Вариационный вариант модели теплового пробоя слоя твердого диэлектрика при постоянном напряжении Текст научной статьи по специальности «Физика»

Радиооптика

ХДК 517.1

Вариационный вариант модели теплового пробоя слоя твердого диэлектрика при постоянном напряжении

Зарубин В. С.1'*, Кувыркин Г. Н.1, Савельева И. Ю.1 *[email protected]

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Представлена дифференциальная форма математической модели, описывающей установившийся процесс переноса тепловой энергии в пластине, материал которой обладает обладает свойством поглощать проникающее излучение с интенсивностью, нелинейно возрастающей с увеличением локального значения температуры. Проведено преобразование указанной формы модели к вариационной формулировке соответствующей нелинейной задачи стационарной теплопроводности. Эта формулировка содержит функционал, стационарные точки которого соответствуют как экстремальным значениям (минимуму и/или максимуму), так и объединению экстремумов, образующему точку перегиба на графике зависимости функционала от коэффициента функции, аппроксимирующей одномерное распределение температуры в пластине. Показано, что реализуемому в пластине установившемуся температурному состоянию отвечают лишь стационарные точки, отвечающие одному или двум минимальным значениям функционала. Путем анализа стационарных точек функционала установлены условия, при которых в рассматриваемой пластине возможна реализация установившегося распределения температуры.

Ключевые слова: математическая модель; диэлектрик; функционал; тепловой пробой

Введение

Материал твердого диэлектрика с идеальной структурой формально имеет нулевую электропроводность (далее будем использовать термин "проводимость") и не пропускает электрический ток. Но применяемые в качестве твердых диэлектриков реальные материалы обладают сравнительно малой, но все же конечной проводимостью, которая обычно увеличивается с ростом температуры [1, 2, 3]. Удельное сопротивление таких диэлектриков, как величина, обратная проводимости, велико и при нормальной температуре находится в диапазоне 1016 ... 1018 Ом • м и выше [4, 5, 6]. Зависимость проводимости твердых диэлектриков от температуры соответствует экспоненциальной функции, по виду совпадающей с формулой для распределения Больцмана микрочастиц по уровням энергии [7].

В случае постоянной разности потенциалов на поверхностях слоя диэлектрика через этот слой проходит электрический ток, вызывая выделение джоулевой теплоты, которая при

Ссылка на статью:

// Радиооптика. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. №5. С. 38-50.

Б01: 10.7463/^ор1.0516.0848088

Представлена в редакцию: 10.10.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

установившемся режиме работы должна быть отведена во внешнюю среду. Недостаточная интенсивность теплоотвода приводит к росту температуры диэлектрика, увеличению его проводимости и плотности электрического тока, что увеличивает объемную мощность энерговыделения в диэлектрике, т.е. возникает положительная обратная связь, в силу которой происходит быстрый рост температуры, завершающийся тепловым разрушением материала диэлектрика (расплавлением, науглероживанием) [8]. Такой процесс носит название теплового пробоя диэлектрика в отличие от пробоя электрического [1, 3, 8].

Исследование условий возникновения теплового пробоя диэлектрика связано с анализом достаточно сложной нелинейной математической модели, допускающей аналитическое решение в замкнутой форме лишь для плоского или цилиндрического слоя диэлектрика путем упрощения зависимости проводимости диэлектрика от температуры. В данной работе этой модели поставлена в соответствие вариационная форма [7, 9], содержащая функционал, анализ стационарных точек которого позволяет установить сочетание параметров, определяющих предельное состояние слоя диэлектрика перед тепловым пробоем, в частности так называемое пробивное напряжение.

В технике наиболее распространены слои диэлектрической электроизоляции постоянной толщины, расположенные между электродами с плоскими или круговыми цилиндрическими поверхностями. Если условия теплообмена на внешней поверхности каждого электрода заданной толщины с заданным значением электрического потенциала определены постоянными значениями коэффициента конвективного теплообмена а и температуры Т* окружающей среды, а толщина к слоя диэлектрика между электродами мала по сравнению с размерами слоя в тангенциальных направлениях, то возникающее в слое распределение температуры Т можно считать одномерным, зависящим лишь от одной координаты г в направлении общей нормали к поверхностям электродов. В случае плоского слоя диэлектрика начало отсчета координаты г выберем на одной из поверхностей контакта этого слоя с электродом, а в случае цилиндрического слоя — на его оси. Тогда установившееся распределение температуры в слое диэлектрика будет удовлетворять дифференциальному уравнению [10]

где А — коэффициент теплопроводности материала диэлектрика, п равно нулю или единице в случае соответственно плоского или цилиндрического слоя; 7 — зависящая от температуры проводимость материала диэлектрика; Е — напряженность электрического поля в диэлектрике.

