CC BY
15
УДК 536.424.1, 536.424.5
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
НОВИКОВА ТА., ОБУХОВ А.А., *ОБУХОВ А.В., ЛЕБЕДЕВ В.Г.
Удмуртский государственный университет, 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1
*НПО МКМ, 426072, г. Ижевск, ул. Ильфата Закирова, 24
АННОТАЦИЯ. Используя введение "сопряженных функций'' и соответствующих потоковых переменных, построен вариационный принцип, воспроизводящий уравнения критической динамики с необходимым набором граничных условий.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: критическая динамика, микроструктура, вариационный принцип, компьютерное моделирование.
ВВЕДЕНИЕ
Общая картина формирования процессов упорядочения [1,2] сводится к тому, что при замораживании физической системы в состоянии неупорядоченной фазы возникают процессы релаксации замороженных степеней свободы, происходящие в течение некоторого характерного времени. Масштабы длин упорядоченных областей, возникающих в исходной неупорядоченной (симметричной) фазе растут с различными характерными скоростями, определяющими конкуренцию различных фаз с нарушенной симметрией, тем самым выбирая реализующееся упорядоченное состояние.
Уравнения критической динамики (далее CD), в рамках локально-равновесного подхода, являются уравнениями первого порядка по времени. К таковым можно отнести уравнения Аллена-Кана (модель фазового поля для процессов затвердевания [3]), Кана-Хилларда (модель спинодального распада [4]), Свифта-Хоэнберга (модель развития флуктуаций при гидродинамической неустойчивости [5]), фазового поля кристаллов [6].
Численное моделирование уравнений CD [9-16] является важным инструментом исследования процессов структурообразования в реальных материалах, находящихся в неустойчивых состояниях. Оно позволяет исследовать и прогнозировать характеристики неравновесных физических процессов, происходящих в плохо наблюдаемых условиях.
К сожалению, существующие вычислительные алгоритмы неэффективны при интегрировании уравнений CD по времени. Например, интегрирование по методу Эйлера [9-13] при моделировании уравнения Кана-Хилларда (CH) становится неустойчивым при выборе шага по времени, превышающим пространственное расстояние Ax - так называемая "checkerboard" неустойчивость [14]. Это приводит к фиксированному шагу по времени, не имеющему отношения к естественному временному масштабу, определяемого физической динамикой. Постепенное увеличение размеров структурной неоднородности делает моделирование с постоянным шагом по времени избыточно точным и затратным.
В идеале, необходим устойчивый алгоритм интегрирования, который позволяет определять размер шага при моделировании уравнения CD, исходя из требования точности, а не ограничения по устойчивости численного алгоритма. Сравнительно недавно в этом направлении был достигнут некоторый прогресс, в связи с использованием градиентно-устойчивых методов [17-20].
В качестве альтернативы, в работе [21] был рассмотрен вариационный принцип, экстремаль которого воспроизводит уравнение Кана-Хилларда лишь в отдельные моменты времени, рассматривая динамику в интервале между ними как вспомогательную задачу. Продолжая предложенную в [21] идеологию, в настоящей работе предложен вариационный принцип для уравнений критической динамики, воспроизводящий имеющиеся уравнения в каждый момент времени. На основе полученных вариационных принципов могут быть
построены неявные численные алгоритмы с аппроксимациеи высокого порядка точности по пространственным и временным переменным.
ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧ CD
ОтправноИ точкоИ в анализе задач структурообразования, например динамики спинодального распада, возникающего в результате переохлаждения системы и приводящего к переходу от неупорядоченной к некоторой упорядоченной фазе, является характеристика асимптотического поведения на больших временах. Большинство таких систем имеет асимптотический динамический скейлинг, определяемый характерной длиной Ь(^),
соответствующей размерам отдельных упорядоченных областей. Закон роста Ь ~ 1п определяется только несколькими общими особенностями, в том числе законами сохранения и природой параметра порядка [2]. Для уравнения Кана-Хилларда, описывающего процесс спинодального распада, на больших временах Ь ~ ^13. Более точную информацию о поведении характерных масштабов трудно получить аналитически, само существование скейлинга было продемонстрировано только опытным путем с помощью компьютерного моделирования и натурных экспериментов.
