математикасыныц цажеттiлiгiн, сондай-ац оныц цосымшаларыныц цажеттiлiгiн толыгымен цамтамасыз етпейдi. Геометриялыц формадагы векторлар операцияларын егжей-тегжейлi цараганнан кейiн, вектордыц координаттары жэне векторлардыц координаталыц формадагы эрекеттерi царастырылды, векторларды цолдану мYмкiндiгiн айтарлыцтай кYшейтуге мYмкiндiк бередi, бiрац векторлыц алгебра теориялыц материалыныц кейбiр бeлiгiн зерттеудiц жогарыда белгiленген циындыцтарымен байланыстырылган проблемаларды шеше алмайды (мундай тэсiлде оцу уацытын жогалтуга алып келедi, векторлармен операциялар цасиеттершщ дэлелдемесiн цайталауга тура келедО [6].
Белгiленген дэлелдердi ескере отырып, орта мектептiц математика курсына векторлар мен олардыц координаттарын енпзу мэселес А.В. Погореловтыц жэне Н.М. Рогоновскийдщ кезцарастары тургысынан алганда геометрия оцулыцтарында аныцталган эдiснамалыц тургыдан орынды болып табылатынын мойындау керек, онда вектор аныцталган сегмент ре^нде аныцталады, ал бiрден вектордыц координаттары пайда болады. Мундай кезцарас векторлардагы операцияларды векторлардагы дэлелдеудiц циындыцтарын жойып, олардыц цасиеттерi оцушыларга жацсы белгiлi сандарды шыгаруга мYмкiндiк беретiн координат тYрiндегi векторлар бойынша операцияларды аныцтауга мYмкiндiк бередi. (Мысалы, векторлардыц скаляр кeбеюi Yшiн Yлестiрiм зацныц дэлелдеуi мацызды емес есептердi талап етедi, оны усынудыц басца жолдарында дэлелдеу ец Yлкен циындыцты тудырады). Геометриялыц турде векторлардагы операциялардыц магынасы координаттыц турде аныцталады, оныц дэлелi - царапайым. Муныц бэрi оны барлыц теориялыц материалдарды усынуга мYмкiндiк бередi
Физика Yшiн бул тэсiл ете цолайлы. Шет елдiц галымдарыныц зерттеулерiнде, соныц iшiнде David E. Meltzer керсеткендей, координаталыц форордагы векторлардыц цасиеттерiн цолдану механиканы зерттеуде ете тиiмдi жэне оцушыларга векторлыц цундылыцтыц негурлым терец тYсiнуiне мYмкiндiк бередi [7].
Оныц Yon^, Т.М.Кориковтыц зерттеуiнде атап еткендей, кещспктеп векторлардыц координациялыц спецификациясы оларды алгебралыц жэне тригонометриялыц тецсiздiктердi зерттеуде тиiмдi пайдалануга мYмкiндiк береди
Векторлыц жэне координаттыц эдiстi шектеу, егер векторлар багытталган кескiн ретшде енпзшсе, ал векторлармен операцияларды аныцтау жэне олардыц цасиеттерiн дэлелдеу координаттыц турде берiледi, векторлыц алгебраныц теориялыц материалын шагын жэне цолжетiмдi баяндау проблемасын шешуге жэне бiр мезгшде мектеп курсында векторларды кYшейтуге мYмкiндiк бередi.
Сонымен, векторлыц жэне координаттыц эдютердщ органикалыц YЙлесiмi негiзiнде (ягни координаттыщ непзде багытталган кесiндiлердi Yйрету) векторларды зерделеудщ тэсiлi математиканы оцытудыц негурлым айцын мацсаттарын жYзеге асыру цуралы болып табылады.
ПайдаланылFан эдебиеттер
1. Буюбаева К. Векторларды геометриялык; есептерге цолданудын тарихи-эдютемелж мэселелерг // Алгорифм, 2003. - № 5. 19-22 б.
2. Michael Crowe. A History of Vector Analysis /www. researchgate.net
3. Беккер Б. М. Применение векторов для решения задач : Учеб. пособие для учителей и учащихся / Б. М. Беккер. В. Б. Некрасов. - СПб.: НПО "Мир и семья-95", 1997. - 127 с.
4. Азиев И.К. Решение алгебраических задач с помощью скалярного произведения // Математика в школе. 2007. № 4. C. 6-8.
5. Евенчик Э. Е. Преподавание механики в курсе физики средней школы / Акад. пед. наук СССР. -М.: Просвещение, 1967. - 179, [1] с.
6. Нелин Е.П. Методическое особенности изучения векторов в курсе планиметрии при их введении на координатной основе. Автореф. ... к.пед. н. М., 1984.
7. Ngoc-Loan Nguyen and David E. Meltzer. Initial understanding of vector concepts among students in introductory physics courses Mmerican Journal of Physics 71(6) • June 2003
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ВНЕДРЕНИЯ ПОНЯТИЙ «ВЕКТОР» В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ
А. У. Даулеткулова1, Г.Б. Алихан 2 1 к.п.н., и.о. асс. профессора, 2 магистрант специальности 6М010900-Математика 1 2 Казахский Национальный женский педагогический университет, Алматы, Казахстан
email: [email protected]
В статье раскрывается методы преподавания темы «вектор» при изучении геометрии в основной школе. Для повышения эффективности усвоения обучающимися темы векторов рассматриваются вопросы исторического анализа, так же методы обучения с которыми сталкиваются учащиеся при изучении этой темы. Данные проблемы раскрывается научными методами, направленных на обеспечение изучения темы векторов на курсе геометрии основной школы.
Каждый тракт, предусмотренный понятием "Вектор", обладает определенными методическими свойствами; например, интерпретация вектора как элемента векторного пространства обеспечивает общность взгляда, возможность исследования одной из интерпретаций в других терминах.
Ключевые слова: вектор, векторная бесконечность, сегмент, неравенство, векторный и координатный метод
VARIOUS WAYS TO IMPLEMENT THE CONCEPTS OF "VECTOR" IN THE SCHOOL COURSE
A. U. Dauletkulova 1, G.B. Alikhan 2 1 Cand. Sci. (Pedagogy), acting Associate Professor 2 Master student of the specialty 6M010900 - Mathematics 1,2 Kazakh National Women's Teacher Training University, Almaty, Kazakhstan email: [email protected]
The article reveals the methods of teaching the topic "vector" in the study of geometry in primary school. To improve the efficiency of learning the theme of vectors are considered historical analysis, as well as teaching methods faced by students in the study of this topic. These problems are revealed by scientific methods aimed at ensuring the study of the topic of vectors in the geometry course of the main school.
Each path, provided by the concept of "Vector", has certain methodological properties; for example, the interpretation of the vector as an element of vector space provides a common view, the possibility of studying one of the interpretations in other terms.
Keywords: vector, vector infinity, segment, inequality, vector and coordinate method
PegaKUHara 30.05.2019 Ka6bmgaHgbi