Для однозначного решения уравнения (1) необходимо сформулировать граничные условия на поверхностях слоя диэлектрика. Электрический и тепловой контакт между диэлектриком и электродами примем идеальным. Термические сопротивления плоских электродов

1. Основные соотношения

(1)

с толщинами к0 и кь имеющих коэффициенты теплопроводности Ао и А1 соответственно, будут равны к0/А0 и к1/А1. Для суммарных термических сопротивлений между каждой поверхностью слоя диэлектрика и средой, с которой происходит конвективный теплообмен на внешней поверхности соответствующего электрода, справедливы равенства

л = ко + -, Л = к1 + -,

А0 а0 А1 а1

что позволяет представить граничные условия на поверхностях плоского слоя диэлектрика в виде

Л

dT(r) _Tc - T0* ^dT(r) _T* - Th

„ R0 dr

r=0 0

1 Ri

r=h 1

(2)

dr

где T(0) = T(0) и Th = T(h).

В случае цилиндрического слоя диэлектрика граничные условия на его поверхностях определяют формулы, аналогичные по структуре равенствам (2), в который суммарные термические сопротивления будут равны соответственно [ 10]

ro = ^ü lnf 1 а + r0 RO = h ln(l + h/r0 + h1/r0) + _h_

0 Л0 U - h0/r^ «0(r0 - Лю)' 1 Л1 ln(1 + h/r0) 0^0 ln(1 + h/r0)'

Проводимость твердого диэлектрика с кристаллической структурой связана, в основном, с перемещением носителей электрического заряда в виде ионов основного материала диэлектрика и примесей [1,3]. Ее зависимость от температуры можно представить в виде

( W \

7(T ) = 7° ехр(-—)' (3)

где y0 — предэкспоненциальный множитель, фиксированный для каждого материала диэлектрика; W — энергия активации носителей заряда в диэлектрике; k0 = 1,38 • 10-23 Дж/К — постоянная Больцмана. Значение отношения W/k0 для твердого диэлектрика лежит в пределах (1... 2,2) • 104 К [6].

Произведение yE определяет локальное значение плотности электрического тока в диэлектрике, которое для плоского слоя не зависит от координаты r, а в цилиндрическом слое обратно пропорционально значению этой координаты. В силу зависимости проводимости диэлектрика от температуры распределение E(r) напряженности электрического поля

по толщине слоя диэлектрика связано с распределением T(r) температуры соотношением

d(rnY(T)E(r)) dU(r) тт( ,

—-—= 0. В данном случае E (r) =--, где U (r) — распределение электри-

dr dr

ческого потенциала по толщине слоя диэлектрика. Тогда с учетом равенства (3) получим дифференциальное уравнение

■d (г*dUM ехр(__W_=0, (4)

dr у dr V k0 T (r) /) '

решение которого будет содержать две константы. Значения этих констант зависят от заданных значений электрических потенциалов электродов, одно из которых можно принять равным нулю.

В случае цилиндрического слоя диэлектрика примем и(т0) = 0 и и(т0 + к) = и1 > 0, что для плоского слоя при г0 = 0 будет соответствовать равенствам и (0) = 0 и и (к) = и^ После интегрирования уравнения (4) и определения констант находим

йи М- и ехр^ )( ТехрГ^ 1 ^ Г (5)

йг тп \к0Т(г)) \ \к0Т(г)/ тп

\ го

Подстановка этого равенства в соотношение (1) приводит к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка относительно распределения Т(г) температуры в слое диэлектрика.