Компьютерное моделирование уравнений CD, играя существенную роль в понимании и характеристике процессов структурообразования, в то же время имеет некоторые серьезные ограничения, определяемые особенностями процесса структурообразования [1,2]. Для достаточно точного описания асимптотической структуры необходимо учитывать большие времена, на которых выполнено условие ) >> а , где а - характерная ширина структурной неоднородности. Чтобы избежать эффектов конечного размера, необходимо помнить, что Ь(/) должна быть лишь некоторой долей от размера системы Ь . Кроме того,
шаг решетки Ох должен быть достаточно малым по сравнению с размером области а . Всем этим требованиям удовлетворяют очень большие решетки с линейным размером Ь^:
Ох < а << Ь(/) < Ь . Таким образом, моделирование процесса с хорошей точностью требует расчета большой системы на больших временах.
ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА В ЗАДАЧАХ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Причина, которая заставляет обратиться к использованию вариационных принципов, состоит в глубоком убеждении, что задачи математической физики, допускающие вариационную постановку, позволяют ослабить математические ограничения, накладываемые на разыскиваемые решения, а также строить устойчивые численные алгоритмы для их численной реализации [22].
Известно [7], что система уравнений в первоначально заданной форме может не следовать из вариационного принципа, но в то же время может быть найдена такая эквивалентная система (получаемая путем преобразований и различных представлений переменных), которая получается как экстремаль некоторого функционала. Трудность состоит в принятии решения о том, какая форма вариационного принципа может считаться удовлетворительной. Для любой системы уравнений всегда можно взять интеграл по произвольной области от суммы квадратов уравнений. Ясно, что искомое решение в этой области минимизирует этот интеграл. Этот принцип ''наименьших квадратов'' весьма полезен для построения приближенных решений, но соответствующие вариационные уравнения могут иметь совсем другой вид и не соответствовать исходной задаче. Возможно, это связано с тем, что вариационные уравнения при таком подходе включают в себя больше, нежели исходные уравнения [8]. В полной мере эти слова можно отнести к задаче описания CD, уравнения которой известны начиная с работ [3-6], но вариационные принципы не получены до сих пор, не считая проекционного метода Галеркина.
Основные трудности при построении вариационного принципа для уравнения СН обусловлены в основном тремя причинами:
1. Наличием первой производной по времени. В простейшем билинейном выражении вида + Ь О с параметром порядка <, вариация по параметру порядка сводиться
к подстановке <р5<р в начальный и конечный момент времени. Чтобы обойти такую ситуацию обычно либо используют разностное представление временной производной, либо рассматривают определение скорости как дополнительное кинематическое условие [23].
2. Наличием несимметричного оператора в пространственной части. Действительно, если в функционале стоит квадратичная функция, то получающийся оператор автоматически является симметричным.
3. Кроме того, имея в виду численные аспекты решения уравнений CD, следует отметить то обстоятельство, что пространственные и временные масштабы, на которых разыгрываются процессы структурообразования, существенно отличаются от характерных масштабов процессов тепло- и массопереноса. Поэтому, с одной стороны, для повышения точности расчетов (сокращения числа пространственных степеней свободы) желательно использовать аппроксимацию решения как можно более высокого порядка. С другой стороны, построение таких решений в классе кусочно-непрерывных функций, как правило, наталкивается на немонотонность поведения полученного решения по пространству и времени.
Для того, чтобы обойти первые две перечисленные проблемы, будем следовать ''гамильтоновой'' формулировке вариационных принципов [7] для уравнений гидродинамики,
вводя кроме дополнительной (''сопряженной'') функции у ещё потоковые переменные J и
Я . Как оказывается, введение потоковых переменных позволяет решить и третью проблему, связанную с желанием иметь высокий порядок аппроксимации уравнений CD и немононотонностью получаемых решений. Действительно, использование потоковых переменных в классе разрывных функций (в сочетании с непрерывностью параметра порядка) практически снимает остроту такой дилеммы.