Известны решения сформулированной задачи для частных случаев цилиндрического слоя диэлектрика с идеально теплоизолированной внутренней поверхностью и плоского слоя, одна из поверхностей которого также идеально теплоизолирована [1]. При получении этих решений использована табулированная интегрально-показательная функция. Решения для указанных случаев удается представить в элементарных функциях, если зависимость (5) аппроксимировать формулой 7(Т) = 7* ехр(аТ) с постоянными значениями 7* и а. Последующий анализ указанных решений позволяет установить условия, при которых эти решения перестают существовать, что и определяет состояние теплового пробоя диэлектрика. Вместе с тем математической модели, включающей представленные выше соотношения, можно поставить в соответствие вариационную форму модели, которая непосредственно путем использования приближенных распределений температуры и электрического потенциала в слое диэлектрика дает возможность оценить критическое значение разности электрических потенциалов, при котором наступает состояние теплового пробоя диэлектрика.

2. Вариационная форма математической модели

При построении вариационной формы математической модели теплового пробоя диэлектрика в приведенных выше соотношениях целесообразно перейти к безразмерным величи-

нам Z = r/h, f0 = r0/h, в = k°T/W, R° = AR°/h, R1 = AR^h, R°0 = AR°/h, R\ ß = Ufk° y° / (AW). Тогда уравнение (1) с учетом равенств (3) и (5) примет вид

d ((• ^ 1 + | expf

го+1

cKV dz ) z

exp(eö) С

-2

ARi/h и

(6)

а граничные условия (2) перейдут в равенства

в* - в° + de

R

0

dz

С=»"о

в1 - в1 de R1 ~dZ

С=го+1

(7)

где ©0 = к0Т*/Ш; ©0 = к0Т0; ©1 = к0Тн/Ш; ©1 = к0Т**/Ш. В случае цилиндрического слоя диэлектрика Д0 и Щ в равенствах (7) следует заменить на Щ и Щ соответственно.

0

0

0

Умножив уравнение (6) на вариацию гв(£) и проинтегрировав это произведение по толщине слоя диэлектрика, запишем

71 (с - т н) +в/ч 4) ^ (/ч) | г=о.

После вычисления первого интеграла в левой части этого равенства получим

(го + 1)" ^)

¿с

ге, - г"ае(()

го+1

гво - I с"^ г^ ^

А - ■) ас ас

С=го го ь ь

С=го+1 ^

Заменив первый интеграл этим результатом и сложив после этого указанное равенство с результатами умножения соотношений (7) соответственно на Г" гв0 и (г0 + 1)" гв1, запишем

го+1 0 го+1 ^ <-^/.,.4 , * /го+1 _ ,, \-2

21 'с -(т )2 +в 7'ч 4) (Тч ,1с)) а")- +

Г о ' Г 0 - \ го )

А* _ А А* _ А

+ г"гв0 + (г + 1)"гв1 = о. (8)

Равенство (8) соответствует условию г/[в, гв] = 0 стационарности [11] функционала

/ [в] = 2/(^ )2С * ¿С + в02лР в0Г" + «.(г, + 1)" -

Г

Го+1 ©(С) / го+1 ,л\-2

- в /£ /Чв) ав( 1 ехр( о!^}) $ , (9)

Го ©* \ Го /

где в* — нижняя грань множества возможных значений в > 0. Этот функционал допустимо рассматривать при условии г0 ^ ( ^ г0 + 1 на множестве непрерывных и кусочно дифференцируемых функций В(£). При идеальной теплоизоляции одной из поверхностей слоя диэлектрика термическое сопротивление на этой поверхности стремится к бесконечности, что приводит к исчезновению соответствующего слагаемого (второго или третьего) в правой части формулы (9). Если на одной или обеих поверхностях слоя диэлектрика вместо условий теплообмена с окружающей средой заданы фиксированные значения температуры, которым отвечают безразмерные значения в0 или/и в1, то в правой части соотношения (9) следует опустить второе или третье слагаемое (или оба этих слагаемых). В этом случае допустимая функция при ( = г0 или/и ( = г0 + 1 должна принимать соответствующее безразмерное значение.

3. Исследование стационарных точек функционала

Рассмотрим свойства функционала (9) применительно к плоскому слою диэлектрика (п = г0 = 0). Примем поверхность слоя при ( = 0 идеально теплоизолированной, а на поверхности при ( = 1 зададим значение в1 = В1 > 0 безразмерной температуры. В данном случае значение В1 будет точной нижней гранью возможных безразмерных значений

температуры в слое диэлектрика, а в правой части формулы (9) будут отсутствовать второе и третье слагаемые.