УРАВНЕНИЯ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
В предположении изотермичности, динамика процессов релаксации определяется свободной энергией системы, которая может быть выбрана в виде суммы вкладов от равновесной части свободной энергии системы /(<), зависящей от локального параметра порядка <, и локально-равновесной части, учитывающей пространственную неоднородность в системе [4]. Плотность свободной энергии (или потенциал Гиббса) может быть восстановлен из эксперимента [24]. Коэффициенты в локально-равновесной части с характеристиками границы раздела фаз и обычно полагаются константами [24,25]: • для уравнений Аллена-Кана (АС) [3] и Кана-Хилларда (СН) [4]
1 2 р1 н=Л 2Ы +' (<)
dV; (1)
^2
для уравнений Свифта-Хоэнберга (SH) [5] и фазового поля кристаллов (PFC) [6]
1 2 1 F2 H = {v - - (Vp) + - (A^)2 + f И
dV. (2)
Рассматривая процесс критической динамики для системы с несохраняющимся параметром порядка в объеме V с границей £, и дифференцируя функционал ^ = ^ [<] по времени, получаем
= 1 < (Л-*2 А<) ^ + *21 < <£„ < 0, (3)
где / - первая производная равновесной плотности свободной энергии по параметру
порядка. Обозначение /р = д/(р)/др соответствует производной по аргументу равновесной
плотности свободной энергии из соотношения (1),
Чтобы исключить перенос свободной энергии через границу, описываемый вторым интегралом, для изолированной системы в качестве естественных граничных условий удобно выбрать в виде
= 0. (4)
Тогда утверждение о монотонном убывании Е в простейшем варианте гарантируется выбором
/-а2 Ар = -
Ы.
-(P,
(5)
где Ып > 0 - кинетический коэффициент мобильности для несохраняющегося параметра порядка, в общем случае зависящий как от параметра порядка, так и от температуры.
В рассматриваемом изотермическом случае далее будем предполагать лишь зависимость вида Ып = Ып (р). Полученное уравнение является уравнением АС
(Р
Ь = Ып (а2 Ар-/)
(6)
и используется для описания движения межфазной границы при фазовых переходах первого рода [3].
Для сохраняющегося параметра порядка с законом сохранения
Ь + = 0 (7)
при дифференцировании функционала Е = Е1 [р] по времени, после замены производной параметра порядка по времени через дивергенцию потока и последующим интегрированием по частям, приходим к выражению
Л
Е = Г ./V
2у
(¿ЕМ др
\
йУ + а
( бе [р]
др
\
Ш < 0,
(8)
наиболее простыми естественными граничными условиями, для которого являются
V р = 0 и = 0. (9)
При выполнении условий (9) монотонное убывание Е гарантируется условием
,(5¥х [р^ 1
V
др
Ы
У,
где коэффициент мобильности для сохраняющегося параметра порядка Ыс > 0 в общем случае опять может являться функцией параметра порядка Ыс = Ы с (р).
Из последнего соотношения совместно с (7) приходим к системе уравнений
б [р]
У = -Ы„ v
др
ф + v У = 0,
(10)
эквивалентной уравнению СН
ср = V
(
Ы V
дЕ (р)' др ,
= V
[м /
С с ^ рр
V р - Ы а V
(Ар)],
(11)
где /р является второй производной от равновесной части свободной энергии по
параметру порядка.
Наконец, замена Е1 ^ Е2 в уравнениях (6) и (11) приводит, соответственно, к уравнению SH
1
ф = -M t
SF2 [ф]
5ф
(12)
или
Ф = -M (s? Аф + s\Aф + ф, (13)
описывающего процессы структурообразования [5] для кристаллических твердых тел, и уравнению PFC
'SF^r
фф = V
M„ V
Sep
(14)
или
ф
Ь = V {m V (s2 Дф + £г2 А2ф + /ф)}
V(мc/ффVф)+ V{m c (s? V Аф + s 2 VA ф)}
(15)
используемого для эффективного моделирования переходов ''liquid-solid'' [6], диффузии дефектов [26], и стеклования [27].
Условие изолированности системы, подчиняющейся уравнению SH (отсутствие переноса свободной энергии через границу области) приводит к условию
( [s2 (АфVф -ф V^))-sfy Vф
dS = 0,
которое будет выполнено, например, при
V \\ = 0 и V (Ар) = 0.
Для уравнения (14) кроме (16) появляется поверхностный вклад от потоков
((\
jS
8ф
I JdS,
который исчезает, если выполнены условия
J
= 0
или
(sfm
5ф ,
= 0.
(16)
(17)
(18)
(19)
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ CD
Поскольку все рассмотренные уравнения имеют первый порядок по времени, отдельно рассмотрим построение вариационного принципа для временной части, а затем выпишем пространственный вклад для каждого из уравнений.
Динамика во времени
Для построения вариационного принципа, приводящего к уравнениям первого порядка по времени, рассмотрим функционал вида:
Ф = j dQj dz - ф| + ¡(j2 - ^ + 2ф] + ^(ф' l
(20)
где введенная функция л играет роль ''потоковой'' переменной для первой производной по времени. Варьируя (20), находим
t
Зф = jdqjdi\diy(^ -ф - и + L^)+ дффуь - 2ß + L^)+ 5/и(р-щ + 2ф)]
+j d Q( 2y.-v)ö(p\
(21)
где Lу и L^ - частные производные плотности L по функциям у и ф, соответственно.
S
S
+
Из экстремальности функционала (21), исключая л и считая, что при т = 0 задана функция р(0, r ) = р0 (r ), приходим к уравнениям
i - ^ -\ (22) |у = 4ц, + Lr
с дополнительным условием в момент времени т = t вида y/(t )= 4 ф (t), играющим вид ''начального'' условия для функции у.
Таким образом, экстремальность функционала (20) приводит к уравнениям первого порядка по времени (22), описывающим эволюцию поля р(т, r) с начальным условием р = р0 (r) в момент времени т = 0, к моменту времени т = t, и эволюцию поля у(т, J) с начальным условием у = 4рц (t, r ) в момент времени т = t к моменту времени т = 0 .
Уравнение Аллена-Кана
Чтобы завершить построение вариационного принципа для уравнения AC, конкретизируем вид пространственной части для функционала (20), выбирая его в виде:
L = - JV(M (р)у)+ M (р){Я(j + S2V р)+у}, (23)
где s2 > 0 - const, M(р)> 0 - коэффициент мобильности, обозначение f р = df (р)/3 р соответствует производной по аргументу равновесной плотности свободной энергии из соотношения (1), а J и Я являются неизвестными функциями (потоками). Соответствующие вариации по р , у, J, Я приводят к выражению:
8 JLdQdt = J SJ (мЯ - V (My))dQdt + + J MSy(yJ + f^dOdt + J MS^(JJ + s2V р)dQdt + + \Sр{мр(Я(J + s2Vр)+ yVJ)+ y{Mfp)v - s2V(M^i)}dQdt + (24)
+ J dtJ [(s2ЯnM - J M у)8р - MJSy]iSn,
где индекс соответствует производной по параметру порядка , индекс n обозначает нормальную компоненту вектора. Из (24) видно, что вариация по потоковым переменным J и Я приводит к определению потоков
Я = M-lV (My) или J = -s2V р, (25)
а вариации по р и у совместно с уравнениями (22) и (42) дают уравнения для параметра порядка
р = M(s2Ар - fp). (26)
и для ''сопряженной'' функции у
у = 4ц - s2A(My) + My ррр. (27)
Естественные граничные условия появляются при занулении поверхностного вклада, определяемого интегралом:
J[(s2ЯnM - JM у)5р - J nMSif/ \lS n = 0, (28)
из которого видно, что требование произвольности изменения функции 5у на границе области приводит к обращению в ноль потока J на границе:
у S * 0 ^ Jn | s = 0 ^V n р\ S = 0, (29)
а произвольность вариации Sp на границе приводит к условию:
*4|s = 0 ^v п¥\S = 0. (30)
Таким образом, естественные граничные условия для выбранного функционала соответствуют граничным условиям (9), полученным из условия монотонного уменьшения свободной энергии.
Уравнение Кана-Хилларда
Для уравнения CH выберем вид пространственной части для функционала (20) следующим образом:
L = -JVy + X[j + a(p)Vp - e(p)V(Apj], (31)
где a(p) = Mc(p)fpp и ф(p) = Mc(p)s2.