Допустимой для функционала (9) будет квадратичная функция ©'(£) = В(1 — (2) + В1, удовлетворяющая граничным условиям на обеих поверхностях слоя диэлектрика. Эта функ-

ция содержит коэффициент В, определяемый условием

онала, принимающим вид

1

2в

1 — С

2

14(В) 0 (©'(С))2

ехр

©'(С)

¿с I ехр(©7^ ¿с/ йс! ехр(4)¿©+

0 ) 0 Б!

д.1 [в] ~0Е

е»'(с)

0 стационарности функци-

1

в,

+

в

где

11 (В)

12 (В)

ехр

/(1—< 2)ехр( ©тЬ1 «—4 В=0

(10)

©'(С)

¿С

Равенство (10) не удается разрешить относительно коэффициента В, но связь этого коэффициента с параметром в можно представить графически в виде зависимости в от В. На рис. 1 с использованием равенства (10) сплошной кривой без символов представлена такая зависимость при значении В1 = 0,03, что соответствует температуре 300 К, если в качестве значения Ш/к0 принять нижнюю границу 104 К указанного выше интервала изменения этой величины. Эта зависимость при В* « 10,52 • 10-4 достигает максимального значения в7 ~ 6,77 • 10-4 (указанные значения найдены путем представления левой части равенства (10) в виде функции f (В, в) двух переменных с последующим решением задачи безусловной минимизации [12, 13] для функции f (В, в)2 ).

Установленная связь между параметром в и коэффициентом В позволяет исследовать зависимость рассматриваемого функционала от В при фиксированных значениях в и заданном значении В1, представив его как функцию 71(в, В,В1). На рис. 1 пунктирная линия соответствует зависимости от В при в = 3,3 • 10-4, имеющей единственный минимум при значении В « 2,11 • 10-4, удовлетворяющем условию стационарности функционала. В его стационарной точке вертикальная штриховая линия на рисунке связывает ординату выбранного значения параметра в с ординатой минимального значения функции 71, равного примерно —2,3 • 10-8. Единственность минимума означает единственность описываемого выбранной допустимой функцией ©'(С) установившегося температурного состояния слоя диэлектрика.

Последующее увеличение параметра в приводит к появлению еще одной стационарной точки, но соответствующей максимуму функционала, которой отвечает неустойчивое распределение температуры в слое диэлектрика. На рис. 1 при значениях в, равных 5 • 10-4, 6 • 10-4 и 6,5 • 10-4, соответственно штрихпунктирной и штриховой линиями и сплошной кривой с треугольниками представлены зависимости функции от В. По мере возрастания в абсциссы экстремумов этой функции сближаются и при максимальном значении

1

1

1

1

1

Рис. 1. Зависимости параметра в и функционала J1 от коэффициента В

в7 происходит объединение стационарных точек функционала (на сплошной кривой с темными кружками стационарной точке соответствует точка перегиба, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс). Для значений в > в7 зависимость от В является строго монотонной (сплошная кривая с крестиками при в = 7 • 10-4), что означает нереализуемость описываемого функцией ©'(С) установившегося температурного состояния слоя диэлектрика.

Таким образом, значение в* параметра в = Щк070/(ЛЖ) следует рассматривать как предельное, при котором еще возможно существование в слое диэлектрика установившегося температурного состояния, описываемого функцией ©'(С). Тогда значение и' =

в*ЛЖ/(к070) можно считать предельной разностью потенциалов на электродах, превышение которой приводит к тепловому пробою плоского слоя диэлектрика между этими электродами.

Для сравнения в качестве допустимой для функционала (9) примем тригонометрическую функцию ©"(С) = О ео8(п^/2) + В1, также удовлетворяющую граничным условиям на обеих поверхностях рассматриваемого плоского слоя диэлектрика, как и функция ©' (С). Из условия

дJ [в]

дБ

0 стационарности этого функционала получим

2в 1 еов(пС/2)

124(О) 0 (©''(С))2

ехр

©"(С)

©"(С)

¿с/¿с/¿С / ехр(ё) ¿© +

+

12 (О)

0 Б1 1

©Тс).

(1 в,

в /Че^ьт*— ¥О = 0 (11)

где

©"(С).

1

1

1

1

Рис. 2. Зависимости параметра в и функционала 32 от коэффициента Б

На рис. 2 с использованием равенства (11) сплошной кривой построен график зависимости параметра в от коэффициента О при прежнем значении В = 0,03, достигающей максимального значения в** & 7,29 ■ 10-4 при О* & 12,25 ■ 10-4 (значения в** О* найдены также путем решения указанной выше задачи безусловной минимизации функции двух переменных). Эта зависимость позволяет представить функционал (9) в виде функции 32(в, О, В) и построить графики ее зависимости от коэффициента О при различных значениях параметра в. Вид этих графиков на рис. 2, построенных при значениях в, равных 4,5 ■ 10-4, 6 ■ 10-4, 6,5 ■ 10-4, 7 ■ 10-4 и в" (соответственно пунктирная, штрихпунктирная и штриховая линии, сплошные кривые с треугольниками и темными кружками), аналогичен графикам на рис. 1. Сплошная кривая с крестиками на рис. 2 отвечает значению в = 7 ■ 10-4 > в*, при котором установившееся температурное состояние слоя диэлектрика, описываемое функцией в"(£), не может быть реализовано.

Полученные значения в* и в** являются лишь оценками истинного предельного значения в* параметра в. С прикладной точки зрения необходимо располагать количественной мерой погрешности каждого из приближенных значений, чтобы выбрать из них более близкое к истинному.

4. Интегральная оценка погрешности

Истинному распределению в* (() безразмерной температуры в плоском слое диэлектрика соответствует безразмерная плотность ) = —dв*(()/d( теплового потока, удовлетворяющая уравнению (6) в виде

1 — 2 ^вК 1 вхр^кУ- (12)

<*С .....ЧвдоЛГ

Приближенное распределение ©(() безразмерной температуры в общем случае не удовлетворяет уравнению (6), следующему из закона сохранения энергии. Этот закон не будет нарушен, если плотность «(£) теплового потока, соответствующую функции ©(£), определить соотношением

«(С > = в/ехР( ©о) (Ы ©О1 Г' <13)

которое следует из равенства (12) после замены в нем ©*(() на ©(() и учитывает, что «(0) = 0 на идеально теплоизолированной поверхности слоя при ( = 0. Но при этом в общем случае не будет выполнено равенство ) + ¿©(С= 0, следующее из гипотезы Био —Фурье. Величину

а = /(«<о + ^ о«)

0

можно рассматривать как интегральную меру погрешности приближенного решения рассматриваемой задачи и использовать ее при сравнительной оценке близости полученных значений в*' и в*'' к истинному значению в* .

Необходимо отметить, что интегральная оценка погрешности, определяемая формулой (14), совпадает с результатом, который следует из сопоставления значений альтернативных функционалов, составляющих двойственную вариационную формулировку рассматриваемой задачи. Альтернативный функционал по отношению к функционалу (9) определен не только на допустимых распределениях температуры, но и на связанных с ними распределениях плотности теплового потока [10, 14]. Стационарные точки альтернативных функционалов на истинных распределениях совпадают, а на приближенных разность значений этих функционалов определяет формула (14).

Проведем сравнение значений А, соответствующих двум выбранным выше в качестве допустимых для функционала (9) функций ©'(С) и ©"(С). В предельном состоянии, предшествующем тепловому пробою слоя диэлектрика, первая из этих функций приняла вид ©'*(С) = В*(1 — С2) + В1, где В* = 10,52 • 10-4 и Вх = 0,03, а вторая — ©*(С) = О* сов(п(/2) + В1, где О* = 12,25 • 10-4. На рис. 3 с умножением на 104 значений ординат всех графиков представлены зависимости ) = В* (1 — (2) и ) = О* сов(п(/2) от ( соответственно штриховой и пунктирной линиями. Сплошной кривой и штрихпунк-тирной линией на этом рисунке приведены графики зависимостей соответственно ) и ) от (, построенные с применением формулы (13). В первом случае в правой части этой формулы использована функция ©'*(() и значение в* = 6,77 • 10-4, а во втором— функция ©'*'(() и значение в*' = 7,29 • 10-4. В обоих случаях функция f (() = ) + -^т1

при С > 0 отрицательна. Поэтому на рисунке представлены зависимости от ( функций!