Вариации по J и Я приводят к соотношению:
SfLdQdt = fSJ(Я - V y) + SyVJ + Sl\j + aVp - pV(Ap)]dQdt +
+ fSp[apЯV p - V (аЯ)- в Я (Ap)+ A(V (¿?2i))]dQdt + (32)
+ J dt f [- jnSp + alnSp - фЯп ASp + V (фЯ )v nSp - V n (V (фЯ )ftp\lS n,
из которого следуют определения потоков
Я = V у, J = -aV p + eV(Ap) (33)
уравнения для параметра порядка p
p = V (aV p)-V [ф (Ap)] (34)
и ''сопряженной'' функции у
у = 4p - V(aV у)+ apV yVp + A(V(eV у))- pJV yV(Ap). (35)
Естественные граничные условия появляются при занулении поверхностного вклада, определяемого интегралом:
f [- JS + ahnSp - вЯпASp + VфЯ)vnSp - Vn (V(фЯ))SpK, (36)
из которого видно, что требование произвольности изменения функции Sy на границе области приводит к занулению потока J на границе:
М S * 0 J n IS = 0, (37)
а произвольность вариации Sp на границе приводит к условию:
аЯп -V n (V (фЯ ))] [ = 0. (38)
Также, требование того, чтобы функции p и у лежали в классе функций, удовлетворяющих условию Неймана
ЯП | S =V УМ S = 0, V nps = 0, (39)
зануляет оставшиеся слагаемые в поверхностном интеграле, в результате чего приходим к естественным граничным условиям (9).
Уравнение Свифта-Хоэнберга
Уравнение SH может быть получено при выборе пространственной части функционала (20) в виде:
L = -JV (M(p)¥)+ M J + elV p + s22 V Ap)+ yfp}, (40)
где а12 > 0 , а2 > 0 являются константами, Ы(р) > 0 - коэффициент мобильности, а У и Л являются неизвестными функциями (потоками). Соответствующие вариации по р , у, У и Л приводят к выражению:
д\ышх = \дУ (м) - V (Ыу)}тж +
+ Г Ыду(уУ + р \iQ.dt + Г ЫдЛ(У + а12У р + а2У(А р ))dQdt +
+ Г дрм, ЛУ+а2V р+а2У(А р))+ уУУ)+ у(мр )р - а2 v(ш)- а22 Аv(мЛ)jdQdt +
(41)
+ Г й^ЫЛп - УМу+ ¿yn (у(мЛ))|др - УМду+ а1МЛпАдр- а22У(мЛ)ур
где индекс р соответствует производной по параметру порядка р, индекс п обозначает нормальную компоненту вектора. Из (24) видно, что вариация по потоковым переменным У и Л приводит к определению потоков
Л = Ы(Ыу) и У = -(а2У р + а22У (Ар)), (42)
а вариации по р и у совместно с уравнениями (22) и (42) дают уравнения для параметра порядка р
ф=М(аа Ар+а2А2р-/0 (43)
и для ''сопряженной'' функции у
У = 4Ь -а1 А(Ыу)-а\А2(Ыу)-Ыу/^. (44)
Естественные граничные условия появляются при занулении поверхностного вклада, определяемого интегралом:
§[(а2ЫЛп - У пЫ у + а2 V п (V (м) )}др - УяМду + а^ЫЛя Адр-а22У () пдр^» = 0 . (46)
из которого видно, что наиболее простые ''естественные'' условия получаются при занулении потоков на границе:
Уп\5 = 0 и ) Б = ^ (47)
что при произвольности значений р и у на границе приводит к дополнительным условиям вида:
V пЦ б = 0 и V п (А(м у)) Б = 0. (48)
Таким образом, естественные граничные условия для выбранного функционала соответствуют граничным условиям (17), полученным из условия монотонного уменьшения свободной энергии.
Уравнение фазового поля кристаллов
Для уравнения СН выберем вид пространственной части для функционала (20) следующим образом:
Ь = У у + ) [У + Ы (р)(/рр + а1 V (А р)+ а22V (А2 р))]. (49)
Вариации по У и Л приводят к соотношению:
д\LdQdt = б () - V у)dQdt Г ду*Уdndt + Г д)\У + Ы (р /V р + а2У (А р) + а22у(А2 р ))]й^ ■ + \др{м/р)) р + Ы ¿^(А (а2 р))jdQdt -
- Jдр[y (мтр))+ а12А(^ (ы) ))+ а22А2 (V (м) ))}^ +
JdtJjd + k2v(Ml)+ £22a(v(mI))}v S(p)lSn + + J dtJ \Mfvvxn + s2vn (V(ш))+ s2vn {a(v(mafd^S - (50) - J dt J [s^MAn + s22V n (V (mA ))]AdpdSn + + J dt J s\MAn A2 dp + s22 V ((m^ ))v n (ASp)dSn,
из которого следуют определения потоков
~ + s{ V(Ap)+s2 V(A"p
A = Vy, J = -M (p)f„Vp + Sj2V(Ap)+s2v(a2p)) (51)
(53)
уравнения для параметра порядка p
p = V M ptfppV p + s2V (Ap) + s2V (A2p))] (52)
и ''сопряженной'' функции у
у = 4p - V (MfppV у ) - Sj2A (V (M V у )) - s22A 2 (V (M V у )) - (Mf„ )p V у V p +
+M pV у (sj2 V (Ap)+s2 V (A 2p)).
Наиболее простые естественные граничные условия, в предположении произвольности изменения dp и dy на границе, появляются при обращении в нуль поверхностного вклада в выражении (50) и имеют вид:
' Jn IS = 0, AnL = 0,
vnp\s = о, Vn(V(MV y))S = 0, (54)
V n (Ap) s = 0, V n [V(a(mV y))] s = 0, в результате чего приходим к естественным граничным условиям (17) и (19).
ВЫВОДЫ
В работе показано, что, хотя уравнения критической динамики исходно получены не из вариационного принципа, а из требования монотонного уменьшения эффективной свободной энергии системы, для них могут быть сформулированы вариационные принципы, условия экстремальности которых воспроизводят как сами уравнения, так и соответствующие граничные условия. Построенные вариационные принципы могут быть использованы для построения численных алгоритмов с высоким порядком аппроксимации по пространственным и временным переменным для компьютерного моделирования уравнений критической динамики.
Лебедев В.Г. благодарит фонд РФФИ за поддержку по проекту 08-02-91957ННИО_а и фонду Роснаука за поддержку по проекту 2009-1.5-507-007-002.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bray A.J., Rutenberg A.D. Growth laws for phase ordering // Phys. Rev. E. 1994. V.49, № 1. P.R27.
2. Bray A.J. Theory of phase ordering kinetics // Adv. Phys. 1994. №43. P.357.
3. Allen S.M., Cahn J.W. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening // Acta Metal. 1979. №27. P. 1085-1095.
4. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy // J. Chem. Phys. 1958. №28. P. 258-267.
5. Swift J. Hohenberg P.C. Hydrodynamic fluctuations at the convective instability // Phys. Rev. 1977. A15. P. 319.
6. Elder K.R., Grant M. Modeling elastic and plastic deformations in nonequilibrium processing using phase field crystals // Phys. Rev. 2004. E70. P. 051605.
7. Sе1igеr R.L., Whitham G3. Variational principles in continuum mechanics // Proc. Roy. Soc. 1968. A305. P.1-25.
8. Kupershmidt B.A. Variational principles of dynamics. London : World Scientific, 1992. 430 р.
9. Gunton J.D., Toral R., Chakrabarti A. Numerical Studies of Phase Separation // Phys. Scripta. 1990. T.33. P. 12-19.
10. Vladimirova N., Malagoli A., Mauri R. Diffusion-driven phase separation of deeply quenched mixtures // Phys. Rev. E. 1998. V.58, № 6. P.7691-7699.
11. Chalupecky V. Numerical studies of Cahn-Hilliard equation and applications in image processing // Proc. of Czech-Japanese Seminar in Appl. Czech : Techn. Univ. in Prague, 2004. P.10-22.