—в"(0

(сплошная кривая с треугольниками) и ^'(С)| = «''(С) + *

(С) +-вис 1

!/"* (С)| ч *чъ/ 1 (штрихпунктирная линия с треугольниками).

—С

Г, Г'г д[ ц'\ 1/4 \П

12 10

А----

1 "Д..

у' ч

Д / д \

/ * \

/ / /

/ / Чч** / ! /

/ £ / /

//

/ X

/ \ \ X

/ ч ч

/ / к

/ ___^ N ч \

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Рис. 3. Зависимости функций Е, д и / от (

Полученные результаты использованы для вычисления по формуле (14) значений А' « ~ 1,034 ■ 10-7 и А'' ~ 11,567 ■ 10-7 при выборе в качестве допустимых для функционала (9) соответственно функций в' (() и ). Поскольку А' на порядок меньше А'', следует ожидать, что значение в' = 6,77■ 10-4 будет более близким к истинному значению параметра в по сравнению со значением в'' = 7,29 ■ 10-4.

Заключение

Анализ свойств функционала при рассмотренных допустимых функциях, аппроксимирующих установившееся распределение температуры в плоском слое диэлектрика, позволил установить связь между значениями безразмерного параметра в, включающего напряжение теплового пробоя диэлектрика, с видом стационарных точек функционала (экстремальных точек и точки перегиба с касательной, параллельной оси значений коэффициента в аппроксимирующей функции. Из проведенного сравнения интегральных оценок погрешности для двух вариантов аппроксимирующих функций (квадратичной и тригонометрической) следует, что более близким к истинному зкстремальному значению в будет значение, полученное при использовании квадратичной функции.

Список литературы

1. Сканави Г.И. Физика диэлектриков (область сильных полей). М.: Физматгиз, 1958. 908 с.

2. Воробьев Г.А., Похолков Ю.П., Королев Ю.Д., Меркулов В.И. Физика диэлектриков (область сильных полей). Томск: Изд-во ТПУ, 2003. 244 с.

3. Борисова М.Э., Койков С.Н. Физика диэлектриков. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1979. 240 с.

4. Электропроводность диэлектриков: веб-сайт. Режим доступа: http://www.websor.ru/ еккЦоргоуоёпов^&еккШсоу (дата обращения 06.10.2016).

5. Тареев Б.М. Физика диэлектрических материалов. М.: Энергоатомиздат, 1982. 320 с.

6. Электропроводность твердых диэлектриков: веб-сайт. Режим доступа: http://ctl.mpei.ru/ DocHandler.aspx?p=pubs/phd/4.3 (дата обращения 06.10.2016).

7. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

8. Пробой диэлектриков: веб-сайт. Режим доступа: http://www.websor.ru/proboi-dielektricoу (дата обращения 06.10.2016).

9. Зарубин В.С., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. 360 с.

10. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

11. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 488 с.

12. Аттетков А.В., Зарубин В.С., Канатников А.Н. Введение в методы оптимизации. М.: НИЦ ИНФРА-М, 2008. 272 с.

13. Аттетков А.В., Зарубин В.С., Канатников А.Н. Методы оптимизации. М.: ИЦ РИОР, 2012. 270 с.

14. Зарубин В.С., Станкевич И.В. Расчет теплонапряженных конструкций. М.: Машиностроение, 2005. 352 с.

Radiooptics of the Bauman MSTU, 2016, no. 5, pp. 38-50.

DOI: 10.7463/rdopt.0516.0848088

Received: 10.10.2016

© Bauman Moscow State Technical University

A Variation Model Option for the Heat Breakdown of Solid Dielectric Layer Under Constant Voltage

Zarubin V. S.1'*, Kuvyrkin G. N.1, Savel'eva I. Yu.1 *[email protected]

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: mathematical model, insulator, functional, thermal break

An ideally structured solid dielectric material formally has zero electrical conductivity (later on "conductivity") and does carry an electric current. However real materials, used as solid dielectrics, have relatively low, but still finite conductivity, which, generally, increases with increasing temperature. Conductivity of solid dielectrics versus temperature corresponds to the exponential function, which by sight corresponds to the formula for Boltzmann distribution of microparticles in energy levels.