12. de Mello E.V.L. Numerical Study of the Cahn-Hilliard Equation in One, Two and Three Dimensions // Physica
A. 2005. V.347. P. 429-443.
13. Wise S., Kim. J., Lowengrub J. Solving the regularized, strongly anisotropic Cahn-Hilliard equation by an adaptive nonlinear multigrid method // J. Comp. Phys. 2007. V.226. P. 414-446.
14. Rogers T.M., Elder K.R., Desai R.C. Numerical study of the late stages of spinodal decomposition // Phys. Rev.
B. 1988. V.37. P. 9638.
15. Emmerich H. Advances of and by phase-field modelling in condensed-matter physics // Advances in Physics. 2008. V.57, № 1. P. 1-87.
16. Singer-Loginova I., Singer H.M. The phase field technique for modeling multiphase materials // Rep. Prog. Phys. 2008. V.71. P. 106501.
17. Eyre D.J. An Unconditionally Stable One-Step Scheme for Gradient Systems, preprint.
URL: http://www.math.utah.edu/eyre/research/methods/stable.ps (дата обращения: 4.04.2010).
18. Vollmayer-Lee B.P., Rutenberg A.D. Fast and Accurate Coarsening Simulation with an Unconditionally Stable Time Step // Phys. Rev. E. 2003. V.68. P. 66703.
19. Cheng M., Warren J.A. Controlling the accuracy of unconditionally stable algorithms in the Cahn-Hilliard equation // Phys. Rev. E. 2007. V.75. P. 017702.
20. Cheng M., Warren J.A. An efficient algorithm for solving the phase field crystal model // J. Comp. Phys. 2008. V.227. P. 6241.
21. Новикова Т.А., Обухов А.А., Обухов А.В. и др. Вариационный принцип для уравнения Кана-Хилларда // Вестн. УдГУ, Сер. Физика и химия. 2010. Вып. 1. С.54-59.
22. Ректорис А.П. Вариационные принципы в математической физике и технике. М. : Мир, 1985. 590 с.
23. Фаворский А.П. Об использовании вариационных принципов в численном моделировании // В сб. "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики". М. : Наука, 1982. С. 312-320.
24. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free Energy of a Nonuniform System. III. Nucleation of a Two-Component Incompressible Fluid // J. Chem. Phys. 1959. V.31. P. 688-699.
25. Kessler D. Sharp interface limits of a thermodynamically consistent solutal phase field model // J. Cryst. Growth. 2001. V.224. P. 175.
26. Cheng M., Cottenier S., Emmerich H. Thermodynamic consistency and fast dynamics in phase field crystal modeling // arXiv:0807.3579v2 [cond-mat.mtrl-sci] 6 Aug 2009.
URL: http://www.arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0807/0807.3579v2.pdf (дата обращения 28.01.2010).
27. Berry J., Grant M., and Elder K.R. Diffusive atomistic dynamics of edge dislocations in two dimensions // Phys. Rev. E. 2006. V.73. P. 031609.
28. Berry J., Elder K.R. and Grant M. Simulation of an atomistic dynamic field theory for monatomic liquids: Freezing and glass formation // Phys. Rev. E. 2008. V.77. P. 061506.
VARIATIONAL PRINCIPLES OF CRITICAL DYNAMIC EQUATIONS
Novikova T.A., Obuhov A.A., *Obuhov A.V., Lebedev V.G.
Udmurt State University, Izhevsk, Russia *MKM Ltd, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The variation principles reproducing equation of critical dynamic with a necessary set of boundary conditions by using a "conjugate function" and corresponding fluxes variables.
KEYWORDS: critical dynamics, microstructure, variation principles, computer simulation.
Новикова Татьяна Алевтиновна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры общей физики УдГУ, тел. 916-139, e-mail: novikovata@mail.ru
Обухов Андрей Владимирович, ведущий научный сотрудник НПО МКМ, тел. 90-90-85, e-mail: oav1961@mail.ru
Обухов Александр Андреевич, студент физического факультета УдГУ, e-mail: Obuh87@bk.ru
Лебедев Владимир Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики УдГУ, тел. 916-130, e-mail: lvg@udsu.ru