In case there is a constant difference of potentials on the dielectric layer surfaces an electric current flows through this layer, causing Joule heat, which, under steady-state conditions, should be removed to the external environment. Inadequate heat removal rate leads to increasing temperature of dielectric, its increasing conductivity and electric current density, thereby increasing the volumetric capacity of the energy release in the dielectric, i.e. a positive feedback effect occurs to cause a quick growth of temperature culminating in the heat destruction of dielectric material (melting, carbonization). This process is called heat breakdown of the dielectric, apart from the electric breakdown.

Investigation of conditions for emerging dielectric heat breakdown is associated with the analysis of rather complicated nonlinear mathematical model that permits an analytical solution in a closed form only for a flat or cylindrical dielectric layer through simplifying a dependence of dielectric conductivity on the temperature. In this paper, the model is assigned to a variational form that contains a functional. An analysis of stationary points of this functional allows us to find a combination of parameters that determine the ultimate state of the dielectric layer before the heat breakdown, in particular so-called breakdown voltage.

References

1. Skanavi G.I. Fizika dielektrikov (oblast' sil'nykh polei) [Dielectics Physics (area of strong fields)]. Moscow, Fizmatgiz, 1958. 908 p. [In Russian]

Radiooptics

Electronic journal of the Bauman MSTU

http://radiooptics.ru

2. Vorob'ev G.A., Pokholkov Yu.P., Korolyov Yu.D., Merkulov V.I. Fizika dielektrikov (oblast' sil'nykhpolei) [Dielectrics Physics (area of strong fields)]. Tomsk, TPU Publ., 2003. 244 p. [In Russian]

3. Borisova M.E., Koikov S.N. Fizika dielektrikov [Dielectrics Physics]. Leningrad, LGU Publ. 1979. 240 p. [In Russian]

4. Elektroprovodnost' dielektrikov [The electrical conductivity of dielectrics]: website. Available at: http://www.websor.ru/ elektroprovodnost-dielektricov, accessed 26.10.2016. [In Russian]

5. Tareev B.M. Fizika dielektricheskikh materialov [Physics of dielectric materials]. Moscow, Energoatomizdat, 1982. 320 p. [In Russian]

6. Elektroprovodnost' tverdykh dielektrikov [The conductivity of solid dielectrics]: website. Available at: http://ctl.mpei.ru/ DocHandler.aspx?p=pubs/phd/4.3, accessed 26.10.2016. [In Russian]

7. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki splosh-noi sredy [Mathematical models of mechanics and electrodynamics for continuous media]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2008. 512 p. [In Russian]

8. Proboi dielektrikov [Breakdown of dielectrics]: website. Available at: http://www.websor.ru/ proboi-dielektricov, accessed 26.10.2016. [In Russian]

9. Zarubin V.S., Selivanov V.V. Variatsionnye i chislennye metody mekhaniki sploshnoi sredy [Variational and numerical methods of continuum mechanics]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 1993. 360 p. [In Russian]

10. Zarubin V.S. Inzhenernye metody resheniiazadach teploprovodnosti [Engineering methods for solving problems of heat conduction]. Moscow, Energoatomizdat, 1983, 328 p. [In Russian]

11. Van'ko V.I., Ermoshina O.V., Kuvyrkin G.N. Variatsionnoe ischislenie i optimal'noe upravle-nie [Variational calculus and optimal control]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2001. 488 p. [In Russian]

12. Attetkov A.V., Zarubin V.S., Kanatnikov A.N. Vvedenie v metody optimizatsii [Introduction to Optimization Methods]. Moscow, INFRA-M, 2008. 272 p. [In Russian]

13. Attetkov A.V., Zarubin V.S., Kanatnikov A.N. Metody optimizatsii [Optimization methods]. Moscow, RIOR Publ., 2012. 270 p. [In Russian]

14. Zarubin V.S., Stankevich I.V. Raschet teplonapriazhennykh konstruktsii [Calculation of heat-stressed designs]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2005. 352 p. [In Russian]